4.4尺规作图（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

4.4尺规作图 （6大题型基础达标练+1大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 已知三边作三角形 题型二 作一个角等于已知角 题型三 已知两边及其夹角作三角形 题型四 已知两角及其夹边作三角形. 题型五 过直线外一点作这条直线的平行线. 题型六 判断根据条件能否作出三角形 能力提升题 题型 三角形的尺规作图求解或证明 题型一 已知三边作三角形 1．已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 2．下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 3．已知：线段a，b，c．如图，求作：，使．补全下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） 作法： （1）作一条线段； （2）分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A； （3）连接，，就是所求作的三角形． 4．如图，已知，用尺规作，使． 5．如图，在中，于点G．点D在外，连接，． 尺规作图：在的右侧求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 题型二 作一个角等于已知角 6．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ） A． B． C． D． 7．尺规作图：作一个角等于已知角． 如图①，已知：． 求作：，使． 作法： 步骤1：如图②，以甲为圆心，任意长为半径画弧，交于点；步骤2：作射线，以点为圆心，乙长为半径画弧，交于点；步骤3：以点为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；步骤4：经过点画射线，则． 则甲、乙、丙所表示的内容为：（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 9．如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程： ①作射线，则． ②以C为圆心，长为半径画弧，交于点M． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F．    则正确的作图顺序是（　　） A． B． C． D． 10．已知， ， 求作：保留作图痕迹，不写作法 题型三 已知两边及其夹角作三角形 11．如图，已知为小明根据所作的图形，若，则他作图的根据是（    ） A． B． C． D． 12．综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图～图是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ）. A． B． C． D． 13．已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 14．作图题：请尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．已知与线段a、c．作，使，， 15．用尺规作图：已知：如图，线段及．求作：，使，，． 题型四 已知两角及其夹边作三角形. 16．如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 17．如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 18．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 19．如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于，这两角的夹边等于线段． 20．已知：，和线段a，如图所示．求作：，使．（不写作法，保留作图痕迹） 题型五 过直线外一点作这条直线的平行线. 21．如图，小庆用尺规过点作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（   ） A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧 C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧 22．如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（   ） A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径 C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径 23．如图，用尺规作图：“过点作”，其作图依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 24．如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求． 上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（   ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 25．数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 26．根据下列要求作图． (1)如图①，过点 作； (2)如图②，过点作，交于点，过点作，交于点． 题型六 判断根据条件能否作出三角形 27．利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ） A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边 C．已知两边及一边的对角 D．已知三边 28．下列关于用尺规作图的结论错误的是（    ） A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出 B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出 C．已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出 D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出 29．根据下列已知条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．， D．，， 30．作，使，，，小亮的作法如下：①作；②在射线上截取；③以点为圆心，以6为半径画弧交射线于点．连接．如图，给出了小亮前两步所画的图形．则所作的符合条件的（    ） A．是不存在的 B．有一个 C．有两个 D．有三个及以上 ． 题型 三角形的尺规作图求解或证明 31．如图，已知，点B为上一点，用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；以点B为圆心，以为半径作弧，交于点F；以点F为圆心，以为半径作弧，交前面的弧于点G；连接并延长交于点C，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 32．我们知道，将一个三角形的其中一个角撕下来，拼到另一个角的旁边，可以得到三角形三个内角的和为．小明认为，不用撕角，利用尺规作平行线也可以说明这个结论．如图，，，是的三个内角． (1)利用尺规作过点的直线，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)试说明． 33．如图，点，分别是三角形的边，上的点． (1)按要求作图：过点作线段，交于点； (2)在（1）的条件下，给出下列两个论断：①；②．请你以其中一个论断为题设，另一个论断作为结论．构造一个真命题，并给出证明； 题设：_____，结论：_____．（填序号） 证明： (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 34．如图，中，平分，平分 (1)求作线段，使得过O且平行于，交于E，F．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)探索之间的数量关系，并证明． 35．教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做，如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形． 　　　 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的角形有几种？ (1)[操作发现] 如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． (2)[探究证明]阅读并补全证明 已知：如图（2），在和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使， ∵， ∴______， 又∵，而， ∴______， ∵， ∴______， 又∵______， ∴（______）， ∴（______）． 36．阅读与思考：等角线的奥秘 【概念理解】 在平面几何中，我们引入“等角线”的概念：如图1，若在中，射线、是内部的两条射线，且，则称射线与是的一对等角线． 【问题探究】 (1)基础应用 如图2，已知在中，，射线、是的一对等角线，且，则 ． (2)性质拓展 如图3，在中，、是的一对等角线，过点作交于点，过点作交于点．证明：． (3)尺规作图 已知和内部的一条射线，请用尺规作图的方法，过点作射线，使、成为的一对等角线．（保留作图痕迹，不写作法） 37．李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一结论，剪了一个三角形纸片，如图1，将撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该结论正确． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来说明“三角形内角和等于”这一结论正确，过程如下： 已知：如图，． 试说明：． 解：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点． 因为（已作） 所以____________（ ） 所以（ ） 又因为____________（平角的定义） 所以（等量代换） 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善说明过程． 38．如图，是的角平分线，请完成以下作图与填空： (1)用尺规在右侧作，使得，射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在中，，，是的角平分线，．求的度数． 解：在中，________①______°， ． 是的角平分线， _________②_________． ， ___________③___________， ． 39.教科书第39页有下面一段文字： 思考： 如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？ 图1中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案． (1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到上，看它们是否重合． 请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）； (2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3． 求证：．请写出证明过程． 40．综合与实践 用一般观念研究筝形 研究对象：筝形 研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究角度：整体——对称性 要素——边角及相关元素的关系 研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证 研究内容： 【一般概念】如图，在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论： 内角：筝形有一组对角相等 对角线：…… 问题解决： (1)尺规作图：如图2，已知，求作一点，使得四边形是等形．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知：如图3，在筝形中，．证明：． (3)如图4，连接筝形的对角线，相交于点． ①猜想与的位置关系，与的数量关系，请分别说明理由． ②如图4，在筝形中，已知，则筝形的面积是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4尺规作图 （6大题型基础达标练+1大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 已知三边作三角形 题型二 作一个角等于已知角 题型三 已知两边及其夹角作三角形 题型四 已知两角及其夹边作三角形. 题型五 过直线外一点作这条直线的平行线. 题型六 判断根据条件能否作出三角形 能力提升题 题型 三角形的尺规作图求解或证明 题型一 已知三边作三角形 1．已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先画，确定A、B点，然后通过画弧确定C点位置，从而得到． 【详解】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接，则就是所求作图形． 故选：C． 2．下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（三边分别相等的两个三角形全等） 故选：A． 3．已知：线段a，b，c．如图，求作：，使．补全下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） 作法： （1）作一条线段； （2）分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A； （3）连接，，就是所求作的三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作三角形，根据题目描述作图即可． 【详解】解：如图，就是所求作的三角形． 4．如图，已知，用尺规作，使． 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，根据，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接即可． 【详解】解：如图，即为所求； 5．如图，在中，于点G．点D在外，连接，． 尺规作图：在的右侧求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定，分别以A，C为圆心，为半径作弧，两弧交于点E，连接，则即为所求． 【详解】解：如图，即为所求， 由作图可知，， 在和中， ， ∴． 题型二 作一个角等于已知角 6．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作一个角等于一直角的方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据尺规作图可得，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∴依据是， 故选：B ． 7．尺规作图：作一个角等于已知角． 如图①，已知：． 求作：，使． 作法： 步骤1：如图②，以甲为圆心，任意长为半径画弧，交于点；步骤2：作射线，以点为圆心，乙长为半径画弧，交于点；步骤3：以点为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；步骤4：经过点画射线，则． 则甲、乙、丙所表示的内容为：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查基本尺规作图-作两个角相等，熟记作两个角相等的操作步骤是解决问题的关键．读懂题意，结合基本尺规作图-作两个角相等的操作步骤即可得到答案． 【详解】解：步骤1：如图②，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点； 步骤2：作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 步骤3：以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 步骤4：经过点画射线，则． 甲、乙、丙所表示的内容为， 故选：A． 8．如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于线段的长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，作射线交线段于点．则和的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据由作图可知，利用三角形的外角的性质得出，进而结合，判断即可． 【详解】解：由作图可知， ，， ． 故选：B． 9．如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程： ①作射线，则． ②以C为圆心，长为半径画弧，交于点M． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F．    则正确的作图顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图－基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程．根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的过程可知： ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点． ①作射线，则． 故选：C． 10．已知， ， 求作：保留作图痕迹，不写作法 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 利用基本作图（作一个角等于已知角）先作出，再作，则． 【详解】解：如图，为所求． 题型三 已知两边及其夹角作三角形 11．如图，已知为小明根据所作的图形，若，则他作图的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可． 【详解】解∶由作图知∶，，， ∴， 故选：D． 12．综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图～图是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图和全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握相关知识．由作图可得， ，，再结合全等三角形的判定定理即可得解． 【详解】解：由作图可得，， ，， 在和中， ， ， 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是． 13．已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接， 则正确作图步骤的顺序是①③②④， 故选：B． 14．作图题：请尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．已知与线段a、c．作，使，， 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 作，在上截取，在上截取，连接，则即为所作． 【详解】解：如图，为所作． 15．用尺规作图：已知：如图，线段及．求作：，使，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，先作一个角，再以为圆心为半径画弧，交于，交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则，，最后连接即可得到满足要求的． 【详解】解：如图，，其中，，． 题型四 已知两角及其夹边作三角形. 16．如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选：C． 17．如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 18．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 19．如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于，这两角的夹边等于线段． 【答案】见解析 【分析】作，，，两个角的另一边在直线的同旁交于点．本题考查了尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， 作法：．作线段 ．以、为顶点，在线段的同侧作，，交于点， 则为所求作的三角形． 20．已知：，和线段a，如图所示．求作：，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，熟练掌握作图方法是解题的关键．先作出线段，再以点为顶点，作出，点为顶点，作出，射线与射线的交点即为点，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 题型五 过直线外一点作这条直线的平行线. 21．如图，小庆用尺规过点作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（   ） A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧 C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角， 以点O为圆心为半径画弧，交于点D，E，再以点B为圆心，为半径画弧，交于点F，然后以点F为圆心为半径画弧交前弧于点G，作射线，则即为所求作，其中弧是以点F为圆心为半径画的弧. 【详解】解：弧是以点F为圆心为半径画的弧. 故选：D. 22．如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（   ） A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径 C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径 【答案】C 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，平行线的判定，熟记作图步骤是解本题的关键，根据作一个角等于已知角的作图步骤可得答案． 【详解】解：用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是： 以点为圆心，线段长为半径画； 故选：C 23．如图，用尺规作图：“过点作”，其作图依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．本题作图是作一个角等于已知角，而两角为同位角，据此选择即可． 【详解】解：本题作图是作一个角等于已知角，而两角为同位角， ∴根据同位角相等，两直线平行． 故选：A 24．如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求． 上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（   ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图-作一个角等于一个角、全等三角形的判定，根据作图痕迹和全等三角形的判定可得结论． 【详解】解：由作图痕迹，得，， ∴， 故选：A． 25．数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查作图−−复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据作图步骤逐步分析即可． 【详解】解：步骤②应为：以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N． 故选B． 26．根据下列要求作图． (1)如图①，过点 作； (2)如图②，过点作，交于点，过点作，交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作平行线的方法和步骤，熟练掌握过直线外有且只有一条直线与已知直线平行并作图即可. 【详解】（1）解：如图； （2）如图； ①即为所求直线； ②即为所求直线； 题型六 判断根据条件能否作出三角形 27．利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ） A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边 C．已知两边及一边的对角 D．已知三边 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有．三角形全等的判定定理有，根据以上内容判断即可． 【详解】解：三角形全等的判定定理有， A、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； B、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、根据已知两边及一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项符合题意； D、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 28．下列关于用尺规作图的结论错误的是（    ） A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出 B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出 C．已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出 D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出 【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：A．已知一个三角形的两角与一边，根据或，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意； B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以本选项符合题意； C．已知一个直角三角形的两条直角边，根据，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意； D．已知一个三角形的三条边，根据，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 29．根据下列已知条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：，，，两边及其中一边的对角不能画出唯一，故A不符合题意； ∵，，， ∴，故B不符合题意； ，，一边一角不能画出唯一，故C不符合题意； 当，，时，根据“”可判断的唯一性．故D符合题意； 故选D． 30．作，使，，，小亮的作法如下：①作；②在射线上截取；③以点为圆心，以6为半径画弧交射线于点．连接．如图，给出了小亮前两步所画的图形．则所作的符合条件的（    ） A．是不存在的 B．有一个 C．有两个 D．有三个及以上 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形角所对直角边等于斜边一半，根据以B点为圆心，6为半径画圆弧即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵以点为圆心，以6为半径画弧交射线于点如图所示交于两点， 故选：C． ． 题型 三角形的尺规作图求解或证明 31．如图，已知，点B为上一点，用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；以点B为圆心，以为半径作弧，交于点F；以点F为圆心，以为半径作弧，交前面的弧于点G；连接并延长交于点C，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图求得，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可解决问题． 【详解】解：连接，，    根据题意得，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形性质和三角形的外角的性质等，解题的关键是掌握基本作图，熟练掌握三角形外角的性质． 32．我们知道，将一个三角形的其中一个角撕下来，拼到另一个角的旁边，可以得到三角形三个内角的和为．小明认为，不用撕角，利用尺规作平行线也可以说明这个结论．如图，，，是的三个内角． (1)利用尺规作过点的直线，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)试说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—平行线，平行线的判定和性质，三角形的内角和等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作，利用内错角相等两直线平行即可； （2）利用平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，； （2）解：由作图，， 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以, 根据“两直线平行，内错角相等”， 所以 因为是平角， 根据“平角的定义”， 所以， 所以． 33．如图，点，分别是三角形的边，上的点． (1)按要求作图：过点作线段，交于点； (2)在（1）的条件下，给出下列两个论断：①；②．请你以其中一个论断为题设，另一个论断作为结论．构造一个真命题，并给出证明； 题设：_____，结论：_____．（填序号） 证明： (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作平行线，平行线的性质与判定； （1）作，交于点； （2）任选一个作为题设，另一个作为结论，根据平行线的性质与判定证明即可； （3）根据题意设，则，进而根据平角的定义求得，得出，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）题设：①，结论：②． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题设：②，结论：①． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 34．如图，中，平分，平分 (1)求作线段，使得过O且平行于，交于E，F．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)探索之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用尺规作图，作出即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出，，进而得出，，再根据线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵平分，平分，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，， ∴ 35．教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做，如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形． 　　　 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的角形有几种？ (1)[操作发现] 如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． (2)[探究证明]阅读并补全证明 已知：如图（2），在和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使， ∵， ∴______， 又∵，而， ∴______， ∵， ∴______， 又∵______， ∴（______）， ∴（______）． 【答案】(1)不一定 (2)，，，，，全等三角形对应边相等 【分析】本题主要考查了尺规作图作三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）依题意，通过作图可以得出结论； （2）根据已有的过程且结合全等三角形的判定与性质即可完成证明． 【详解】（1）解：如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等， 故答案为：不一定； （2）证明：在上取一点G，使， ∵， ∴， 又∵，而， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）， 故答案为：，，，，，全等三角形对应边相等． 36．阅读与思考：等角线的奥秘 【概念理解】 在平面几何中，我们引入“等角线”的概念：如图1，若在中，射线、是内部的两条射线，且，则称射线与是的一对等角线． 【问题探究】 (1)基础应用 如图2，已知在中，，射线、是的一对等角线，且，则 ． (2)性质拓展 如图3，在中，、是的一对等角线，过点作交于点，过点作交于点．证明：． (3)尺规作图 已知和内部的一条射线，请用尺规作图的方法，过点作射线，使、成为的一对等角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—作与已知角相等的角，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用角的和差定义求解； （2）根据平行线的性质以及一对等角线的定义证明即可； （3）以A为顶点，为边，在左侧作，交于点N． 【详解】（1）（1）解：如图2中，由题意， ． 故答案为：； （2）证明：是的一对等角线， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中，射线即为所求． 37．李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一结论，剪了一个三角形纸片，如图1，将撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该结论正确． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来说明“三角形内角和等于”这一结论正确，过程如下： 已知：如图，． 试说明：． 解：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点． 因为（已作） 所以____________（ ） 所以（ ） 又因为____________（平角的定义） 所以（等量代换） 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善说明过程． 【答案】，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；作图见详解 【分析】本题考查了作图—复杂作图，平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．根据作一个角等于已知角的方法作图即可；根据平行线的判定与性质、平角的定义填空即可． 【详解】解：如图，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点． 因为（已作） 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 又因为（平角的定义） 所以（等量代换） 故答案为：，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；． 作图如下： 38．如图，是的角平分线，请完成以下作图与填空： (1)用尺规在右侧作，使得，射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在中，，，是的角平分线，．求的度数． 解：在中，________①______°， ． 是的角平分线， _________②_________． ， ___________③___________， ． 【答案】(1)见解析 (2)①180，②③ 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，与角平分线有关的三角形内角和问题，平行线的性质和判定等知识，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法求解即可； （2）首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：在中，， ． 是的角平分线， ． ， ， ． 故答案为：①180，②③. 39.教科书第39页有下面一段文字： 思考： 如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？ 图1中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案． (1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到上，看它们是否重合． 请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）； (2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3． 求证：．请写出证明过程． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定和性质， （1）作，作，即可； （2）过作，垂足为，过作，垂足为，证明得，证明得，最后利用即可得证； 解题的关键是掌握五个基本作图，全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：如图， 则即为所作； （2）证明：过作，垂足为，过作，垂足为， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 40．综合与实践 用一般观念研究筝形 研究对象：筝形 研究思路：类比线段、角、三角形，按“定义一性质一应用”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究角度：整体——对称性 要素——边角及相关元素的关系 研究方法：观察（度量、实验）——猜想——验证 研究内容： 【一般概念】如图，在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探索】根据定义，探索筝形的性质，得出如下结论： 内角：筝形有一组对角相等 对角线：…… 问题解决： (1)尺规作图：如图2，已知，求作一点，使得四边形是等形．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知：如图3，在筝形中，．证明：． (3)如图4，连接筝形的对角线，相交于点． ①猜想与的位置关系，与的数量关系，请分别说明理由． ②如图4，在筝形中，已知，则筝形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，见解析；② 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据筝形四边形的定义进行画图即可； （2）根据证明即可得到结论； （3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系； （4）根据进行计算即可． 【详解】（1）如图，四边形即为所求 （2）如图，连接 在与中， ， ； （3）①；，理由如下 由（2）可得， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； ②四边形是筝形， ， ∵ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $