精品解析：安徽省宿州市萧县2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级数学第一次纠错练习 一、选择题（共10小题每题4分） 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，熟记矩形与菱形的对角线的性质是解本题的关键．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角， ∴对角线互相垂直菱形具备，矩形不一定具有；故A不符合题意； 对角线互相平分矩形与菱形都有，故B不符合题意； 对角线相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合题意； 对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合题意； 故选：C． 3. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 4. 如图，在矩形中，，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质得到，，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 故选：D． 5. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，是正方形的对角线，已知点O，E，F，G分别是，，，的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握直角三角形的性质、三角形中位线定理是关键．连接，勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据三角形中位线定理即可得到的长． 【详解】解：连接， ∴是正方形的对角线，， ∴， ∵E分别是的中点， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵O，G分别是，的中点， ∴， 故选；A 9. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 10. 如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由线段的数量关系可求，故①正确；由直角三角形的可求，可证是等边三角形，可得，由等腰三角形的性质可求，故②正确；由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，可得；故③错误；由“”可证，可得，由三角形的三边关系和勾股定理可求的最小值为10，故④正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 如图1，当点在上时，取的中点，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图2，当时，设与交于，与交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴；故③错误； 如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为10，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（共4小题每题5分） 11. 已知 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，设该方程的另一个根为，结合一元二次方程根与系数的关系可得：，再解一次方程即可得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根，设该方程的另一个根为， 则， ， 所以该方程的另一个根是． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 13. 如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明为等边三角形，进而得到，三线合一求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当平分时，若，则_____． （2）当点G恰为中点时，则_____． 【答案】 ①. 4 ②. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长． （2）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答； 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：4； （2）如图：延长与交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 三、解答题（共9小题） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先移项，再由因式分解法求解． 【详解】解：， 或 解得或 ∴原方程的根为，． 16. 如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得，证明，可得，利用菱形的判定即可证明． 【详解】略 17. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （2） 证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 18. 如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F是的延长线上一点，且．试判断与的关系，并说明理由． 【答案】 数量关系：，位置关系：，理由如下： 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴, ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟悉掌握各性质是解题的关键． 利用正方形的性质证出，即可解答． 【详解】略 19. 由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：． （1）分解因式： （2）请用上述方法解方程： 【答案】（1）2，4（或4，2）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解． 【详解】（1） 故答案为：2，4（或4，2）； （2）∵， 或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键． 20. 已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； （2）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是中线， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积=． 21. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 22. 在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． （1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； （2）同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【答案】（1）这两条路与等长，且它们相互垂直； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴这两条路与等长，且它们相互垂直； （2） 如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由如下： 由（）得，， ∵米，米， ∴米，米，米， ∴， ∴， ∴， 又∵在中有， ∴， ∴， ∴， 如果另一端点在路段上， 则在中，， ∴此种情况不成立； 如果另一端点在花园边界上时， 设，则在中，有， ∴， ∴， ∵， ∴能修建成这样的一条直路． 【解析】 【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，则，，证明，故有，，又，则，从而求解； （）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，则有，然后分另一端点在路段上和另一端点在花园边界上时两种情况分析即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，点E为正方形边上一动点（不与A、D重合）．连接交于点F，经过点F，分别与、交于点P、Q，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1） 证明：过Q点作于点M，如图， 在正方形中，有，，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ， ∵在中，， ， ， ； （2） 证明：如图，过F点作于G，于H， 则， ∵正方形中，平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． （3） 证明：设交于N点，交于T点，如图， 在（1）中已证得，， 在（2）中已证得， ∵， ∴， 即， ， ∴， ， ∵四边形是矩形，，， ，即， ， ， ， ， ， ∵正方形中对角线平分，， ， ， ， ， 中，， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）过Q点作于点M，先证，得到，即可证明； （2）过F点作于G，于H，根据证明即可得证； （3）设交于N点，交于T点，先证，得到，再证，得到，即有，在中，，则问题得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识．构造全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次纠错练习 一、选择题（共10小题每题4分） 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 3. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 5. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 6. 已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是正方形的对角线，已知点O，E，F，G分别是，，，的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共4小题每题5分） 11. 已知 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根是__________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 13. 如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为___________． 14. 如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当平分时，若，则_____． （2）当点G恰为中点时，则_____． 三、解答题（共9小题） 15. 解方程：． 16. 如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 17. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 18. 如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F是的延长线上一点，且．试判断与的关系，并说明理由． 19. 由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：． （1）分解因式： （2）请用上述方法解方程： 20. 已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若求菱形的面积． 21. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 22. 在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． （1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； （2）同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 23. 如图，点E为正方形边上一动点（不与A、D重合）．连接交于点F，经过点F，分别与、交于点P、Q，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $