17.4直角三角形全等的判定 讲义 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“直角三角形全等的判定”核心知识点，系统梳理斜边直角边定理（HL定理）的文字表述、符号语言及注意事项，通过思维导图构建知识支架，衔接一般三角形全等判定方法，形成从一般到特殊的认知脉络。 资料以思维导图辅助几何直观，助力学生用数学眼光构建知识体系，例题设计涵盖基础选择与综合证明题，培养推理意识与应用能力，贴合中等生提升需求，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识查漏补缺。

17.4直角三角形全等的判定 (30分提至70分使用) 讲 概 览 HL定理 新课探索 直角三角形全等判定的注意事项 讲义内容 用HL证全等 题型练习 全等的性质和HL综合 新 课 探 索 直角三角形全等的判定公理：斜边、直角边定理(HL定理) 1.文字表述：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 2. 符号语言：在Rt△ABC和RtAA'B'C中，∠C=∠C=90°，若AB=A'B', BC=B'C'(或AC=A'C'),则Rt△ABC兰Rt△A'B'C(HL)。 直角三角形全等判定的注意事项 1.HL定理的适用条件：仅适用于直角三角形，必须明确指出两个三角形是直角三角形 (或已有直角符号)。 2.元素对应关系：无论是HL定理还是一般判定方法，都必须强调“对应”相等，而非部 分边或角相等。 3.HL与SSA的区别：HL定理是SSA在直角三角形中的特例，对于一般三角形，SSA不 能判定全等，但在直角三角形中，当斜边和一条直角边对应相等时，可以判定全等。 题 型 练 习 用HL证全等 1.如图，C,F为线段AE上两点，BC⊥AE,DF⊥AE,AB=DE,则添加一个条件：不 能用“HL”判定△ABC≌△EDF的是() B A.BC=DF B.∠A=∠E C.AF=CE D.AC=EF 2.如图，AC⊥BD于点P,AP=CP,添加下列一个条件后，能使用“HL”判定 △ABP≌△CDP的条件是() B D D C A.AB∥CD B.∠B与∠C互余C.BP=DP D.AB=CD 3.如图，AE⊥BD于点C,AB=ED,AC=EC,则可以直接判定△ABC≌△EDC的依 据是() B D A.AAS B.HL C.SAS D.SSS 4.如图，己知LC=∠D=90°，利用HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则添加的条件可 以是() B A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABD D.ZBAC=ZBAD 5.如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定RtAABD和RtACDB全等，则需要添 加的条件是() D A.AD=CB B.∠A=∠C C.∠ADB=∠CBDD.AB=CD 全等的性质和HL综合 6.如图，AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O. D B (I)求证：AD=AE; (2)连接A0,求证：A0平分∠BAC. 7.已知，如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于点O,且AC=BD.求证： A0=B0. 4 B 8.己知：如图，BC和EF是两个长度相等的滑梯，AC=DF.求证： ∠ABC+∠DFE=90°. E B 9.如图，在四边形ABCD中，LA=LB=90°，E为AB的中点，DE平分∠ADC. A D B (I)求证：CE平分∠BCD; (2)求证：AD+BC=CD. l0.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是边AC上一点，连接BD,EC⊥AC, 且AE=BD,AE与BC交于点F, (I)求证：CE=AD; (2)当AD=CF时，求∠ABD的度数. 17.4直角三角形全等的判定 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 直角三角形全等的判定公理：斜边、直角边定理（HL定理） 1. 文字表述：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 2. 符号语言：在和中，，若，（或），则（HL）。 直角三角形全等判定的注意事项 1. HL定理的适用条件：仅适用于直角三角形，必须明确指出两个三角形是直角三角形（或已有直角符号）。 2. 元素对应关系：无论是HL定理还是一般判定方法，都必须强调“对应”相等，而非部分边或角相等。 3. HL与SSA的区别：HL定理是SSA在直角三角形中的特例，对于一般三角形，SSA不能判定全等，但在直角三角形中，当斜边和一条直角边对应相等时，可以判定全等。 型 习 练 题 用HL证全等 1．如图，为线段上两点，，，，则添加一个条件：不能用“”判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，根据判定定理即可． 【详解】解：∵，， ∴和是直角三角形， 又∵， ．当，可以用“”判定，故该选项不符合题意； ．当，不可以用“”判定，故该选项符合题意； ．当，∴，即，可以用“”判定，故该选项不符合题意； ．当，可以用“”判定，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，于点，，添加下列一个条件后，能使用“”判定的条件是（   ） A． B．与互余 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，熟记“”定理是解题的关键，要利用“”判定，由已知于点，，得必须添加斜边相等即可． 【详解】解：于，， ∴利用“”判定必须添加斜边相等，即， 故选：． 3．如图，于点，，，则可以直接判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ， 在和中 ， ∴． 故选：B． 4．如图，已知，利用“HL”判定与全等，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即或． 【详解】解：∵，且， ∴添加条件或，都能利用“”判定， 观察四个选项，选项A符合题意． 故选：A． 5．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 由图示可知为公共边，若想用 判定证明 和 全等，必须添加． 【详解】解：∵， ， ∵， A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意；     C．，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； 故选：A． 全等的性质和HL综合 6．如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）连接，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 7．已知，如图，，，与交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用证明得到，再利用证明，则可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴． 8．已知：如图，和是两个长度相等的滑梯，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了斜边直角边定理、全等三角形的性质，关键是熟练运用知识点解题； 先论证，可得，最后利用直角三角形两锐角互余得出结论． 【详解】证明：由题意得：， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，在四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据角平分线的性质说明，再结合线段中点的意义说明，然后根据角平分线判断得出结论； （2）先根据分别证明，，分别得出，，结合可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵，， ∴ 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， 即． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，全等的性质和综合（），角平分线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 10．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角． （1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到； （2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $