专题02 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系（压轴题专项训练） 数学湘教版2019选择性必修第一册

专题02圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 专题02 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 类型一、圆的标准方程型 类型二、点与圆的位置关系 类型三、轨迹方程 类型四、圆的一般方程 类型五、圆中定点问题 类型六、直线与圆位置关系求参数 类型七、直线与圆距离最值问题 类型八、直线与圆切线问题 类型九、直线与圆弦长问题 类型十、 圆与圆位置关系 类型十一、圆与圆相交弦、公切线问题 压轴专练 类型一、圆的标准方程 1.几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2.待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 例1． 已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1． 如图，阴影部分是集合在平面直角坐标系下表示的点集，则阴影部分中间形如“水滴”部分的面积是 ． 变式1-2． 杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是 米．（注：） 变式1-3． 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过，两点． (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，求证：为定值． 类型二、点与圆的位置关系 例2．若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）若O为坐标原点，P为单位圆O上一动点，Q为直线l上一动点，且对于使直线l的解析式有意义的任意角无论如何变化，的最小值恒为1，则l的表达式不可能是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．已知在中，内角所对的边分别为，若，求面积的取值范围． 变式2-3．已知圆C过点，圆心在y轴上，且______． 在①圆心C在直线上；②圆C的半径为2；③圆C过点这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答下列问题． (1)求圆C的标准方程； (2)设点，满足存在圆C上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 类型三、轨迹方程 例3．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式3-1．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．设为圆上两个动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为 ． 变式3-3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点与两个定点的距离之比为常数，那么点的轨迹为圆（人们称之为阿波罗尼斯圆）．在中，，，为的中点，且，求面积的最大值． 类型四、圆的一般方程 1.若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； 2.若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 例4．已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 变式4-1．已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 变式4-2．在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 变式4-3．已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 类型五、圆中定点问题 求解直线（圆）过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 例5．平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ． 变式5-3．在平面直角坐标系中，已知点是圆上任意一点，平面内有两个定点，，则的最小值为 ． 类型六、直线与圆位置关系求参数 例6．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知圆:与直线 ，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式6-3．已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 类型七、直线与圆距离最值问题 圆上的点到直接距离最值: （1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r （2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离 （3）判断位置关系 例7．过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（    ） A． B．1 C． D． 变式7-1．已知，点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是 ． 变式7-2．求，的最值. 变式7-3．已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 类型八、直线与圆切线问题 1.过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 例8．已知直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，则这两条切线夹角的取值范围是 . 变式8-1．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 变式8-2．如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 变式8-3．已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 类型九、直线与圆弦长问题 解决有关弦长问题的常用方法及结论 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用 例9．设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式9-1．已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（   ） A．2 B． C．4 D． 变式9-2．（多选）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 变式9-3．已知圆O：及点． (1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给出证明； (2)过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程． 类型十、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系求解策略： (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 例10．已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 变式10-1．若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．（多选）已知圆和点，，若圆上存在点，使得，则的取值可以为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 变式10-3．已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为 . 类型十一、圆与圆相交弦、公切线问题 1.两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 补充说明：①若与相切，则表示其中一条公切线方程； ②若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 例11．（多选）已知圆 ，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 变式11-1．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．过点，的圆系方程可以记为 变式11-2．（多选）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．两圆是外切的位置关系 B．直线的方程为 C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5 D．圆和圆的一条公切线段长为 变式11-3．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 压轴专练 一、单选题 1．(25-26高二上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·月考)已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江苏南京中华中学·调研)已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 3．已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．过直线上一点作圆的两条切线，切点为，无论点在直线上如何运动，始终有，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 5．(25-26高三上·福建南安成功中学·模拟)已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高三上·山东泰安肥城·)已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．7 8．(24-25高三下·北京十一学校·)若两条直线：，：与圆的四个交点能构成正方形，则（   ） A． B． C． D．4 二、多选题 9．(25-26高二上·山东菏泽鄄城县第一中学·月考)已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 10．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 11．(25-26高二上·江苏常州西夏墅高级中学·调研)过定点的动直线和过定点的动直线 点为两直线的交点，圆，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为1 B．直线与圆相交且最短弦长为 C．为定值 D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称 三、填空题 12．(25-26高二上·江苏常州西夏墅高级中学·调研)已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 13．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为 ，点在圆上，的最大值是 ． 14．已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 专题02 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 类型一、圆的标准方程型 类型二、点与圆的位置关系 类型三、轨迹方程 类型四、圆的一般方程 类型五、圆中定点问题 类型六、直线与圆位置关系求参数 类型七、直线与圆距离最值问题 类型八、直线与圆切线问题 类型九、直线与圆弦长问题 类型十、 圆与圆位置关系 类型十一、圆与圆相交弦、公切线问题 压轴专练 类型一、圆的标准方程 1.几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2.待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 例1． 已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，.，则，可求得.设，则，.结合不等式即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径. ∵，是圆上的两点，∴，，. ∴，， ∴， . ∵，∴. 设，则，. ∴由向量数量积性质可得，即， 当且仅当与反向时；当且仅当与同向时. ∴的取值范围是. 故选：B. 变式1-1． 如图，阴影部分是集合在平面直角坐标系下表示的点集，则阴影部分中间形如“水滴”部分的面积是 ． 【答案】 【分析】由圆的圆心在半圆上，得出“水滴”部分的形状，然后计算面积． 【详解】已知，令，则（）． 如下图，“水滴”部分是两个弓形加中间的等边（边长为2）再加下面的半圆． 因此所求面积为． 故答案为：． 变式1-2． 杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是 米．（注：） 【答案】6.48 【分析】以点P为坐标原点建系，求出圆心和半径得出圆的方程，即可计算. 【详解】以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴，过点P且平行于AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可知，点A的坐标为， 设圆拱桥弧所在圆的半径为r，由勾股定理可得， 又，所以，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为． 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以（米）． 故答案为： 变式1-3． 在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过，两点． (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，设坐标为，圆的方程为，将点，代入，求解即可. （2）设坐标为，根据两点间的距离公式，分别将，表示，再求出代入，化简即可. 【详解】（1）设 ，圆的方程为，圆过，， ，，解得，， 圆的方程为. （2）设，则，， ， ， ， ， ，为定值得证. 类型二、点与圆的位置关系 例2．若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 变式2-1． （多选）若O为坐标原点，P为单位圆O上一动点，Q为直线l上一动点，且对于使直线l的解析式有意义的任意角无论如何变化，的最小值恒为1，则l的表达式不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，根据点与直线、点与圆的位置关系，可得的最小值为到的距离减1，从而可得，逐项检验是否对任意角均成立即可得结论. 【详解】由题意可知在圆上，设， 则的最小值为到的距离减1，且到的距离， 则的最小值为，即． 对于A，当时，，此时，不满足题意； 对于B，当时，，此时，不满足题意； 对于C，当时，，此时，不满足题意； 对于D，由于，则恒成立． 故选：ABC. 变式2-2．已知在中，内角所对的边分别为，若，求面积的取值范围． 【答案】 【分析】设边上的中线的长为，高的长为，利用勾股定理得，进而得顶点的轨迹，根据圆上的点到直线的距离范围即可求解． 【详解】如图，设边上的中线的长为，高的长为．    因为，所以，解得， 所以顶点的轨迹是以的中点为圆心、1为半径的圆． 因为， 所以． 变式2-3．已知圆C过点，圆心在y轴上，且______． 在①圆心C在直线上；②圆C的半径为2；③圆C过点这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答下列问题． (1)求圆C的标准方程； (2)设点，满足存在圆C上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选条件①：先求出圆心的坐标，然后求出圆的半径，即可得到圆的方程；选条件②：根据圆的半径求出圆心坐标即可得到圆的方程；选条件③：根据圆过点的坐标即可求得圆的方程. （2）根据已知条件求出点的位置，然后根据点和圆的位置关系列出不等式求出的范围. 【详解】（1）若选条件①，设圆心， 由题意得，解得， 所以．设半径为r，则． 则圆C的标准方程为． 若选条件②，设圆心，由题意知，解得， 所以圆心，半径为2， 所以圆C的标准方程为． 若选条件③，设圆心，由题意知， 即，解得， 所以圆心，且半径为， 所以圆C的标准方程为． （2），即， 又，所以， 故点T在以点为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即，解得， 即实数的取值范围是.    类型三、轨迹方程 例3． 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点轨迹为圆，设为弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点， 直线恒过，且，则，即， 点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图：   ，连接，由，易知， ， 又点分别为圆、圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以 ， 即的最大值为． 故选：B． 变式3-1． 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 变式3-2． 设为圆上两个动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，设圆的圆心为，则有，由得，在中得，进而得点在以为圆心，半径为2的圆上，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】设，设圆的圆心为，连接， 则，又，所以， 在中有：， 所以点在以为圆心，半径为2的圆上， 所以点的轨迹方程为， 故答案为：. 变式3-3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点与两个定点的距离之比为常数，那么点的轨迹为圆（人们称之为阿波罗尼斯圆）．在中，，，为的中点，且，求面积的最大值． 【答案】． 【分析】方法一：根据题意．设点，得，圆心为，有圆上点到的最大距离为，进而点A到的最大距离为，最后求的最大面积．方法二：设，有，由，化简得，点轨迹为圆（与轴的交点除外），圆心为，可知圆上的点到的最大距离为，即点A到的最大距离为，最后求的最大面积． 【详解】方法一：因为为的中点，且，所以．设点， 则，化简得，其圆心为， 则圆上的点到的最大距离为，所以点A到的最大距离为， 所以的最大面积． 方法二：设，则，由， 得，化简得， 点轨迹为圆（与轴的交点除外），其圆心为，则圆上的点到的最大距离为， 即点A到的最大距离为，所以的最大面积为． 类型四、圆的一般方程 1.若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； 2.若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 例4．已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】分析易得在的延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 变式4-1．已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】确定圆C的圆心和半径，进而确定点H在以C为圆心，半径为1的圆上，结合向量的模的几何意义以及圆的性质，即可求得答案. 【详解】由于，即为， 故圆C的圆心为，半径为2， 设H为的中点，则，结合，得, 即点H在以C为圆心，半径为1的圆上；    又，则 而， 故的最小值为，则的最小值为， 故选：D 变式4-2．在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】A 【分析】以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，为以为圆心，半径为圆上一点，根据向量运算的几何意义逐选项判断即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以，设， 所以， 因为， 所以，即，即， 所以为以为圆心，半径为圆上一点， 对于A，，所以，几何意义为到原点的距离， 所以的最大值为到原点的距离的最大值， 最大值为原点到圆心距离加上半径，即，故A正确； 对于B，，，几何意义为到的距离， 所以的最大值为到的距离的最大值， 最大值为到圆心距离加上半径，即，故B错误； 对于C，，令，即， 即，当与圆相切时有最值，即， 解得，所以的最大值为，即的最大值为5，故C错误； 对于D，，因为为以为圆心，半径为圆上一点， 所以的最大值为，所以的最大值为，故D错误， 故选：A. 变式4-3．已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程可以判断直线过定点，恰好为圆心，所以，且，从而得，由，换元即可得到取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】由得，所以圆心，半径 由得， 由得，所以直线过定点，即为圆心， 所以是圆的直径的两端点，所以，且， ， 因为，所以， ， 令，则， 所以当时， 取得最小值；当时，取得最大值， 所以， 故选：C. 类型五、圆中定点问题 求解直线（圆）过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 例5．平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设由题意结合阿波罗尼斯圆定义确定，可得，即可求出Q点坐标，结合平面图形性质即可求得答案.另解：阿波罗尼斯圆中定点未知，需根据“两定点和圆心三点共线”及“性质3的相似比”求出点坐标． 【详解】由动点的轨迹是关于的阿氏圆知点在轴上，设，， 所以．又，所以． 由动点的轨迹是，可知，整理得． 所以，解得，所以． 又,， 所以， 当三点共线时等号成立． 另解：由题意可得圆是关于定点的阿波罗尼斯圆，且，则， 根据点，阿氏圆的圆心三点共线可知点在轴上，且， 可知点的坐标为，所以， 由图形可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为． 故选：C 变式5-1．若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的交点，再结合两点距离公式列式应用值域求解范围. 【详解】直线，，设与的交点为P， 联立得出， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以. 故选：D. 变式5-2．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 变式5-3．在平面直角坐标系中，已知点是圆上任意一点，平面内有两个定点，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】在线段上取点 ,设，构造，即可得到，即可求解. 【详解】在线段上取点，使，即，设,由于是圆上d点，故， ，故，从而，当，，三点共线,且在线段上时取到最小值． 故答案为：5 类型六、直线与圆位置关系求参数 例6．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是. 故选：B. 变式6-1．已知圆:与直线 ，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将题意转化为圆心到直线的距离不大于半径的倍，解不等式即可求解． 【详解】设两切点为，则，由题意，则是正方形， 故（为圆的半径）， 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 又，直线 即， 所以，解得，所以r的取值范围是． 故选：D 变式6-2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知确定圆关于 对称的圆的圆心为，半径为1，根据反射光与圆有交点，即直线与对称圆有交点，应用点线距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由题设，圆心，半径， 所以关于 对称的圆的圆心为，半径为1， 而，要使光线经轴反射后与圆有交点， 只需，可得， 所以，则， 所以. 故选：D 变式6-3．已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转换成直线与半圆的交点个数，即可求解. 【详解】不妨令， 则由得， 直线经过定点， 如图，当直线与半圆相切时， ， 当直线与半圆恰有两个公共点时符合题意， 数形结合可知，的取值范围为．    故选：A 类型七、直线与圆距离最值问题 圆上的点到直接距离最值: （1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r （2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离 （3）判断位置关系 例7．过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的圆心和半径，证明在圆内，证明Q是AB的中点，分直线l的斜率不存在时和直线l的斜率存在两种情况结合向量即可求解. 【详解】 易知圆C：的圆心为，半径， 又， 所以在圆内，因为，垂足为Q， 由垂径定理可知Q是AB的中点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 易得此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由可得， 设点，则，， 所以， 即， 故点Q的轨迹方程为（除点外）， 圆心到直线的距离为， 则点Q到直线的最大距离为． 故选：D. 变式7-1．已知，点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是 ． 【答案】 【分析】设点、，可得出，则的模可视为圆上的点到直线上一点的距离，数形结合以及利用圆的几何性质可求其最小值. 【详解】设点、，则，，易知圆心为，半径为， 所以， 则， 则的模可视为圆上的点到直线上一点的距离，如下图所示： 由图可知，当直线与直线垂直且为线段与圆的交点时， 取最小值，且其最小值为，故模的最小值为. 故答案为：. 变式7-2．求，的最值. 【答案】， 【分析】先将原等式进行变形，然后将问题转化成几何意义上的问题，画出图像结合条件进行求解即可. 【详解】，令，，，， 则有：，：，则为圆上的点，为直线上的点. 那么表示的是圆上点与直线上点的斜率. 因为，所以， 如图，当点取时，，即， 则，， 当点取时，，即， 则，， 故， 所以，. 变式7-3．已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【分析】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 类型八、直线与圆切线问题 1.过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 例8．已知直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，则这两条切线夹角的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据直线是否过圆心进行分类讨论，结合直线与圆的相关性质即可求解. 【详解】当直线过圆心时，两条切线平行，所以夹角为0， 当直线不过圆心时，如图，设两条切线交于点，则， 设点到直线的距离为，因为直线过点，所以 当时，直线斜率不存在，不符合题意， 所以，则，，综上，两条切线夹角的取值范围是. 故答案为：. 变式8-1．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 变式8-2．如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】方法一：可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法二：求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法三：对于圆 ，若点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则切点弦所在直线的方程为 ，直接用结论写出直线的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 变式8-3．已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆心到直线距离与弦长，利用勾股定理直接计算即可得半径； （2）（i）结合（1）中结论可知，由点与圆的位置关系，利用对称性可求得点的坐标； （ii）由题意知在以为直径的圆上，其方程为，求出直线方程为，即可得直线过定点. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为． 点到的距离为， 所以． （2）（i）因为分别是过点的两条切线与圆的切点，所以点关于直线对称． 由（1）知点的坐标为， 则， 由得； 则，所以直线的方程为． 设，则； 解得， 即． （ii）设点． 由题意知，所以在以为直径的圆上，如下图所示： 以为直径的圆的方程为， 与作差，可得直线的方程为， 整理得， 由，解得 即直线过定点． 类型九、直线与圆弦长问题 解决有关弦长问题的常用方法及结论 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用 例9．设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值. 【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径． 可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点 . 又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图， 设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形． 设，则，结合，， 可得，所以, ， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，当时，取得最大值． 故选：B. 变式9-1．已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据对称的性质求出点坐标，进而求出直线方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求得线段长度，最终求出. 【详解】 设，根据题意，点与点关于直线对称， 因此线段的中点在直线上，且与该直线垂直. 即，.化简得. 因为点Q在圆C上，所以，即. 两式结合，得，，即点坐标为. 所以直线的方程为. 设线段中点为，连接. 圆心到直线的距离. 又因为圆的半径为，所以. . 所以. 故选：C 变式9-2．（多选）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 【答案】ABC 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内，    所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 变式9-3．已知圆O：及点． (1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给出证明； (2)过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析 (2)或 【分析】（1）的中点为， 求出的垂直平分线，代入圆，得，由韦达定理及中点坐标公式得到的中点为，再由，推导出四边形OACB为菱形． （2）当直线的斜率不存在时，，当直线的斜率存在时，设的方程为，，圆心到直线的距离为，由平面几何知识得，推导出当且仅当时，取得最大值，由此能求出直线的方程． 【详解】（1） 四边形为菱形，证明如下： 的中点为，， 的垂直平分线为，即， 代入圆，得， 设， 则， 所以的中点为，则四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形. （2） 当直线的斜率不存在时，的方程为， 则的坐标为，所以， 当直线的斜率存在时，设的方程为，， 则圆心到直线的距离为， 由平面几何知识得， 所以， 当且仅当，即，取得最大值为， 此时由，解得或， 此时直线的方程为或. 类型十、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系求解策略： (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 例10．已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 变式10-1．若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为.    故选：C. 变式10-2．（多选）已知圆和点，，若圆上存在点，使得，则的取值可以为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】ABC 【分析】由于，且为定点，根据隐圆第三定义知点在以为直径的圆上．由此方法一，可建立坐标系，结合圆与圆的位置关系求解；方法二，可利用向量的数量积求解；方法三，设原点为，判断原点为斜边的中点，结合圆的几何性质即可求解. 【详解】方法一：设原点为，则以为直径的圆的方程为，半径为， 圆的圆心为，半径为． 要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， 当时，点既在圆上又在圆上，所以两圆要有公共点， 所以，即， 即，解得，又，所以， 所以的取值可以为12，13，14． 方法二： 圆的圆心为，半径为． 设点，则，， 已知，则，即，所以， 其几何意义是圆上的点到原点的距离．而， 则，所以的取值可以为12，13，14． 方法三：设原点为，因为，且原点为斜边的中点， 连接，则， 当点在上移动时， ，即， 三点共线时取等号, 所以的取值可以为12，13，14． 故选：ABC 变式10-3．已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由，得，由，得，由，得，画出曲线的图像，利用对称性可设，即，解出即可. 【详解】由，得，则曲线表示圆的上半部分， 由，得，则曲线表示圆的上半部分， 由，得，则曲线表示圆的上半部分， 画出曲线，如图所示.根据对称性可知，圆的圆心在轴的正半轴上， 设圆的标准方程为，则，解得， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 类型十一、圆与圆相交弦、公切线问题 1.两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 补充说明：①若与相切，则表示其中一条公切线方程； ②若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 例11．（多选）已知圆 ，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【详解】对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 变式11-1．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列说法中正确的是（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．过点，的圆系方程可以记为 【答案】ABC 【分析】选项A根据两圆相交于两点，故存在两条公切线；选项B根据两圆的方程相减得出直线的方程；选项C根据点到直线距离公式求出圆心到的距离d，再根据勾股定理求出的长度；选项D根据，将圆系方程变形为标准方程，通过恒成立，证明圆系方程真实存在，但此圆系中不包含圆. 【详解】因为圆和圆：相交于，两点， 所以两圆有两条公切线，故A正确． 圆和圆的方程相减得， 所以直线的方程为，故B正确． 圆心到直线的距离为，所以线段的长为： ，故C正确． 因为，，所以，恒成立， 即过，两点的圆的方程可化为， 而恒成立， 所以方程表示圆系， 但此圆系不包括圆，故D不正确． 故选：ABC． 变式11-2．（多选）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．两圆是外切的位置关系 B．直线的方程为 C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5 D．圆和圆的一条公切线段长为 【答案】ABD 【分析】根据圆心距与两圆半径之和相等可知A正确，利用两点坐标即可得B正确；易知当四点共线且在两侧时，取得最大值为，可得C错误；根据两半径差和圆心距可得公切线段长为，即D正确. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为； 两圆圆心距，即圆心距等于两半径之和， 所以两圆外切，即A正确； 由圆心坐标可知，所以直线的方程为， 即，所以B正确； 由圆与圆之间的位置关系可得的最大值为，如下图所示： 当四点共线且在两侧时，取得最大值，可得C错误； 设为两圆的一条公切线，切点分别为， 易知，作于点，则， 又，则，可得公切线段长为，即D正确. 故选：ABD 变式11-3．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为 ， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 压轴专练 一、单选题 1．(25-26高二上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·月考)已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示圆及点在圆外列出不等式求解即可. 【详解】表示圆，故， 即，解得或. 因为点在圆外， 故，解得， 故实数的取值范围为或. 故选：D 2．(24-25高二上·江苏南京中华中学·调研)已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 3．已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由得到点的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得. 【详解】因为所以点在以为直径的圆上， 圆的方程为， 所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即. 故选：B. 4．过直线上一点作圆的两条切线，切点为，无论点在直线上如何运动，始终有，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆的几何性质，得到无论点在直线上如何运动，，转化为到直线的距离大于即可. 【详解】 如图，由题：圆半径为2，， 故，即， 即无论点在直线上如何运动，， 所以圆心到直线的距离解得：或， 故选：A. 5．(25-26高三上·福建南安成功中学·模拟)已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 6．(25-26高三上·山东泰安肥城·)已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心到直线的距离应小于等于，列出不等式即可求解, 【详解】由题意：圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， 所以 ， ，解得 故选：A 7．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．7 【答案】B 【分析】设点的坐标为，根据已知求出轨迹为圆，依题意圆心在直线上即可得解. 【详解】设点的坐标为，因为， 所以，即， 整理得点的轨迹方程为，此方程表示一个圆． 因为点的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，代入得． 故选：B 8．(24-25高三下·北京十一学校·)若两条直线：，：与圆的四个交点能构成正方形，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】由直线方程得到平行，由圆的方程得到圆心和半径，由几何性质得到圆心到直线的距离，从而解得的值. 【详解】由圆知圆心，半径为，因为直线斜率相等，所以，   要使四个交点构成正方形，圆心到两条直线的距离需满足，即，解得， 由直线关于圆心对称可知，圆心到直线的距离为，解得. 因此. 故选：B 二、多选题 9．(25-26高二上·山东菏泽鄄城县第一中学·月考)已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由圆的标准方程即可判断A，由解出即可判断B，由表示圆上点到定点的距离，计算圆心到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】对于A：由圆的方程，所以圆心为，半径为，故A错误； 对于B：由，有， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D：由得， 所以， 令，由在单调递增， 所以，所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 10．(24-25高二上·河南豫东名校·期末)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 【答案】ABC 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点坐标代入求解方程；最后根据重心坐标公式求出重心坐标，判断其是否在直线上. 【详解】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误． 故选：ABC． 11．(25-26高二上·江苏常州西夏墅高级中学·调研)过定点的动直线和过定点的动直线 点为两直线的交点，圆，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为1 B．直线与圆相交且最短弦长为 C．为定值 D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称 【答案】BCD 【分析】取，结合图形可判断A；注意到直线垂直于时弦长最短可判断B；由两直线垂直可判断C；根据直线过圆心可判断D. 【详解】由圆知，圆心，半径 对A，直线的方程化为， 由得，所以，直线过定点， 当时，直线的方程为， 由图可知，此时圆上到直线的距离等于1的点有三个点，错误； 对B，直线的方程可化为：，所以，直线过定点， 易知圆心到直线的距离，当且仅当直线垂直于时取等号， 因为 所以，直线截圆的弦长的最小值为，正确； 对C，因为，所以直线与直线垂直， 所以，正确； 对D，当时，直线的方程为， 因为，所以直线过圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，正确. 故选：BCD 三、填空题 12．(25-26高二上·江苏常州西夏墅高级中学·调研)已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 13．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为 ，点在圆上，的最大值是 ． 【答案】 7 【分析】求线段的中垂线即为的“欧拉线”；设将问转化为直线与圆有交点求，利用直线与圆的位置关系即可. 【详解】，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即； 设，则，即， 因点既在圆上，又在直线上，则直线与圆有交点， 所以，即，解得， 所以的最大值为. 故答案为：；7 14．已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据两点距离公式列出等式，然后化简，确定点的轨迹方程，进而根据直线与圆的位置关系求出的取值范围. 【详解】设，因为，所以， 化简得，此即为点的轨迹方程． 由于点在直线上，也在圆上，因此直线与圆至少有一个公共点． 所以圆心到直线的距离，解得，所以或． 故答案为： . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $