广东省揭阳市三校2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题

2025-2026学年第一学期10月份高三三校联考 数学科试题 2025.10 满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题給出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设集合A={0,1,2,3},B={x2x<7},则A∩B的元素个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知复数z满足(1+)z=|2i,则z的虚部为() A.i B.-i C.1 D.-1 3函数F网=需的图象大致为() K B 4.若函数f(x)=kx-nx在区间(1，+oo)上单调递增，则实数k的取值范围是() A.（-∞，-1) B.(-∞，-1] C.(1,+∞) D.[1,+o) 5.函数f(x)=sinx+sin2x在区间(0,3π)上的零点个数为() A.7 B.6 c.5 D.4 6.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.已知函数f(x)=e-Q 在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为() A号 B.1 c D.2 7.随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的旅游人数大 约每年以11%的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（) (参考数据：1g2≈0.301，lg111≈2.045) A.6 B.7 C.8 D.9 8.已知1<m<n<2,a=nm,b=m”,c=lognm,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数f(x)=三，则下列说法正确的是() A.f(x)的单调递减区间是[1，+o) B.若m<三则方程f(x)=m有两个不等的实根 C.若点P是曲线y=f(x)上的动点，则点P到直线y=x+2距离的最小值为V2 D.若过点A(O,)可以作曲线y=f)的三条切线，则0<a<之 10.已知函数f(x)=Asin(ωx+p)(A>0,ω>0,0<p<m),若f(x)及其 导函数f′x)的部分图象如图所示，则() A.f(x+π)=f(x) B.函数f)在（受，召）上单调递减 C.f'()的图象关于点(-云，0)中心对称D.f)+f'()的最大值为 11.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x-y)-f(x+y)=f(x-1)fy-1),且f(O)=2,g(x)为f(x)的 导函数，则() 2025 A.f(x)为偶函数 B.g(x)为周期函数 C.∑f)=0 D.g(2026)=0 k=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,2),b=(3,x),与a+b共线，则a-= 13.若曲线f()=2x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 14.已知一圆柱内接于一个半径为√3的球内，则该圆柱的最大体积为一。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知函数f)=三-nx. (1)求f(x)的单调区间； (2②)求函数f)在[，e]上的最大值和最小值（其中e是自然对数的底数）， 第2页，共4页 16(本小题满分15分)已知曲线y=)-式-m+加+1在点(0，f0)）处的切线的斜率为3，且当x=3时， 函数∫(x)取得极值 (1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若存在x∈0,3，使得不等式f(x)-m≤0成立，求m的取值范围. 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=1nx+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性， (2)当f(x)有最大值且最大值大于2a-2时，求a的取值范围. 第3页，共4页 18.(本小题满分17分)南宋的数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形 求面积、体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题在他的专著《详解 九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、 方垛、刍薨垛、刍童垛等公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层 有3个球，第三层有6个球，…，第n+1层球数比第n层球数多n+1,将 第一层至第n层的球数依次排成一列，构成数列{a}: (1)求{a}的通项公式， (2)求函数f9)=1nM+)-,x的最小值： 1+x (3)若数列色，}满足b.=h(2a,)-2nn ,nEN,证明：b+b2+b+…+bn<nx2m1 19.(本小题满分17分)已知f(x)=e“. (1)当a=0时，证明x∈0， ,刀时，sinx<f()<tanx: ,2 (2)求f(x)在0,2上的最大值； (3)已知f(x)在x=1处的切线与x轴平行，若存在x,x2∈R,x<x,使得f(x)=f(x2),证明：x>e. 第4页，共4页2025-2026学年第一学期10月份高三三校联考 数学科答案 2025.10 题号 1 2 3 4 6 4 % 9 10 11 12 13 14 答案 B 0 B A ACD AB ABD 2W5 [2,+∞) 4π 1【答案】B解：B={x2x<7}={xx<log27},AnB={0,1,2},3个元素.故选：B. 2【答案】D解：由(1+2=2，得到z=异 2 2(1-i) =1-i,所以z的虚部为-1，故选：D. 3【答案】C解：函数的定义域为xx≠0}，f(x)>0恒成立，排除A,D, 当x>0时，f)-写-e,当x0,f→0，排除8，故本题进C 4【答案】D解：f'()=k-是函数f)=kx-mx在区间1，+o)单调递增， “f'()≥0在区间(1，+∞)上恒成立.k≥而y=在区间(1，+∞)上单调递减， ∴k≥1.∴k的取值范围是[1，+o).故选：D. 5【答案】C函数f(x)=simx+sim2x在(0,3π)的零点个数，即方程sinx+sin2x=0在(0,3π)的根的个数， 因为sx+sin2x=0,所以simx+2 sinxcosx=0,所以simx=0或cosx=-子又x∈(0,3m), 所以x=π或x=2m或x=号或x=号或x=警即零点的个数为5个.故选：C。 6【答案】B解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f(-x)=-f(x)有解即可； 即ex-a=-(e-a)有解，∴e+ex-2a=0有解，即e+ex=2a有解即可， 因为ex+e-x>2vexe=2,当且仅当ex=ex即x=0时等号成立， 故2a>2,解得a>1,即实数a的最小值为1.故选B. 7【答案】B【解答】设初始旅游人数为a,经过t年后旅游人数翻一倍，则2a=a(1+11)则tlg1.11=lg2, 因为1g2≈0301,1g11=B品=g11-1g100≈2045-2=0045，可得t=品080g≈67， 所以至少经过7年后，该景区的旅游人数翻一倍.故选B. 8【答案】A解：因为1<m<n<2,所以y=n,y=m,y=lognxi在(0，+∞)上均单调递增， 所以a=nm>n2>1,b=mn>ml>1,c=logrm<lognn=1,即a>c,b>c, 对于ab,构造函数f)=→f'=四， x2, 易知e>x>0时，f'()>0,即此时函数单调递增，则fm<f(m→mm<m, m 所以nlm<mlnm→lnmn<lnmm, 因为y=lnx在(0，+oo)上单调递增，所以mn<nm,综上a>b>c.故选：A. 第1页，共6页 9【答案】ACD解：对于A:f'()=二由f'()<0得x>1,又函数f()在1，+∞)连续， 所以f(x)的单调递减区间是[1，+∞)，A正确； 对于B:当x∈(-o,1)时f'(x)>0,fx)单调递增；当x∈(1，+oo)时f′(x)<0,f(x)单调递减；当x=1时，f(x) 取得最大值二又x→o时，f)→0；x→+∞时，f)→0， 所以f()的图象大致如图：当0<m<时，函数y=m与函数y=f()图象有两个交点， y=/x) y=a 即方程f(x)=m有两个不等的实根，B错误； 对于C:当曲线y=f(x)在点P处的切线与直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小， 设点P(o号)，则f')=岩2=1，解得x0=0,此时P00), YA x2 点P到直线y=x+2的距离d=I0+=√2，C正确； y= V1+1 e 对于D设过点A的切线切点为京)，则产-。号子整理得a-号 y=a 若过点A可以作曲线y=f)的三条切线，则函数y=a与函数y-二有三个交点， 对函数兰y'-2,当xE(-0,0)脚y'<0,函数-兰单调递减 当x(Q,2)时y'>0,函数y=单调递增，当x亿，+o)时y'<0,函数y=单调递减. 又当x→∞时，y计0；当x计o时，y→0x=0时，y=0x=2时，y=名， 所以函数y=二的图象大致如下：则当0<Q<时，函数y=a与函数y=二有三个交点， 此时过点A可以作曲线y=f(x)的三条切线，D正确.故选：ACD 10【答案】AB解：因为f(x)=Asin(ωx+p),所以f'(x)=Aωcos(ωx+p), 根据图象可知，当xE(0,是)时，f′()>0，f()单调递增，故A=1,Aw=2,即A=1,w=2,所以f()=sin(2x+ p),f′(x)=2cos(2x+p),又f()=1,所以sin(G+p)=1, 由0<p<,得p=子故f(x)=sin(2x+3),f′()=2cos(2x+3), 选项A:f)=sn(2x+骨)的最小正周期为受=元，所以fc+)=f),故A正确： 选项B:令经+2m≤2x+号≤受+2km,k∈乙，解得品+km≤x≤径+km,k∈Z, 所以函数f)在（受）上单调递减，故B正确：选项C由于f′()=2cos(2x+), f'(-君)=2cos(-写+)=2，故f'9)的图象不关于点(-石，0)中心对称，故C错误： 选项D:f()+f'(,)=sin(2x+)+2cos(2x+)=V5sin(2x++6),且tan0=2, 所以f(x)+f'(x)的最大值为5，故D错误.故选：AB. 第2页，共6页 11【解答】对于A,因为定义域为R的函数f(x)满足f(x-y)-f(x+y)=f(x-1)fy-1), 所以当x=y=0时，f(0)-f(0)=f(-1),即f(-1)=0,因此对于任意y∈R,x=0, 由f(x-y-f(x+y)=f(x-1)fy-1)得f(-y)-fy)=f(-1)fy-1)=0, 即对于任意yER,f(-y)=f6y),所以函数f(x)是偶函数，故A正确； 对于B,因为定义域为R的函数f(x)满足f(x-y)-f(x+y)=f(x-1)fy-1), 所以对于任意y∈R,x=1,得f(1-y)-f(1+y)=f(0)fy-1), 又f(0)=2,则f(1-y)-f(1+y)=2f0y-1),由函数f(x)是偶函数得f(1-y)=f0-1), 则f(1+y)=-f(1-y),即对于任意x∈R,f(1+x)=-f(1-x), 则f(x+4)=f[1+(x+3)】]=-f[1-(x+3)]=-f[-(x+2)] =-f(x+2)=f[1-(x+1)】=f(-x)=f(x),即函数f(x)以4为周期的周期函数， 因为对于任意x∈R,f(x+4)=f(x),所以f'(x+4=f′(x),而gx)为fx)的导函数， 因此对于任意x∈R,g(x+4)=g(x),所以函数g(x)是以4为周期的周期函数，故B正确： 对于C,由选项B知：对于任意x∈R,f(1+x)=-f(1-x),因此由x=1得f(2)+f(0)=0, 由x=0得f(1)=0;由x=2及函数f(x)是偶函数得：f(3)=-f(-1)=-f(1)=0,所以 f0)+f(1)+f(2)+f3)=0,由函数f()以4为周期的周期函数得：f(内=506× 0+f(0)+f(1)=2,故C错误： 对于D,由选项A知：对于任意x∈R,f(-x)=f(x),因此对于任意xER,-f'(-x)= f′(x),所以对于任意x∈R,-g(-x)=g(x),因此当x=0时，g(0)=0, 由选项B知：对于任意x∈R,f(1+x)=-f(1-x),因此对于任意x∈R,f′(1+x)=f'(1-x), 所以对于任意x∈R,g(1+x)=g(1-x),因此当x=1时，g(2)=g(0)=0, 又g(x)是以4为周期的周期函数，所以g(2026)=g(506×4+2)=g(2)=0,故D正确.故选：ABD. 12【答案】2W5【解答】解：由题意知，a+=(4,2+x)又因为a/a+可， 所以1×(2+x)=2×4,所以x=6,所以奶=(3,6)，所以a-b=(-2,-4), 所以a-=√(-2)2+（-47=2W5. 13.解：f)=2x2-ax+l,“f')=x-a+是由题意可知存在实数x>0使得f'()=x-a+=0, 即a=x+成立，a=x+之2（当且仅当x=是即x=1时等号取到）.故答案为[2，+o). 14【答案】4r解：设圆柱的上底面半径为r,圆柱的高为2h(0<h<√③)，底面半径为r, 则r2=3-h2,∴圆柱的体积为V=πr2.2h=π(3-h22h=2π(3h-3), V′=2π(3-3h),令V′=0，解得h=1(负值舍去)， 当0<h<1时，V'>0,函数单调递增，当h>1时，V′<0，函数单调递减， 所以当h=1时，圆柱的体积的最大值为4r.故答案为4红. 第3页，共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15【答案】（国f因）=号-1nx=1-是-nx,f的定义域为0.+o).f')=京-是子6…2分 由f′(x)>0,得0<x<1,由f′(x)<0,得x>1,…4分 f()=1-是-nx单调递增为(0,1)，单调减区间为(1，+0).……6分 (2②)f(在，1上单调递增，在[1，e上单调递减，·f)在[，e上的最大值为f(①=1-1-1n1=0.…8分 又f目)=1-e-h-2-e,fe)=1-是-lme=-是f(佾)<fe).…11分 f(x)在，e上的最小值为f(日月=2-e.…12分f()在[，e上的最大值为0，最小值为2-e.…13分 [f'(0)=b=3 16.答案：(1)由题得：f(x)=x2-2ax+b,结合题意可得 f(3)=-6a+b+9=0’…2分 a=2 解得 b=3’ …4分，经检验符合题意，放f()-2+3x+1,…5分 f(0)=1,所以在点(0，f(0)处的切线方程为y=3x+1…6分 (2)由(1)知f(x)=x2-4x+3.令f(x)>0,解得x>3或x<1, 令∫'(x)<0,解得1<x<3,故f(x)在(-0,1)，(3，+o)上单调递增，在[1,3]上单调递减，所以f(x)的极大值 为f0)=子fx)的极小值为3)=1：…8分又因为f0)=1,3)=1,所以f(=1-10分 所以要使不等式f(x)-m≤0能成立，则f(x)mn≤m.…12分 所以≥1，故m取值范围是[1，十0）)…13分 17【答案】解：(f)=bx+a1-刘的定义域为0，+o),“f'()=是-a= ，…2分 若a≤0，则f′(x)>0,函数f(x)在(0，+o)上单调递增；…3分 若a>0,则当x∈(0，)时，f'()>0,当xE(G,+∞)时，f'()<0, 所以f)在(0，君)上单调递增，在（日+o∞）上单调递减，…5分 综上可知，当a≤0时，函数f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，函数f)在(0，君上单调递增，在（日+0）上单调递减；…6分 (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上无最大值；…7分 当a>0时，fc)在x=取得最大值，最大值为f(分)=-ma十a-1,…9分 f()>2a-2,lma+a-1<0,…10分 第4页，共6页 令g(@)=lma+a-1,g'(a)=+1>0在(0+∞)上恒成立，…12分 g(@在(0，+∞)上单调递增，g(1)=0,…13分 当0<a<1时，g(@)<0,当a>1时，g(@)>0,…14分.a的取值范围为(0,1).…15分 18【答案】解：(1)根据题意，a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…, 则有a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-a-1=n,…1分 当n≥2时，a=a-a-）+(a-1-a-）++(a,-a）+a=n+a-1)+a-2++2+1=,3分 又a=1也满足，所以a=,5分 （Q咽为w)=h1+刘-总定义域为(-1+四)则f闲=法-高高6分 令f'(8)=0,得x=0:且x∈(-1,0)时，f'&)<0,x∈(0，+∞)时，f'(&)>0, 所以fx)在(-1,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，…8分 所以fx)在x=0处取得极小值，也是最小值，即f8)mm=f(0)=0:…9分 （3)证明：由2)可知当x>0时，n1+刘>点…10分 令x=∈N),则h(1+>击>0，…1分 1+n 、20 、20 所以b。e-hnMGD-mh0码血+1)X2,…12分 所以b1+b2+b3+…+bn<2×21+3×22+4×23+…+(m+1)×2,…13分 令Tn=2×21+3×22+4×23+…+(+1)×2",…14分 则2Tm=2×22+3×23+4×24+…+m+1)×2+1,所以-Tn=2+21+22+23+…+2m-+1)×2m+1 =2+2=29-m+1)×201=-n×2*1,所以T。=n×21,…16分 1-2 所以b1+b2+b3+…+bn<n×2m+1.…17分 19答案1)当a-0时，当)，下面证明c0,时.m<创m: 令g闭=m-x,g(倒=cs-1xeQ引g水0,8闭在0到引运减， 2 g(x)<g(0)=0,.sinx-x<0,f(x)>sinx…2分 令6W=x-tamx,6y=x-s加，6(x)=1-】<0,:)在0，递减， cOSx cos2x 、2 δ(x)<6(0)=0.x-tanx<0,f(x)<tanx…4分 故x∈0，时，$inx<f()<tamr…5分 ,2 第5页，共6页 (2)f'(x)=(xe“)）=(1+a)e, ①当a≥0时，则1+ax≥0对任意x∈[0,2]恒成立，即f(x)≥0恒成立.所以f(x)在x∈[0,2]单调递增.则f(x) 的最大值为f(x)m=f(2)=2e2“；… …6分 ②当a<0时，令1+x=0,即x=-上当-上∈(0,2)，即a< 当x0}所子回0,0-上单送当（合时r0,f(日2止* a 诚f.=f月 …7分 当-21四)即-a<0,1+am≥0对任意xe0习机成立， 即f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在x∈[0,2]单调递增则f(x)的最大值为f(x)x=f(2)=2e2；8分， 棕：当a2tf以=)=a,当a<时L=f月动g分 ea (2)由f(x)在x=1处的切线与x轴平行，得f'(1)=(1+a)=0,则a=-1,即f"(x)=(1-x)e…10分 当x<1时，f(x)>0,则f(x)在(-o,1)上单调递增， 当x>1时，f'(x)<0,则f(x)在(1，+∞)上单调递减 又因为x<0时有f(x)<0;x>0时有f(x)>0, 根据图象可知，若f(x)=f(x),则有0<x<1<x:…11分 要证xe2>e,只需证x2>1-lnx:又因为0<x<1,所以1-1nx>1: 因为f(x)在(1，+∞)上单调递减，从而只需证明f(x)=f(x)<∫(1-血x),…12分 只需证e<-1n5)e与1=-hes=点1-h）-1B分 只需证e+lnx<1,(0<x<1)… …14分 设0e+h2:(Q》.则0-上由f的*雅可。0f川-。b分 则e≤士，即1-e≥0所以2()>0，即h()在t∈(0,1)上单调递增所以h(0<h()=1…16分 从而不等式xe>e得证…17分 第6页，共6页2025-2026学年第一学期10月份高三三校联考 数学科试题 2025.10 满分150分，考试用时120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1,设集合A=0,1,23引，B=2<7少，则AnB的元素个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知复数z满足(1+0z=2,则z的虚部为() A.1 B.-1 C.1 D.-1 1菌数闭=皆的图象大致为() 4.若函数fx)=kx-nx在区间(1，+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是 A(-0,-1)B.(-9,-1]C.(1,+m) D.[1,+oo) 5.函数f(x)=sinx+5in2x在区间(0,3m)上的零点个数为(：) A.7 B.6 C.5 D.4 6.对于函数f(),若在定义域内存在实数，满足f(-x)=一f(x),则称f()为“局部奇函数”，已知函数f()=-a 在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为() A B.1 c D.2 7随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的旅游人数大 约每年以11%的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？(） (参考数据：g2≈0.301，g111=2.045) A.6 B.7 C.8 D.9 8,已知1<m<n<2,a=n,b=m,c=logam,则a,bc的大小关系是() A.a>b>c B.b>axc C.c>a>b D.c>b>a 第1页，共4项 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数)=三，则下列说法正确的是() Af)的单调递减区间是1，+四) B,若m<。则方程f()=m有两个不等的实根 C.若点P是曲线y=f()上的动点，则点P到直线y=x+2距离的最小值为√2 D.若过点A0,@)可以作曲线y=f()的三条切线，则0<a<寺 10.已知函数f(x)=Asin(oux+p)(A>0,w>0,0<p<),若f)及其 导函数∫'()的部分图象如图所示，则() A.f(x+)=f(x) B函数冈在（告登）上单调递减 Cf'(国)的图象关于点(-若0)中心对称D.f)+f'()的最大值为 11.己知定义域为R的函数fx)满足f(x-)-f(x+)=fex-1)f0-1),且f(0)=2,9)为f)的 导函数，则() Af()为偶函数 B.g(x)为周期函数 c觉f附=0 D.g(2026)=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12己知向量a=(1,2),万=3，x),与+共线，则a-= 13.若曲线f)=2-ax+nx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 14.已知一圆柱内接于一个半径为V√了的球内，则该圆柱的最大体积为 四、解答题：本题共5小题，共7刀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1五（本小题清分1B分）已知函数因=安-nx (1)求f(x)的单调区间： (②)求函数fF)在，上的最大值和最小值（其中e是自然对数的底数）， 第2页，共4页 16.(本小题满分15分)已知曲线y=)--ar2+x+1在点(0，f(O》处的切线的斜率为3，且当x=3时， 函数f(x)取得极值. (1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)在点(0，∫(0)处的切线方程 (2)若存在x∈[0,3]，使得不等式f(x)-m≤0成立，求m的取值范围. 17.(本小题满分15分)已知函数fx)=lnx+a(1-x). ()讨论f(x)的单调性： (②)当f()有最大值且最大值大于2a-2时，求a的取值范围. 第3页，共4页 18.(本小题满分17分)南宋的数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形 求面积、体积的连续量问愿转化为求离散变量的垛积问题在他的专著《详解 九章算法商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、 方垛、刍莞垛、刍童垛等公式如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层 有3个球，第三层有6个球，，第n+1层球数比第n层球数多n+1,将 第一层至第层的球数依次排成一列，构成数列{a,}: (1)求{a,}的通项公式： a求语数因-h+对产的最小值 2 6若数列么，}满足6n2a-2阳nE,证明：4++女+地<nx2 19.(本小题满分17分)已知f(x)=xe“ (1)当a=0时，证明x∈0，交时，inx<f闭)<anx: ,2 (2)求f（(x)在[0,2]上的最大值： (3)已知∫(x)在x=1处的切线与x轴平行，若存在x,与∈R,x<,使得f(名)=f(),证明：x>e. 第4页.共4面