专题02 全等三角形（期中复习讲义）（知识必备+19大核心题型+分层验收）八年级数学上学期新教材冀教版

专题02 全等三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 定义与命题 掌握定义与命题的概念 一般出现在小题中 全等图形 能够根据全等图形的概念归纳出全等图形的性质 一般出现在小题中 全等三角形 重点掌握全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边、对应角表示 一般出现在简单题中，注意全等三角形的表示和写全等符号时点的对应关系 全等三角形的性质 掌握全等三角形边、角的对应相等关系，同时掌握对应中线、角平分线和高线的关系 一般出现在小题中，在大题考查时常与其他知识点一起 全等三角形的判定 熟练掌握全等三角形的基本判定方法，能灵活选用判定方法证明三角形全等 所有题型均会考查，容易忽略全等的条件 HL证明三角形全等 掌握“直角边、斜边”的判定方法证明直角三角形全等 一般出现在简单题中 尺规作图 掌握尺规作图的基本技巧与方法 一般出现在解答题中 知识点01 定义与命题 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方 程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 注意： 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 注意： (1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 (2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 知识点02 全等图形 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系； 2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形. 3.判断两个物体是否为全等图形的方法： （1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合； （2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同. 几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 1.一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的图形一定与原图形全等. 2.两个全等的图形经过平移、旋转或翻折等变换后一定可以与原图形重合. 知识点03 全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 知识点04 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 知识点05 全等三角形的判定 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 知识点06 尺规作图 1、作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2、作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 3、作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 4、过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 5、作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 题型一 命题 解｜题｜技｜巧 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 1．下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 3．下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 4．有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是 （填序号）． 5．下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． （1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点． （4）同旁内角互补． 题型二 证明 6．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 7．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 8．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 9．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 10．如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 题型三 互逆定理 解｜题｜技｜巧 1、互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 2、逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 11．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 13．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 14．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 15．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 题型四 图形的全等 解｜题｜技｜巧 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 16．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 17．如图所示的是一个网球场地，在A，，，，，六个图形中，其中全等图形有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 18．下列说法错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形叫全等形 B．面积相等的两个图形是全等形 C．全等形是形状、大小相同的图形 D．平移、旋转前后的图形是全等形 19．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有 个． 20．如图1，有公共顶点的长方形与长方形全等，点G，D分别在边上，与交于点H，连接，交于点M． (1)长方形与长方形全等吗？答：______（填“全等”或“不一定全等”）； (2)长方形可以看成是长方形绕点______逆时针旋转______°得到的； (3)如图2，连接，如果．求的面积． 题型五 全等三角形的概念 解｜题｜技｜巧 1、全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； 2、全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； 3、有公共边的，公共边是对应边； 4、有公共角的，公共角是对应角； 5、有对顶角的，对顶角一定是对应角； 6、两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 21．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 22．如图全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 23．如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 24．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画 个． 25．在的正方形网格中（小正方形的边长1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，请画出四种符合条件的三角形． 题型六 全等三角形的性质 解｜题｜技｜巧 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 26．如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 27．如图，，若，，则的度数为 ． 28．如图，，延长交于，交于，，，，则 度． 29．如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，求的周长． 30．如图，，，． (1)分别写出与相等的角，与相等的线段： (2)若，，求的长． 题型七 全等三角形的动点问题 解｜题｜技｜巧 解决全等三角形的动点问题，关键要抓对应点，然后再分情况讨论； 31．如图，在长方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，以三点为顶点构成的三角形与全等时，的值为（   ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 32．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 33．如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为 ． 34．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 35．如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 题型八 SSS证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 三边分别相等的两个三角形全等； 36．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 37．如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 38．三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 39．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 40．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型九 全等的性质与SSS综合 41．如图，在中，点D在上，连接，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．如图，在中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为 ． 44．如图，已知，，，在同一条直线上，，，．与交于点，    (1)求证； (2)若，，求的度数． 45．如图，已知，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 题型十 用SAS证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 46．