4.3.5全等三角形的应用（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

4.3.5全等三角形的应用 （5大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用全等三角形求河（池塘）的宽度 题型二 利用全等三角形求物体的高度 题型三 添加条件使三角形全等 题型四 连接两点构造全等 题型五 作垂线构造全等 能力提升题 题型一 倍长中线构造全等 题型二 旋转构造全等 题型三 证明一条线段等于两条线段的和（差） 题型一 利用全等三角形求河（池塘）的宽度 1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，使A，C，E三点在同一条直线上，可以说明的最恰当的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用对顶角相等可得出，结合，可证出． 【详解】解：∵A、C、E在一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 2．古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据证明，得到，即可解答． 【详解】解：在和中 ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，小艺站在河边的点处，在河对面（小艺的正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树处，接着再向正西方向走了20步到达处；然后他左转后（即）直行，从点处开始计步，当小艺看到电线塔、树与自己现在的位置在一条直线时，他恰好走了42步，并且小艺一步大约0.6米．请根据以上数据求出小艺在点处时他与电线塔的距离． 【答案】25.2米 【分析】本题考查全等三角形的应用，关键是全等三角形判定定理的应用．根据可得出，由该全等三角形的性质，故可求解． 【详解】解：根据题意，得． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵小艺恰好走了42步，并且小艺一步大约0.6米， ∴（米）． 答：小艺在点A处时他与电线塔的距离为25.2米． 4．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，．垂足为D，已知米，请根据上述信息求标语的长度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，灵活选用判定三角形全等的方法是解题的关键．利用平行线的性质和题意证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 答：标语的长度为． 5．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小圣想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，小圣测得C，D之间的距离为，请你帮小圣求出锥形瓶底面的内径的长． 【答案】锥形瓶内部底面的内径的长是 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质．根据定理和全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意，得，． ∵与是对顶角， ∴． ∴． ∴． 即锥形瓶内部底面的内径的长是． 6．某校数学学习小组开展活动——测量某雕塑底部的宽度AB．由于雕塑底部中间无法到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、平面镜等，甚至还可以利用无人机．确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算雕塑底部的宽度．下面是同学们进行交流展示时的一种测量方案： 测量某雕塑底部的宽度方案 测量示意图    测量说明 如上图，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A，D在一条直线上，测出的长度． 测量结果 ，， 请根据方案计算雕塑底部的宽度． 【答案】雕塑底部的宽度为． 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键；先证明，结合，，可得，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴雕塑底部的宽度为． 7．某数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点E，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点D，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A，B两点间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， （）， ， ， ， 故A，B两点间的距离为． 题型二 利用全等三角形求物体的高度 8．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由全等三角形的判定定理或，均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ， ， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 9．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，可证明与全等，根据全等三角形性质可求出和的长，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ， 又， ， ，， ． 故选：A． 10．为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼的距离与旗杆的高度都为8米，量得旗杆与楼之间距离为米，且，点，，在同一条直线上，求楼的高度是多少米？ 【答案】楼高为米 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据题意得出米，通过证明，即可得出米． 【详解】解：根据题意可得：，米，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵米，米， ∴米， 在和中， ， ∴， ∴米， 答：楼高为米． 11．数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，阳阳所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量活动报告： 活动报告 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 目的 运用所学知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 如图，阳阳在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，此时，测得的度数，发现与互余，同时测得，，利用激光笔测得点A、点Q和点P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 安全 测量过程中注意自己及他人的安全． 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【答案】教学楼顶部宣传牌的高度为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形的内角和定理等知识，根据三角形内角和定理和余角的性质可得出，根据证明，得出，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ． 与互余， ． ， 在和中，，，， ， ， ． 教学楼顶部宣传牌的高度为3.5m． 题型三 添加条件使三角形全等 12．如图，已知点、、、在同一条直线上，，，要使，还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了添加条件证明三角形全等，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 根据题目条件可知证明的条件已经具备“两边相等”，所以只需增加“第三边相等”或者“夹角相等”即可． 【详解】解：为无意义条件，故A不符合题意， 则是，无法证明，故B不符合题意； 根据可得，则是，无法证明，故C不符合题意； 添加能利用证明，故D符合题意； 故选：D． 13．如图，点D，E在的边上，，再添加一个条件能推理得出，（不添加辅助线），下列条件不可以的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有：，，，，．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加， ∴，根据能推理得出，故此选项不符合题意； B、添加， ∴，根据能推理得出，故此选项不符合题意； C、添加，又∵， ∴， 同选项A，根据能推理得出，故此选项不符合题意； D、添加，不能推理得出，故此选项符合题意； 故选：D． 14．如图，，，添加（    ）仍不能证明和全等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的判定方法，熟记一般三角形的判定方法：，，，是解题的关键．利用全等三角形的判定依次判断即可． 【详解】解：∵，， 若添加，则，故A不符合题意； 若添加，不能证明和全等，故B符合题意； 若添加，则，故C不符合题意； 若添加，则，故D不符合题意； 故选：B． 15．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键．根据已知条件，，得出，然后分别结合每个选项给出的条件，依据全等三角形的判定定理（、、）来判断能否判定． 【详解】解：∵ ∴ ，即 又∵ 选项A：∵ ，， ∴ ，故A项不符合题意． 选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意． 选项C：∵ ，， ∴ ，故C项不符合题意． 选项D：∵ ，， ∴ ，故D项不符合题意． 故选：B． 16．如图，，有如下条件：①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)②或③或④，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：选择②或③或④ ∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：②或③或④； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 17．如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选①，理由见解析 【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等；分别添加三个条件中的1个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：选①，理由如下： ， ， 即． 在和中， ， ； 选②不能得到结论， 选③：理由如下： 在和中， ， . 18．如图，已知，点，在线段上，且． (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 【答案】(1)①或②，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定． （1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解， （2）根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】（1）解：可选取①或②； 证明：当选取①时， 在与中， ， ； 当选取②时， 在与中， ， ； （2）证明：当选取①时， ∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 当选取②时， ∵， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 题型四 连接两点构造全等 19．如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 20.如图，，，垂直平分，求证：． 【答案】证明：连接，， 是的垂直平分线， ． 又，， ≌． ．  【解析】本题考查三角形全等判定“”的应用．通过作辅助线来构造全等三角形是常用的方法之一．连接，证得，进而证得≌，则可得证． 21. 如图，中，平分，垂直平分，于，于． 证明；          若，，求、的长． 【答案】证明：连接，， 平分，，， ，， 且平分， ， 在与中， ， ≌， ； 解：在和中， ， ≌， ， 设，则， ，，，， ， 解得：， ，．  【解析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质． 连接，，由平分，于，于，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得≌，则可得； 首先证得≌，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案． 题型五 作垂线构造全等 22．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 23．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 24.上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． ． 题型一 倍长中线构造全等 25．在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 26．在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． 27．如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 28．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】举例:见解析；应用：见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键． 举例：要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． 应用：通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】解：举例：是中线， ． 在和中， ， ． 应用：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 29．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长至G，使得，连接，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ， ∴判定两个三角形全等的依据为， 故答案为：． （2）解：如图，延长至点，使，连接， 在与中，， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； （3）证明：延长至G，使得，连接， 在和中，，，， ， ， 在和中， ，，， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ． 题型二 旋转构造全等 30．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 31．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即①错误；由旋转可知，由于，即推出，即②错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即③错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明，即④正确； 【详解】由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故①错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵ 为钝角， ∴， ∴，故②错误，不符合题意； ∵DE+DC＞CE， ∴，故③错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故④正确，符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 32． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 33．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 题型三 证明一条线段等于两条线段的和（差） 34．如图，在中，，是的平分线，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．在上截取，连接，通过证明得到，，结合得到，利用三角形外角的性质推出，推出，最后利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 35．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（     ） A．AD+BC=AB+CD， B．AB+AC=DB+DC, C．AD+BC＜AB+CD， D．AB+AC＜DB+DC 【答案】D 【分析】在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接ED,证△ACD≌△AED,推出DE=DC,根据三角形中任意两边之和大于第三边即可得到AB+AC＜DB+DC. 【详解】解: 在BA的延长线上取点E, 使AE=AC,连接ED, ∵AD是△ABC的外角平分线， ∴∠EAD=∠CAD, 在△ACD和△AED中, ∴△ACD≌△AED(SAS) ∴DE=DC, 在△EBD中,BE＜BD+DE, ∴AB+AC＜DB+DC 故选:D. 【点睛】本题主要考查三角形全等的证明,全等三角形的性质,三角形的三边关系,作辅助线构造以AB、AC、DB、DC的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点. 36．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（ ） ①BC+AD=AB ； ②Ｅ为CD中点 ③∠AEB=90°； ④S△ABE=S四边形ABCD A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】在AB上截取AF=AD．证明△AED≌△AEF，△BEC≌△BEF．可证4个结论都正确． 【详解】解：在AB上截取AF=AD． 则△AED≌△AEF（SAS）． ∴∠AFE=∠D． ∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°． ∴∠C=∠BFE． ∴△BEC≌△BEF（AAS）． ∴①BC=BF，故AB=BC+AD； ②CE=EF=ED，即E是CD中点； ③∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DEF+∠CEF=×180°=90°； ④S△AEF=S△AED，S△BEF=S△BEC， ∴S△AEB=S四边形BCEF+S四边形EFAD=S四边形ABCD． 故选D． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了截取法构造全等三角形解决问题，难度中等． 37求证：； (2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】（1）证明即可根据三角形全等的性质得到结论； （2）证明即可根据三角形全等的性质得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ． ． 又 ， ． （2）解：．理由如下： ， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用同角的余角相等证明角相等是解题关键． 38．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 39．如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．已知和均垂直于地面，点、、、在同一水平线上，且与、垂直，，，．若，且，求设计出的闸机一侧边缘（即或）的长度． 【答案】． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用可证，根据全等三角形对应边相等可知，，从而可以求出，从而可得，根据可得：． 【详解】解：由题意得，， ． 在和中，， ， ，， ，， ， ， ，， ， 设计出的双翼边缘（即和）的长度为． 40．附加题 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后她测量点E到假山D的距离，则的长度就是A、B两点之间的距离． (1)你能说明张倩这样做的根据吗？ (2)如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定的长度范围吗？ (3)在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在中，是边的中线，，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)40米米 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）只需要证明即可得到答案； （2）确定的长度范围只需要确定的长度，由三角形三边的关系求解即可得到答案； （3）延长到E使得，连接，根据（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ∴， ∴． （2）∵， 又∵， ∴， 即40米米， ∴40米米． （3）如图，延长至E使，连接； 则， 根据（1）（2），∴， ∴， 即． 41．如图是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示． 所测的量 长度 小梧将示意图抽象成图的几何图；并连接．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 【答案】该广角灯的位置符合要求． 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由，，则，然后证明即可，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， ∴该广角灯的位置符合要求． 42．【主题】：军事训练中的距离测量问题： 【素材】：在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题． 【实践操作】：如图所示： 步骤：面向点竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤：步测得米，已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】： (1)由上面实践操作可以知道距离是______米； (2)请用你所学数学知识，说明（1）中所填结论的正确性． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】根据全等三角形的性质求解； 根据全等三角形的性质求解． 本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由上面实践操作可以知道距离是米； 故答案为：； （2）解：在和中， ， ≌， 米． 43．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可； （2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可． 【详解】证明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△CAE与△ABD中 ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴AE＝BD； （2）连接AH ∵AB＝AC，BH＝CH， ∴∠BAH＝，∠AHB＝90°， ∴∠ABH＝∠BAH＝45°， ∴AH＝BH， ∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD， ∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD， ∴∠EAH＝∠DBH， 在△AEH与△BDH中 ∴△AEH≌△BDH（SAS）， ∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD， ∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90° 即∠EHD＝90°， ∴∠EDH＝∠DEH＝； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T． ∵DG⊥FH，ER⊥FH， ∴∠DGH＝∠ERH＝90°， ∴∠HDG+∠DHG＝90° ∵∠DHE＝90°， ∴∠EHR+∠DHG＝90°， ∴∠HDG＝∠HER 在△DHG与△HER中 ∴△DHG≌△HER （AAS）， ∴HG＝ER， ∵ET∥BC， ∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET， ∠ETF＝∠FHM， ∵∠EHB＝∠BHG， ∴∠HET＝∠ETF， ∴HE＝HT， 在△EFT与△MFH中 ， ∴△EFT≌△MFH（AAS）， ∴HF＝FT， ∴， ∴ER＝MS， ∴HG＝ER＝MS， 设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k， ， k＝， ∴FH=， ∴HE＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题． 44．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 【答案】（1）B （2）C （3）证明见解析 （4）31 【分析】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线构造全等是解题关键． （1）由中线可得，结合已知条件和对顶角相等即可确定结果． （2）将转化为，利用三角形三边关系可知． （3）利用题目中给的延长中线的方法，构造，再利用已知条件证明即可证出． （4）利用题目中给的延长中线的方法，构造可得，再证明可得，计算长度即可． 【详解】（1）解：D为中点， ， ， ， 证明方法为． 故选：B． （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 故选：C． （3）证明：延长至点M，使，连结， 为的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：延长至点，使，连结， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.5全等三角形的应用 （5大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用全等三角形求河（池塘）的宽度 题型二 利用全等三角形求物体的高度 题型三 添加条件使三角形全等 题型四 连接两点构造全等 题型五 作垂线构造全等 能力提升题 题型一 倍长中线构造全等 题型二 旋转构造全等 题型三 证明一条线段等于两条线段的和（差） 题型一 利用全等三角形求河（池塘）的宽度 1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，使A，C，E三点在同一条直线上，可以说明的最恰当的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角 2．古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （    ） A． B． C． D． 3．如图，小艺站在河边的点处，在河对面（小艺的正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树处，接着再向正西方向走了20步到达处；然后他左转后（即）直行，从点处开始计步，当小艺看到电线塔、树与自己现在的位置在一条直线时，他恰好走了42步，并且小艺一步大约0.6米．请根据以上数据求出小艺在点处时他与电线塔的距离． 4．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，．垂足为D，已知米，请根据上述信息求标语的长度． 5．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小圣想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，小圣测得C，D之间的距离为，请你帮小圣求出锥形瓶底面的内径的长． 6．某校数学学习小组开展活动——测量某雕塑底部的宽度AB．由于雕塑底部中间无法到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、平面镜等，甚至还可以利用无人机．确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算雕塑底部的宽度．下面是同学们进行交流展示时的一种测量方案： 测量某雕塑底部的宽度方案 测量示意图    测量说明 如上图，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A，D在一条直线上，测出的长度． 测量结果 ，， 请根据方案计算雕塑底部的宽度． 7．某数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A，B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点E，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点D，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A，B两点间的距离． 题型二 利用全等三角形求物体的高度 8．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（    ） A． B． C． D． 9．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 10．为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼的距离与旗杆的高度都为8米，量得旗杆与楼之间距离为米，且，点，，在同一条直线上，求楼的高度是多少米？ 11．数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，阳阳所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量活动报告： 活动报告 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 目的 运用所学知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 如图，阳阳在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，此时，测得的度数，发现与互余，同时测得，，利用激光笔测得点A、点Q和点P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 安全 测量过程中注意自己及他人的安全． 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度． 题型三 添加条件使三角形全等 12．如图，已知点、、、在同一条直线上，，，要使，还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 13．如图，点D，E在的边上，，再添加一个条件能推理得出，（不添加辅助线），下列条件不可以的是（　　） A． B． C． D． 14．如图，，，添加（    ）仍不能证明和全等． A． B． C． D． 15．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 16．如图，，有如下条件：①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 17．如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 18．如图，已知，点，在线段上，且． (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 题型四 连接两点构造全等 19．如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 20.如图，，，垂直平分，求证：． 21. 如图，中，平分，垂直平分，于，于． 证明；          若，，求、的长． 题型五 作垂线构造全等 22．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 23．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 24.上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° ． 题型一 倍长中线构造全等 25．在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 27．如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 28．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 29．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：． 题型二 旋转构造全等 30．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 31．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 32． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 33．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 题型三 证明一条线段等于两条线段的和（差） 34．如图，在中，，是的平分线，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（     ） A．AD+BC=AB+CD， B．AB+AC=DB+DC, C．AD+BC＜AB+CD， D．AB+AC＜DB+DC 36．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（ ） ①BC+AD=AB ； ②Ｅ为CD中点 ③∠AEB=90°； ④S△ABE=S四边形ABCD A．1 B．2 C．3 D．4 37.求证：； (2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 38．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 39．如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．已知和均垂直于地面，点、、、在同一水平线上，且与、垂直，，，．若，且，求设计出的闸机一侧边缘（即或）的长度． 40．附加题 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后她测量点E到假山D的距离，则的长度就是A、B两点之间的距离． (1)你能说明张倩这样做的根据吗？ (2)如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定的长度范围吗？ (3)在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在中，是边的中线，，，求的取值范围． 41．如图是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示． 所测的量 长度 小梧将示意图抽象成图的几何图；并连接．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 42．【主题】：军事训练中的距离测量问题： 【素材】：在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题． 【实践操作】：如图所示： 步骤：面向点竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤：步测得米，已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】： (1)由上面实践操作可以知道距离是______米； (2)请用你所学数学知识，说明（1）中所填结论的正确性． 43．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 44．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $