第17讲 全等三角形&微专题5 全等三角形的常考模型(课本梳理精讲)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（大庆市专版）

数学·精讲本 第17讲全等三角形 《考点梳理·夯基础》 答案P75 考点○全等三角形的性质与判定 续表 1.定义：能够1 的两个三角形叫做全等三 判定方法 图形 几何语言 角形 两角分别相等且其 2.性质 ∠C=∠F, 中一组等角的对边 ∠A=∠D (1)全等三角形的对应边2 ,全等三角 相等的两个三角形 LAB=DE, 形的对应角相等。 全等，简写为⑨ ·.△ABC≌△DEF (2)全等三角形的周长3 面积4 斜边和一条直角边 [AB=DE, (3)全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中 对应相等的两个直 AC=DF, 位线都⑤ 角三角形全等，简 Rt△ABC≌ Rt△DEF 3.判定方法 写为四 提分点拨 判定方法 图形 几何语言 ①“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等. .AB=DE, 三边分别相等的两 D ②“HL”是判定两个直角三角形全等的特有方 BC=EF, 个三角形全等，简 法，对于一般三角形不适用， 写为⑥ CE从 LAC=DF, ∴.△ABC≌△DEF 4.证明两个三角形全等的思路 两边及其夹角分别 .AB=DE, 找夹角→SAS 相等的两个三角形 ∠B=∠E, (1)已知两边{找直角→HL 全等，简写为☑ LBC=EF, 找第三边→SSS △ABC≌△DEF ,边为角的对边→找另一角→AAS 两角及其夹边分别 ∠A=∠D, 已知一边 r找夹角的另一边→SAS (2) 相等的两个三角形 AB=DE, 和一角 边为角找夹边的另一角一ASA 全等，简写为8 ∠B=∠E, 的邻边找边的对角一AAS △ABC≌△DEF (3)已知两角 找夹边→ASA 找其中一角的对边→AAS 答案75 《实战演练·品方法》 例如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm, 例2如图，在△ABC中，AB=AC=16cm,∠B= 点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点 ∠C,BC=10cm,点D为AB的中点，如果点P在 线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动， C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发， 同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.当 以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D △BPD与△CQP全等时，点Q的运动速度可能 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动 为 cm/s. 点也随之停止运动，当v为 时，△ABP 与△PCQ全等. 例2题图 温馨提示 例1题图 请完成《精练本1》P79-84。 36 见此图顺合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第四章三角形 2 微专题5： 全等三角形的常考模型 [答案P75] 模型○ 平移模型 模型目旋转模型 模型 两个三角形一组边共线或部分重合，另两组边分 模型 不共顶点旋转：绕一点（非顶点）旋转一定的角 别平行，其中一个三角形可以看作由另一个三角 分析 分析 度后，再平移可得两个三角形全等 形平移得到，且平移前后的两个三角形全等 A 图示 图示 B C(E)F B CE ①利用公共边的和差变化推出等边； 结论 ①利用公共边的和差变化推出等边； 总结 ②利用平行线的性质推出等角 ②利用平行线的性质推出等角 模型 共顶点旋转（手拉手模型）：绕着公共顶点旋转 对应训练 分析二 一定的角度，可得两个三角形全等 1.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AB∥DE,AB =DE,BE=CF.求证：∠A=∠D. 无重叠 图示 1题图 有重叠 模型（日轴对称模型 模型 所给图形沿经过公共顶点的某条直线或公共边 遇到共夹角，则应用角的和差转化成一组相等 分析 所在直线折叠，直线两旁的两个三角形完全重合 结论 的角 对应训练> 共角型 4.如图，在△ABC中，分别以AB,AC为边向外作等 边△ABM与等边△ACN,连接MC,BN.求证：BW 图示 =MC. 共边型 岗 总结 ①找公共角、对顶角、等腰等条件得对应角等； ②找公共边，得对应边相等 4题图 对应训练> 2.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE, CD相交于点O,且OA平分∠BAC,OD=2,则5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D OE= 是BC上一动点，连接AD,过点A作AE⊥AD,并 且始终保持AE=AD,连接CE.求证：△ABD≌ △ACE. B D 2题图 3题图 3.如图，在△ABC中，D,E是BC边上的两点，AD= 5题图 AE,BE=CD,∠1=∠2=110°，∠BAE=60°，则 ∠BAC的度数为 见业图师号抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 37 R 数学·精讲本 模型回三垂直模型 模型伏半角模型 当一个角包含着这个角的半角（如90°包含45°， 图示 模型 120°包含60)，将半角两边的三角形通过旋转到 分析 一边合并形成新的三角形，通过等量代换，从而 证明其与半角形成的三角形全等 总结 有三个直角，利用同角的余角相等找等角 对应训练 ∠BDC=120° 6.如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点 ∠EDF=60 (不与B,C重合)，DE⊥AG于点E,BF∥DE,且 △EDF≌△GDF 交AG于点F. 求证：AF-BF=EF. AB=AC, 图示 ∠BAC=90°， ∠DAE=45° △DAE≌△FAE 6题图 ∠BAD=90°， ∠EAF=45° △AFE≌△AGE 对应训练> 8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D= 90°，∠BAD=120°，∠EAF=60°，E,F分别是BC, 模型⑥一线三等角模型 CD上的点，连接AE,AF,EF,若BE=3,DF=5, 则EF的长为 D 图示 三个等角在同一条直线上（已知∠A=∠B= B E G BE 总结 ∠CPD),利用三等角关系找全等三角形所需 8题图 9题图 的角相等的条件（如∠1=∠2） 9.如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF= 对应训练 45°，AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接 7.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到 上，∠B=∠C=∠DEF=60°，BD=CE. △ABG.若DF=3,则BE的长为 (1)求证：∠BDE=∠CEF; 10.如图，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB= (2)若DE=3,求EF的长 AC,E,F为BC上的点，∠EAF=45°.求证： EF2=BE2+FC2. B E 7题图 10题图 ,温馨提示 请完成《精练本1》P811 38 见业图标台抖音微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、参考答案与解析 第12讲，二次函数的图象与性质 【实战演练·品方法】 【考点梳理·夯基础】 例1D例2 80或40 ②4ac-6 2a 4a 圆减小④增大⑤小64ac-6 第16讲 特殊三角形 Aa 【考点梳理·夯基础】 回大⑧4ac- - ⑨左四右回>四=☒< 四底角2中线③相等 4一半51：3：2 4a 61:1:w2 【重难研析·理要点】 ☑1：1：3 典例B 【重难研析·理要点】 跟踪训练 典例√/5或13 C[解析]，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴.a 跟踪训练 3 <0,c>0..·抛物线与x轴交于，点A（-3,0)和，点 微专题2角平分线的常考模型 B(1,0),抛物线对称轴为直线x=-3+1 =-1,故② 1.32.110°3.44.3 微专题3特殊三角形中的分类讨论 正确；∴一 =-1,∴.b=2a<0,∴.abc>0,故①错误；由 1.40°或100°2.15°或45°或75°3.B 2a 函数图象可知，当-3<x<0时，抛物线的函数图象在 4.3-√3或2[解析]由题意，可知，点F在AC边上，分以下 x轴上方，：当-3<x<0时，ax2+br+c>0,故③正确； 三种情况进行讨论.①当CB=CF时，如答图①，过点F 抛物线对称轴为直线x=-1且开口向下，∴当x>-1 作FM⊥AB于点M.:AB=BC=3,∠ABC=120°，∴.∠A 时，y随x的增大而减小，即当x>1时，y随x的增大而减 =∠C=30°.CF=CB,∴.∠CFB=∠CBF=75° 小，故④错误：，抛物线对称轴为直线x=-1且开口向 .∠EBF=120°-75°=45°.设AE=x,则EF=x.易得 下，当x=-1时，抛物线有最大值y=a-b+c,.am 1 +bm+c≤a-b+c,∴.am+bm≤a-b,故⑤正确.综上所 FM=30°，EM=7x,MF=BM=9x 2，x+2+ 述，正确的有②③⑤，故选C. 第13讲二次函数的实际应用 3 x=3,解得x=3-5,AE=3-3;②当FB=FC时， 【重难研析·理要点】 典例解：(1)由题意，得w=(x-30)y=(x-30)(-5x+ 如答图②，则∠C=∠FBC=30°，∴.∠ABF=90°，∴BF= 300)=-5x2+450x-9000. :每件T恤的利润不高于成本的80%， 3×5=月.易知∠BEF=60°，EP=AE=BF。=百 3 sin60° 3 ∴.销售单价不能超过30×(1+80%)=54（元）， 2 即w=-5x2+450x-9000(30≤x≤54). (2)由(1)，得w=-5x2+450x-9000=-5(x-45)2+ =2;③当BF=BC时，点F与点A重合，不合题意.综上 1125.. -5<0,30≤x≤54，∴.当x=45时，w有最大值， 所述，AE的长为3-√3或2， 最大值为1125， B ：:当售价定为45元时，每月可获得最大利润，最大利润 为1125元. A-- D 跟踪训练 4题答图① 4题答图② 解：(1)根据题意可知点(5,3.2)为抛物线y=a(x-h)2 5.4+22或2+22 +k的顶点， 6.(1)(3,0)或(1,0) ∴.抛物线的解析式为y=a(x-5)2+3.2. 又：抛物线经过点(0,0.7)， (2)(0,1-√2)或(0，-1)或(0,1+√2)或(0,3) 0.7=a(0-5)2+3.2,解得a=-0.1, 7.3-√5或3 ∴.抛物线的解析式为y=-0.1(x-5)2+3.2, 微专题4中点常考模型 (2)当y=1.6时，1.6=-0.1(x-5)2+3.2, 13 解得x1=1,x2=9. 1. 2 2.733.15 8 4.B5.63 5 63 7.213 著小号8金的水为2丹感6m 第17讲全等三角形 第四章三角形 考点梳理·夯基础】 第14讲线段、角、相交线与平行线 四完全重合2相等☒相等④相等⑤相等 考点梳理·夯基础】 6 SSS 7 SAS 8 ASA 9 AAS 10 HL 直线AB2直线BA3直线m4线段AB 【实战演练·品方法】 线段BA⑥线段m☑0⑧2⑨不能四能 例22或3.2 四单向2一3一4线段固ABAC7BC 例12或8 驱AC四<团<风)AC2两条 ☒射线 微专题5全等三角形的常考模型 1.证明：.·AB∥DE,.∠B=∠DEF 四一条射线因旋转2函60☑60☒342930 .'BE=CF,∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 3011231632123390° 3☑相等180°6相等 司90·國距离相等园∠3回L4回L72乙8 AB=DE, 在△ABC和△DEF中，J∠B=∠DEF 超相等网∠3窗∠6、∠86∠5、上7☑∠5 BC=EF ∠64四∠7®L8∠5 52∠653∠6 ☒∠5 固相等团BP ∴.△ABC≌△DEF(SAS),∴.∠A=∠D. 战演练·品方法 2.23.80° 例 15 例240° 4.证明：：△ABM和△ACN是等边三角形 第15讲 一般三角形及其性质 .∴.AB=AM,AN=AC,∠BAM=∠NAC=60° 考点梳理·夯基础】 又·.·∠BANW=∠BAC+∠NAC.∠CAM=∠BAC+∠BAM, ①大于2小于3180°④等于固大于⑥CD ∴.∠BAN=∠MAC,在△ABN和△AMC中， AB=AM. 7 2 8BC⑨∠2画平行回第三边的一半 ∠BAN=∠MAC,∴.△ABN≌△AMC(SAS),'.BN=MC. AN=AC 见此图廊号抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 75 数学·精讲本 5.证明：.AE⊥AD,.∴.∠DAE=∠DAC+∠CAE=90° 又：∠BAC=∠DAC+∠BAD=90°，.∠BAD=∠CAE, (32-6)2 4 rAB=AC. 3 32-6,故答案为35-6 在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAE, 6 LAD =AE 微专题6相似三角形的常考模型 .·.△ABD△ACE(SAS). 10 6.证明：.·四边形ABCD是正方形， 2103A45-156A7.68☑ .∴.AB=AD,∠BAF+∠DAE=90° ·.·DE⊥AG,.∠DAE+∠ADE=90°，∴.∠ADE=∠BAF. 9(1)aD=CE(2)CE=万AD1011=4S BF∥DE,∴.∠BFA=∠AED=90°，.△ABF≌△DAE, .'BF=AE,..AF-BF =AF -AE EF. 第19讲锐角三角函数及其应用 7.(1)证明：：∠B+∠BDE+∠BED=180° 【考点梳理·夯基础】 ∠DEF+∠FEC+∠BED=180°，∠B=LDEF=60°， 四：回：图÷ ④a2+b=c2⑤∠A+∠B=90° .∠BDE=∠CEF c r∠B=∠C, ⑥仰角⑦俯角⑧陡 (2)解：在△BDE和△CEF中， BD=CE, 【实战演练·品方法】 L∠BDE=∠CEF. 例1C .∴.△BDE≌△CEF(ASA),∴.DE=EF 4 DE=3,EF=3. 例25 [解析]如答图，过点C作CE1 8.89.2 AB于点E,则CE=4,AE=3,∴.AC= 10.证明：如答图，把△ACF绕点A顺 A E:B 时针旋转90°得到△ABG,连接 √AE+CE=5,∴sinLCAB=9g=4. AC=5· 例2题答图 EG.由旋转的性质可得△ACF≌G: △ABG, 微专题7解直角三角形的实际应用的常考模型 .∴.AF=AG,CF=BG 1.解：选取CD=1.6m,BD=4m,∠ACE=67°..·CD⊥BD ∠ACF=∠ABG=45 B 10题答图 AB⊥BD,CE⊥AB,.∠ABD=∠D=∠BEC=90°，.四边 ∴LBAC=90°，∠GAF=90°，.LGAE=∠EAF=45 形BDCE为矩形，∴.CE=BD=4,BE=CD=1.6,在 rAG=AF 在△AEG和△AEF中，{∠GAE=∠FAE, R△ACE中，tan LACE=C,AE=CE·tan∠AcE=4× AE=AE tan67°≈4×2.36=9.44，AB=AE+BE=9.44+1.6= '.△AEG≌△AEF(SAS),.EG=EF 11.04≈11.0(m). :∠GBE=90°，∴.BE2+BG2=EG2,即BE2+CF2=EF2 答：建筑物AB的高度约为11.0m 第18讲相似三角形（含位似） 2.解：过D作DH⊥BC于点H,过E作EG⊥BC于点G.由 【考点梳理·夯基础】 题意得，∠BDH=45°，∠CEG=60°，AE=21米，DE= 卫对应角②成比例③相似比④相似比 固相似比的平方⑥相等⑦对应边⑧相似比 9米.在Rt△CEG中，CG=AE=21米，tanLCEG-C EG 实战演练·品方法】 例1B ..EG= CG。=21=75(米)，DH=EG=73(米). an60=3 例2 3V2-6 6 [解析]连接AD,如 在Rt△BDH中，∠BDH=45°，∴.BH=DH=73(米)， 答图..·将AC绕着点C按顺时针 .BC=CG+HG+BH=CG+DE +BH=21+9+73= 旋转60°得到CD,.AC=CD, (30+73)米. ∴△ACD是等边三角形，∴.AC=AD =CD,∠ADC=∠CAD=60°，设AC 答：大楼BC的高度是(30+7√3)米 =AD=CD=a,则AB=AC=a,取 例2题答图 3.解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意 AC的中点H,连接DH,.∴.AH=CH= 2AC=1 a,∠AHD 可知，AB=3x,在Rt△AD0中，∠AD0=30°，AD=4000, ∴.A0=2000,.D0=2000W5.CD=460,∴.0C=0D- =90,DH=52 1 )a.设AE=x,则EH=AH-AE= 2a-x. CD=2000W3-460,在Rt△B0C中，∠BC0=45°，.∴.B0= ∠BAC=90°，∠BAE=∠DHE.∠AEB=∠HED, 0C..0B=0A+AB=2000+3x,∴，2000+3x=2000,3 -460,解得x≈335. ∴△MBB△ED,能-品 2a-x ,解得x 答：火箭从A到B处的平均速度约为335米/秒 22 4.解：过点B作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F..:CD⊥ AD,.四边形BEDF是矩形，∴.FD=BE,FB=DE,在 =(2-√3)a,即AE=(2-√3)a,.EH=AH-AE= Rt△ABE中，BE:AE=1:2.4=5:12,设BE=5x,AE=12x, 29 根据勾股定理，得AB=13x,∴.13x=52,解得x=4,∴.BE x人 2a-(2-3)a=232-3a,.DE2=3(2-3)2, FD=5x=20,AE =12x =48,..DE FB=AD-AE =72 -48=24,∴.在Rt△CBF中，CF=FB·tan∠CBF≈24× AE AE (2-5)2a2 2-3-6-33 3 =32,∴.CD=FD+CF≈20+32=52（米）. ED ED2W3(2-√5)a2 3 答：大楼的高度CD约为52米. /24-125 /18-125+6 /(32)2-2x32x6+(6)1 5.解：过Q作QC⊥AP于C,由题意知，QB⊥AB,PA⊥AB, 4 4 ∠PAQ=63.5°，∠ABP=45°，AB=300,∴.∠BAP=∠ABQ =90°，∴.AP∥BQ,∴.四边形ACQB是矩形，.∠AQB= ∠PAQ=63.5°，AC=BQ,CQ=AB=300,在Rt△ABP中， 160 见业此图恢合抖音/微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