如图，点A、E、F、C在一直线上，．求证：． 47．如图，A、C、F、D在同一直线上，，求证： (1)； (2)． 48．如图，已知点是线段上一点，，，是上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 49．如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 50．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接，． (1)试说明：； (2)试说明与的关系？并说明理由． 题型十一 全等的性质与SAS综合 51．如图，，求的度数．    52．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)若，，求的度数． 53．已知：如图，，，，．与、分别相交于点、． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 54．如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 55．【问题情境】 （1）如图①，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度，如果，求A、B间的距离； 【探索应用】 （2）如图②，在中，，，求边上的中线的取值范围， 提示：解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接得到，把，集中在中，利用三角形的三边关系即可判断中线的取值范围； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，，的延长线交于点F，且F是的中点，直接写出与的数量关系． 题型十二 用ASA（AAS）证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 56．如图，，，求证：． 57．如图，有两组等长的线段．，，将其拼成如下“蝶形图”，可以得出． (1)连接，能得出．的直接依据是___________；（用字母表示） (2)在（1）的条件下，小华认真观察之后说：“”．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 58．已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 59．如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 60．如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十三 全等的性质与ASA（AAS）综合 61．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． (1)求证：； (2)求的长． 62．如图甲，已知在中，，，直线经过点，且于，于． (1)证明：． (2)已知条件不变，将直线绕点旋转到图乙的位置时，若，，则________ 63．如图，，与的交点为O，． (1)求的度数． (2)若是的中点，，求的长． 64．（1）回顾：如图①，在中，，于点，则______（选填：“”“”或“”）； （2）探究：如图②，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （3）拓展：如图③，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （4）应用：如图④，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，直接写出与的面积之和_______． 65．如图，中，，，是边上的中线，过作，垂足为，过作交的延长线于． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十四 用HL证明三角形全等 66．如图，是的高，，则大小为 ． 67．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    68．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 69．已知点为的外角的平分线上一点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，试比较与的大小关系； (3)如图3，在（1）的条件下，、分别是边、上的点，且，则线段、之间的数量关系为_____． 70．已知≌，． （1）将和按图①方式摆放，使经过点，延长交线段于点．试判断线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； （2）将和按图②方式摆放，延交线段于点．请直接写出、、之间的数量关系______． （3）将和按图③方式摆放，延长交的延长线于点．请直接写出线段、、之间的数量关系：______． 题型十五 灵活选用判定方法证全等 71．根据下列条件，能判定的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 72．如图，已知的三条边和三个角六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和不全等的图形是（   ） A．只有甲 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 73．如图，已知，要证明：． （1）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是 ． （2）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是 ． 74．如图，，有如下条件：①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 75．如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 题型十六 结合尺规作图的全等三角形问题 76．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 77．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 78．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    79．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有 个．    80．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． (1)在图①中，画出中边上的高； (2)在图②中，画一个格点三角形，使之与全等； (3)直接写出的面积是 ． 题型十七 全等三角形的模型问题 81．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 82． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 83．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． 84．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 85．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 题型十八 全等三角形的综合 86．如图1，在中，分别是的平分线，相交于点F． (1)请判断与之间的数量关系，并加以证明． (2)如图2，在中，如果，其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 87．如图，已知，，相交于点，，． (1)求证：． (2)求证：． 88．如图，在长方形中，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1) __________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 89．问题情境 （1）如图，在中，平分交于点D，于点E，延长交于点F，求证：； 实际应用 （2）如图是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，唐叔叔想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①取的平分线；②过点A作于点D，已知，，的面积为90，请求出的面积； 拓展延伸 （3）如图，在中，，，平分交于点D，交延长线于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 题型十九 三角形的尺规作图 解｜题｜技｜巧 1、先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2、读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3、切记作图中一定要保留作图痕迹； 4、无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 90．作图与计算． (1)已知：，（图（1）、图（2））． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在图（2）中过点引射线，且，，求的度数． 91．如图，点，分别是三角形的边，上的点． (1)按要求作图：过点作线段，交于点； (2)在（1）的条件下，给出下列两个论断：①；②．请你以其中一个论断为题设，另一个论断作为结论．构造一个真命题，并给出证明； 题设：_____，结论：_____．（填序号） 证明： (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 92．已知，点是边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程． (1)画出表示点到的距离的线段和表示到的距离的线段． (2)用尺规作图在的右侧以点为顶点作； (3)射线与的位置关系为__________，理由是__________； 93．如图，已知线段a和，求作，使，根据作图痕迹补全作法． （1）作 ； （2）以点 为圆心，以 的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点 为顶点作 ，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 94．如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，点、、、在一条直线上，若，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北承德·期中）对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若，，，，则的周长为 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝ ． 7．（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，，． 8．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 ． 9．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在中，点D在边上，连接，点E在的延长线上，连接，且．求证：． 10．如下图，在中，D是上一点，交于点E，，，，．求的长． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·河北·开学考试）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积，其中正确的结论有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 13．（24-25八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线经过点，且，过点分别作直线的垂线段，垂足为，当与全等时，的值不可能是(　　) A． B． C． D． 15．如图，中，，，分别过点作过点的直线的垂线，垂足分别为，，，则 ． 16．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 17．（24-25七年级下·北京·期末）如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为 时， 与 全等 18．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 19．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，，点在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列条件中，不能判定的条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 22．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 24．如图在中，，分别以为边作与，已知，，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，若，，与交于点C，则的度数是 ． 26．（24-25八年级上·河北承德·期中）如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ． 27．（24-25八年级上·河北衡水·期中）如图，、是的高，与相交于点F，若，且，则的面积为 ． 28．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为5，3，1，则四边形的面积为 ． 29．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图，是的平分线，． 求证：； （2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长． 30．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 定义与命题 掌握定义与命题的概念 一般出现在小题中 全等图形 能够根据全等图形的概念归纳出全等图形的性质 一般出现在小题中 全等三角形 重点掌握全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边、对应角表示 一般出现在简单题中，注意全等三角形的表示和写全等符号时点的对应关系 全等三角形的性质 掌握全等三角形边、角的对应相等关系，同时掌握对应中线、角平分线和高线的关系 一般出现在小题中，在大题考查时常与其他知识点一起 全等三角形的判定 熟练掌握全等三角形的基本判定方法，能灵活选用判定方法证明三角形全等 所有题型均会考查，容易忽略全等的条件 HL证明三角形全等 掌握“直角边、斜边”的判定方法证明直角三角形全等 一般出现在简单题中 尺规作图 掌握尺规作图的基本技巧与方法 一般出现在解答题中 知识点01 定义与命题 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方 程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 注意： 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 注意： (1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 (2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 知识点02 全等图形 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系； 2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形. 3.判断两个物体是否为全等图形的方法： （1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合； （2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同. 几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 1.一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的图形一定与原图形全等. 2.两个全等的图形经过平移、旋转或翻折等变换后一定可以与原图形重合. 知识点03 全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 知识点04 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 知识点05 全等三角形的判定 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 知识点06 尺规作图 1、作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2、作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 3、作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 4、过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 5、作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 题型一 命题 解｜题｜技｜巧 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 1．下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的含义与判断，根据命题的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：①两点之间线段最短是命题； ②不许大声喧哗不是命题； ③连接P，Q两点不是命题； ④花儿在春天开放是命题； ⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题； ⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？不是命题． 故选：B 2．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可． 【详解】A、是命题，故不合题意； B、作直线AB垂直于直线CD是描述了一种作图的过程，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 3．下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 4．有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对某一事件作出判断的语句叫做命题，逐一进行判断即可． 【详解】解：植物生长都需要水，是命题，故①符合题意； 负数大于正数，是命题，故②符合题意； 零既不是正数，也不是负数，是命题，故③符合题意； 画直角三角形，不是命题，故④不符合题意； 因为，所以，是命题，故⑤符合题意； 故答案为：①②③⑤． 5．下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． （1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点． （4）同旁内角互补． 【答案】（1）（2）不是命题，其余2个都是命题；（3）的条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题；（4）的条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题 【分析】此题考查了命题的定义和真假命题，根据命题的定义和真假命题的定义进行判断，并写出命题的题设和结论． 【详解】解：（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？不是命题； （2）垂线段最短，对吗？不是命题； （3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．是命题，条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题 （4）同旁内角互补．是命题，条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题； 题型二 证明 6．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 7．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 8．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 9．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 10．如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可； （2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假． 【详解】解：（1）由，，得到； 由，，得到； 由，，得到； 故能组成3个命题． （2）由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，∴， ，． 由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，， ． 由，，得到，是真命题．理由如下： ∵，，． ，， ． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 题型三 互逆定理 解｜题｜技｜巧 1、互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 2、逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 11．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，逆定理，熟练掌握逆命题与逆定理的区别是解题的关键．分别写出其逆命题，然后判断对错，即可得出答案． 【详解】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题，故①有逆定理，符合题意； ②全等三角形的对应边相等的逆命题是：三边分别相等的两个三角形全等，是真命题，故②有逆定理，符合题意； ③同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故③有逆定理，符合题意； 故选：D． 12．下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理、三角形内角和定理，根据逆命题的定义、三角形内角和定理、真假命题的定义、互为逆命题的两个命题的真假没有关系进行判断即可． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，故不符合题意； B、“三角形的内角和等于”是真命题，故不符合题意； C、命题的逆命题不一定是正确的，故不符合题意； D、定理的逆命题不一定是真命题，因此每个定理不一定都有逆定理，故符合题意； 故选：D． 13．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 14．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补 (2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． 【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 15．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 题型四 图形的全等 解｜题｜技｜巧 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 16．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等图形的定义，掌握全等图形为形状相同、大小相同的图形是解题的关键． 利用全等图形的概念即可解答． 【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意； B．两个图形的形状和大小都不同，不是全等图形，不符合题意； C．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形能完全重合，符合题意． 故选：D． 17．如图所示的是一个网球场地，在A，，，，，六个图形中，其中全等图形有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形的识别．熟练掌握全等图形的特征，是解题的关键． 由全等图形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，分析即得答案． 【详解】观察图形，根据全等的知识可知：图中A与，与，与能够重合，是全等形． 共对．  故选：C． 18．下列说法错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形叫全等形 B．面积相等的两个图形是全等形 C．全等形是形状、大小相同的图形 D．平移、旋转前后的图形是全等形 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形的定义，正确利用全等图形的性质与定义分析是解题关键． 根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形，判断即可． 【详解】解：A、能够完全重合的两个图形是全等形，正确，不合题意； B、面积相等的两个图形不一定是全等形，故此选项错误，符合题意； C、全等形是形状、大小相同的图形，正确，不合题意； D、平移、旋转前后的图形是全等形，正确，不合题意； 故选：B． 19．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了全等形的概念，熟练掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对各项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故答案为：1． 20．如图1，有公共顶点的长方形与长方形全等，点G，D分别在边上，与交于点H，连接，交于点M． (1)长方形与长方形全等吗？答：______（填“全等”或“不一定全等”）； (2)长方形可以看成是长方形绕点______逆时针旋转______°得到的； (3)如图2，连接，如果．求的面积． 【答案】(1)全等 (2)， (3) 【分析】本题考查了全等图形与旋转的性质，熟练掌握全等图形的性质以及旋转的性质是解题的关键； （1）根据全等图形的定义，进行判断，即可求解． （2）根据旋转的性质可得旋转中心为对应点连线的垂直平分线上，根据图形的特点求得旋转中心与旋转角，即可求解； （3）根据的面积，即可求解． 【详解】（1）解：由于对应边相等，对应角相等， ∴长方形与长方形全等 故答案为：全等． （2）长方形可以看成是长方形绕点逆时针旋转得到的； 故答案为：，． （3）解：∵长方形与长方形全等，， ∴, ∴的面积 题型五 全等三角形的概念 解｜题｜技｜巧 1、全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； 2、全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； 3、有公共边的，公共边是对应边； 4、有公共角的，公共角是对应角； 5、有对顶角的，对顶角一定是对应角； 6、两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 21．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只有三边长都相等的两个三角形全等（或满足其他全等条件），据此可判断A、C、D，根据全等三角形对应边相等即可判断B． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为，另一个三角形的三边长为，但是这两个三角形不全等，原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 22．如图全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项中两个三角形的边、角关系，判断是否满足全等三角形的判定定理． 【详解】解：A项：选取①②时，在和中， ， ∴， ∴①②两个三角形全等，故符合题意； B项：选取②③时，三角形③中距离为3的长度与三角形②中距离为3的长度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②③不全等，故不符合题意； C项：选取②④时，三角形④中度数为的角度与三角形②中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②④不全等，故不符合题意； D项：选取①④时，三角形④中度数为的角度与三角形①中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形①④不全等，故不符合题意； 故选：A． 23．如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 24．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 25．在的正方形网格中（小正方形的边长1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，请画出四种符合条件的三角形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了网格作图，根据题干要求，逐个作图，即可作答． 【详解】解：∵要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等， ∴如下图所示： 题型六 全等三角形的性质 解｜题｜技｜巧 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 26．如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据可得，再根据等式的性质并结合图形即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四个点，，，在同一直线上， ∴， 故选：A． 27．如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】105 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直接利用全等三角形的性质得出答案． 【详解】解：， ，， ， 故答案为： 28．如图，，延长交于，交于，，，，则 度． 【答案】80 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 先由，可得，，再根据周角可求解的度数，根据三角形内角和可求解，即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80 ． 29．如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，求的周长． 【答案】的周长为． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：，，，， ，， ， 的周长为． 故的周长为． 30．如图，，，． (1)分别写出与相等的角，与相等的线段： (2)若，，求的长． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等，对应角相等即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 题型七 全等三角形的动点问题 解｜题｜技｜巧 解决全等三角形的动点问题，关键要抓对应点，然后再分情况讨论； 31．如图，在长方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，以三点为顶点构成的三角形与全等时，的值为（   ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据长方形的性质得到，进而分两种情况根据全等的性质列方程计算即可． 【详解】在长方形中，， ， ． ， 分两种情况：①当时，，点在上运动． 由题意，得 ， 解得； ②当时，，点在上运动． 由题意，得 ， 解得． 综上所述，以三点为顶点构成的三角形与全等时，的值为1或7． 故选：C． 32．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或． 33．如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 34．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，    ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 35．