第18讲 相似三角形(含位似)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（大庆市专版）

AE=AF, ∠EAD=∠FAD,:.△ADE≌△ADF(SAS). AD=AD, (2)解：：∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD=40 由作图知AE=AD,.∠ADE=70°. AB=AC,AD为△ABC的角平分线， ∴AD LBC(依据：等腰三角形性质的“三线合一”)， ∴∠ADB=90°，.∠BDE=20° 15.(1)解：∠A=90°，AB=AC,∴.BC=V2AB. BC =AB+BD, .√2AB=AB+BD,即(2-1)AB=BD. (2)证明：如答图①， A B 2 0 15题答图① CE=CB,∠1=∠2，CF=CD, ,△CEF≌△CBD,∴.∠E=∠DBC,∴.EF∥BD. .BD⊥AB,∴.EF⊥AB. (3)证明：如答图②，延长EF,CH交于点G. G D 15题答图② .EF⊥AB,AC⊥AB, ∴.GE∥AC,∴.∠CGE=∠ACG CH平分∠ACE,·LACG=∠ECG, ∴.∠CGE=∠ECG,∴.EG=EC,∴.EG=BC .△CBD≌△CEF,∴.EF=BD BC=AB+BD,EG=FG+EF, ∴.AB+BD=FG+EF,∴.FG=AB=AC AC∥FG,∴.∠HAC=∠HFG. 在△AHC和△FHG中， LHAC=∠HFG, ∠AHC=∠FHG, LAC=FG, .△AHC≌△FHG(AAS), .AH FH. 第18讲相似三角形（含位似） 基础集训 1.A 2.C[解析]：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, AARP ADGF,2.ABCD -2C, cG=CD+DG=30c,2号=号：AB/CD△ME △cGE,铝-2号号选C B4卫536}或学或67B&D9寸 微专题6相似三角形的常考模型 1D2C3A410或号5C 6.3[解析]由题意可知，∠BCE=∠EDF=∠BEF=90°（正 方形的性质)，：∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC+∠DEF= 0,∠CBE=∠DBR,△CAEDF,%=器. BC=CD=AB=4,CE=2,..DE DC +CE=2+4=6, ∴.DF=3. 7.135°[解析]如答图，设AC与BD交于点G,由旋转的性质 可知，CD=DE=AB=BC=2,CE=AC=2√2（旋转前后的图 形全学，对应道和时应角相学)小品-需=？∠DCE =∠ACB=45°，∴.∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD,即 ∠ECA=∠BCD,.△CAE△CBD,∴.∠EAC=∠DBC. ∠DGA=∠BGC,∴.∠AFB=∠ACB=45°，∴.∠BFE =135°. E B C 7题答图 825 9 [解析].·△ABC和△AB'C'绕着，点A旋转能够重合， AB=AB=5,AC=AC=3,品=把=分 AB AB'5 ∠BAC=∠B'AC',.∠BAC+∠BAC'=∠B'AC+ ZBAC',.∠BAB'=∠CAC,△ABB'∽△ACC.AE习 5 S△ABB AB1225 AC=9· 9.2 中考集训 1.B 2.B[解析]如答图，根据光的反射定理，得LAOB=∠COD, &tan AC0B=tan C0D,又xLAB0=∠CD0=90°，0 22 CD」 6品即-侣C0=8,故旗杆高度为8m C .x-.. A 、01 B D 2题答图 3.C[解析]：△ABC为等边三角形，.LB=∠C=60 ∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC,LADE=6O ∠B0E=∠DMc,△MDGc△DEB,小品=器6D= 子M0=子xDE=8 40C,BD=5BC0B=4=4 4D[解析]点D是AB的中点，如=g, 'AB =BC DE 之BC=1.易知当点E为AC的中点时满足条件，记为B, 如答图，此时DE1是△ABC的中位线，∴.DE1∥BC, ∴.∠ADE1=∠B=90°，∴.AE1=2DE1=2.以点D为圆心， DE1为半径作孤，交AE1于点E2,此时DE2=DE1=1. ∠AE1D=90°-∠A=60°，∴.△DE1E2为等边三角形， .E1E2=1,AE2=1.综上，AE=1或2. A 、E2 D- E B C 4题答图 5.c 6.D[解析]如答图，连接ND.DE∥AB,DF∥AC, .∠ECD=∠FDB,∠FBD=∠EDC,∴.△FBD∽△EDC, ∠ND=∠MBc,器-畏：N=2Nr,DM=2MF -即g=号e…品-畏 .又：∠NFD =∠MEC,.△NFD∽△MEC,·∠ECM=∠FDN. :∠FDB=∠ECD,∴.∠NDB=∠MCD,·MC∥ND, AwNeM2ME 1 3 2 -SAMNG,SADCE=之Sac,故选D, F B D 6题答图 2 9.√m2+m2[解析]如答图，：三角形ABC是等边三角形， .LB=∠A=LC=60°.由折叠可知∠F=LB=60°， S△FDE=S△DE::DE将三角形ABC分为面积相等的两部 分，S四边形ADEC=S△BDE=S△FDE,.S1=S2+S3:易证 △0那子-e-品D.景 =②（关键点：由相似把面积之比转化为线段长度 之比的牛，0+@得忍+=1C=+, .HG=m2 +n2 A D S1 B E C 9题答图 11.15[解析]如答图，由题意可知AB=BC=10,CH=CE= EI=6,EG=4,∴.CG=10,BG=20.易知AB∥CD∥EF, △BrG△C06△s1C,器=器跽-胎中六 FE 10 DC 16,20=10,解得EF=2,CD=5,F1=E1-EF=4,DH 1 =CH-CD=1,Sm影=S稀卷Dr=2×(1+4)×6=15. 10 H6 D B E 11题答图 2号[解桥]题周①中，Dg∥8C,铝-怨由与胶定 理，得AC=√AB2+BC=√⑧2+6=10.题图②中，由旋 转的性质，得乙BD=∠CE又铝-把△MBD △ACE(依据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相 BD AB 8 4 似)，CE=AC=10=5 3 13.解：选择①BD=B'D CD C'D" 证明：△ACDn△A'C'D', CD LADC=∠A'D'C,A=C0, .∠ADB=∠A'D'B. 又BD=BDBD-CD CD=c'D·B'D=C'D 则盼品物， .△ABD△A'B'D 或选择③∠BAD=∠B'A'D' 证明：，·△ACD∽△A'CD', ∴.∠ADC=∠A'D'C,.∠ADB=∠A'D'B' ∠BAD=∠B'A'D',.△ABDM△A'B'D' 14.(1)证明：如答图，四边形ABCD为矩形， .0C=OD,AB∥CD,.∠2=∠3=∠4. DE=BE,.∠1=∠2，.∠1=∠3. 又BE平分∠DBC,∴.∠1=∠6，.∠3=∠6. 又：∠3+∠5=90°，.∠6+∠5=90°，∴.BF⊥AC. (2)解：△ECF,△BAF与△OBF相似.理由如下： 如答图，由(1)知∠1=∠2， AB∥CD,.∠2=∠3=L4,∴.∠1=∠4. 又.∠OFB=∠BFO,∴.△OBF∽△BAF. :∠1=∠3，∠OFB=∠EFC,∴.△OBF∽△ECF. D E 2 3 5 4 14题答图 (3)解：△0BF△BCP器-器 0F=3,EF=2, 号-品3Gp=2献 .OA=OC,∴.OA=OF+CF, ∴.3OA=3CF+30F,∴.30A=2BF+9.① :△0BF△BAP,g器-架。 .BF2=0F·AF,.BF2=3(0A+3).② 由①②，得BF=1+√19（负值已舍去）， .DE=BE=2+1+√19=3+√19 15.(1)证明：由题意知AD=CD,.∠A=∠DCA. 又·∠A=∠CBE,∴.∠DCA=∠CBE, ∴.CD∥BE,∴.∠DCE=∠BEF. EF=AD,AD=CD,∴.EF=CD 三角形BCE是以BC为底的等腰三角形， ∴.CE=BE,∴.△DCE≌△FEB,.DE=BF (2)解：如答图，取CE的中点H,连接GH. :点G是DE的中点， CH-CD-AD=1.CH//CD. 设BE=a,则CH=BH=号cB=2BE=2a :B=A0=2FH=a-2. CD∥BE,GH∥CD,.GH∥BE, .△FGH∽△FBE, 2a-2 a 2 .a=2+22(负值已舍)， .BE=2+22. 15题答图 第19讲锐角三角函数及其应用 基础集训 1.B22 3.D4.C5.B6.7.4 微专题7解直角三角形的实际应用的常考模型 1.解：：四边形ABCD为正方形，点D,A,E在一条直线上， .∴.∠EAB=90° 由题意知，∠FAH=90°， ∴.LEAF=∠BAH, .tan∠EAF=tan∠BAH. 在Rt△ABH中，tanBAH=AB-30-子 BH202 在△EF中，m∠BF-张-票 贸=号即=号 由题意知，FG=1.8, BG=BR+fc=号+1.8.1m. 答：树EG的高度约为9.1m 24中专123 第18讲 相似三角形（含位似） 基础集训 [答案P22] ⊙命题点1比例的性质 1.(2024·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在AB上，EF∥AD交CD于点F,若AE:BE= 1:2,DF=3,则FC的长为 () A.6 B.3 C.5 D.9 G A D C 1题图 2题图 2.(2025·绥化模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是AD上一点，且AF=2FD,连接BF并延长，交 CD的延长线于点G,则的值为 () B C. ⊙命题点2相似三角形的判定及性质 3.（2025·盘锦模拟)如图，AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点，MN∥AC,交BD于点N.若 DO:OB=1:2,AC=12,则MN的长为 () A.2 B.4 C.6 D.8 D B 3题图 4题图 5题图 4.(2024·辽宁)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点0，且△AOB与△D0C的面积比是1：4，若AB=6,则 CD的长为 5.(2024·营口模拟)如图，在△ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC,连 接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= 6.(2025·长春模拟)在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在边CD上，且CE=4,点P是直线BC上的 一个动点.若△APE是直角三角形，则BP的长为 -85 ⊙命题点3位似图形 7.（2024·绥化模拟)如图，△ABC与△DEF位似，点0为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为 4,则△DEF的周长是 () A.4 B.6 C.9 D.16 D' B B 7题图 8题图 8.(2025·齐齐哈尔模拟)如图，以点0为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知A A' 3,若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'CD'的面积是 () A.4 B.6 C.16 D.18 9.(2025·绥化)在平面直角坐标系中，把△ABC以原点0为位似中心放大，得到△A'B'C'.若点A和它 的对应点A'的坐标分别为(3,7)，(-9，-21)，则△ABC与△A'B'C的相似比为 微专题6相似三角形的常考模型 [答案P22] ⊙模型一平行线模型 1.（2025·哈尔滨模拟)如图，一路灯G距离地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点0）5米 的A处沿OA所在直线走了7.5米到达点C处，那么小方在点A处影长的端点B到在点C处影长的 端点D的距离BD为 ) A5米 B.5.5米 C.7米 D.10.5米 D E 0 AB C D 1题图 2题图 3题图 4题图 2.(2024·台州二模)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，且AE=ED,连接BE并延长交CD的延长线 于点F,则△FED与口ABCD的面积之比为 () A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 ⊙模型二斜交模型 3.(2025·长春换拟)如图，AB是⊙0的直径，弦AC,BD相交于点E,若ABD=60,则4吧的值为 SAABE () A. B.g c 4.(2025·锦州猴拟)如图，在△ABC中，AB=12,4C=15,D为AB上一点，且AD-弓4B,在AC上取- 点E,使以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于 -86 见此图标弱即刻扫码解锁高效备考新模式 第四章三角形 ⊙模型三 一线三等角模型 5.（2025·东营二模)如图，在四边形ABCD中，AD=4,AB=10,点E是AB的中点，连接DE,CE,若∠A =∠B=LpBC,则脱的值为 4 c D33 2 5题图 6.(2025·通化模拟)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E是DC延长线上一点，连接BE,过点E作EF ⊥BE,与AD的延长线交于点F.若CE=2,则DF的长为 B 6题图 7题图 8题图 9题图 ⊙模型四手拉手模型 7.(2024·宜宾二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2,将△ABC绕点C顺时针旋转后得 到△EDC,连接AE,BD相交于点F,则∠BFE的度数为 8.(2025·营口模拟)如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,将△ABC绕着点A旋转后与△AB'C'重合，连接 BB',CC',则的值为 ⊙模型五对角互补模型 9.(2024:随州三概)如图，在四边形8CD中，∠A+∠C=180,A0=2DC,若Sm=2m则 BC 的值为 中考集训 [答案P22] 满分：100分 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.（2025·贵阳模拟)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD,AC:AB=1:2,则△ADC与 △ACB的周长比是 () A.1:2 B.1:2 C.1:3 D.1:4 C --- D 1题图 2题图 2.(2025·南充)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后 向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端。已知小菲的眼 —87 数学·精练本1 睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗 杆高度为 () A.6.4m B.8m C.9.6m D.12.5m 3.(2024·东营)如图，△ABC为等边三角形，点D,E分别在边BC,AB上，∠ADE=60°.若BD=4DC, DE=2.4,则AD的长为 A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 D E B F D C 3题图 4题图 5题图 6题图 4.(2024·豫州)如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2,D为AB的中点.若点E在边AC上，且 ABBC,则AE的长为 AD DE () A.1 B.2 C. D.1或2 5.(2025·达州)如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点 F处，若CD=3BF,BE=4,则AD的长为 () A.9 B.12 C.15 D.18 6.(2025·绍兴)如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B,C重合）.过点D作DE∥AB交AC于 点E,过点D作DF∥AC交AB于点F.N是线段BF上的点，BN=2NF,M是线段DE上的点，DM= 2ME.若已知△CMN的面积，则一定能求出 () A.△AFE的面积 B.△BDF的面积 C.△BCW的面积 D.△DCE的面积 二、填空题（每小题5分，共30分） 7(225·北家模)如图，直线40,6C交于点0,4B/EF/CD.若40=2,0F=1,FD=2,则能的值为 B E F D 7题图 8题图 9题图 B.(2024·乐山)如图，在口ABCD中，点E是线段B上一点，连接AC,DE交于点R若托-子，则恤 S AAEF = 9.(2024·武汉)如图，DE将等边三角形ABC分为面积相等的两部分，折叠△BDE得到△FDE,AC分别 与DF,EF相交于G,H两点.若DG=m,EH=n,用含m,n的式子表示GH的长是 —88— 10.（2025·台州)如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB=5,AE=DG =1,则BF= GD 10 D E 6 B F 10题图 11题图 12题图① 12题图② 11.（2024·广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则 图中阴影部分的面积为 12.(2025·常德)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,D是AB上一点，且AD=2,过点 D作DE/BC交AC于点么将△ADE绕A点顺时针旋转到图②的位置，则图②中0的值为 三、解答题（共40分） 13.新趋势(12分)(2025·盐城)如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D,D'分别在边BC,B'C'上，且△ACD ∽△A'CD',若 _,则△ABDM△A'B'D'. 请认2品8那：@2品-界：⑧∠BD=∠BD这3个选项中选择-个作为条作（写序号），并 加以证明. B D B'D' 13题图① 13题图② —89 14.（14分)(2024·泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE,AC与BD相交于点0，BE与AC 相交于点F. (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC; (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由； (3)若OF=3,EF=2,求DE的长度. 14题图 15.(14分)(2024·烟台)点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作 等腰三角形ACD和等腰三角形BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE. (1)如图①，求证：DE=BF; (2)如图②，若AD=2,BF的延长线恰好经过DE的中点G,求BE的长 E 15题图① 15题图② 一90—