17.3 勾股定理（第2课时勾股定理的应用）（教学课件）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的实际应用，通过“长方形零件圆孔距离”等实例导入，将实际问题转化为数学问题，构建直角三角形模型，以“实际问题→建模→解决”为脉络，提供解题流程与转化思想作为学习支架。 其特色在于以转化思想为核心，通过小鸟飞行、旗杆折断等多样化实例，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理求解（如列方程解决梯子滑动问题）、用数学语言表达模型（如构建直角三角形描述距离）的能力。采用实例驱动与问题导向教学，课堂小结结构化梳理思路，助力学生提升建模能力，为教师提供系统教学资源与实践案例。

17.3 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用 第十七章 特殊三角形 冀教版2024 八年级上册 导入●新课 勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². 知二推一 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 c a b a2 + b2 = c2 a2 = c2- b2 b2 = c2 - a2 1 2 3 能运用勾股定理解决简单的实际问题。（重点） 通过例题的分析和解决，感受勾股定理在实际生活中的应用（重点） 能运用转化思想将实际问题转化为数学模型，再运用勾股定理来解（难点） 学习●目标 典例●精析 例1 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B处设立了一根标杆，使∠ACB=90°，并测得AB=200m，BC=160m.根据测量结果，求点A和点C之间的距离. 实际问题 转化 数学问题 直角三角形 利用 勾股定理 构建 解决 构建直角三角形 AB=200m BC=160m AC=?m 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来 典例●精析 解:在△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AC²+BC²=AB²(勾股定理) ∵AB=200 m，BC=160 m， ∴AC ===120(m). 答:点A和点C间的距离是120m. 新知●探究 做一做 图17.3-6是某厂房屋顶的三角架的示意图.已知AB=AC=17 m， AD⊥BC，垂足为D，AD=8m，求BC的长. ∟ A B C D 等腰三角形 三线合一 求BC 求BD Rt△ABD 分析： AB=17m AD=8m AD⊥BC 新知●探究 解：在Rt△ABD中， ∵AB=17 m，AD=8 m， ∴BD2=AB2-AD2=172-82=225， ∴BD=15 m， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2BD=30 m. ∟ A B C D 典例●精析 例2 如图17.3-7，在长为50mm、宽为40mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示，求孔中心A和B间的距离 C A B 26 15 18 10 实际问题 转化 数学问题 直角三角形 利用 勾股定理 构建 解决 构建直角三角形ABC 典例●精析 解:∵△ABC是直角三角形， ∴AB²=AC²+BC². ∵AC=50-15-26=9(mm)， BC=40-18-10=12(mm)， ∴AB===15(mm). 答:孔中心A和B间的距离是15mm. C A B 26 15 18 10 新知●探究 应用勾股定理解决实际问题的一般思路： 2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。 1、在解决实际问题时， 首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型， 再运用勾股定理解决实际问题。 总结归纳 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 基础巩固题 新知●应用 1 .如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 B 构建直角三角形 基础巩固题 新知●应用 2.如图，数轴上的点A所表示的数为（    ） A． B． C． D． C 3．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 D 基础巩固题 新知●应用 4.如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=16米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子AB的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 A 基础巩固题 新知●应用 5.如图，一枝长30cm的花插在圆柱形花瓶中（壁厚不计），花瓶底面直径为7cm，高为24cm，则这枝花露在花瓶外面部分的长度最短为（   ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm C 构建直角三角形模型 基础巩固题 新知●应用 6.如图，圆柱形玻璃杯，高为6cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（   ）cm． A．6 B．8 C．10 D．12 C 构建直角三角形模型 基础巩固题 新知●应用 7.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步（即CD的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为（   ）尺. A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 C 构建直角三角形模型 基础巩固题 新知●应用 8.如图，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开港口A向西南方向航行.那么它们离开港口1.5h后，相距多远? 解: 如图，连接BC. AC=16x1.5=24海里， AB=12x1.5=18海里， 且∠BAC为90°， ∴ BC==30 (海里) 答:B、C之间的距离为30海里. 基础巩固题 新知●应用 9.如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=16. 求△ABC的面积. A C 解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D. ∵AB=AC，∴AD是△ABC底边BC上的中线， ∴BD=CD= BC= ×16=8. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得AD2=AB2－BD2=122－82=80，AD= . ∴S△ABC = BC·AD= ×16× = . D 新知●应用 能力提升题 10、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ 解：设AE= x km， 解得：x=10 则 BE=（25-x）km C A E B D x 25-x 15 10 分析：由条件知：DE=CE 得：152+x2=(25-x)2+102 答：E站应建在离A站10km处. 利用勾股定理，列方程，解决实际问题。 新知●应用 能力提升题 11. AE是位于公路边的电线杆，高12m，为了使电线 CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线，如图所示，已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°.求电线CDE的总长L(A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计). 实际问题 数学问题 转化 建模 构造直角三角形 (提示：过点D作DF⊥AE于点F) 新知●应用 能力提升题 ∟ ∟ E A B D C 600 12m 8m 6m ∟ F 解:如图所示,过点D作DF⊥AE,垂足为点F， 则四边形ABDF为长方形， 所以DF =AB =8 m,AF=BD =6 m, EF=AE -AF=12-6 =6(m). 在 Rt△EFD中,由勾股定理,得 DE = = =10(m). 在 Rt△BCD中,∠DBC=90°,BD=6 m,∠BCD =60°,所以∠BDC =30°,所以 BC =CD. 设BC =xm,则CD=2x m, 由勾股定理,得BD² =CD² - BC² , 即 6² =(2x)² -x² ,所以 3x² =36， 解得x =2(负值舍去),2x =4， 所以 L=DE+DC =(10 +4)m, 即电线CDE的总长L为(10 +4√3)m. 课堂●小结 应用勾股定理解决实际问题的一般思路： 2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。 1、在解决实际问题时， 首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型， 再运用勾股定理解决实际问题。 $