如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或6 (3)或或或 【分析】（1）分两种情况：当时，点P在边上，当时，点P在边上，即可求解； （2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解； （3）根据题意可得点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，然后分类讨论： 若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，；若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，，结合全等三角形的性质，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点P到达点C所用的运动时间为，到达点B所用的运动时间为，到达点A所用的运动时间为， 当时，点P在边上，此时； 当时，点P在边上，此时； 综上所述，当时，；当时， ； （2）解：∵，，， ∴， 如图，当点P在边上时，， 此时， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 如图，当点P在边上时，过点C作于点K，， 此时， ∵， ∴，即， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 综上所述，当或6时，的面积等于面积的； （3）解：∵， ∴点A和点D为对应点， 设点Q的运动速度为， 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为或或或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． 题型八 SSS证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 三边分别相等的两个三角形全等； 36．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， 故选：A． 37．如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查利用三角形全等的判定作图，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．以为公共边，结合两个三角形全等的判定定理，使所作的三角形另外两条边分别与的边相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有3个， 故选：B． 38．三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 【答案】3 【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 【详解】解：如图，    图中与全等的格点三角形是，共3个， 故答案为：3． 39．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， 故答案为：． 40．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． 【详解】（1） 在与中 （2） 题型九 全等的性质与SSS综合 41．如图，在中，点D在上，连接，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定是解题的关键． 先证明，再根据全等三角形的性质以及邻补角互补求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选B． 42．如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的判定及性质，关键利用全等三角形的判定定理证明，然后利用全等三角形的性质求解的度数． 【详解】在和中， ， ∴， ∴， 故选： D． 43．如图，在中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 先由外角性质求得，再根据“”证明，得，再对运用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 44．如图，已知，，，在同一条直线上，，，．与交于点，    (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）利用线段的和差求得出，再利用证明三角全等即可； （2）利用三角形内角和定理求出的度数，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴． 45．如图，已知，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用． （1）先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，． 题型十 用SAS证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 46．如图，点A、E、F、C在一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据平行线的性质，可得，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵，， ， ∴． 47．如图，A、C、F、D在同一直线上，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合平角的定义推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．如图，已知点是线段上一点，，，是上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ． 49．如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． 【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 50．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接，． (1)试说明：； (2)试说明与的关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)且，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据得出，根据得出，即可推出，最后即可根据得出； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据垂直的定义得出，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：且，理由如下： 由（1）知， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴． 题型十一 全等的性质与SAS综合 51．如图，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是灵活运用全等三角形的性质及三角形外角的性质进行计算．先证，利用全等三角形对应角相等的性质及三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：在 和 中， ， ， ， ， ， ． 52．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件． （1）由，，，即可利用证得； （2）由已知得，进而得，再由求解即可； （3）先，得，再求出，再根据全等三角形的性质得，再由求解可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 53．已知：如图，，，，．与、分别相交于点、． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）先由条件可以得出，再证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得到，再证明，即可求出； 本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，三角形内角和定理． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：与的位置关系为， 证明∶∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 54．如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 55．【问题情境】 （1）如图①，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度，如果，求A、B间的距离； 【探索应用】 （2）如图②，在中，，，求边上的中线的取值范围， 提示：解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接得到，把，集中在中，利用三角形的三边关系即可判断中线的取值范围； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，，的延长线交于点F，且F是的中点，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）A、B间的距离为；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，由全等的性质得出； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，再由三角形三边关系即可求解； （3）在上截取，易证，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接， 在和中， ∵， ∴ ∴； ∴A、B间的距离为； （2）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）， 理由：在上截取， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十二 用ASA（AAS）证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； 56．如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 直接根据证明即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴()． 57．如图，有两组等长的线段．，，将其拼成如下“蝶形图”，可以得出． (1)连接，能得出．的直接依据是___________；（用字母表示） (2)在（1）的条件下，小华认真观察之后说：“”．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)SSS (2)正确，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等，再利用全等三角形的性质得出线段相等． （1）已知，，且为公共边，根据全等三角形“边边边（）”的判定定理，可直接得出． （2）先由得到，再结合对顶角相等以及，根据“角角边（）”判定，进而得出． 【详解】（1）SSS （2）正确 理由：由题可知； ， 在和中，， （AAS）， ． 58．已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用判定三角形全等是解题的关键． （1）由得出，再根据可知，即，再运用定理可得出，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据（1）中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 59．如图，交于点，，点在线段上，，． (1)求证∶； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，可得，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，可得，根据三角形外角的性质，可得，再由求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 60．如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 题型十三 全等的性质与ASA（AAS）综合 61．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 62．如图甲，已知在中，，，直线经过点，且于，于． (1)证明：． (2)已知条件不变，将直线绕点旋转到图乙的位置时，若，，则________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由已知推出，因为，推出，根据可证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论； （2）与（1）证法类似可证出，能推出得到，再结合已知条件以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵于，于． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 63．如图，，与的交点为O，． (1)求的度数． (2)若是的中点，，求的长． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质求解即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 64．（1）回顾：如图①，在中，，于点，则______（选填：“”“”或“”）； （2）探究：如图②，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （3）拓展：如图③，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （4）应用：如图④，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，直接写出与的面积之和_______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）成立，证明见解析；（4） 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，题目主线是； （1）在直角三角形中，利用直角构建等角的余角相等，即可得出； （2）利用（1）的思路可得，加上已知条件可得，就有和，即可证明结论； （3）根据，，得，其他条件没变，还是可以得，所以（2）的结论依然成立； （4）利用将的面积转化为的面积，从而即与的面积之和等于的面积，与的高相等，即可得出结果. 【详解】解：（1），理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）证明：∵，D、A、E三点都在直线m上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴. （3）结论成立， 证明：∵， ∴， ， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴. （4）由（3）的结论得， ∴， ∴， 即与的面积之和等于的面积， 如图所示，过A作，既是的高也是的高， ∴， ∵， 又∵， 即， ∴. 故与的面积之和为6. 65．如图，中，，，是边上的中线，过作，垂足为，过作交的延长线于． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由题意可得，则，根据可证，即可得出结论； （2）先根据，再根据中线的定义得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，且， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又， ∴． 题型十四 用HL证明三角形全等 66．如图，是的高，，则大小为 ． 【答案】 【分析】根据是的高，，可知是等腰直角三角形，，，所以得到，根据题意可得，由此即可求出答案． 【详解】解：∵是的高，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的全等的判定和性质，掌握直角三角形判定全等的条件是解题的关键． 67．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 68．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，等量代换得，根据，，则，根据，则，即可； （2）由（1）可得，，则，根据，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 69．已知点为的外角的平分线上一点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，试比较与的大小关系； (3)如图3，在（1）的条件下，、分别是边、上的点，且，则线段、之间的数量关系为_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点P作,则,再证可得，然后根据三角形内角和定理即可证明结论； （2）如图：延长至M，使得,连接，先证可得，再根据三角形的三边关系可得，即，最后根据即可解答； （3）如图：在上截取，连接，先证可得，,即，进而说明；再证可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点P作,则,    ∵， ∴, ∴， ∵,, ∴． （2）解：如图：延长至M，使得,连接，    ∵为的角平分线， ∴, ∵, ∴， ∴ 在中，，即， ∵, ∴． （3）解：如图：在上截取，连接，    由（1）可得： ∵, ∴， ∴，, ∴，即 ∵ ∴， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 70．已知≌，． （1）将和按图①方式摆放，使经过点，延长交线段于点．试判断线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； （2）将和按图②方式摆放，延交线段于点．请直接写出、、之间的数量关系______． （3）将和按图③方式摆放，延长交的延长线于点．请直接写出线段、、之间的数量关系：______． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由全等三角形的判定和性质，得到，，再证明≌，即可得到结论成立； （2）连接BF，与（1）的证明过程一样，即可得到答案； （3）连接BF，与（1）的证明过程一样，得到CF=EF，AC=DE，即可得到结论成立． 【详解】（1）． 证明：如图，连接． ∵≌， ∴，． ∵在和中， ， ∴≌（HL） ∴． ∵，， ∴． （2）； 证明：如图②，连接BF， 与（1）同理，可得，， ∵，，， ∴≌（HL）， ∴， ∵，， ∴； （3）； 证明：如图③，连接BF， 与（1）同理，则有 CF=EF，AC=DE， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的数量关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题，注意运用数形结合的思想进行解题． 题型十五 灵活选用判定方法证全等 71．根据下列条件，能判定的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法逐个选项分析即可． 【详解】根据全等三角形的判定定理，对选项逐个验证即可． A．，，，没有边边角，故该选项不正确，不符合题意； B．，，，不是对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； C．，，，没有对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； D．，，由与的周长，可得，根据边边边，能判定，故该选项正确，符合题意． 故选D． 72．如图，已知的三条边和三个角六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和不全等的图形是（   ） A．只有甲 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故不符合题意； 丙：由能判断两个三角形全等，故不符合题意； 故选：A． 73．如图，已知，要证明：． （1）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是 ． （2）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法需要用到的条件是解题的关键． （1）若以“”为依据，那么需要两组对应边相等以及这两边的夹角相等，根据题意，可知，，那么添加的另一条边相等即可； （2）若以“”为依据，那么需要两个角以及一组邻边相等，根据题意，可知，，那么添加和的对角即可． 【详解】解：（1）根据题意，可知，，若以“”为依据，那么添加的条件为：； 故答案为：； （2）根据题意，可知，，若以“”为依据，那么需要添加的条件为：， 故答案为：． 74．如图，，有如下条件：①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)②或③或④，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：选择②或③或④ ∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：②或③或④； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 75．如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选①，理由见解析 【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等；分别添加三个条件中的1个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：选①，理由如下： ， ， 即． 在和中， ， ； 选②不能得到结论， 选③：理由如下： 在和中， ， . 题型十六 结合尺规作图的全等三角形问题 76．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项B、D，结合全等三角形的判定方法可判定选项A、D． 【详解】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：A． 77．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 78．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 79．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有 个．    【答案】6/六 【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：如图所示， 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等； 所以共有6个三角形和原三角形全等， 故答案为：6．    【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 80．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． (1)在图①中，画出中边上的高； (2)在图②中，画一个格点三角形，使之与全等； (3)直接写出的面积是 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)6 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确借助网格得出互相垂直的线段是解题关键． （1）在延长线上取格点E，连接，借助网格得出，则，即； （2）直接利用网格以为公共边，作，则，即为所求作； （3）直接利用三角形的面积公式计算可得 ． 【详解】（1）解：中边上的高即为所求作； （2）解：即为所求作； （3）解：的面积． 题型十七 全等三角形的模型问题 81．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】举例:见解析；应用：见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键． 举例：要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． 应用：通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】解：举例：是中线， ． 在和中， ， ． 应用：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 82． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 83．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长至G，使得，连接，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ， ∴判定两个三角形全等的依据为， 故答案为：． （2）解：如图，延长至点，使，连接， 在与中，， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； （3）证明：延长至G，使得，连接， 在和中，，，， ， ， 在和中， ，，， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ． 84．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 85．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 题型十八 全等三角形的综合 86．如图1，在中，分别是的平分线，相交于点F． (1)请判断与之间的数量关系，并加以证明． (2)如图2，在中，如果，其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． （1）在上截取，连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）在上截取，连接，先证，得，，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）（1）中结论仍然成立， 如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 87．如图，已知，，相交于点，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）如图，令交于点O， ， ， ， ， ． 88．如图，在长方形中，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1) __________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的性质可得，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； 综上所述：当或2时与全等． 89．问题情境 （1）如图，在中，平分交于点D，于点E，延长交于点F，求证：； 实际应用 （2）如图是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，唐叔叔想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①取的平分线；②过点A作于点D，已知，，的面积为90，请求出的面积； 拓展延伸 （3）如图，在中，，，平分交于点D，交延长线于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）30；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）由平分得到，由得到，从而通过“”即可证明； （2）延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为90得到，进而求解即可； （3）延长与，它们的延长线相交于点F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴． （2）延长交于点E， 同（1）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3），证明如下： 延长与，它们的延长线相交于点F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型十九 三角形的尺规作图 解｜题｜技｜巧 1、先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2、读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3、切记作图中一定要保留作图痕迹； 4、无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 90．作图与计算． (1)已知：，（图（1）、图（2））． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在图（2）中过点引射线，且，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，角的计算，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，与角的两边相交于、．以为圆心，以为半径画弧，与角的两边相交于、，然后以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，过、作射线即可得到； （2）分两种情况讨论：①当在内部时，②当在外部时；画出图形，根据角的和差代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： 就是所求的角． （2）解：分两种情况讨论： 当在内部时，如图， ，， ； 当在外部时，如图， ，， ． 91．如图，点，分别是三角形的边，上的点． (1)按要求作图：过点作线段，交于点； (2)在（1）的条件下，给出下列两个论断：①；②．请你以其中一个论断为题设，另一个论断作为结论．构造一个真命题，并给出证明； 题设：_____，结论：_____．（填序号） 证明： (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作平行线，平行线的性质与判定； （1）作，交于点； （2）任选一个作为题设，另一个作为结论，根据平行线的性质与判定证明即可； （3）根据题意设，则，进而根据平角的定义求得，得出，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）题设：①，结论：②． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题设：②，结论：①． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 92．已知，点是边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程． (1)画出表示点到的距离的线段和表示到的距离的线段． (2)用尺规作图在的右侧以点为顶点作； (3)射线与的位置关系为__________，理由是__________； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、平行线的判定，点到直线的距离，熟练掌握尺规作图和平行线的判定是解题关键． （1）分别过点作的垂线和过点作的垂线，垂线段即为所求； （2）根据作一个角等于已知角的尺规作图即可得； （3）根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： （2）解：如图，即为所作． （3）解：射线与的位置关系为平行，理由是同位角相等，两直线平行， 故答案为：平行；同位角相等，两直线平行． 93．如图，已知线段a和，求作，使，根据作图痕迹补全作法． （1）作 ； （2）以点 为圆心，以 的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点 为顶点作 ，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 【答案】 A a B 【分析】本题主要考查了尺规作三角形， 先作，在射线上截取，然后作，可得即为所求作. 【详解】解：（1）作； （2）以点A为圆心，以a的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点B为顶点作，交射线于点C，则即为所求作的三角形. 故答案为：. 94．如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查了基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【详解】（1）解：如图所示即为所求． ； （2）证明：根据作图得：，，， ∴． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质定理的应用，由全等三角形的性质可得第二个图中的对边为，再由第一个图中边的对角为，即可得出． 【详解】解：图中的两个三角形全等， 由全等三角形的性质得，第二个图中的对边为， 第一个图中边的对角为， ， 选项符合题意， 故选：． 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，点、、、在一条直线上，若，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，得到，根据题意求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等． 【详解】解：由作图可知，，，， 故． 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北承德·期中）对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出原命题的逆命题，再根据a、b的值逐项判断即得答案． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”； A、a、b的值满足，且，，即，此时原命题的逆命题是真命题，故本选项不符合题意； B、a、b的值满足，且，，即，此时原命题的逆命题是假命题，故本选项符合题意； C、a、b的值满足，不符合条件，故本选项不符合题意； D、a、b的值满足，且，，即，此时原命题的逆命题是真命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了真假命题和逆命题，正确理解题意、写出原命题的逆命题是解题的关键． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若，，，，则的周长为 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求出、，根据三角形的周长公式计算．解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝ ． 【答案】13 【分析】本题考查全等三角形的性质、代数式求值，根据全等三角形的对应边相等求得x、y值，进而相加即可求解． 【详解】解：∵三条边长分别为4、7、x的三角形与三条边分别为y、4、6的三角形全等， 当，， ∴． 当，时两个三角形不全等，舍去． 故答案为：13． 7．（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，，． 【答案】②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【详解】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，满足“”且已知角的对边大于另一边的情况，即，可以确定唯一的； ④，，，满足“”，但不满足已知角的对边大于另一边的情况，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②③， 故答案为：②③． 8．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线定义，证明是解题的关键．证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 9．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在中，点D在边上，连接，点E在的延长线上，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合题意证明，进而即可得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在与中， ， ， ． 10．如下图，在中，D是上一点，交于点E，，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质定理，三角形全等的判定和性质；结合平行线的性质证出，得到，再根据计算即可． 【详解】解：，，． 在和中，， ， ． ， ． 一题多解法： ， ． 在和中，， ， ． ， ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 根据旋转的性质和全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵将绕点A旋转后得， ∴， ∴，， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件无法证明出， 故B选项错误，符合题意． 故选：B． 12．（25-26八年级上·河北·开学考试）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积，其中正确的结论有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据已知条件，结合图形依据可判定，据此可对结论①进行判断；由①的结论可得出，进而可依据判定，由此得，然后根据平角的定义可得出，据此可对结论②进行判断；由②可知，再根据三角形的面积公式，，然后由，可对结论③进行判断，综上所述即可得到答案． 【详解】解：在和中， ∴， ∴结论①正确； 由①可知：， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴结论②正确； 由②可知， ∴，， ∵， ∴， ∴结论③错误． 故选：A． 13．（24-25八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵和是对应角． ∴， 故选：C． 14．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线经过点，且，过点分别作直线的垂线段，垂足为，当与全等时，的值不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的性质，勾股定理；分三种情况讨论得出关于的方程，解方程求得的值． 【详解】解：当在上，在上时，如图； 由勾股定理得：； ， ， 于，于． ，， ， ， ， ，解得； 当在上，在上，即P、重合时， 由题意得，， 解得； 当在上，在上，重合时， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时． 的值不可能是． 故选：C． 15．如图，中，，，分别过点作过点的直线的垂线，垂足分别为，，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案，掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性质．如图，根据题意得，，，，先判断为等腰直角三角形得到，再证明，得到，则，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 根据题意得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·北京·期末）如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为 时， 与 全等 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 当，时，， 即， 解得，， 即此时点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 18．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先证，进而证明，可得； （2）由，得．再结合E是的中点，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ， ． （2）解：由，得． E为的中点， ∴． ， ， ． 20．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，，点在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据即可证明两三角形全等； （2）由（1）可知，根据平角的定义求出的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ． 在和中， ， ． 又， ， ∴，即． 在和中， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列条件中，不能判定的条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定，进行判断即可求解，解题的关键是掌握全等三角形的判定． 【详解】解：、∵，，， ∴，不符合题意； 、∵，，， ∴，不符合题意； 、∵，，， ∴，不符合题意； 、由，，，不能证明，符合题意； 故选：． 22．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，，故①、③符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 不一定成立，故②不符合题意． 综上可知，正确的有3个， 故选C． 23．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 24．如图在中，，分别以为边作与，已知，，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形内角和，熟悉全等三角形的判定与性质以及三角形内角和为是解题的关键． 先根据全等判定定理证明，可得，结合三角形内角和为即可求解． 【详解】， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 25．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，若，，与交于点C，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的定义与性质等知识，证得是解题的关键． 根据全等三角形的性质先证明、，进而得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（24-25八年级上·河北承德·期中）如图，且均为钝角．点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，存在与全等，则t的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或， 故答案为：1或． 27．（24-25八年级上·河北衡水·期中）如图，、是的高，与相交于点F，若，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形面积公式，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 先证明，得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵、是的高， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为5，3，1，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 分别过点作的垂线，分别交直线于点，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：分别过点作的垂线，分别交直线于点， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 同理可得， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 29．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图，是的平分线，． 求证：； （2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（）． 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定，三角形的高、中线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是的平分线，则，然后通过“”即可求证； （）由是边上的高，，，可得，由是边上的中线，从而求解． 【详解】（）证明：∵是的平分线， ∴， 在和中， ∴； （）解：∵是边上的高，，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 30．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵在中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $