专题01 椭圆及其标准方程与简单的几何性质（压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01椭圆及其标准方程与简单的几何性质 目录 专题01椭圆及其标准方程与简单的几何性质 椭圆的定义 类型二、椭圆的标准方程 类型三、椭圆的几何性质 类型四、椭圆的和差最值 类型五、焦点三角形 类型六、椭圆的离心率 类型七、椭圆离心率的取值范围 类型八、椭圆的中点弦 类型九、轨迹方程问题 类型十、椭圆中的弦长问题 类型十一、椭圆中的面积问题 类型十二、椭圆中的定值定点问题 压轴专练 典例详解 类型一、椭圆的定义 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视， 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量， 常数(2)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件. 例1.己知△ABC的周长为12，BC=4,当△ABC的面积最大时，则△ABC的内切圆半径为() A.号 8.25 45 3 c.5 D. 变式1-1.设椭圆C:等+号=1的左右焦点分别为F1F2,点P在椭圆上，cos∠R1PF2=昌∠P1PF2的 平分线与x轴交于点A,则PA=() A.5 B.2V5 c.30 4 D.35 4 变式1-2.已知FF2是椭圆C:号+号=1的两个焦点，点M在C上，则点十扇的最小值为 变式1-3.如图，已知F是椭圆等+号=1的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是椭圆上任意一点，以PF为 直径作圆N,射线ON与圆N交于点Q,则AQ的取值范围为 1/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方类型二、椭圆的标准方程 求椭圆方程有两种方法： 1.用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定子，2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程.其中常用的关系有： ①b2=a2-c2; ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a; ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a. 2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 注意：当椭圆焦点位置不明确时，可设为x2m十y2n=1(m>0,n>0,m≠n),也可设为Ax2+By2=1(A>0,B >0,且A≠B). 例2.已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)的左、右焦点分别为RP2,左右顶点分别为M,N,过F2的 直线！交C于AB两点（异于点M,N),△AF1B的周长为4V3,且直线AM与AN的斜率之积为-号，则椭圆 C的标准方程为() A.号+号=1 8.号+=1 c.器+号=1 D.器+号-1 变式21.已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)的左、右焦点分别为PP2,上顶点为M,若 ∠F1MF2=等，且△FMF2的面积为V5,则C的标准方程为 变式2-2.解方程Vx2+6x+13+Vx2-6x+13=10,x=一 变式2-3.已知椭圆的中心在原点0，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P,Q且0P⊥OQ, 1PQ1=耍，求该椭圆的方程 类型三、椭圆的几何性质 例3.已知8(0,1)和椭圆C:苦+y2=1,点P在C上， 则PB的最大值为() A.哥 B.6 c.5 D.2 变式31.若点P(1,a)在椭圆x2若=2的内部，则实数a的取值范围为() 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.(-2,+∞) B.(-2,-)U(-,0) c.(-2,0) D.（-2,-)U(-克，+∞) 变式32.已知椭圆等+y2=1,若椭圆上存在两个不同点AB关于直线y=2x+m对称，则实数m的取 值范围是() A9<m<号 8.9<m<9 c.9<m<9 D.-V2<m<V2 变式33.已知A,B分别为椭圆T:+y2=1(a>1)的上、下顶点，C是椭圆r上异于A,B的点，点D在 坐标平面内，且AC⊥AD,BC⊥BD, 若四边形CADB的面积的最大值为子，则a=一 类型四、 椭圆的和差最值 总体理论依据： 1.线段公理一一两点之间，线段最短。 2.对称的性质一一①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应 点连线的垂直平分线 3.三角形两边之和大于第三边。 4.三角形两边之差小于第三边。 5.垂直线段最短 例4.已知椭圆C:号+号=1的左、右焦点分别为F,F2M为椭圆C上任意一点，N为圆E: (x-5)+y-3)2=1上任意一点，则MN-1MF的最小值为() A.4+2V3 B.4-25 c.5-25 D.2+2W3 变式4-1.已知椭圆C:等+号=1的左、右焦点分别为F1,F2,M为椭圆C上任意一点，则下列说法错 误的是() A.△MF1F2的周长为6 B.△MF1F2面积的最大值为V5 C.|MF2的取值范围为1,3 D.|MF1-|MF2的最小值为-1 变式42.（多选）已知椭圆C:等+写=1，F,F2上分别为它的左右焦点，点A,B分别为它的左右顶点， 已知定点N(4,4),点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有() A.存在4个点M,使得∠F1MF2=90°B.直线MA与直线MB斜率乘积为定值-要 C.N京+N京有最小值号 D.MN+MF的取值范围为4W5,14 变式43.已知F1是椭圆等+名=1的左焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则 PM-PF的最小值为，IPM+|PF1的最大值为 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方类型五、焦点三角形 求椭圆中焦点三角形面积的方法： ①根据椭圆的定义求出PF+PF2=2a ②利用余弦定理表示出PF,PF2,FF2之间满足的关系式： ③利用公式SAPF5=12×PR|·P,sin∠FPP,求得面积.利用公式SPrR=12×FB×p(p为P 点的纵坐标)求得面积 ④结论：Sapr,B=b2tan号 例5.椭圆T:等+号=1的左顶点为A,右焦点为EP为r上一点，则△APF的周长的取值范围为() A.(6,9) B.（6,9] c.(6,8] D.（6,8) 变式5-1.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦 点，如图所示.设椭圆C的两个焦点分别为F(-C,0)F(c,0(c>0).若光线由F1发出经椭圆C两次反射 后回到F1经过的路程为12c,点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为l,F2在1上的射影H 在圆x2+y2=9上，则△PF1F2的周长为() A.3 B.4 C.6 D.8 变式52.已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)的左右焦点分别为R1,F2,过F2的直线与C交于A,B两 点.若|AF2=3FB1,|AB|=2AF1,且△ABF1的面积为4V15,则椭圆C的方程为一· 变式53.设R1、F2是椭圆等+君=1的两个焦点，若椭圆上点P满足∠RPF2=哥，记△RPP的外 接圆和内切圆半径分别是R、r,则祭的值为 4/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型六、椭圆的离心率 椭圆的离心率的求法： (1)直接求a,c后求e,或利用e=b2a2),求出ba后求e. (2)将条件转化为关于a,b,c的关系式，利用b=a2-c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于ca (e)的方程求e. 例6.设椭圆E:等+器=1(a>b>0)的左右焦点分别为R1,P2,椭圆E上点P满足PR11PP2,直 线PR和直线PP,分别和椭假E交于异于点P的点A和点B,若器=手，则椭圆E的离心率为() A B.与 C.v10 D.7 5 式61.已知椭圆C:器+器=1(a>b>0)的左、右焦点分别为PP2点P在椭圆C上，且∠RPR2 为直角.若3PF2=4PF1,则椭圆C的离心率是() A.昌 B.月 c. D. 变式6-2.已知0为坐标原点，F1,F2为椭圆等+=1(a>b>0)的左、右焦点，1BF2=6,P 是椭圆上异于顶点的一点，点Q是以PF2为底的等腰三角形FPF的内切圆圆心，过F1作FM⊥PQ,垂 足为M,1OM|=2,则椭圆的离心率为 变式63.已知点P是以R、F2为焦点的椭圆等+三=1(a>b>0)上一点，若PR11PP2 tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e= 么类型七、椭圆离心率的取值范围 求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间 (0,1)取交集. 例7.椭圆等+器=1（日>b>0)的一个焦点和-个顶点在圆(x-)2+(y-2)}2=孕上，则该椭圆的离 心率的取值不可能是() A. B.写 c D.9 变式7-1.（多选）已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)的左右焦点分别为PP2,上顶点为A,直线AP2与 C的另一个交点为B,下列结论正确的是() A.若AP=28F,则C的离心率为号 B.若18R=3到BR,侧C的离心*为9 C.若制AB1=BR,则C的离心率为9 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.若AR1上BR:则C的离心率为号 变式7-2.已知点P在圆x2+y2-6y+8=0上，点Q在椭圆器+y2=1(a>1)上，且|PQ的最大值等 于5，则椭圆的离心率的最大值为】 变式73.设P1,F2为椭圆等+器=1a>b>0)的左、右焦点，且到BF2=2c,若椭圆上存在点p使 得引PF1·|PF2=2c2,则椭圆的离心率的取值范围为」 类型八、椭圆的中点弦 解决椭圆中点弦问题的两种方法： (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与 系数的关系以及中点坐标公式解决： (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和 M 例8.已知过点D(-4,0)的直线]与椭圆等+号=1交于不同的两点AB.若M是弦AB的中点，则的最 小值为() A.4 B.3 C.2 D.1 故选：C 变式8-1.（多选）已知椭圆等+y2=1,斜率为k且不经过原点O的直线1与椭圆相交于A,B两点，P 为椭圆的左顶点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的() A.若直线0M斜率为k0,则ko·k=-1 B.若点M的坐标为(1，专)，则直线1的方程为x+2y-2=0 C.若直线1的方程为y=x-V3,则AB=昌 D.若直线1过椭圆右焦点，则线段AB的最小值为1 变式8-2.（多选）已知精圆C:等+器=1a>b>0)的左，右两个焦点分别是F1,P2,其中 F1F=2c(c>0),直线经过左焦点F1与椭圆交于A,B两点，则下列说法中正确的() A.△ABF2的周长为4a B.当直线AB的斜率存在时，记kAB=k(k≠0，若AB的中点为M,0为坐标原点，则koNk=甚 c。若AA,=3c2,则特圆的离心率的取值范阁是[号，】 D,若|AB|的最小值为3c,则椭圆的离心率e=专 变式83.已知椭圆C:等+号=1，其右焦点为F,过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于P,Q 两点。 (1)求椭圆C的离心率； 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2)如果O京=寺可市+00，求直线PQ的方程： (3)设O为坐标原点，R为PQ的中点，线段OF上是否存在点N(n,0),使得NR⊥PQ?若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明利用。 类型九、轨迹方程问题 解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法： (1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析己知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的 定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可 (2)方程法：直接根据条件列方程化简即可。 (3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的， 只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称 为相关点法 例9.（多选）己知平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，满足AB|=3,点P满足 3A亚=2AB,记P的轨迹为B,则() A.|OP|≤2 B.E的方程为等+y2=1 C.当直线AB与E相切时，OP|=V3 D.存在线段AB,使得△OAB内心在E外部 变式9-1.（多选）已知点M(3,0),N(-3,0),P,Q是坐标平面上的两个动点，设满足 PM·PN|=t(t>0)的点P的轨迹为曲线C1,满足|QM|+|QN=8的点Q的轨迹为曲线C2,则() A.C1C2均关于x轴对称 B.△QMN面积的最大值为3V3 C.当t=10时，点P的纵坐标的最大值大于1 D.当C1,C2有公共点时，7≤t≤16 变式92.己知在平面直角坐标系内，三角形WF1F2的两个顶点F（-1,0),F1,0),且三角形WF1F2的 周长为2W2+2. (1)求平面内动点W的轨迹方程； (2过点F2的直线！与动点W的轨迹相交于P,Q两点，O为坐标原点，若∠POQ=,求直线的方程 变式9-3.设圆(x+1)2+y2=16的圆心为A,直线1过点B(1,0)且与x轴不重合，1交圆A于C、D两点， 过B作AC的平行线交AD于点E (1)证明：|EA+EB为定值，并求出点E的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以P(1,麦)为中点的弦所在的直线方程。 7/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型十、椭圆中的弦长问题 (1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦. (2)求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求. ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1,y),(x2,y2)，则弦长公式为： |ABl=1+k2x1+x2)2-4xx2=1k2Wy1+y2-4y1y2 例10.已知椭圆C等+器=1(a>b>0)的离心率为方，左焦点F与原点0的距离为1，正方形PQMN 的边PQ,MN与x轴平行，边PNQM与y轴平行，P(-号，)，M(,-号)，过F的直线与椭圆C交于 AB两点，线段AB的中垂线为.己知直线AB的斜率为k,且k>0. (1)求椭圆C的标准方程； (2)①若直线过点P,求k的值； ②若直线！与正方形PQMN的交点在边PN,QM上，1在正方形PQMN内的线段长度为s,求4西的取值范 围 变式10-1. 已椭圆C:等+器=1(a>b>0)的离心率为9 短轴长为2. (1)求C的方程； (2过左焦点F1的直线1与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，若△0AB的面积为号，求AB1. 变式10-2.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，F,T分别是椭圆C:等+y2=1(a>1)的左焦点，右 顶点，过F的直线交稀圆C于A,B两点，当AB⊥x轴时，△TAB的面积为1十与 (1)求a; (2)若斜率为的直线交椭圆C于G,H两点，N为以线段GH为直径的圆上一点，求ON的最大值， 变式10-3.如图，椭圆E:等+若=1(a>b>0)过点(1，号)，且E的离心率为号直线：y=x+t 与E交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交E于C,D两点. D (1)求E的方程； (2)求CD的最大值； 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)证明：ACA而为定值. ≈牙类型十一、椭圆中的面积问题 例11.已知中心在原点0，焦点在y轴上，离心率为号的椭圆与经过点C(-1,0)的直线！交于AB两点，若 点C在椭圆内，△OAB的面积被x轴分成两部分，且△OAC与△OBC的面积之比为4：1，则△OAB面 积的最大值为一 变式11-1.已知椭圆M焦点在x轴，离心率为9，且过点(3,0)，直线：x=ky+m(m≠3)与椭圆 M交于AB两点，且以AB为直径的圆经过定点C(3,0). (1)求椭圆M的标准方程； (2)求△ABC面积的最大值， 变式11-2.已知椭圆C:等+罗=1(a>b>0)的焦距为2，点A(1,)在C上，F是C的右焦点. (1)求C的方程； (2)如果直线：x=my+tm<0,t∈R)与C相交于P,Q两点，且射线FA平分∠PFQ. (ⅰ)求m的取值范围，并证明1过定点： (ii)求四边形FPAQ的面积S的取值范围. 变式1-3.已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)离心率为方，PQ是椭圆内过焦点且垂直于长轴的一条弦， 且PQ=3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，设椭圆C的右顶点为D,A、B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，直线x=2b与直线AD、BD交 于不同的两点M、,则当MN=63-6时，求S△4BD: 类型十二、椭圆中的定值定点问题 处理定点问题的方法： (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点： (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明： 例12.已知N(1,0),Q是圆M:(x+1)2+y2=16上的一个动点，线段QN的垂直平分线交线段QM于 点C,动点C的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程. 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)曲线E的右顶点为B,直线：y=kx+m与E相交于点S,T,设直线BS,BT的斜率分别为k1,k2, 且k1十k2=3.作BD⊥ST,垂足为D,是否存在某个定点A,使得以AB为直径的圆经过点D?若存在， 请求出点A的坐标；若不存在，请说明理由， 变式12-1.已知椭圆C:等+爷=1(a>b>0)的离心率为，其短轴长为2 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线1与椭圆C交于PQ两点(P,Q均在第一象限)，且直线OP,l,OQ的斜率分别为koP,k,k0Q,且 k=kopkoQ,证明：直线的斜率为定值。 变式12-2.已知椭圆C:等+罗=1(a>b>0)的左、右焦点分别为R1,F2,离心率为方，且椭圆上一点 M到F1的距离的最大值为3，已知直线1过F2且与椭圆交于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若AF2=2F2B,求直线1的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D,过D作直线1与椭圆C交于P,Q两点，且DP|=DQ,直线AP与BQ 交于点N,探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由 变式12-3.已知椭圆C:等+号=1的右焦点为F,斜率不为0的直线1与C交于AB两点， (1)若P(1,-支)是线段AB的中点，求直线的方程 (2)点H(1,)在C上，过点T(4,0)的直线l1交椭圆C于P,Q两点（异于点H),过点P作x轴的垂线与直线 HQ交于点M,设直线HP,HQ的斜率分别为k1k2 ①证明：k1十k2为定值； ②证明：直线HT过线段PM的中点， 压轴专练 一、单选题 1.椭圆等+三=1(a>b>0)的右焦点F,直线x=菩与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段 AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是() A(0,号 B.(0,] c.[V2-1,1) D.[31) 2.已知RF2是椭圆C:号+号=1的两个焦点，P为C上一点，且△PF:F2的内切圆半径为号，若P在第 象限，则P点的纵坐标为() A.2 B. C. D.星 3.己知A(xy),B(xy2)为椭圆等+号=1上的两个动点，名1+x2=8,且AB的垂直平分线的方 程为y=kx+m,则m的取值范围是() 10/12 专题01椭圆及其标准方程与简单的几何性质 目录 专题01椭圆及其标准方程与简单的几何性质 类型一、椭圆的定义 类型二、椭圆的标准方程 类型三、椭圆的几何性质 类型四、椭圆的和差最值 类型五、焦点三角形 类型六、椭圆的离心率 类型七、椭圆离心率的取值范围 类型八、椭圆的中点弦 类型九、轨迹方程问题 类型十、 椭圆中的弦长问题 类型十一、椭圆中的面积问题 类型十二、椭圆中的定值定点问题 压轴专练 类型一、椭圆的定义 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． 常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件． 例1．已知的周长为12，，当的面积最大时，则的内切圆半径为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，则点在以点为焦点的栯圆上（除B，C点外），所以当三角形为等边三角形时，其面积最大. 【详解】设内切圆的半径为，因为， 则点在以点为焦点的栯圆上（除B，C点外）， 所以当为正三角形时，的面积最大， 此时，解得． 故选：B． 变式1-1．设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，由椭圆定义，结合余弦定理求出，判断的形状，再利用三角形内角平分线的性质求解. 【详解】椭圆的焦点，，不妨令点在第一象限， 在中，， 则，解得，，则， 由平分，得，而，则， 所以. 故选：D 变式1-2．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 变式1-3．如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为 .    【答案】 【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围. 【详解】设为椭圆的右焦点，连接，如图所示：   、分别为、的中点，，为直径，， ， 所以点轨迹是以为圆心为半径的圆，在圆内，且， 所以，，， 即的取值范围为. 故答案为：. 类型二、椭圆的标准方程 求椭圆方程有两种方法： 1.用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有： ①b2＝a2－c2； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a； ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a. 2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 注意：当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)． 例2．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则 ，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 变式2-1．已知椭圆 的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得. 【详解】由题设，可得， 又为上顶点，则，故， 所以，则，故标准方程为. 故答案为： 变式2-2．解方程， . 【答案】/ 【分析】令，根据几何意义把方程转化为椭圆求点坐标问题来求解. 【详解】原方程变形， 令构造. 符合椭圆定义，表示，为焦点，长轴为10的椭圆， 其方程为，当时，解得， 即原方程的解为. 故答案为：. 变式2-3．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆交于，且，，求该椭圆的方程. 【答案】或 【分析】通过联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理得到交点坐标的关系，再结合垂直条件和弦长公式求解椭圆方程即可. 【详解】设，， 则以线段为直径的圆的方程为， 即. 设椭圆方程为， 由，得， ，， 即，. 从而圆的方程即为. ，圆过原点，则  ① ，圆的半径为，则，化简得  ② 由①②得或 故椭圆方程为或. 类型三、椭圆的几何性质 例3．已知和椭圆，点在上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设点坐标，将表示为与点坐标相关的二次函数，求其最值. 【详解】  设，则，且，故， 所以， 所以当时，取得最大值，则的最大值为． 另解： 设，又，则 ， 当时，取得最大值，则的最大值为． 故选：A 变式3-1．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 变式3-2．已知椭圆，若椭圆上存在两个不同点关于直线对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据题意可设直线的方程为，，，的中点为，联立直线与椭圆方程，可得，结合韦达定理可得，代入直线可得，进而求解即可. 【详解】根据题意可设直线的方程为， 设，，的中点为， 联立方程组，得， 则，解得， 由韦达定理得，则，所以． 又点在直线上，即，则， 而，则. 所以实数的取值范围是. 故选：B． 变式3-3．已知，分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于，的点，点在坐标平面内，且，，若四边形的面积的最大值为，则 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示可得，求出四边形面积关系，结合椭圆的范围求出最大值，进而求出. 【详解】在椭圆中，，设，    由，，得，，则， 两式相减得，则，而，因此， 四边形的面积，当且仅当时取等号， 由，，解得，所以. 故答案为：4 类型四、椭圆的和差最值 总体理论依据： 1.线段公理——两点之间，线段最短。 2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线 3.三角形两边之和大于第三边。 4.三角形两边之差小于第三边。 5.垂直线段最短 例4．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案. 【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故， 故， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 所以 ， 当且仅当共线，在线段上时取等号， 而， 故的最小值为， 故选：B. 变式4-1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 变式4-2．（多选）已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在4个点M，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】A选项，由为圆心为直径的圆与椭圆的交点个数判断；B选项，由满足椭圆方程，代入直线与直线斜率乘积的算式中化简即可；C选项，利用椭圆定义结合基本不等式求最小值；D选项，利用数形结合和椭圆定义，求的最值，得取值范围. 【详解】对于A中，由椭圆，可得， 由，以为圆心，为直径的圆，与椭圆C有4个交点， 所以存在4个点M，使得，A选项正确； 对于B中，设，则，且，可得， 则为定值，所以B选项错误． 对于C中，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立，所以C选项错误． 对于D中，由点N在椭圆外，设直线与椭圆相交于， 如图所示，则， 因为，且， 可知，即，当与重合时，等号成立， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：AD． 变式4-3．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程得到，然后借助定义转化为求的最小值和的最大值，即可得解． 【详解】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得． 将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示． ， 将代换为，转移到中， 连接，因为 ， 所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号， 所以的最小值为． 因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时， 取得最大值，故的最大值为． 故答案为：；． 类型五、焦点三角形 求椭圆中焦点三角形面积的方法： ①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 例5．椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可先根据椭圆的标准方程求出相关参数，再结合椭圆的定义求出的周长表达式，最后根据椭圆上点的坐标范围确定周长的取值范围。 【详解】对于椭圆，根据椭圆的标准方程， 其中为长半轴长,为短半轴长,为半焦距且 可得，则, ，所以 已知椭圆的左顶点，右焦点 根据椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，且（为椭圆的左焦点） 椭圆的左焦点,则,即 的周长,其中 所以 根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得 ,即 所以, 又因为当共线时， 此时或，所以，D正确. 答选：D 变式5-1．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是 ， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 变式5-2．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】由、及椭圆定义，可得，，，，再由余弦定理可得，又三角形的面积为，可求得，进而求出椭圆方程. 【详解】设，则， 所以，又， 所以， 又，所以， 所以，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，又三角形的面积为， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． 故答案为：．        变式5-3．设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 ． 【答案】3 【分析】利用正弦定理、余弦定理结合等积法可求的值. 【详解】 由椭圆的标准方程可得. 设，则, 在中，由余弦定理有， 故，故， 故， 而，故即， 由正弦定理可得，故. 故答案为：. 类型六、椭圆的离心率 椭圆的离心率的求法： (1)直接求a，c后求e，或利用e＝，求出后求e. (2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于(e)的方程求e. 例6．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 变式6-1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，则，则，在中，是直角，可得，再根据离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，设，则，由椭圆的定义，得， 因为是直角，所以在中，由勾股定理，得， 即，所以椭圆的离心率. 故选：B 变式6-2．已知 为坐标原点， ，为椭圆 的左、右焦点， ，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过 作，垂足为， ，则椭圆的离心率为 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及三角形内切圆的几何性质，以及三角形中位线的性质可得出. 【详解】在等腰中，. 分别延长与，交于点，因为点是三角形的内切圆圆心，所以为的平分线，如图： 又因，故与全等，所以为的中点且. 又因为为的中点，为三角形的中位线， 所以，得. 所以由椭圆的定义可得，得，所以离心率为. 故答案为： 变式6-3．已知点是以、为焦点的椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及，可求得，，结合勾股定理可求得椭圆离心率的值. 【详解】点是以、为焦点的椭圆上一点， ，，， ，可得，， 由勾股定理可得，即，， 因此，该椭圆的离心率为. 故答案为：. 类型七、椭圆离心率的取值范围 求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集． 例7．椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的取值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得圆与坐标轴的交点坐标，进而逐个讨论计算即可. 【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点坐标为， 而椭圆的焦点在轴. 当焦点坐标为，右顶点的坐标为时，，，离心率. 当焦点坐标为，上顶点的坐标为时，，，那么，离心率. 当焦点坐标为，上顶点的坐标为时，，，那么，离心率. 故选：B 变式7-1．(多选)已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用椭圆的标准方程，以及几何性质，结合余弦定理，列出关于的方程，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆，可得，且，则， 对于A中，若，可得， 又由椭圆的定义，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，可得， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 对于B中，若，因为，可得， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以B正确； 对于C中，若，可得 由椭圆的定义， 且， 所以，可得，所以， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以C不正确； 对于D中，若，设，则， 由勾股定理，可得，即， 解得，即，， 由，且三点共线，可得， 代入椭圆的方程，可得，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以D正确. 故选：ABD. 变式7-2．已知点P在圆上，点Q在椭圆 上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 【答案】 【分析】把的最大值的问题转化为椭圆上的点到圆心的最大值，进而转化为不等式恒成立问题，得到范围及离心率的最大值. 【详解】由化简为，圆心．如图，    因为，所以的最大值为5等价于的最大值为4. 设，由，得 ①，又在上 ② 联立①②消去，化简得， 即，因在上，则有，得， 故，即在上成立(*). 令，因，则函数在上单调递减. 故，由（*）可得，解得，故. 所以，即， 即椭圆的离心率的最大值为. 故答案为：. 变式7-3．设，为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，由椭圆的定义及已知得，问题化为在上存在零点，得到椭圆参数的齐次式求离心率范围. 【详解】令，则，即，且， 由，则，可得， 所以在上存在零点， 又开口向上且对称轴为，则， 所以，可得，即. 故答案为： 类型八、椭圆的中点弦 解决椭圆中点弦问题的两种方法： （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和 例8．已知过点的直线与椭圆交于不同的两点.若是弦的中点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设直线的参数方程为（为参数），与椭圆方程联立，由韦达定理得 ，进而得，进而求解. 【详解】根据题意，设直线的参数方程为（为参数）， 联立代入，得且． 设点对应的参数分别为，则有， 则， 所以，当时取得等号， 故选：C 变式8-1．（多选）已知椭圆，斜率为k且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，P为椭圆的左顶点，M为线段的中点，则下列结论正确的（   ） A．若直线斜率为，则 B．若点M的坐标为，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l过椭圆右焦点，则线段的最小值为1 【答案】BC 【分析】由两点求斜率和点在椭圆上可得A错误；由A和点斜式可得B正确；由弦长公式可得C正确；设直线方程为，联立曲线由弦长公式可得D错误. 【详解】设，    对于A， 由题意可得，， 所以， 因为点A，B在椭圆上，代入上式可得，故A错误； 对于B，由A可得， 由点斜式可得，化简可得直线l的方程为，故B正确； 对于C，联立，消去可得，，， 由弦长公式可得，故C正确； 对于D，椭圆的右焦点，设此时直线方程为， 联立曲线方程可得，消去可得， ，， 由弦长公式可得， 由函数的单调性可得当时取得最小值为1， 但此时斜率不存在，不符合题意，故D错误. 故选：BC 变式8-2．（多选）已知椭圆的左，右两个焦点分别是，，其中，直线经过左焦点与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的（    ） A．的周长为 B．当直线的斜率存在时，记，若的中点为，为坐标原点，则 C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若的最小值为，则椭圆的离心率 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义判断B，由中点弦，“作差法”判断B，由向量的数量积的坐标表示求离心率的范围，判断D，由椭圆的通径求离心率，判断D． 【详解】 直线过左焦点，的周长为，A正确； 设，，则，点， ， 由，两式相减得：， ， ，故B错误； ，， ， 即， 又，， ，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，C正确； 为椭圆的通径时最小，即轴， 令，，解得， 通径为， 整理得，即， 解得，舍去，故D正确． 故选：ACD． 变式8-3．已知椭圆，其右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于P，Q两点． (1)求椭圆C的离心率； (2)如果，求直线的方程； (3)设O为坐标原点，R为的中点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明利用． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用离心率定义计算即可得； （2）借助向量运算可得、两点坐标间的关系，再设出直线的方程与椭圆联立，由根与系数关系计算即可得直线的方程 （3）由根与系数关系的得出线段的中点的坐标，从而得到、，利用计算即可得解. 【详解】（1）由题意知，，则； （2），， 则，设，，且， ，，①， 设的直线方程为， 联立方程，有， 则 结合①可得，， 则，化简得， 则，则直线的方程为； （3）假设线段上是否存在点，使得， 由（2）可知，， ， ，， ，， 则， ， 当时，，当时，， 则n的取值范围是． 类型九、轨迹方程问题 解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法： （1）定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． （2）方程法：直接根据条件列方程化简即可。 （3）相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的， 只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法． 例9．（多选）已知平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，满足，点满足，记的轨迹为，则（    ） A． B．的方程为 C．当直线与相切时， D．存在线段，使得内心在外部 【答案】AC 【分析】由题意利用向量的坐标运算可求出P点的轨迹方程，即可判断AB；联立直线和曲线方程，可得判别式等于0，求出相关参数的值，可判断C；为直角三角形，设其内切圆半径为r，结合圆心与曲线的位置关系，可求出半径的取值范围，即可判断D. 【详解】由题意可设， 而，故， 由，得，则可得， 所以，故，即， 故的方程为，B错误； 由，得， 故，当且仅当时等号成立，A正确； 当直线与相切时，设直线的方程为， 联立，得， 则，即得， 又因为在直线上，故， 代入，得，联立， 解得， 由，得，则，C正确； 由椭圆的对称性，不妨取内心在第一象限内情况， 为直角三角形，设其内切圆半径为r，则内切圆圆心为， 若内心在外部，则需满足，即； 又，则， 由于，设，由于考虑的是第一象限情况（可包含坐标轴）， 故，则， 设，则， 则， 由于，故与矛盾， 即不存在线段，使得内心在外部，D错误， 故选：AC 变式9-1．（多选）已知点，，，是坐标平面上的两个动点，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（   ） A．均关于轴对称 B．面积的最大值为 C．当时，点的纵坐标的最大值大于1 D．当，有公共点时， 【答案】ACD 【分析】A根据条件求出点的轨迹方程即可判断；B当为的上、下顶点时，的面积最大；C取特殊点即可；D联立的两个方程得出，即，再结合椭圆的性质即可求出. 【详解】设，由，得， 将代入得 ， 所以关于轴对称； 由，知为椭圆，易得其方程为， 所以关于轴对称，故A正确； 当为的上、下顶点时，的面积最大， 故，故B错误； 当时，， 令，得，解得，即， 故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确； 由椭圆的方程，得， 代入， 得，所以， 因为，所以，解得或（舍去），D正确. 故选：ACD. 变式9-2．已知在平面直角坐标系内，三角形的两个顶点，，且三角形的周长为. (1)求平面内动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由题设得到结合椭圆定义即可求解； （2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理结合和数量积定义求出参数m即可得解. 【详解】（1）由题意知，，， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（去掉长轴的两个端点）， 所以，，， ，动点的轨迹方程为. （2）椭圆（去掉长轴的两个端点）的右焦点为， 当时，,则，此时或，此时不满足， 故过点的直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为， 代入方程中，消去得. 设，，则，， ，即，，， 则 ， 解得， 所以直线的方程为或.    变式9-3．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程． （2）设弦的两端点分别为，结合条件，利用 “点差法”，即可求解. 【详解】（1）因为，，故， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而，所以． 由题设得，，， 设点，则有，化简可得， 又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹方程为， 由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在， 设弦的两端点分别为， 则①，②， 由①②，可得， 依题意，，代入上式，， 故有，故以P(1,)为中点的 类型十、椭圆中的弦长问题 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝＝ 例10．已知椭圆的离心率为，左焦点与原点的距离为1，正方形的边，与轴平行，边与轴平行，，过的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线为．已知直线的斜率为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)①若直线过点，求的值； ②若直线与正方形的交点在边上，在正方形内的线段长度为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）根据题意求得即可得椭圆方程； （2）①设直线，，联立方程利用韦达定理求直线l的方程，代入点P运算求解即可；②根据直线l的方程求直线l与PN，QM的交点坐标，结合题意可求得，利用弦长公式整理可得，利用换元法结合对勾函数求取值范围. 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为， 由题意可得：，解得，所以椭圆. （2）①因为，则直线，， 联立方程，消去y得， 则， 可得， 则，， 即线段AB的中点为， 所以直线，即， 若直线l过点，则，整理得， 对于，则，即无解， 由，解得. ②由①可知：直线， 令，可得，即直线l与PN的交点坐标为， 令，可得，即直线l与QM的交点坐标为， 由题意可得：，解得， 可得， ， 则， 可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，且，可得， 则，可得， 即，可得. 所以的取值范围. 变式10-1．已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2． (1)求C的方程； (2)过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及短轴长的概念，由的关系式，建立方程组，可得答案； （2）设出直线方程，联立写出韦达定理，利用点到直线距离公式以及弦长公式，根据三角形面积公式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题设知：，解得， 所以C的方程为 （2） ∵，设直线的方程为，， ∵  ∴ ∴，整理得， 可得，∴， ∴， ∴，∴. 变式10-2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，F，T分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当轴时，的面积为. (1)求； (2)若斜率为的直线交椭圆C于G，H两点，N为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在椭圆方程中，令，解得，得，再根据结合，求出答案； （2）设直线：与椭圆方程联立，由韦达定理求得的中点为，利用弦长公式求得，进而得到以为直径的圆的半径，由，三角换元利用三角函数性质求出最大值. 【详解】（1）依题意有，当轴时，在椭圆方程中，令，解得，则， ，又．解得，． （2）设直线：，设，， 联立，得， 所以，所以. ，所以的中点为， 所以. 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令，， 记， 又，所以，时，. 变式10-3．如图，椭圆：过点，且的离心率为.直线：与交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点. (1)求的方程； (2)求的最大值； (3)证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上列方程计算求解得出椭圆方程； （2）联立直线和椭圆得出韦达定理，应用弦长公式计算求解； （3）根据韦达定理计算数量积可得定值即可证明. 【详解】（1）根据题意得，，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，，， 由，整理得， 所以，，，解得， 设的中点，则，， 所以的中垂线方程为：，即直线的方程为， 由，整理得，所以，， 所以 ， 又因为，所以当时，； （3）由（2）可知，，，， 所以 . 类型十一、椭圆中的面积问题 例11．已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为 ． 【答案】/1.25 【分析】设直线的方程，代入椭圆方程，由由与的面积之比为，可得，根据椭圆的离心率公式及韦达定理即可求得，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得面积的最大值. 【详解】设椭圆的方程，直线的方程为， 由，消去得， 由椭圆的离心率，得， 则，即， 于是，由与的面积之比为，得， 则，面积 ， 当且仅当，即时取等号，所以的面积的最大值为. 故答案为： 变式11-1．已知椭圆焦点在轴，离心率为，且过点，直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆经过定点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干条件列出等式，结合，即得解； （2）联立直线与椭圆方程，根据得出，即直线过定点，进而表示，代入韦达定理，换元法求解最值即可. 【详解】（1）由题意，设椭圆方程为 由于椭圆离心率为，且过点， 则，解得， 故椭圆的标准方程为：； （2）联立，可得， 设，则当时有， 若以为直径的圆经过定点，所以， 由，得， 将代入可得， 代入韦达定理可得： 化简可得，因，得， 则直线，故直线过定点， 则 ， 令，则， 当时，取得最大值. 变式11-2．已知椭圆的焦距为2，点在C上，F是C的右焦点． (1)求C的方程； (2)如果直线与C相交于P，Q两点，且射线FA平分． （ⅰ）求m的取值范围，并证明l过定点； （ⅱ）求四边形FPAQ的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2)（i），证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据焦距得到，再代入点坐标即可得到椭圆方程 （2）（ⅰ）联立椭圆方程得到韦达定理式，再将角平分线转化为，再韦达定理式整体代入化简即可 （ⅱ）四边形FPAQ的面积 令，得．所以，即可求解. 【详解】（1）设，则解得 所以C的方程为． （2）（ⅰ）将代入， 消去x并整理，得， ，即， 设，则． 由，可知轴， 所以AF平分等价于， 又， 所以，即， 整理，得， 所以，化简，得， 因为，所以， 将代入，得，结合，解得， 所以m的取值范围是． 又l的方程为，所以l经过定点． （ⅱ）由（ⅰ）知， 则四边形FPAQ的面积 令，则； 由，得，解得． 所以， 令，易知在上是减函数， 又，所以当时，， 因此四边形FPAQ的面积的取值范围是． 变式11-3．已知椭圆：离心率为，是椭圆内过焦点且垂直于长轴的一条弦，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，设椭圆的右顶点为D，A、B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，直线与直线、交于不同的两点M、N，则当时，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率、通径以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）设出直线方程，求得点的坐标，根据距离公式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）不妨设点在第一象限，则， 由已知得，联立可得，，， 所以椭圆：. （2）设，， ：，： ∴， 联立得， 又，∴， 所以. 类型十二、椭圆中的定值定点问题 处理定点问题的方法: (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点: (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明: 例12．已知，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)曲线的右顶点为，直线与相交于点，，设直线，的斜率分别为，，且．作，垂足为，是否存在某个定点，使得以为直径的圆经过点?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）根据几何意义，再由椭圆的定义写出方程即可； （2）设，，联立得到，利用得到，即可得直线过定点. 【详解】（1）因为点在线段的垂直平分线上，所以， 又是圆的半径，所以， 所以点的轨迹是椭圆，方程为． （2）设，．联立 得，则，， 由得． ， 化简得， 即，解得或． 当时，直线过点，舍去． 当时，满足，此时直线，且过定点， 又因为点在以为直径的圆上，所以点在直线上， 所以存在定点满足条件． 变式12-1．已知椭圆的离心率为，其短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（均在第一象限），且直线的斜率分别为，且，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由离心率和短轴长可求出，得到椭圆方程； （2）设直线方程，联立-消元-韦达定理，用表示，化简可求值. 【详解】（1）由题意可得解得 故椭圆的方程为． （2）证明：由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 由消去后整理得， 直线与椭圆交于两点， . 设点，的坐标分别为，， 则，， ，， 整理得， ，又， ， 点，都在第一象限， ，即， 故直线的斜率为定值． 变式12-2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为； (2)直线l的方程为； (3)点N不在定直线上 【分析】（1）根据椭圆的性质确定a、c的值，即可求出椭圆方程. （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，，结合韦达定理和共线向量坐标关系求解. （3）首先利用点差法求得直线的方程，然后分别取个不同的值，求解相应个点坐标，由向量不共线即可说明点N不在某条定直线上. 【详解】（1）根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距）， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为． 由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得： ， 由韦达定理得，． 因为，所以， 即，也就是． 将代入，可得，即 ，． 再代入，可得， 解得， 所以直线l的方程为． （3）由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取， 则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意， 故， 结合椭圆对称性可知，设，， 则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由（2）知，设，，不妨设， 由，． 故当时，则，又由， 可解得， 则，且， 此时交点； 故当时，则，又由， 可解得， ， 且， 此时交点； 当时，，则，， ，， 此时交点； ，， 因为， 所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 变式12-3．已知椭圆 的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程. (2)点在上，过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为. ①证明：为定值; ②证明：直线过线段的中点. 【答案】(1)直线的方程为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）运用点差法，设，代入椭圆方程后作差，结合中点坐标，解得斜率，即可解出直线的方程. （2）①按直线的斜率是否为0分类讨论，联立椭圆方程，结合韦达定理和判别式，将的表达式化简，即可得证； ②设线段的中点为，根据中点坐标公式表示，结合直线的方程，解出， 得出点在直线上，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下： 由已知椭圆 ，则右焦点，又线段的中点为， 所以直线的斜率存在且不为0，设点. 则，两式相减得，又， 整理得，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）根据题意作图如下： ①证明：由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在. 当直线的斜率为0时，，此时两点坐标为， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去得， 整理得，则，即， 解得或，且， 所以 ， 代入， 得. 综上，为定值，且. ②证明：由已知设线段的中点为， 易得，直线，则， 直线，则， 由①知，所以， 又直线，所以点在直线上. 综上，直线过线段的中点. 压轴专练 一、单选题 1．椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先根据列出等式，然后得到不等式组，进而求得离心率的范围； 解法二：先根据列出等式，然后根据范围得到不等式，进而求得离心率的范围. 【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等， 而，于是，即， 结合得又，故． 解法二：设点，则有，即，解得， 又因为，所以有，两边同时除以，可以解得． 故选：D. 2．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义得，进而得的周长，设的内切圆半径为，利用等面积法即可求解. 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为， 因为， 所以，得． 故选：C. 3．已知，为椭圆上的两个动点，，且的垂直平分线的方程为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的中点坐标为，讨论、，结合，，，由点在直线上得，点在椭圆内有，即可得. 【详解】设直线的中点坐标为，直线的垂直平分线为直线， ①当时，，符合题意； ②当时，因为，而，则， 所以，即， 因为点在直线上，故，可得， 又因为点在椭圆内，故，解得且； 综上，. 故选：B 4．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：通过三角形内切圆的圆心是内角平分线的交点，利用角平分线的性质转化得到和的等量关系． 解法二：利用三角形的面积关系转化得到和的等量关系． 【详解】解法一：因为是的内心， 由内角平分线定理得， 则，所以， 故选：B． 解法二：设内切圆的半径为， 则，， 所以， 由已知条件，得， 所以，得，即， 故选：B． 5．(24-25高二下·河北泊头第一中学等校·期末)椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆外一点，且在第一象限，已知，，线段交椭圆于点Q，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，由及数量积的坐标运算得，又得，即可得，再由得，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由题意，，设， 则， 因为，所以，即， 又，所以，所以， 两式联立求得（负根舍去），所以， 又，，所以， 所以，即， 代入椭圆方程化简得，解得或（负根舍去）. 故选：B 6．椭圆，圆与椭圆相交于四点，圆与椭圆相交于四点.若矩形与矩形的面积相等，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，设出点的坐标，由面积相等列出方程，结合椭圆的方程代入计算，即可得到结果. 【详解】不妨设点在第一象限， 由矩形与矩形的面积相等， 得，即， 又在椭圆上，则 ，即，解得， 从而， 所以. 故选：B 7．(24-25高二下·贵州学校卓越发展计划项目·期中)已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立求得M的坐标，利用距离公式列方程化简得，即可求解离心率. 【详解】由题意，，，则， 直线方程为，即， 与椭圆E：联立消y得，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，所以， 即，所以，所以，所以，所以（负根舍去）. 故选：B 8．已知A，B为椭圆上两点，为坐标原点且，过点作直线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若直线的斜率不存在时，则在轴上，设的坐标为，求得；同理可得，若直线的斜率为零时，；若直线的斜率存在时，设直线，联立方程组，求得，由，列出方程，得到，再由直线的方程为，联立方程组，求得，进而得到，即，结合圆的定义，即可求解. 【详解】若直线的斜率不存在时，则点在轴上， 设的坐标为，不妨设， 因为两点在椭圆上，可得，解得，此时； 同理可得，若直线的斜率为零时，； 若直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得，， 设，则且， 因为，可得， 则， 所以，整理得， 又由，可得过原点的直线的方程为， 联立方程组，解得，即, 则， 综上可得，点的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆， 且该圆的方程为. 故选：D. 二、多选题 9．(25-26高二上·河南南阳方城县百师联盟·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，由是等腰直角三角形分成是直角与是直角两种情形，结合条件和图形，建立的齐次方程，求解即得离心率. 【详解】由椭圆的对称性，不妨设点在轴上方， 因，则， 又是等腰直角三角形，所以直角只能是或. ①如图1，当是直角时，则，将其代入椭圆的方程，得， 再将代入化简得，即得，解得（舍去）. ②如图2，当是直角时，则，将其代入椭圆的方程，得， 再将代入化简得，即得， 解得（舍去），故. 故选：BD. 10．已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用椭圆的定义及函数给定区间上的值域求法，可对A,C,D进行判断，利用数量积的坐标表示及二次函数值域求解可判断B选项. 【详解】解：由椭圆，得，，，且，，即. A选项：,当时，取得最大值；当或时，取得最小值1.所以.所以A选项正确. B选项:设为椭圆上一点.由题知. 则 , 因为,所以,即.所以B选项错误. C选项：因为为短轴的一个端点，所以或.由椭圆的对称性，不妨设. 设，则 . 因为，所以，当时，取得最大值，当时，取得最小值0，所以.所以C选项错误. D选项：设，又，所以，. 又 . 又 . 所以成立，故D正确. 方法二：因为,所以,所以. 因为即，所以,即. 所以.所以D选项正确. 故选：AD. 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在点，使得 C．若直线交椭圆于另一点，则 D．使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】BC 【分析】对A，由焦点三角形面积公式判断；对B，当点位于椭圆上、下顶点时满足；对C，由焦半径性质判断；对D，分别以为顶角顶点讨论. 【详解】由题意知，，，， 对于A，由焦点三角形面积公式得，A错误； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，(为坐标原点)，则为直角，B正确； 对于C，由焦半径性质可得，，C正确； 对于D，焦半径范围为，即． 若是以为顶角顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶角顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶角顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共有6个，D错误． 故选：BC. 三、填空题 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与C交于M，N两点，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意求得的坐标，可得在直线上，由推得，进而求得，再由对称性判断点在轴上，利用点到直线的距离等于该点到直线的距离列方程，求出，即得，由两点间距离公式即可求得. 【详解】 由题意可得，由，解得和， 即，易知直线经过点， 由可得， 故的外接圆圆心为的中点，即， 又的内切圆圆心为，则由平分，故点在轴上，不妨设， 易得直线的方程为，即， 则点到直线的距离等于该点到直线的距离， 即，解得或（不合题意，舍去），故得， 故. 故答案为：. 13．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以 ． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 14．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且满足，设的面积为，以，为直径的圆的面积分别为，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】联立直线和椭圆方程结合韦达定理表示出斜率表达式，再由可求得，利用弦长公式求出的面积为，再根据点在椭圆上可求出，利用二次函数性质即可求得的最小值. 【详解】设直线的方程为，根据题意可知． 联立直线和椭圆方程，消去可得． 由，可得， 根据韦达定理得，， 由，化简可得， 即， 可得， 因为，所以， 所以， 即可知，由，可得． 设点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得， 则． 由，得 ． 所以， 又在时取得最大值，因此， 当且仅当时取等号，满足题意； 此时的最小值为． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $