专题03 抛物线及其标准方程与简单的几何性质（压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题03 抛物线及其标准方程与简单的几何性质 目录 专题03 抛物线及其标准方程与简单的几何性质 类型一、抛物线的定义 类型二、抛物线的标准方程 类型三、和差最值问题 类型四、轨迹方程问题 类型五、抛物线的几何性质 类型六、弦长问题 类型七、面积问题 类型八、定值、定点问题 压轴专练 类型一、抛物线的定义 定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点) 例1．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一点，过点的直线交抛物线的准线于点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式1-1．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过坐标原点作直线交于点（异于点），过作的垂线，垂足为，若，则直线的方程为 ． 变式1-2．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为 ． 变式1-3．已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为 ． 类型二、抛物线的标准方程 1.求抛物线标准方程的方法 ①先定位：根据焦点或准线的位置； ②再定形：即根据条件求p. 2.抛物线性质的应用技巧 ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程； ②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 例2．若抛物线上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3，则p的值为（   ） A．1或8 B．1或9 C．2或8 D．2或9 变式2-1．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，是双曲线的左、右焦点，F是抛物线的焦点，若是等边三角形，则该抛物线的方程为 . 变式2-3．已知抛物线的焦点为，准线为.则焦点到准线的距离为 ；若点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，，则 的最小值为 . 类型三、和差最值问题 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．　 例3．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ． 变式3-2．设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为 ． 变式3-3．已知抛物线：，为上一点，，，当最小时， . 类型四、轨迹方程问题 例4．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 变式4-1．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求. 变式4-2．在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值． 变式4-3．动圆经过定点，且与直线相切.记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，设点是线段上的动点（除端点），原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值. 类型五、抛物线的几何性质 例5．设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（多选）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的中点到轴的距离为 C． D． 变式5-2．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点，则下列说法正确的有（    ） A．轴 B． C．以为直径的圆与抛物线的准线恒相交 D．面积的最小值为 变式5-3．已知抛物线，过点任作一条直线与抛物线交于，两点，设点，连接，并延长，分别与抛物线交于点，，则直线过定点 ， ． 类型六、弦长问题 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． [注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 例6．已知是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，（为坐标原点）三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，求的最小值． 变式6-1．已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 变式6-2．已知抛物线仅经过中的一点． (1)求的方程． (2)过原点作圆的两条切线，切点分别为E，F．且E，F在的准线上． ①求； ②若是圆上纵坐标最大的点，点M，N在上，线段PM，PN的中点分别为，，且点G，H也在上，求|MN|． 变式6-3．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，． (1)求的方程； (2)求以为直径的圆的标准方程； (3)设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求． 类型七、面积问题 例7．设抛物线与椭圆相交于，两点，在点处分别作抛物线的切线和椭圆的切线，且与互相垂直． (1)求椭圆的离心率； (2)若切线与轴交于点，与抛物线交于点，同时切线与椭圆交于点，求． 变式7-1．已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 变式7-2．已知抛物线，点为抛物线的焦点. (1)若点在抛物线上，求； (2)过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 变式7-3．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，为坐标原点，若点的横坐标为3，直线. (1)求； (2)若直线与交于点，求三角形的面积； (3)求到的准线的距离与到的距离之和的最小值. 类型八、定值、定点问题 例8．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 变式8-1．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 变式8-2．已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 变式8-3．已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明： 为定值，并求出该定值. 压轴专练 一、单选题 1．(25-26高二上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·月考)已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的斜率为时，，则（   ） A． B． C． D．4 2．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 3．已知O为坐标原点，直线交抛物线于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，点A，P，B的纵坐标分别为，且，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 5．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 6．如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 7．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线 的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 8．已知点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高二下·湖北孝感高级中学·)已知O为坐标原点，点F为抛物线C：的焦点，点，直线l：交抛物线C于A，B两点不与P点重合，则以下说法正确的是（    ） A． B．存在实数m，使得 C．若，则 D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则 10．(24-25高二下·河北秦皇岛山海关第一中学·期中)在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．的面积的最小值为8 11．已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．圆与曲线交于A，B两点，与交于E，G两点，则A，B，E，G四点围成的四边形的周长为14 C．若为曲线上的动点，则的最小值为5 D．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点（在点上方），过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则的大小为 ． 13．过点作两条直线与抛物线交于和四点，则直线倾斜角互补是四点共圆的 条件． 14．设抛物线的焦点为，准线为是与轴的交点，．过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点，与相交于点，若，则点到轴的距离为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 抛物线及其标准方程与简单的几何性质 目录 专题03 抛物线及其标准方程与简单的几何性质 类型一、抛物线的定义 类型二、抛物线的标准方程 类型三、和差最值问题 类型四、轨迹方程问题 类型五、抛物线的几何性质 类型六、弦长问题 类型七、面积问题 类型八、定值、定点问题 压轴专练 类型一、抛物线的定义 定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点) 例1．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一点，过点的直线交抛物线的准线于点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用抛物线的性质得到，进一步证明，利用勾股定理求出，解三角形求出，再利用倍角公式求出，进一步求出，再建立的等式即可求解. 【详解】如图，过作于， 由抛物线的定义知，又，则， 设，则，因为， 则， 所以，由于轴， 所以，则， 则，所以，则. 故选：D. 变式1-1．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过坐标原点作直线交于点（异于点），过作的垂线，垂足为，若，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】连接，因为，由，可得点的坐标，即可求得直线的方程. 【详解】连接，因为， 所以是以为顶角的等腰三角形．设点，因为， 所以，所以．则，所以直线的方程为． 故答案为： 变式1-2．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由抛物线的定义，用，表示出，再根据勾股定理和基本不等式求解即可. 【详解】 设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如图所示. 由抛物线的定义可得，.因为为线段的中点，所以. 又，所以，所以. 又，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以的最小值为. 故答案为：. 变式1-3．已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点的纵坐标即可. 【详解】抛物线的焦点，设，则， 由，得，则， 整理得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， 所以的面积为. 故答案为：    类型二、抛物线的标准方程 1.求抛物线标准方程的方法 ①先定位：根据焦点或准线的位置； ②再定形：即根据条件求p. 2.抛物线性质的应用技巧 ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程； ②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 例2．若抛物线上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3，则p的值为（   ） A．1或8 B．1或9 C．2或8 D．2或9 【答案】B 【分析】根据抛物线方程得出其准线方程，再结合点到准线及对称轴的距离列出关于的方程，进而求解． 【详解】设点的坐标为，已知点到对称轴的距离为，因为抛物线的对称轴为轴，所以，则． 因为点在抛物线上，所以，把代入可得，则． 抛物线的准线方程为，已知点到准线的距离为，所以． 把代入可得． 去分母，得到．解得或． 故选：B． 变式2-1．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义求出即可得解. 【详解】根据抛物线的光学性质可知与轴平行， 所以由抛物线定义可知， 解得， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D 变式2-2．已知，是双曲线的左、右焦点，F是抛物线的焦点，若是等边三角形，则该抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意，得到双曲线的焦点坐标，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】因为双曲线的方程为， 所以， 即，，， 易知抛物线的焦点， 若是等边三角形， 此时， 即，解得负值舍去， 则该抛物线的方程为 故答案为： 变式2-3．已知抛物线的焦点为，准线为.则焦点到准线的距离为 ；若点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，，则 的最小值为 . 【答案】 1 【分析】①根据抛物线中p的几何意义可求解； ②根据抛物线的定义，转化为点到焦点的距离，利用数形结合可求解. 【详解】①由抛物线知，， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， ②如图所示，过点，则， 当点在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：①；②. 类型三、和差最值问题 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．　 例3．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A 变式3-1．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将问题转化为的最小值，结合三点共线即可求解最小值. 【详解】解:将抛物线方程化为标准方程:，求得焦点为，准线,且． 设，如图，过点作于点，则由抛物线的定义得:， 所以的周长 ． 当且仅当三点共线，即时，等号成立. 故答案为:. 变式3-2．设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先确定椭圆左顶点坐标，然后设建立距离平方函数化简，分析的值，即可求得. 【详解】易知椭圆左顶点，因为点在抛物线上，设， 此时， 易知当，即时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 变式3-3．已知抛物线：，为上一点，，，当最小时， . 【答案】 【分析】设，利用两点距离公式得到关于m的表达式，结合基本不等式确定P点的坐标，从而得解. 【详解】依题意，设，则， 所以， 当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 综上，取最小值时，，则， 所以. 故答案为：. 类型四、轨迹方程问题 例4．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 变式4-1．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 由抛物线定义即可得； (2) 联立，利用，再结合向量的数量积的坐标运算即可得解. 【详解】（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，，联立方程组得， 则，. 易知，的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，得. 由，解得， 所以的方程为. 同理可得，的方程为. 由，解得，即点. 因为，，，且， 所以，即 ， 化简得， 因此或， 故. 变式4-2．在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得解. 【详解】（1）由点P到点的距离比点P到直线的距离小2， 得点P到点的距离等于点P到直线的距离， 因此点P的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点P的轨迹W的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，恒成立，， 所以. 变式4-3．动圆经过定点，且与直线相切.记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，设点是线段上的动点（除端点），原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线定义求解； （2）根据题意，由对称性得：四边形的面积，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，求出四边形的面积表达式，得解. 【详解】（1）点到定点的距离与到定直线的距离相等， 点的轨迹是以A为焦点，为准线的抛物线.其方程为. （2）设直线，，， 由对称性得：四边形的面积， 由消去，得，， 由韦达定理得， 当时，四边形的面积取得最小值. 类型五、抛物线的几何性质 例5．设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设出直线方程，联立抛物线方程得韦达定理，通过抛物线定义将条件转化为，联立韦达定理求解，再利用余弦定理得垂直关系，根据斜率关系设出直线，进而联立抛物线方程求出坐标，再利用数量积求，最后利用同角三角函数关系可求出正弦值. 【详解】由抛物线的方程，则其焦点， 直线l过点且斜率为，其方程为， 联立直线与抛物线方程消得，设交点， 则，, 由抛物线定义可得，代入条件， 得，结合解得，满足， 可得； 设，设，由， 则由余弦定理得， 故，则， 则，即， 联立直线与抛物线方程消得， 则，解得， 即，又， 则， 则， 所以， 则. 故选：C. 变式5-1．（多选）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的中点到轴的距离为 C． D． 【答案】AC 【分析】选项A：将焦点坐标代入直线中求出的值即可；选项B：联立直线与抛物线方程，结合韦达定理以及抛物线定义，得出线段的中点到轴的距离为；选项C：利用抛物线定义结合平行性质即可求解；选项D结合选项B中的韦达定理的结论以及抛物线定义化简代入即可. 【详解】对于A：由题可知在直线上， 所以， 故抛物线的方程为， 故选项A正确； 对于B，设， 联立，整理得： ， 由， 所以， 根据抛物线定义得： ， 所以线段的中点到y轴的距离为线段， 故选项B错误； 对于C，如图所示，    因为，     所以， 因为轴，轴， 所以， 所以 ， 故选项C正确； 选项D：因为 故选项D错误， 故选：AC. 变式5-2．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点，则下列说法正确的有（    ） A．轴 B． C．以为直径的圆与抛物线的准线恒相交 D．面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】由题意设直线，，联立方程写出韦达定理：．求出点，即可判断A；同法求得点，由向量数量积为0即可判断B；由抛物线的焦半径公式和梯形中位线定理可得以AB为直径的圆与抛物线的准线恒相切判断C；先计算，计算并化简，即可判断D. 【详解】如图，由题意可知，抛物线的焦点为，准线为， 显然直线AB的斜率可以不存在，但不为0，此时直线AB与抛物线必相交于两点， 设直线设，，联立方程 消去可得，可得． 对于A，直线，令，可得， 即，所以轴，A正确； 对于B，由A项同理可得则轴，则， 可得，所以，B正确； 对于C，由上述分析可知，由梯形中位线可知， 以AB为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即圆心到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线恒相切，C错误； 对于D，因为 ， 所以的面积 ， 当且仅当时，等号成立，此时直线与轴垂直，故面积的最小值为，D正确. 故选：ABD. 变式5-3．已知抛物线，过点任作一条直线与抛物线交于，两点，设点，连接，并延长，分别与抛物线交于点，，则直线过定点 ， ． 【答案】 【分析】第一空：设直线的方程为，直线的方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理有，，求得即可；第二空：由斜率公式、韦达定理即可求解. 【详解】如图，设直线的方程为，直线的方程为， ，，，．    由得，故， 同理，，，所以，故． 由得，故， 所以，即，所以直线过定点． 下面求的值． 解法1：因为， 所以． 解法2：因为，所以． 故答案为：，. 类型六、弦长问题 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． [注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 例6．已知是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，（为坐标原点）三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于点在中垂线上，所以，从而，求出后可得抛物线方程； （2）设，，则可用坐标表示，结合点在抛物线上可得的轨迹，从而可求的最小值． 【详解】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上， 则，又点到抛物线的准线的距离为，所以，则， 所以抛物线的方程为. （2）设，记. 则， ， 整理得， 又，代入得，故， 所以总在定直线上，又, 而过且与该直线垂直的直线为， 由可得两条直线的交点为， 而，故交点在抛物线内部， 故的最小值为到直线的距离， 即的最小值为. 变式6-1．已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 变式6-2．已知抛物线仅经过中的一点． (1)求的方程． (2)过原点作圆的两条切线，切点分别为E，F．且E，F在的准线上． ①求； ②若是圆上纵坐标最大的点，点M，N在上，线段PM，PN的中点分别为，，且点G，H也在上，求|MN|． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）通过代入四个给定点，验证满足抛物线方程的点，确定参数的值； （2）①利用抛物线的准线方程，结合圆的切线性质，建立方程求解半径； ②通过参数方程设点，结合中点坐标公式和抛物线方程，解方程确定点M、N的坐标，最终计算距离. 【详解】（1）因为中的， 所以点不可能在上， 点关于轴对称，要么都在上，要么都不在上， 因为只经过四个点中的一点，所以都不在上， 所以点在上，将其坐标代入，得， 所以的方程为 （2）（i）由题可知，O，E，D，F四点共圆，该圆是以OD为直径的圆， 又，所以该圆的方程为，．． 与圆的方程相减，得直线EF即的准线的方程为， 解得． （ii）由（i）可知． 设． 因为点G，H在上，所以， 将代入，可得， 同理有， 所以是方程的两个根， 所以， 所以 . 变式6-3．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，． (1)求的方程； (2)求以为直径的圆的标准方程； (3)设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算求出椭圆的焦点，再结合抛物线的焦点得出抛物线方程； （2）根据为直径得出圆心及半径即可得出圆的方程； （3）先联立方程组，再应用弦长公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以的右焦点坐标为， 所以，即， 所以的方程为． （2）依题意得的坐标为， 所以线段的中点坐标为． 因为以为直径的圆的半径， 所以以为直径的圆的标准方程为． （3）依题意可得直线的方程为． 由得． 设，，则，，， 则． 类型七、面积问题 例7．设抛物线与椭圆相交于，两点，在点处分别作抛物线的切线和椭圆的切线，且与互相垂直． (1)求椭圆的离心率； (2)若切线与轴交于点，与抛物线交于点，同时切线与椭圆交于点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，从而，结合离心率公式即可得解； （2）由于，所以只需求出的值即可. 【详解】（1）设， ，，则，， 因为，所以，得． （2）    设，，， 将代入得，所以， 由（1）得，所以，解得， 从而得椭圆方程为． 而，从而， 所以的方程为， 将与联立，得， 设， 即，， 进而得； ，即，即， 将与联立，得，， 进而得． 因为， 所以． 变式7-1．已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为或抛物线的标准方程为，准线方程为. (2) 【分析】（1）根据题意分开讨论抛物线的开口方向，求出抛物线的标准方程与准线方程. （2）首先求出和直线的方程，然后求出点的纵坐标，最后根据面积公式求出的面积即可. 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 变式7-2．已知抛物线，点为抛物线的焦点. (1)若点在抛物线上，求； (2)过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，结合抛物线焦半径公式可求得的值； （2）设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，以及原点到直线的距离，结合三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，故. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 依题意，设直线的方程为， 将直线与抛物线方程联立得得， 设点、，， 由韦达定理可得，， ， 又因为原点到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为，即或. 变式7-3．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，为坐标原点，若点的横坐标为3，直线. (1)求； (2)若直线与交于点，求三角形的面积； (3)求到的准线的距离与到的距离之和的最小值. 【答案】(1)2 (2) (3)2 【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，设出直线方程，联立并写出韦达定理，根据中点坐标公式，可得答案； （2）联立直线方程求交点，利用三角形的面积公式，可得答案； （3）由题意作图，由图中的线段组合以及三角形三边关系，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】（1）由题得的焦点为，设为， 设，，， 联立方程，化简得：， ，则，. （2）由（1）得， 联立方程，解得，. （3） 由（1）得的方程为， 由抛物线定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立方程，化简得：， 由，得与相离， 设，，分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足， 连接，， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线的距离， 即. 类型八、定值、定点问题 例8．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【答案】(1)是，2 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线，斜率分别为，然后根据题意利用韦达定理把表示出来作比值即可； （2）结合（1）设直线，利用已知条件求出设直线即可. 【详解】（1）设直线，斜率分别为，则为定值． 理由如下：如图， 易知，设，直线， 联立得， ．① ， 因为，所以， 所以点为线段OD的中点， 因为，所以， 故直线， 代入抛物线方程可得：， 则．② 联立①②得，同理可得， 所以， 所以，为定值． （2）由（1）知． ， 因为N，B，D三点共线，所以， 化简得， 所以，即， 所以． 设直线， 由得， ， 解得，所以直线方程为：， 当， 所以直线过定点． 变式8-1．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 变式8-2．已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 【答案】(1) (2)直线经过定点 【分析】（1）利用直线与抛物线相交来求弦长的最小值即可求解抛物线方程； （2）利用直线与抛物线联立方程组借助韦达定理，研究坐标关系，可求直线参数，从而可得直线过的定点. 【详解】（1）因为抛物线，所以焦点坐标为：， 过该焦点的直线方程为：，与抛物线的交点为：，， 与抛物线方程联立得：，则， 而由抛物线的定义可知， 因为，所以当时，有最小值，所以， 所以抛物线方程为. （2） 由（1）得，直线方程为，且① 设直线方程为， 与抛物线方程联立得：，则② 设直线方程为，，同理可得③ 联立①②③可得 设直线方程为 与抛物线方程联立得：，则 因为，所以，所以直线经过定点 变式8-3．已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明： 为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)0或 (3)证明见解析， 【分析】（1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果； （3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 压轴专练 一、单选题 1．(25-26高二上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·月考)已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的斜率为时，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】写出直线方程与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，利用焦点弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得直线，与抛物线方程联立， 得. 设，，则，所以，故. 故选：A 2．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 3．已知O为坐标原点，直线交抛物线于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，点A，P，B的纵坐标分别为，且，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，联立，化简后结合韦达定理，利用可得答案 【详解】设点，联立，得 ，即， 所以， 所以， 所以． 故选：C 4．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】依题意，解得，得到抛物线方程，作图，设准线与轴的交点为，过作，过作，得到则，根据抛物线定义知，，设，，因为，可得结论 【详解】双曲线的焦点坐标为，依题意，得的焦点为，所以，解得． 如图，设准线与轴的交点为，过作，过作，垂足分别为，则．    根据抛物线定义知，，设，， 因为，所以，即，得，所以，所以， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 5．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为． 由，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是3.    故选：B 6．如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理可解 【详解】由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设：，：，，，， 联立得， 所以，即，，， 联立得， ，，， 所以，则， 故，． 又，所以，解得， 则，， 故， 点N到直线AB的距离， 故． 故选：A 7．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线 的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由轴，可得点坐标，即可求出. 【详解】抛物线，焦点， 当轴时， ，则，解得， 即或，如下图， 不妨取，则， 所以． 故选：D 8．已知点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，其中，表示为，整理化简得点的轨迹方程. 【详解】设，其中，则，即， 所以点的轨迹方程为 ． 故选：A. 二、多选题 9．(24-25高二下·湖北孝感高级中学·)已知O为坐标原点，点F为抛物线C：的焦点，点，直线l：交抛物线C于A，B两点不与P点重合，则以下说法正确的是（    ） A． B．存在实数m，使得 C．若，则 D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则 【答案】ACD 【分析】联立直线与抛物线方程，可得韦达定理，根据焦半径公式即可求解A,由数量积的运算即可求解B，根据向量关系，结合韦达定理可求解C，根据斜率公式，代入韦达定理即可求解D. 【详解】解：由题意可知，抛物线焦点为，准线方程为， 直线恒过，如下图所示： 设，，作垂直于准线，垂足为， 根据抛物线定义可知，，易知，所以， 但当时，此时A与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此，所以，故A正确； 联立直线和抛物线C：，得，所以，， 此时 ，所以，因为， 故，所以不存在实数m，使得，故B错误； 若，由几何关系可得，结合，可得或， 即或，将B点坐标代入直线方程可得，故C正确； 若直线PA与PB的倾斜角互补，则，即， 整理得，代入，， 化简可得，解得或， 当时，直线l过点，A与P点重合，不符合题意，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．(24-25高二下·河北秦皇岛山海关第一中学·期中)在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B． C．以线段为直径的圆与轴相切 D．的面积的最小值为8 【答案】BCD 【分析】设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线的定义求解判断ABC；表示出的面积，进而求解判断D. 【详解】由抛物线，则，准线， 设直线的方程为，， 联立，则， 则，， 则， ， 而，. 对于A，由，则，即， 则，解得（舍去）或，即， 所以，或，， 则直线的斜率为或，故A错误； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是， 所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于D，， 点到直线的距离为， 则， 当时，的面积取得最小值8，故D正确. 故选：BCD.    11．已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．圆与曲线交于A，B两点，与交于E，G两点，则A，B，E，G四点围成的四边形的周长为14 C．若为曲线上的动点，则的最小值为5 D．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线的轨迹方程，再逐项分析判断即得. 【详解】对于A，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为，A正确； 对于B，直线交圆于点，而， 四边形是矩形，周长为，B错误； 对于C，显然共线，垂直于直线，令点到直线的距离为， 则，，当且仅当与点重合时取等号， 因此的最小值为，C正确； 对于D，过点与曲线仅只一个公共点的直线方程为， 由消去得，当时，直线与抛物线仅中一个公共点， 当时，，解得，显然直线与抛物线仅只一个公共点， 因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，D错误. 故选：AC 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点（在点上方），过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则的大小为 ． 【答案】 【分析】由抛物线定义得到边相等，根据等边对等角得到，根据平行得到角相等，从而得到平分．同理可得平分，即可得到结果. 【详解】解法1  如图，由抛物线定义易知， 根据等边对等角，所以， 因为轴，根据两直线平行，内错角相等，从而，所以平分． 同理可得平分，所以． 解法2  抛物线的焦点为，由题可知的斜率不为0， 故设直线的方程为， 令，，则，， 联立直线与抛物线方程得，消去整理得， 则，． 又，，所以， 则，则． 故答案为：. 13．过点作两条直线与抛物线交于和四点，则直线倾斜角互补是四点共圆的 条件． 【答案】充要 【分析】设，，分别与抛物线方程联立，利用韦达定理求出、，再由四点共圆等价于，结合充要条件的定义可得答案． 【详解】显然的斜率均存在且不为0，又过定点， 设，， 联立得，可得，所以， ，则， ， 同理可得， 四点共圆等价于， 即又，所以， 则直线倾斜角互补是四点共圆的充要条件． 故答案为：充要条件. 14．设抛物线的焦点为，准线为是与轴的交点，．过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点，与相交于点，若，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量关系得出，再利用相似得出点坐标，最后再次利用相似即可求出. 【详解】作图如下：    由得， 又因为为的中点，所以， 即为的三等分点，且． 又因为，所以，所以， 所以． 不妨设，且在第一象限，则，所以． 因为点在抛物线上，所以， 所以根据相似关系得，点到轴的距离． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $