17.4 直角三角形全等的判定（教学课件）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的判定，包含HL定理、已知直角边和斜边作直角三角形的作图及角平分线性质定理的逆定理。通过勾股定理引导学生探究HL定理证明，衔接已有全等判定知识，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于培养数学思维的推理能力与几何直观，通过“一起探究”自主推导HL定理，结合典例（如用HL证角平分线逆定理）和分层练习，规范符号语言。课堂小结系统梳理要点，助力学生提升逻辑推理与应用能力，也为教师提供结构化资源，提高教学效率。

17.4 直角三角形全等的判定 第十七章 特殊三角形 冀教版2024 八年级上册 1 2 3 探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单的应用；（重点） 会利用基本作图完成：已知一直角边和斜边作直角三角形； （重点） 掌握角平分线性质定理的逆定理和简单的应用；（重点） 学习●目标 新知●探究 一起探究 如果两边对应相等的两个直角三角形，那么其第三边一定相等吗？ 由勾股定理可知，两边对应相等的两个直角三角形，其第三边一定相等。 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？ 新知●探究 已知:如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB = A'B', AC=A'C'. 求证:△ABC≌△A'B'C'. 证明: ∴在△ABC和△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°， ∴BC²=AB²-AC², B'C'²=A'B’-A'C'².(勾股定理): ∴AB=A'B',AC=A'C', ∴ BC=B'C' ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). A B C A' B' C' 你能得出什么结论? 新知●探究 总结归纳 直角三角形全等的判定定理: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 符号语言 条件1 条件2 前提 A B C A´ B´ C´ ┓ ┓ 在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中 ∴ Rt△ABC≌Rt△A´B´C（HL） { AB=A′B′ AC=A′C′ (或BC=B′C′) \\ \\ \ \ “斜边、直角边” 或“HL”. 典例●精析 例1 已知:如图17.4-2，线段a，c. a 求作:△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c. 分析:首先作出边BC，由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线，由AB=c可以确定点A. a c 典例●精析 作法:如图17.4-3. (1)作线段CB=a. (2) 过点C，作MC⊥CB. (3)以B为圆心、c为半径画弧，交 CM 于点 A. (4)连接AB. △ABC 即为所求. 典例●精析 例2 已知:如图17.4-4，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB， 垂足分别为C，D，且PC=PD.求证:点P在∠AOB的平分线上. A B C D O P 分析： 点P在∠AOB的平分线上 OP平分∠AOB ∠COP=∠DOP Rt△OPC≌Rt△OPD 典例●精析 证明:如图，作射线OP. ∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴ ∠PCO=∠PDO=90°. 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD中， PC=PD(已知)，OP=OP(公共边)， :∴.Rt△OPC≌Rt△OPD(HL). :∠POA=∠POB. ∴OP 是∠AOB的平分线， 即点P在∠AOB 的平分线上. A B C D O P 新知●探究 总结归纳 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言 P A O B C E D 1 2 ∵PD=PE，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴∠1= ∠2. 即点P∠AOB的平分线OC上。 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 角平分线性质定理的逆定理： 基础巩固题 新知●应用 1.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）两个锐角和一条直角边对应相等； （ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） HL × SAS AAS AAS 基础巩固题 新知●应用 2．如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　) A．SSS  B．ASA  C．SSA  D．HL D 3.如图，在△ABC中，∠C=90°,DE⊥AB于点E，BE=BC,若AC=6，则AD+DE等于( ) A.7 B.6 C.5 D.4 B 基础巩固题 新知●应用 4.已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距离相等，那么点M(　　)    A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上    C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上 C 5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4 cm,CE=3 cm,则DE=　 ____　cm.  7 基础巩固题 新知●应用 6.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，则下列结论正确的个数为(　　) ①∠B＝∠C； ②△ADO≌△AEO； ③△BOD≌△COE； ④图中有4对三角形全等． A．4个  B．3个  C．2个  D．1个 A 基础巩固题 新知●应用 7.回答下列问题，并说明理由. (1)有两条边分别相等的两个直角三角形是否全等? (2)有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形是否一定全等? 全等 全等 基础巩固题 新知●应用 8.已知:如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E， BD=CE.求证:AB=AC. 证明: ∵CE⊥AB BD⊥AC BD=CE BC=BC ∴△BCE ≌△CBD ∴∠ABC= ∠ACB ∴AB=AC 基础巩固题 新知●应用 9.如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，AC=BD，AC交BD于点F.求∠BFC的度数. 解：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠ABC=∠BED=90°. 在 Rt△ABC和Rt△BED中， AB=BE， AC=BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BED（HL） ∴∠DBE=∠CAB. ∵∠ABC=90°， ∴∠CAB+∠ACB=90°， ∴∠DBE+∠ACB=90°，∴∠BFC=90°. 新知●应用 能力提升题 10. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且AC⊥AB，DE⊥DF.两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?为什么? 解:∠ABC +∠DFE=90°.理由如下: 因为AC⊥AB,DE ⊥DF, 所以∠BAC= ∠EDF=90°. 在 Rt△ABC和 Rt△DEF中， BC=EF(已知)， AC=DF(已知)， 所以 RtΔABC≌Rt△DEF(HL)， 所以∠ACB= ∠DFE. 在Rt△ABC 中,因为∠ABC+∠ACB=90°， 所以∠ABC+ ∠DFE =90°. 新知●应用 能力提升题 11.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F. 求证：CE＝DF. 新知●应用 能力提升题 12.感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC． 探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证： DB＝DC． 新知●应用 能力提升题 课堂●小结 【点拨】本题根据∠ACD与∠FCD是邻补角及 ∠ABD＋∠ACD＝180°得出∠B＝∠FCD，再根据全等三角形的判定与性质得出结论． 证明：如图，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD. 在△DFC和△DEB中， ∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DB＝DC. $