第18讲 相似三角形(含位似)&微专题6 相似三角形的常考模型(课本梳理精讲)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（大庆市专版）

第四章三角形 第18讲相似三角形（含位似） 答案76 《考点梳理·夯基础》 贵点①平行线分线段成比例 (3)相似三角形的周长比等于4 ,面积 1.比例的性质 比等于⑤ (1)基本性质：分=台台d=bc(abcd≠0) 2.判定 文字语言 图形 几何语言 2)合比性质后=音去 d(bd≠0) 平行于三角形 (3)等比性质：如果公=片=…=叠(6+d+ 一边的直线和 其他两边相 .DE∥BC, +n0),那么%+c+…+m-a 交，所构成的 ∴.△ADE△ABC 6+d+…+n=6 三角形与原三 角形相似 2.黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和 BC,如果%-怨那么就说线段AB技点C黄金 三边对应成比 ·AB=BC-C4 例的两个三角 ABB'CCA 分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB 形相似 .△ABC∽△A'B'C 的比叫黄金比，且AS=5,1=0.618.一条线段 两边对应成比 AB BC 有两个黄金分别点，简记为餐=鉴-5 A'B=B'CT 2 例且夹角相等 的两个三角形 LB=∠B, A CB 相似 .△ABC△A'B'C 3.平行线分线段成比例 A/ 两角分别相等 ∠A=∠A',∠B 图示 的两个三角形 =∠B',∴△ABC 相似 △A'B'C 图① 图② 图③ 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成 3.证明三角形相似的思路 定理 比例 已知一 已知两边对 已知是直 如图①a6e,则提-器是-等 对等角 应成比例 角三角形 1.找夹角相等； 1.找另一对 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 2.找第三边也 1.找一对锐角相等； 等角； 对应成比例； 2.找斜边和一对直 推论 延长线)，所得的对应线段成比例.如图②、图③， 2.找该角的 3.证这两个三 角边对应成比例； DE∥Bc,则2品-瓷支品-等 两边对应 角形是直角 3.找两直角边对应 成比例 成比例 三角形 考点②相似三角形的性质与判定 4. 相似多边形（知识拓展） 1.性质 (1)定义：两个边数相同的多边形，如果它们的 (1)相似三角形的工 相等，对应边② 对应角相等，对应边成比例，那么这两个多 边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的 (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对 比叫做相似比 应角平分线的比都等于3 见此图师号抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 o39 忽R 数学·精讲本 (2)性质 2.性质 ①相似多边形的对应角⑥ (1)任意一组对应点到位似中心的距离之比等 成比例； 于相似比 ②相似多边形的周长比等于⑧ 面 (2)任意一组对应点所在直线都相交于一点. 积比等于相似比的平方， (3)对应边互相平行或在同一直线上. 考点③位似 (4)位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形 1.定义：一般地，如果两个相似图形任意一组对应 的所有性质， 顶点P,P'所在的直线都经过同一点O,且有OP 3.利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小，其 =k·OP'(k≠0)，那么这样的两个图形叫做位 步骤为： 似图形，点O叫做位似中心，k就是这两个相似 (1)确定位似中心； 图形的相似比. (2)确定原图形中的各顶点关于位似中心的对 应点； (3)描出新的图形 答案P76 《实战演练·品方法》摆 例（牡丹江）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点 例2（营口）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= D在AB的延长线上，连接CD,若AB=2BD AC,将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD, tan∠BCD= ，则能的值为 连接BD交AC于点E,则 D A.1 B.2 c D D.3 例1题图 例2题图 温馨提示。 请完成《精练本1》P85-90 微专题6 相似三角形的常考模型 [答案P76] 模型（一）平行线模型 对应训练 模型展示 1.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接 如图，两个三角形有一个公共角（或对顶角）， DE交对角线AC于点F,若AB=8,AD=6,则AF ~组对应边平行，根据同位角相等（或内错角相 的长为 等)可得到另外一组对应角相等，则这两个三角 形相似（若DE∥BC,则△ADE~△ABC) E B F U 1题图 2题图 2.如图，在△ABC中，∠B=30°，点D是AC上一 型 X型 点，过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交 BC于点F.若AE=5,CF=4,则四边形BFDE的 面积为 40 见业图标合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第四章三角形 模型（日斜交模型 1.同侧模型. 模型展示 (若∠CAP=∠CPD=∠DBP,则△APC △BDP) 如图，两个三角形有一组隐含的等角（公共角或 对顶角)，此时需要从已知条件、图中隐含条件 D 中或通过证明得到另一对角相等，从而证得两 个三角形相似（若∠1=∠2，则△ADE∽ △ABC) 锐角 角 钝角 2.异侧模型， (若∠CAM=∠ABD=∠CPD,则△CAP∽ △PBD) BAI B C(D) 反A共角型 反A共角共边型 蝶型 B 双垂直共角型双垂直共角共边型 锐角 直角 钝角 对应训练 对应训练> 3.如图，已知∠A=70°，∠APC=65°，AC2=AP· 6.如图，将含30°角的直角三角尺放在矩形ABCD AB,则∠B的度数为 ( 中，三角尺的30°角的顶点与点B重合，其余角 A.45° B.50° C.55 D.60 的顶点分别在AD和CD边的点E,F处，若点E 恰好为AD的中点，则咒的值是 () B号 C.3 D. 5 3题图 4题图 4.如图，在△ABC中，AC=2,AB=AD=CD,∠BAD =36°，则AD= 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E为AC的中 点，DE⊥AB,已知AC=2,BC=1,则DE= 6题图 7题图 7.如图，在等边三角形ABC中，AB=8,点D,E分 B 别为边BC,AC上一点，连接AD,DE,若∠ADE= D 60°，则AE的最小值为 8.如图，在△ABC中，已知AB=AC=6,BC=8,D,E分 E 5题图 别是边BC,AC上的点，∠B=∠ADE.若BD=3, 模型目一线三等角模型 则AE= 模型展示 如图，三个相等的角的顶点在同一条直线上，要 证明三角形相似，可根据三角形的内角和以及 补角的性质得到另一组等角.具体模型如下： 8题图 见此业图标合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。4幻 数学·精讲本 模型回手拉手模型 模型伍对角互补模型 模型展示 模型展示 如图，把A字型相似的两个三角形中的一个固 条件 如图，∠A0B+∠DCE=180°，OC平分∠AOB 定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的 过程中生成一对新的全等或相似的三角形 旋转前 旋转后 图示 旋转中心 旋转中心 作法1：过点C分别 作法2：在OB上截 以 作OA,OB的垂线 取EF=OD,连接 全等模型 左手D E右手 右手 CG,CH,则△CGD≌ CF,则△COD≌ (特殊情况， △CHE △CFE 此时AB= B C 左手 右手 左手 右手 ①CD=CE;②当∠A0B=90°时，OD+OE= AC) DE∥BC, 结论 △ABD≌△ACE √20C;③当∠A0B=120时，0D+0E=0C △ADE∽△ABC 若将条件“OC平分∠AOB”与结论“CD= 拓展 旋转中心 CE”互换，则仍成立 A 旋转中心 左手D E右手 A 对应训练 相似模型 B C 10.(江西节选)综合与实践 (AB≠AC) 左手 右手 B 左手 右手 问题提出 DE∥BC, △ABD∽△ACE 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样 △ADE∽△ABC 一个问题：将足够大的直角三角板PEF(∠P= 90°，∠F=60)的一个顶点放在正方形中心0 对应训练> 处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF 9.在等腰三角形ABC中，顶角∠BAC=a,D是CA 与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知 延长线上一点，连接DB,将线段DB绕点D逆时 正方形边长为2) 针旋转，旋转角为a,得到线段DE,连接CE,BE. 操作发现 如图，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转 (1)如图①，当α=60°时，线段AD与CE的数量 过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 关系是 ;当OF与BC垂直时，重叠部分的面积 (2)如图②，当a=90°时，线段AD与CE的数量 为 ;一般地，若正方形面积为S,在旋转 关系是 过程中，重叠部分的面积S,与S的关系为 D 9题图① 9题图② 10题图 温馨提示 请完成《精练本1》P86-87 见此图顺合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧数学·精讲本 5.证明：.AE⊥AD,.∴.∠DAE=∠DAC+∠CAE=90° 又：∠BAC=∠DAC+∠BAD=90°，.∠BAD=∠CAE, (32-6)2 4 rAB=AC. 3 32-6,故答案为35-6 在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAE, 6 LAD =AE 微专题6相似三角形的常考模型 .·.△ABD△ACE(SAS). 10 6.证明：.·四边形ABCD是正方形， 2103A45-156A7.68☑ .∴.AB=AD,∠BAF+∠DAE=90° ·.·DE⊥AG,.∠DAE+∠ADE=90°，∴.∠ADE=∠BAF. 9(1)aD=CE(2)CE=万AD1011=4S BF∥DE,∴.∠BFA=∠AED=90°，.△ABF≌△DAE, .'BF=AE,..AF-BF =AF -AE EF. 第19讲锐角三角函数及其应用 7.(1)证明：：∠B+∠BDE+∠BED=180° 【考点梳理·夯基础】 ∠DEF+∠FEC+∠BED=180°，∠B=LDEF=60°， 四：回：图÷ ④a2+b=c2⑤∠A+∠B=90° .∠BDE=∠CEF c r∠B=∠C, ⑥仰角⑦俯角⑧陡 (2)解：在△BDE和△CEF中， BD=CE, 【实战演练·品方法】 L∠BDE=∠CEF. 例1C .∴.△BDE≌△CEF(ASA),∴.DE=EF 4 DE=3,EF=3. 例25 [解析]如答图，过点C作CE1 8.89.2 AB于点E,则CE=4,AE=3,∴.AC= 10.证明：如答图，把△ACF绕点A顺 A E:B 时针旋转90°得到△ABG,连接 √AE+CE=5,∴sinLCAB=9g=4. AC=5· 例2题答图 EG.由旋转的性质可得△ACF≌G: △ABG, 微专题7解直角三角形的实际应用的常考模型 .∴.AF=AG,CF=BG 1.解：选取CD=1.6m,BD=4m,∠ACE=67°..·CD⊥BD ∠ACF=∠ABG=45 B 10题答图 AB⊥BD,CE⊥AB,.∠ABD=∠D=∠BEC=90°，.四边 ∴LBAC=90°，∠GAF=90°，.LGAE=∠EAF=45 形BDCE为矩形，∴.CE=BD=4,BE=CD=1.6,在 rAG=AF 在△AEG和△AEF中，{∠GAE=∠FAE, R△ACE中，tan LACE=C,AE=CE·tan∠AcE=4× AE=AE tan67°≈4×2.36=9.44，AB=AE+BE=9.44+1.6= '.△AEG≌△AEF(SAS),.EG=EF 11.04≈11.0(m). :∠GBE=90°，∴.BE2+BG2=EG2,即BE2+CF2=EF2 答：建筑物AB的高度约为11.0m 第18讲相似三角形（含位似） 2.解：过D作DH⊥BC于点H,过E作EG⊥BC于点G.由 【考点梳理·夯基础】 题意得，∠BDH=45°，∠CEG=60°，AE=21米，DE= 卫对应角②成比例③相似比④相似比 固相似比的平方⑥相等⑦对应边⑧相似比 9米.在Rt△CEG中，CG=AE=21米，tanLCEG-C EG 实战演练·品方法】 例1B ..EG= CG。=21=75(米)，DH=EG=73(米). an60=3 例2 3V2-6 6 [解析]连接AD,如 在Rt△BDH中，∠BDH=45°，∴.BH=DH=73(米)， 答图..·将AC绕着点C按顺时针 .BC=CG+HG+BH=CG+DE +BH=21+9+73= 旋转60°得到CD,.AC=CD, (30+73)米. ∴△ACD是等边三角形，∴.AC=AD =CD,∠ADC=∠CAD=60°，设AC 答：大楼BC的高度是(30+7√3)米 =AD=CD=a,则AB=AC=a,取 例2题答图 3.解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意 AC的中点H,连接DH,.∴.AH=CH= 2AC=1 a,∠AHD 可知，AB=3x,在Rt△AD0中，∠AD0=30°，AD=4000, ∴.A0=2000,.D0=2000W5.CD=460,∴.0C=0D- =90,DH=52 1 )a.设AE=x,则EH=AH-AE= 2a-x. CD=2000W3-460,在Rt△B0C中，∠BC0=45°，.∴.B0= ∠BAC=90°，∠BAE=∠DHE.∠AEB=∠HED, 0C..0B=0A+AB=2000+3x,∴，2000+3x=2000,3 -460,解得x≈335. ∴△MBB△ED,能-品 2a-x ,解得x 答：火箭从A到B处的平均速度约为335米/秒 22 4.解：过点B作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F..:CD⊥ AD,.四边形BEDF是矩形，∴.FD=BE,FB=DE,在 =(2-√3)a,即AE=(2-√3)a,.EH=AH-AE= Rt△ABE中，BE:AE=1:2.4=5:12,设BE=5x,AE=12x, 29 根据勾股定理，得AB=13x,∴.13x=52,解得x=4,∴.BE x人 2a-(2-3)a=232-3a,.DE2=3(2-3)2, FD=5x=20,AE =12x =48,..DE FB=AD-AE =72 -48=24,∴.在Rt△CBF中，CF=FB·tan∠CBF≈24× AE AE (2-5)2a2 2-3-6-33 3 =32,∴.CD=FD+CF≈20+32=52（米）. ED ED2W3(2-√5)a2 3 答：大楼的高度CD约为52米. /24-125 /18-125+6 /(32)2-2x32x6+(6)1 5.解：过Q作QC⊥AP于C,由题意知，QB⊥AB,PA⊥AB, 4 4 ∠PAQ=63.5°，∠ABP=45°，AB=300,∴.∠BAP=∠ABQ =90°，∴.AP∥BQ,∴.四边形ACQB是矩形，.∠AQB= ∠PAQ=63.5°，AC=BQ,CQ=AB=300,在Rt△ABP中， 160 见业此图恢合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