第2章 平面解析几何初步（高效培优复习讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第2章平面解析几何复习讲义 内容概览 1.教学目标、教学重难点 2.知识点01直线的方程 题型01直线的方程 题型02两直线的位置关系 题型03圆的方程 3.知识点02两直线的位置关系 题型04直线与圆、圆与圆的位置关系 第二章平面解析几何初步复习 题型05与弦有关的问题 4,知识点03几种距离公式 题型06圆的切线 题型07直线与圆有关的轨迹问题 题型08直线与圆有关的对称问题 5.知识点04圆的方程 题型09直线与圆的综合问题 6.知识点05直线与圆、圆与圆的位置关系 教学目标、教学重难点 1、掌握直线的倾斜角、斜率的概念及计算方法，掌握直线方程的求法，掌握两直线的位 置关系及应用： 教学目标 2、掌握圆的标准方程与一般方程，掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及应用： 3、掌握直线与圆的综合应用： 1、 重点：直线与圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系； 教学重难点 2、难点：轨迹问题、最值范围问题、对称问题： 知识清单 知识点01直线的方程 1.直线的斜率：()若直线倾斜角为a,则斜率k=tanc: ②若直线过两点：A(xy1),B,y2),飞1≠)，则k=兰 X1-x号 B诺直线的方向向量为元=p,9),则k= 2.直线的方程： (1)点斜式：过点P(x,),斜率为k的直线1的方程为：y一=(x), (2)斜截式：与y轴的交点(0，b),斜率为k的直线1的方程为：斜率为k的直线1的方程为： (③)两点式：过两点R(x,),B(,)(其中x≠，乃≠)的直线方程业=二 y2-y1 x2-x1 3)两点式：在x轴上的截距为a,在y轴上的截距是b的直线方程：+片=1： (⑤)一般式：Ax+By十C=0(其中A,B不同时为0)： 【即学即练1-1】(24-25高二上浙江台州期末)已知直线1的一般式方程为x-2y+6=0,则() A.直线1的截距式方程为。号=1 ®。直线1的藏距式方程为。号1 C.直线1的斜截式方程为y=+3 D.直线的斜截式方程为y=-3 第1页共21页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练1-2】(24-25高二下四川泸州·期末)直线3x+2y-1=0在y轴上的截距为) A 1 B.-2 C.-1 0. 知识点02两直线的位置关系 1.平行 斜我式方起：4-+自，4--么，4低 因一限式方：：4x+AvC=0,4:4x+8+C=0.4n~低8幸g (3)平行直线系：与直线Ax十By十C=0平行的直线系方程为Ax+By+C1=0(CC1): 2.重合 0斜数式方程：人y=东+4，人y=+b,h:重合台伦二 二般式方程：：Ax+By+C=0,A,x+B2y+C2=0,14/2重合台A12二AB 3.垂直 (1)斜截式方程：4y=kx+b,2.y=k2x+b2,Z⊥12台kk2=-1 (2)一般式方程：11：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l112台A1A2+B1B2=0 (3)垂直直线系：与直线Ax+By十C-0垂直的直线系方程为Bx-Ay十G=O: 4.相交 (1)两条直线的交点坐标：己知两条直线1：Ax十B1y十C=0,12:A2x十By十C2=0相交， 则交点P的坐标是方程年低十8十区。=6约解 (2)交点直线系：过直线A1x十B1y十C1=0与直线A2x十B2y十C2=0交点的直线系方程为A1x十B1y十C1十A(A2x +B2y十C2)=0(不包括直线A2x+B2y十C2=0). 5.对称问题 (1)点P(xo,yo)关于点A(a,b)的对称点为P'(2a-xo,2b-yo). (2)设点P(o,yo)关于直线y=x十b的对称点为P'(x',y), (y-y.k=-1, 则有 x-x0 可求出x',y y+0=k,+0+b 2 2 (3)若直线1上的A、B关于直线1的对称点分别为A,B,则L1关于直线1的对称直线L必然经过点A,B; 【即学即练2-1(2025天津和平.二模)若a∈R,直线l:x+2y-1=0,直线l2:(3a-1)x-y-1=0,则“a=0" 是“1/1l2"的) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 第2页共21页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练2-2】(24-25高二下.北京阶段练习)直线：ax+3y=0与直线l2:3x+y=0垂直，则实数a为) A.-3 B.-1 C.0 D.1 知识点03几种距离公式 1.两点距离：点P1x1,y),P2(2,y2)的距离.|PP=Vx2-x1)2+0y2-y)2 2点到直线的距离：点P心xo,o)到直线：A十By+C=0的距离d=A+o+ A2+B2 3.两平行直线的距离：1：Ax+By十C=0与：Ar十By十C=0之间的距离d=-c A2+B2 〖即学即练3】(24-25高二上，贵州贵阳期中)点P(2,-1)到直线x-y+1+2k=0的最大距离为) A.25 B.2√5 C.4 D.6 知识点04圆的方程 1.圆的标准方程：(x-a)2+y-b)2=r2,其中圆心：C(a,b),半径：r 2.圆的一般方程：x2十y2+Dx十Ey十F=0(D2+2-4F>0) 圆心C(--),半径1=D+-4 【即学即练4】(25-26高二上江苏宿迁开学考试)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点M(-1,3),N(2,6), 且与x轴相切，则圆心C的横坐标是() A.-10 B.2或-10 C.-2或10 D.-2 知识点05直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线Ax+By十C=0与圆(x-)2+(y一b)2=2(>0)的位置关系的判断 位置关系 相交相切相离 公共点个数 2个 1个 0个 几何法：设圆心到直线的距离d=Ha+Bb+C dr d=r dr 判定方法 VA2+B2 Ax+By+C-0 代数法：由 消元后利用判别式判断 >0 1=0 <0 x-02+y-b2=r2 2.圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1,2的关系 dr+r d=r+r2 r1一r2Kdkr1+r2 d=rn1一2(1≠2) 0≤K1-r2l(1≠r2） 公切线条数 4 3 2 0 (②)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 第3页共21页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △>0→相交， 圆C,的方程道云一元二次方程4=0→内切或外切， 圆C2的方程) △<0→内含或外离， 3.弦长问题 直线1被⊙C截得的弦长为AB的常用方法 M B (1)几何法优先推荐)：弦长公式：AB=2√P2-d2 2)代数法：直线：Ar+By+C=0；OC.r+y+Dx+y+F=0 [Ax+By+C=0 联立 +y'+Dx++R=0消去“y”得到关于“x"的一元二次函数x2+bx+c=0 弦长公式：AB=V1+k2.V代+x,)2-4xx 【即学即练4】(24-25高二下湖南·期中)已知点A,B为圆0：x2+y2=14上两动点，且AB=4W3,点P为 直线：x+y+12=0上动点，则() A.圆心O到直线AB的距离为√2 B.以AB为直径的圆与直线I相离 C.∠APB的最大值为号 D.PA.PB的最小值为38 题型精讲 题型01直线的方程 【典例1-1】(24-25高二上北京怀柔期末)已知直线的倾斜角为60°，且过点P(0,1),则直线的方程为) A.y= -x-1 2x+1C.y=V3.x-1 D.y=3x+1 3 8.y= 3 【典例1-2】(24-25高二上湖北期中)已知定点M(5,0),若直线1过定点M且方向向量是n=（-5,5),直线 12过定点M且方向向量是n2=(5,-3),直线l1在y轴上的截距是a,直线2在y轴上的截距是b,则a-b=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 【典例1-3】(24-25高二上河北张家口·期末)已知过点P(2,1)的直线1分别与x,y轴的正半轴交于点 A(a,0),B(0,b),O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值是() A.4 B.2√2 C.8 D.5 【典例1-4】(2025高二·全国.专题练习)设△ABC的三个顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(C,0),且b,c不相等， 第4页共21页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点P(O,P)在线段AO上（异于端点）.若a,b,C,P均为非零实数，直线BP,CP分别交直线AC,AB于点E, 下，某同学已正确综得直线0z的方程为店)：+》-0，则直线0p的方程） A.日》-》=08层+g》=。c.（后+g-。0.后+》-日》=0 【变式1-1】(24-25高二上广东梅州期末)己知直线1经过点(3,1)，且倾斜角为45°，则直线1的方程为() A.x-y-4=0 B.x+y-4=0 C.x+y-2=0 D.x-y-2=0 【变式1-2】(24-25高三上安徽宿州期末)将直线，：x+5y-1=0绕点(1,0)顺时针旋转兀得到直线，则1，的 方程是() A.x-5y-1=0 B.5x+y-5=0C.x-y-1=0 D.5x-y-5=0 【变式1-3】(24-25高二上四川成都.阶段练习)设A(-2,2),B(1,1),若直线+y+1=0与线段AB有交点，则 a的取值范围是() .2 【变式1-4】（多选24-25高二上河北唐山期末）已知直线1的方程为3x+y-5=0,则下列选项正确的有() A.1的斜率为-3B.1的方向向量为(1，-3)C.1在y轴上的截距为5D.1在x轴上的截距为5 【变式1-5】（多选）(23-24高二上·甘肃白银·期中)下列说法错误的是(） A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B.经过点(1,1)且斜率为2的直线方程为2x-y=0 C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D.直线x=1的斜率为0 【变式1-6】（多选）24-25高一下·江苏南京·期末)下列说法错误的是() A.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x+y=a(a∈R)表示 B.方程x+y-2=0(m∈R)表示的直线斜率一定存在 C.经过点P(1,2),倾斜角为a的直线方程为y-2=tna(x-1) D.经过两点(5，y),￡(sy)(x≠x)的直线方程为y-y=-当(x-) X2- 第5页共21页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02两直线的位置关系 【典例2-1】(24-25高二下·四川广安·开学考试)下列说法正确的是() A.“a=-1"是“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直"的充要条件： B.直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+2-1=0互相平行，则a=-1: C.过(：，h),(:,)两点的所有直线的方程为-=- 为男$-名： D.经过点1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0. 【典例2-2】(24-25高二上四川雅安期末)经过点P(2,3)且与直线2x-y=0垂直的直线1的方程为() A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0C.x+2y-8=0D.x+2y+4=0 【典例2-3】(24-25高二上.安徽阶段练习)若点P(3,-4)是直线4x+by+2=0和a2x+b2y+2=0的公共点， 则相异两点A(a,b)和B(a2,b2)所确定的直线AB方程是() A.3x-4y+2=0B.4x-3y+2=0C.3x-4y-2=0D.4x-3y-2=0 【典例241(2025高三全国专题练习)尼知直线4：2x+y+m=0(m>0)与圆C:(x+1)+(-2°=号交于 4B两点，若∠ACB=,则直线与直线4：2x+y+3=0间的距离为 A.25 8.5 C.1 D.2 5 5 【变式2-1】(24-25高二上河南新乡.期末)直线1过点(0,2)，且与直线y=2x-1垂直，则直线1方程为) A.x+2y-4=0B.2x+y-2=0C.2x-y+2=0D.x-2y+4=0 【变式2-2(24-25高二上河南商丘期中)直线：2x+3y-1=0与：3x+(+1)y+2=0垂直，则实数m=() A.3 B.-3 C.2 D.1 【变式2-3】(24-25高一上四川期中)已知直线l:ax+2y+3a=0和直线1，：3x+(a-1)y+3-a=0,则下列 说法错误的是() 25 A.若直线l,的斜率为1，则，与坐标轴围成的三角形面积为 18 B.直线的斜率一定存在 C.若1/1，，则a=3或a=-2 D.点O(0,0)到直线l的距离的最大值为2 【变式2-4】(24-25高二上湖南长沙阶段练习)已知A,B两点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),两条直线 ☑：x-y+1=0和l2:x+y-1=0(m∈R)的交点为P,则AP+BP的最大值为) 第6页共21页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 2 B.√5 C.1 D.2 【变式2-5】（多选）24-25高三上·宁夏银川阶段练习)下列说法中，正确的有() A.直线y=x-3a+2(a∈R)必过定点(3,2)B.点(1,1)关于直线x-y+1=0对称的点是(3,4) C.直线x+5y+1=0的斜率为- 3 D.点，2)到2x-y+3=0的距离是35 5 【变式2-6】(24-25高二下.上海静安期中)直线1过点A(1,0),B(-1,2)与直线x-y+1=0平行，则这两条平 行直线之间的距离为 题型03圆的方程 【典例3-1】(25-26高二上安徽阜阳阶段练习)已知点A(-2,3)在圆C:x2+y2-2x-4y+5=0外，则实数m 的取值范围是() A.(-0,-1)U(2,+0)B.(-2,-1)(2,+0）C.(←m,-1) ,+0 D. --1Ud.) 【典例3-2】(24-25高三上·福建漳州阶段练习)直线ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+4x-4y+4=0的圆 心，则上+2的最小值为) a b A. C. 5 B.2√2+3 D. 【典例3-31(24-25高二上江苏南京阶段练习)已知圆C:(x-3)+y2=9,D是圆C上的动点，点E(2,4), 若动点M满足DM=2DE，则点M的轨迹方程为) B.(x-1)2+(y-8)2=9 C.(x-5)+(y-8)=9 D.(x-8)+(y-1)=9 置典例3-4】(24-25高二上·湖北孝感阶段练习)已知直线：x+y-1-3=0与l2:x-y+-3=0相交于点 M,线段AB是圆C:(x+1)+(y+1)=4的一条动弦，且AB=2W3,则MA.MB的最大值为) A.16+4W2B.30+8√2C.5+65D.20N5-1 【变式31】(2025河北邯郸一模)“a∈(-∞，-3)U(2,+∞)"是“点（-1，-2)在圆x+y2--2y+a2-15=0外 部”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 第7页共21页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式32】(25-26高二上江苏南京阶段练习)若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点在圆x2+y2=4的内 部，则实数k的取值范围是() A-1s灯-月 1 B.- <k<1 c.-<k<1 D.-2<k<2 5 3 【变式331(25-26高三上北京开学考试)已知⊙C:x2+y2-4x+4y+6=0,点A(1,1),0是坐标原点.若 点B在⊙C上，则△OAB面积的最大值为) A.32 B.3 C.2W2 D.2 【变式341（多选25-26高二上山东菏泽阶段练习已知实数七y满足圆的方程(x-1+2=子，则(） A.圆心(10)，半径为时 B.x的最大值为 C.+0-1)的最大值为+号 D.x-y2的最大值为 【变式35】（多选24-25高二上福建厦门期中）下列命题中，正确的是() A.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过第三象限 B.若直线4：X-2y+1=0与4：2x+四-2=0平行，则4与1，的距离为25 C.圆C:(x+1)2+(y-1)2=4关于直线x-y-1=0对称的圆方程为(x-2)2+(y+2)2=4 D.点A(x,)为圆(x-2)2+y2=1上任意一点，则x2+y2的最大值为3 【变式3-6】（25-26高二上·安徽阜阳阶段练习)过点P1,3),Q(3,1)且圆心在直线y=2x-2上的圆的圆心坐 标为一 题型04直线与圆、圆与圆的位置关系的位置关系 《典例41(25-26高三上湖北开学考试)与圆(x-22+y2=2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有() A.2条 B.3条 C.4条 D.6条 〖典例4-2】(24-25高二上·河北唐山·期中)若点P(1,1)为圆(x-3)+y2=9的弦MN的中点，则弦N所在直 线方程为) A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 【典例43】（多选）24-25高二上四川巴中.期中)已知圆9：(c-1)2+y2=1和圆22：(x+1)2+(y-2)2=5的交 点为A,B,则() 第8页共21页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB的中垂线方程为x+y-1=0 C.公共弦AB的长为2√万 D.P为圆9上一动点，则P到直线AB距窝的最大值为5 【典例44】(2024陕西安康模拟预测)已知直线：x-y-m+3=0(m∈R)与直线 2:x+y-m-5=0(∈R)相交于点P,则P到直线2x+y+7=0的距离的取值集合是() A.[V5,35 B.(W5,35 c.「25,45 D.(25,45] 【变式41(24-25高二上·江苏南京阶段练习)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=9,直线1：x+y-2-3=0.则 直线1被圆C截得的弦长的最小值为() A.27 B.√10 C.2W2 D.6 【变式42】(24-25高二上浙江金华期末)点P为直线y=2上一动点，过点P作圆x2+y2=1的切线，切点 为Q,则P9的最小值为) A.1 B.√2 C.5 D.2 【变式43】(2025高三·全国.专题练习)过点P(1,0)的直线1交圆C:(x-1)+(y+2)=9于A,B两点，若 CQ⊥AB,垂足为Q,则点Q到直线x+y-2=0的最大距离为) A.√2-1 B.1 c.√5 D.V2+1 【变式44】（多选24-25高二上宁夏银川-阶段练习）已知圆2：(x-1)2+y2-1和圆2，：(x+1)2+(y-2)2=5 的交点为A,B,则下列说法正确的是() A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB的中垂线方程为x+y-1=0 C.公共弦AB的长为√2 D.P为圆9上一动点，则P到直线AB距离的最大值为5 2 【变式45】(2025高三全国专题练习)直线分圆x2+y2-4y+2x+1=0周长的比为1,1∈[1,2]，则圆心到 直线的最大距离为一， 【变式46(24-25高二上重庆九龙坡期中)已知圆0：x2+y2=4上有一动点P,记点P到直线1：x-y-4=0 的距离为d,平面上有一定点A(-22,22),则PA+d,的最小值为 题型05与弦有关的问题 【典例5-1】(24-25高二上河南驻马店期中)若圆O:x2+y2+2x-3=0与圆O2:x2+y2-2y-1=0交于A,B 第9页共21页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 两点，则弦AB|长为) A.2 B.2√2 C.2 D.4 【典例5-2】(23-24高二上浙江杭州期中)已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0相交 于A、B两点，则圆C:(x+3)2+(y-3)2=1的动点P到直线AB距离的最大值为 【典例5-3】(24-25高三下·云南阶段练习)直线1过圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-2)+(y-1)2=1的公共弦中 点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则1的方程为一 【典例5-4】(2025安徽安庆.二模)己知圆C1:x2+y2+4x-4y-1=0与圆C2:x2+y2-2x+2y-7=0相交于两 点A,B,则四边形ACBC2的面积等于 【变式511(24-25高二上河北邢台期末)圆C:x2+y2+4x=0与圆C2:x2+y2+4y=0的公共弦所在的直线 方程为) A.x-y=0B.x+y=0C.x-y-4=0D.x+y-4=0 I变式52】(2025安徽合肥模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知直线-y-k+1=0与圆x2+y2=4相 交于A,B两点，则AB的最小值为() A.√2 B.3 C.22 D.2√5 【变式53】(24-25高二上全国课后作业)已知圆C:x2+y2-2x-4y-7=0和圆C2:(x+3)2+(y+1)2=12交 于两点，点P在圆C上运动，点Q在圆C,上运动，则下列说法正确的是() A.圆C1和圆C关于直线8x+6y-5=0对称B.圆C1和圆C,的公共弦长为2√23 c.P9的取值范围为0,5+23 D.若M为直线x-y+8=0上的动点，则PM+Mg的最小值为V109-4√3 凰变式54】（多选24-25高二上江苏徐州期末）若圆C:x2+y2-2x-2y=0与圆C2:x2+y2-x-y-1=0 的交点为P,2,则() A.公共弦P2所在直线方程为x+y-1=0 B.线段PQ中垂线方程为x-y+1=0 C.过点(0,3)作圆C:x2+y2-2x-2y=0的切线方程为y=x+2 D.若实数x,y满足圆C:x2+y2-2x-2y=0,则y-x的最大值为2 【变式55】(24-25高二下湖北期中)已知圆O:x2+y2=9和圆C:(x-4)+(y+3)=54,则两圆的公共弦 第10页共21页 第2章 平面解析几何 复习讲义 教学目标 1、掌握直线的倾斜角、斜率的概念及计算方法，掌握直线方程的求法，掌握两直线的位置关系及应用； 2、掌握圆的标准方程与一般方程，掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及应用； 3、掌握直线与圆的综合应用； 教学重难点 1、重点：直线与圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系； 2、难点：轨迹问题、最值范围问题、对称问题； 知识点01 直线的方程 1.直线的斜率：(1)若直线倾斜角为，则斜率； (2)若直线过两点：，则； (3)若直线的方向向量为:，则； 2.直线的方程： (1)点斜式：过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程为：y－y0＝k(x－x0)， (2)斜截式：与y轴的交点(0，b)，斜率为k的直线l的方程为：斜率为k的直线l的方程为： (3)两点式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程； (3)两点式：在x轴上的截距为a，在y轴上的截距是b的直线方程：； (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)； 【即学即练1-1】(24-25高二上·浙江台州·期末)已知直线的一般式方程为，则(    ) A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 【答案】A【难度】0.94【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别. 【详解】由得， 直线的截距式方程为：，即. 直线的斜截式方程为：.故选：A. 【即学即练1-2】(24-25高二下·四川泸州·期末)直线在轴上的截距为(   ) A． B． C．-1 D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】直线截距式方程及辨析【分析】直线方程中令求得值即得. 【详解】在中令得，故选：A. 知识点02 两直线的位置关系 1.平行 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， (3)平行直线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； 2.重合 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， 3.垂直 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：则 (3)垂直直线系:与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； 4.相交 (1)两条直线的交点坐标：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交， 则交点P的坐标是方程组的解． (2)交点直线系：过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 5.对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. (3)若直线上的A、B关于直线的对称点分别为，则关于直线的对称直线必然经过点； 【即学即练2-1】(2025·天津和平·二模)若，直线：，直线：，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、已知直线平行求参数、既不充分也不必要条件 【分析】根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】当时，，则； 若，则，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 【即学即练2-2】(24-25高二下·北京·阶段练习)直线与直线垂直，则实数为(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】C【难度】0.94【知识点】已知直线垂直求参数【分析】根据两向量垂直的充要条件列式求解. 【详解】根据题意，可得，解得.故选：C. 知识点03 几种距离公式 1.两点距离：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离．|P1P2|＝. 2.点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离. 3.两平行直线的距离：l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离. 【即学即练3】(24-25高二上·贵州贵阳·期中)点到直线的最大距离为(   ) A． B． C．4 D．6 【答案】B【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离 【分析】先求出直线所过的定点，然后可知点到直线的最大距离即为该点到定点的距离. 【详解】由直线可知： 无论为何值，得，故直线一定经过. 由题意知：点到直线的最大距离, 即为点到定点的距离：.故选：B. 知识点04 圆的方程 1.圆的标准方程：，其中圆心：，半径: 2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 圆心C，半径r＝ 【即学即练4】(25-26高二上·江苏宿迁·开学考试)在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是(    ) A． B．2或 C．或10 D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据题意设出圆的方程，然后将经过的两个点坐标代入圆的方程中组成方程组，求解即可. 【详解】设圆心，因为圆与轴相切，则.所以圆的方程为. 因为该圆经过点，所以.化简得， 两式相减得.然后将代入①式中得，解得或.故选：B. 知识点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元后利用判别式Δ判断 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 2.圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 公切线条数 4 3 2 1 0 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 3.弦长问题 直线被截得的弦长为的常用方法 (1)几何法(优先推荐)：弦长公式： (2)代数法：直线：； 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练4】(24-25高二下·湖南·期中)已知点，为圆上两动点，且，点为直线上动点，则(    ) A．圆心到直线的距离为 B．以为直径的圆与直线相离 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】对于A，根据条件，利用弦长公式，即可求解；对于B，利用选项A可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用圆的几何性质和直线与圆的位置关系的判定，即可求解；对于C，根据条件找到最大角，进而得最大角小于，即可求解；对于D，根据条件得到，再求出，即可求解. 【详解】对于选项A，设的中点为，如图1，连接，.则，，    所以，故选项A正确； 对于选项B，由A知，点在以为圆心，为半径的圆上， 又原点到的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为， 因为，故以为直径的圆与直线相离，所以选项B正确； 对于选项C，如图2，当直线与直线平行，且，，共线时，为等腰三角形， 此时最小，最小值为，又，故此时最大，且，    则，所以，则，故选项C错误； 对于选项D，， 当，，，共线，且在，之间时取等号，， 所以的最小值为，所以选项D正确，故选：ABD. 题型01 直线的方程 【典例1-1】(24-25高二上·北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为.故选：D 【典例1-2】(24-25高二上·湖北·期中)已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则(   ) A．2 B． C．1 D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据直线的方向向量求直线方程、直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据的坐标以及方向向量分别求解出的方程，由此可求结果. 【详解】因为，即，所以， 因为，即，所以，所以.故选：A. 【典例1-3】(24-25高二上·河北张家口·期末)已知过点的直线分别与轴的正半轴交于点为坐标原点，则的面积的最小值是(    ) A．4 B． C．8 D．5 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、基本不等式求和的最小值【分析】由题意设，求出坐标，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】直线与轴的正半轴分别交于两点，可知直线的斜率为负数， 设直线， 令，得，令，得，可知， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为4.故选：A. 【典例1-4】(2025高二·全国·专题练习)设的三个顶点分别为，，，且不相等，点在线段上(异于端点)．若均为非零实数，直线，分别交直线，于点，，某同学已正确算得直线的方程为，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】求出直线与直线的方程，两式相减即可求解. 【详解】由已知可得直线，直线，两式相减得， 则直线与的交点满足此方程，又因为原点也满足此方程，所以此方程即为直线的方程． 故选：A． 【变式1-1】(24-25高二上·广东梅州·期末)已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【详解】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即.故选：D. 【变式1-2】(24-25高三上·安徽宿州·期末)将直线绕点顺时针旋转得到直线，则的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据两条直线垂直得出斜率，再应用点斜式求解直线即可. 【详解】由题意可知，直线与垂直，直线的斜率为，所以的斜率为5， 又因为过点，所以直线的方程为，即.故选：D. 【变式1-3】(24-25高二上·四川成都·阶段练习)设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析、直线与线段的相交关系求斜率范围【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得，因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意． 易得，．结合图形知或，解得或， 即的取值范围是．故选：C 【变式1-4】(多选)(24-25高二上·河北唐山·期末)已知直线的方程为，则下列选项正确的有(    ) A．的斜率为 B．的方向向量为 C．在轴上的截距为5 D．在轴上的截距为5 【答案】ABC【难度】0.85【知识点】直线方向向量的概念及辨析(平面中))、直线综合、直线的斜截式方程及辨析【分析】化直线的方程为斜截式方程，结合直线的斜率与直线方向向量的关系，即可判断A、B、C，令，解出即可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，即，所以直线的斜率为，A正确； 对于B，根据直线的斜率，可以确定为直线的方向向量，B正确； 对于C，根据直线的斜截式方程，可知在轴上的截距为5，C正确； 对于D，令，解得，所以在轴上的截距为，D错误.故选：ABC 【变式1-5】(多选)(23-24高二上·甘肃白银·期中)下列说法错误的是(    ) A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线斜率的定义【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断AD，利用点斜式直线方程求解判断B，利用直线与坐标轴的围成面积求解判断C. 【详解】当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在， 所以直线的斜率不存在，所以AD错误； 对于B，过点且斜率为的直线的方程为即，错误； 对于C，对于直线，令，则，令则， 则在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为，正确.故选：ABD 【变式1-6】(多选)(24-25高一下·江苏南京·期末)下列说法错误的是(   ) A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 【答案】AC【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角、直线两点式方程及辨析 【分析】根据特殊值法判断A，C，应用一般式求斜率判断B，结合直线的两点式判断D. 【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误； B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确. C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错. D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.故选：AC 题型02 两直线的位置关系 【典例2-1】(24-25高二下·四川广安·开学考试)下列说法正确的是(    ) A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件； B．直线与直线互相平行，则； C．过两点的所有直线的方程为； D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线两点式方程及辨析 【分析】根据两直线垂直求参数判断A的真假；根据两直线平行求参数判断B的真假；格努直线两点式适用的条件判断C的真假；求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程判断D的真假. 【详解】对A：由直线与垂直可得：或.故A错误； 对B：由直线与平行，可得：，故B正确； 对C：当或时，直线方程不能写成的形式，故C错误； 对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，故D错误.故选：B 【典例2-2】(24-25高二上·四川雅安·期末)经过点且与直线垂直的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据直线垂直斜率乘积为可求得所求的直线斜率，再利用点斜式得到直线方程即可. 【详解】∵直线斜率为，直线与直线垂直，，即. 过且与直线垂直的直线为，即.故选：C. 【典例2-3】(24-25高二上·安徽·阶段练习)若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【详解】因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故直线的方程是.故选：A. 【典例2-4】(2025高三·全国·专题练习)已知直线：与圆C：交于两点，若，则直线与直线：间的距离为(   ) A． B． C．1 D．2 【答案】A【难度】0.85【知识点】求平行线间的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用平面几何思想求圆心到直线的距离，再用解析几何思想再求圆心到直线的距离，从而可求出参数，最后用两平行线间的距离公式求解即可。 【详解】如图，因为，， 所以在等腰中，可得圆心C到直线：的距离， 再由圆心C到直线：的距离公式可得：， 因为，所以解得，即直线：， 则直线与直线间的距离为．故选：A. 【变式2-1】(24-25高二上·河南新乡·期末)直线过点，且与直线垂直，则直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】由垂直直线的斜率关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】由题意，直线与直线垂直，故直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即.故选：A. 【变式2-2】(24-25高二上·河南商丘·期中)直线与垂直，则实数(   ) A．3 B．-3 C．2 D．1 【答案】B【难度】0.94【知识点】直线的一般式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】利用两条直线垂直的充要条件计算即可得解。 【详解】因为，所以，所以。故答案为：B 【变式2-3】(24-25高一上·四川·期中)已知直线和直线，则下列说法错误的是(    ) A．若直线的斜率为1，则与坐标轴围成的三角形面积为 B．直线的斜率一定存在 C．若，则或 D．点到直线的距离的最大值为2 【答案】D【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、已知直线平行求参数、直线的斜截式方程及辨析、直线斜率的定义 【分析】由直线的斜截式建立关于的方程，求出即可判断A；求出直线的斜率为即可判断B；根据两直线的位置关系求出，验证即可判断C；根据点到直线的距离公式化简计算即可判断D. 【详解】A：直线的斜率为1，不合题意， 不等于1时，易知，则，解得，此时， 与坐标轴的交点分别为，所以直线与坐标轴所围成的三角形面积为，故A正确； B：由，得，所以直线的斜率为，必定存在，故B正确； C：若，则，解得或. 当时，，此时； 当时，，此时，故C正确； D：点到直线的距离为， 当时，；当时，， 所以点到直线的距离的最大值不存在，故D错误.故选：D 【变式2-4】(24-25高二上·湖南长沙·阶段练习)已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】D【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、轨迹问题——圆、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点的轨迹，再设，结合辅助角公式求出即可； 【详解】由题意可得直线恒过定点，恒过定点， 且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直，所以点在以线段为直径的圆上运动， ，设，则， 所以， 所以当时，即时，取得最大值，此时点的坐标为.故选：D. 【变式2-5】(多选)(24-25高三上·宁夏银川·阶段练习)下列说法中，正确的有(   ) A．直线必过定点 B．点关于直线对称的点是 C．直线的斜率为 D．点到的距离是 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】将直线方程变形，可求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；利用点与点关于直线对称，求出点关于直线对称的点的坐标，可判断B选项；求出直线的斜率，可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线方程可化为， 由可得，所以，直线必过定点，A对； 对于B选项，设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，所以，点关于直线对称的点的坐标为，B错； 对于C选项，直线的斜率为，C对； 对于D选项，点到的距离是，D对.故选：ACD. 【变式2-6】(24-25高二下·上海静安·期中)直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】/【难度】0.85【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数【分析】先直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，再利用两直线平行求出的值，最后利用平行直线间距离公式计算. 【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即， 因直线与直线平行，则，得， 则直线与之间的距离为.故答案为： 题型03 圆的方程 【典例3-1】(25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习)已知点在圆外，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据方程表示圆及点在圆外列出不等式求解即可. 【详解】表示圆，故，即，解得或. 因为点在圆外，故，解得， 故实数的取值范围为或.故选：D 【典例3-2】(24-25高三上·福建漳州·阶段练习)直线经过圆的圆心，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心，所以，即， 所以(当且仅当，即)取等号， 所以的最小值为，故选：B 【典例3-3】(24-25高二上·江苏南京·阶段练习)已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为(    ) A．( B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、线段的定比分点 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上，所以，即.故选：B 【典例3-4】(24-25高二上·湖北孝感·阶段练习)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、数量积的坐标表示 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点轨迹为圆，设为弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点，直线恒过，且， 则，即， 点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图：，连接，    由，易知，， 又点分别为圆、圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以， 即的最大值为．故选：B． 【变式3-1】(2025·河北邯郸·一模)“”是“点在圆外部”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】点与圆的位置关系求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案. 【详解】因点在圆外部， 则，即，解得：. 注意到是的真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件.故选：B 【变式3-2】(25-26高二上·江苏南京·阶段练习)若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求直线交点坐标、点与圆的位置关系求参数 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，，则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是.故选：B 【变式3-3】(25-26高三上·北京·开学考试)已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为(    ) A． B．3 C． D．2 【答案】B【难度】0.65【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】分析易得在的延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】由：，即，则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时，则面积的最大值为.故选：B. 【变式3-4】(多选)(25-26高二上·山东菏泽·阶段练习)已知实数满足圆的方程，则(    ) A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、利用函数单调性求最值或值域、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】由圆的标准方程即可判断A，由解出即可判断B，由表示圆上点到定点的距离，计算圆心到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】对于A：由圆的方程，所以圆心为，半径为，故A错误； 对于B：由，有，所以的最大值为，故B正确； 对于C：表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D：由得，所以， 令，由在单调递增，所以，所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 【变式3-5】(多选)(24-25高二上·福建厦门·期中)下列命题中，正确的是(   ) A．如果且，那么直线不经过第三象限 B．若直线：与：平行，则与的距离为 C．圆C：关于直线对称的圆方程为 D．点为圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】直线的一般式方程及辨析、定点到圆上点的最值(范围)、求点关于直线的对称点、求平行线间的距离 【分析】求出直线的斜率及纵截距判断A；利用平行线间距离公式计算判断B； 求出圆心关于已知直线的对称点求解判断C；利用目标函数的几何意义计算判断D. 【详解】对于A，由且，得直线的斜率，纵截距， 该直线不过第三象限，A正确； 对于B，直线：，当时，，它们的距离为，B正确； 对于C，令圆：的圆心关于直线的对称点为， 则，解得，所求圆的方程为，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，令原点为， 则，当且仅当三点共线时取等号，D错误.故选：ABC 【变式3-6】(25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习)过点，且圆心在直线上的圆的圆心坐标为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】利用圆的对称性确定圆心在的垂直平分线上，求该直线联立解方程即可. 【详解】因为，，所以线段的垂直平分线的方程为， 联立方程,解得所以该圆的圆心坐标为.故答案为： 题型04 直线与圆、圆与圆的位置关系的位置关系 【典例4-1】(25-26高三上·湖北·开学考试)与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有(    ) A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B【难度】0.85【知识点】直线截距式方程及辨析、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】分类讨论，①当直线不经过原点时，设截距为，②当直线经过原点时，设直线方程为. 【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为，. 则直线过点，那么直线斜率为.所以直线方程为. 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得或(舍去). 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为. ②当直线经过原点时，设直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得.此情况下有两条直线符合题意，方程为. 综上，共有3条直线符合题目要求.故选：B. 【典例4-2】(24-25高二上·河北唐山·期中)若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】方程确定圆心和半径、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由圆方程确定圆心，再由垂直关系及斜率两点式求弦斜率，最后应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，圆心为，则， 故弦所在直线方程，即为.故选：D 【典例4-3】(多选)(24-25高二上·四川巴中·期中)已知圆和圆的交点为，则(    ) A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】AB【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析、相交圆的公共弦方程 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程，则选项A可判断；由两圆中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程，则选项B可判断；利用两圆中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，则选项C可判断；利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，加上半径即点到直线距离的最大值，即选项D可判断． 【详解】对于A，因为圆和圆， 圆心距，且,两圆相交， 将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故选项A正确； 对于B，因为圆的圆心为，，则线段中垂线的斜率为， 即线段中垂线方程为，整理可得，故选项B正确； 对于C，圆心到直线的距离为， 又圆的半径，所以，故选项C错误； 对于D，点为圆上一动点，圆心到直线的距离为， 又圆的半径，所以点到直线距离的最大值为，故选项D错误．故选：AB． 【典例4-4】(2024·陕西安康·模拟预测)已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值、由一般式方程判断直线的垂直【分析】先判断与的位置关系，可知两直线交点轨迹为圆，然后挖去点，转化为圆心到直线的距离求解即可. 【详解】由两直线垂直的判断条件，可知，所以直线与始终垂直， 又由条件可得直线恒过定点，直线恒过定点， 所以两直线的交点是在以线段为直径的圆上，所以该圆的圆心坐标为，半径为， 圆上点是过定点且斜率不存在的直线与过定点且斜率为0的直线的交点，故挖去点. 圆心到直线的距离， 所以，与的交点到直线的距离的最大值和最小值分别为和， 又到直线的距离为，应舍去，所以取值集合是.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用直线垂直的性质与过定点的知识，判断得两直线的交点是在以线段为直径的圆上，从而得解. 【变式4-1】(24-25高二上·江苏南京·阶段练习)已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线过定点、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为．故选：A． 【变式4-2】(24-25高二上·浙江金华·期末)点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】C【难度】0.85【知识点】求平面两点间的距离、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有， 由圆的几何性质可得，又由， 所以当时，取得最小值．故选：C. 【变式4-3】(2025高三·全国·专题练习)过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为(    ) A． B．1 C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求出圆的圆心和半径，证明在圆内，证明Q是AB的中点，分直线l的斜率不存在时和直线l的斜率存在两种情况结合向量即可求解. 【详解】易知圆C：的圆心为，半径， 又，所以在圆内，因为，垂足为Q，由垂径定理知Q是AB中点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，易得此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由可得，设点，则，， 所以，即， 故点Q的轨迹方程为(除点外)， 圆心到直线的距离为，则点Q到直线的最大距离为．故选：D. 【变式4-4】(多选)(24-25高二上·宁夏银川·阶段练习)已知圆和圆的交点为A，B，则下列说法正确的是(    ) A．公共弦AB所在直线的方程为 B．线段AB的中垂线方程为 C．公共弦AB的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、直线的点斜式方程及辨析、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】A将两圆方程作差求公共弦；B根据线段AB的中垂线过两圆的圆心，应用点斜式写出方程；C应用几何法求公共弦长；D由到直线AB距离确定P到直线AB距离的最大值. 【详解】A：两圆作差可得，整理得AB为，对； B：由线段AB的中垂线过两圆的圆心，则，可得，对； C：由，，则到的距离，故公共弦AB的长为，对； D：由C分析知：P到直线AB距离的最大值为，错.故选：ABC 【变式4-5】(2025高三·全国·专题练习)直线分圆周长的比为，，则圆心到直线的最大距离为 . 【答案】1【难度】0.85【知识点】求cosx(型)函数的最值、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先求出劣弧所对的圆心角，再利用圆心角表示心到直线的距离，最后根据即可求出. 【详解】由题意可知，优弧与劣弧所对的圆心角之比为，则劣弧所对的圆心角为， 化简得，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，因，则，， 故圆心到直线的最大距离为.故答案为： 【变式4-6】(24-25高二上·重庆九龙坡·期中)已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求出中点的轨迹，再结合图形找到线段和最小值的情况. 【详解】作出图形，分别取线段中点分别为， 因为，则，则， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，其轨迹方程， 则，设点到直线的距离为，则， 则的最小值为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出中点的轨迹，再根据三点共线即可得到最值. 题型05 与弦有关的问题 【典例5-1】(24-25高二上·河南驻马店·期中)若圆与圆交于A，B两点，则弦长为(   ) A． B． C．2 D．4 【答案】B【难度】0.65【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】首先求出圆心坐标和半径.然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再根据圆心到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后利用勾股定理求出弦长. 【详解】圆，圆心，半径. 圆，圆的圆心，半径. 两圆方程相减可得：，化简得， 即，此为公共弦所在直线方程. 圆心到直线的距离. 根据勾股定理，弦长的一半，已知，，则， 所以.故选：B. 【典例5-2】(23-24高二上·浙江杭州·期中)已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：的动点到直线距离的最大值为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】相交圆的公共弦方程、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】借助数形结合思想，结合直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】圆：与圆：的方程相减，可得， 即直线的方程为.圆：的圆心为，半径， 点到直线的距离， 则圆上的动点到直线距离的最大值为，故答案为：. 【典例5-3】(24-25高三下·云南·阶段练习)直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为 . 【答案】或【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、相交圆的公共弦方程、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】由解出公共弦的交点，求出中点坐标， 设直线的方程为，得解出即可. 【详解】由，又或， 设公共弦的中点为，所以，即中点为， 设直线的方程为， 则或，代入化简整理有： 或， 故答案为：或 【典例5-4】(2025·安徽安庆·二模)已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【答案】9【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积； 法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积. 【详解】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径， 法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9； 法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为： 到距离为，所以，即， 又，所以，四边形的面积.故答案为：9. 【变式5-1】(24-25高二上·河北邢台·期末)圆与圆的公共弦所在的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】相交圆的公共弦方程【分析】两圆方程相减即可求解； 【详解】由圆与圆方程相减可得：， 所以公共弦所在的直线方程为，故选：A 【变式5-2】(2025·安徽合肥·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】求出直线过定点，采用数形结合法即可求解.. 【详解】直线可化为：， 令，得，所以直线过定点，圆的圆心为，半径， 当时，有最小值，如图所示：即圆心到直线的距离， 所以的最小值为.故选：C 【变式5-3】(24-25高二上·全国·课后作业)已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是(    ) A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D【难度】0.4【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆的位置关系确定参数或范围、判断圆与圆的位置关系、两圆的公共弦长 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，和圆， 圆心和半径分别是，则两圆心中点为， 若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线， 但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，到直线的距离，故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为，故的取值范围为，C错误； 对于D，如图，设关于直线对称点为，    则解得即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D正确.故选：D. 【变式5-4】(多选)(24-25高二上·江苏徐州·期末)若圆：与圆：的交点为，，则(    ) A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．过点作圆：的切线方程为 D．若实数，满足圆：，则的最大值为2 【答案】AD【难度】0.85 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将圆和圆的方程相减即可判断A，线段的中垂线即为直线，可判断B选项，易知点在圆外，讨论斜率是否存在即可求解切线方程，可判断C，令，代入圆的方程，解方程即可判断D. 【详解】易知圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 对于A，两圆心距为，此时，两圆相交； 所以两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为，即A正确； 对于B，由圆的性质可知，线段中垂线即为即为直线，其方程为， 化简可得，所以B错误； 对于C，易知点在圆：外， 当切线斜率不存在时，直线方程为，不合题意； 当切线斜率存在时，设直线方程为，圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为，即C错误； 对于D，令，代入圆的方程整理可得， 该方程有解，故，解得，即的最大值为2，所以D正确. 故选：AD 【变式5-5】(24-25高二下·湖北·期中)已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为.故答案为：. 【变式5-6】(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】直线的倾斜角、相交圆的公共弦方程 【分析】两圆方程相减可得公共弦的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解. 【详解】因为圆，即与圆相交于两点， 所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，解得，故答案为： 题型06 圆的切线 【典例6-1】(24-25高二上·山东·期中)圆：与圆：的公切线的条数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.94【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆方程确定圆心坐标和半径，即可确定圆与圆的位置关系，从而可确定公切线条数. 【详解】由，可得，所以圆心， 设两圆的半径分别为，则，圆心距， 所以两圆外切，则公切线的条数为3条，故选:C. 【典例6-2】(23-24高二上·北京·期中)过点作圆的切线，切点为，则切线段长为(    ) A． B．3 C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】切线长【分析】根据相切，由勾股定理即可求解. 【详解】设圆心为半径为， 所以,故，故选：C 【典例6-3】(24-25高二上·广东广州·期中)已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系， 即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离，，此时.故选：A 【典例6-4】(2025·江西景德镇·二模)已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】圆的弦长与中点弦、切线长 【分析】求出圆心和半径，求出，再利用等面积法即可求得答案. 【详解】圆，且，则， 又，∴，利用面积相等，∴，故选：D． 【变式6-1】(24-25高二下·甘肃甘南·期末)过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则(   ) A． B． C． D．5 【答案】B【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、切线长 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长. 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即．故选：B. 【变式6-2】(24-25高二上·浙江金华·期末)点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求平面两点间的距离、切线长 【分析】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有， 由圆的几何性质可得， 又由，所以当时，取得最小值．故选：C. 【变式6-3】(24-25高二上·河南郑州·期末)已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为(    ) A． B． C． D．8 【答案】B【难度】0.85【知识点】切线长 【分析】利用圆心到直线的距离转化求四边形周长的最小值. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为.故选：B 【变式6-4】(2025·江苏苏州·三模)点是直线上的动点，过点引圆的两条切线,；，为切点，当的最大值为时，的值为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、切线长 【分析】当时最小，最小，求出最小值即得的值. 【详解】如图，当的最大值为时，， 当时，最小时，最大. 由题得，所以，则；故选：A. 【变式6-5】(多选)(23-24高三上·江苏南通·期中)已知点P满足，点，，，则(   ) A．当最小时， B．当最大时， C．当面积最大时， D．当最大时，面积为 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】求直线与圆交点的坐标、轨迹问题——圆、切线长 【分析】根据可求得点P轨迹方程为. 当直线PC与圆D相切时，取最值，判断A，B； 当P距离x轴最远时，面积最大，判断C； P，B，C三点共线，P在CB的延长线与圆D的交点处时，最大，判断D. 【详解】设，由于，，且， 所以，两边平方，整理得， 即点P的轨迹为圆，圆心，半径为. 当直线PC与圆D相切时，取最值，如图，当P位于处时取最小值， 当P位于处时取最大值，，A，B正确； 由于，P为圆上的点，所以当P距离x轴最远时，面积最大， 即或时，面积最大， 不论还是，的值相等，都等于，故C错误； 因为，所以， 此时P，B，C三点共线，P在CB的延长线与圆D的交点处， 直线BC方程为，即， 与圆D联立，得，解得(舍去)或， 则，则，所以，D正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛，本题考查了圆的轨迹方程和圆上的点产生的最值问题，本题解题方法的核心是数形结合，从图中找到最值问题对应点，便可求得对应结果. 【变式6-6】(24-25高二上·江苏常州·期末)动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】直线交点系方程及应用、轨迹问题——圆、切线长 【分析】首先根据，转化，再根据三角形的面积公式，转化为 动点与定点距离的最值问题，再根据两直线的位置关系与定点，确定点的轨迹方程，即可求解. 【详解】圆的几何性质可知，，四边形的面积为，， 所以 直线，过定点，直线过定点， 且两直线的系数满足，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆， 圆心是，半径为，所以的最大值为， 所以的最大值为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出两条直线所过定点，以及互相垂直，从而确定点P的轨迹. 题型07 直线与圆有关的轨迹问题 【典例7-1】(24-25高二上·全国·课后作业)已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】轨迹问题——圆、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】由等腰三角形的概念及圆的定义与圆的标准方程可得解. 【详解】设，由题意知，， 因为是以为底边的等腰三角形，于是有， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点，，构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点及点关于点对称的点， 所以点的轨迹方程为(去掉，两点)，故选：C. 【典例7-2】(25-26高三上·河北衡水·开学考试)已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则(   ) A．与圆O相切 B．是两条平行的直线 C．的最大值为 D．上的点到原点O的距离的最大值为6 【答案】C【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】依题意，设，利用先求出动点M的轨迹方程，得到是圆心在点，半径为的圆，结合作图，利用圆与圆之间位置关系判断，圆的切线性质以及圆上的点到定点距离的最值求解逐一判断各选项即可. 【详解】设，由题意，，因， 代入坐标可得：，整理得：，即， 故点M的轨迹为是圆心在点，半径为的圆. 对于A，因圆与圆的圆心距满足，故两圆相交，即A错误； 对于B，由上分析知是圆心在点，半径为的圆，故B错误； 对于C，如图，当与圆相切时，取得最大值，此时记切点为， 因，则，故得的最大值即，故C正确； 对于D，由上分析，因圆的圆心与原点O都在轴上， 故圆与轴的右交点到原点O的距离最大，且距离最大为，故D错误.故选：C. 【典例7-3】(24-25高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，已知点，若点是以为直径的圆上的动点，且点关于点的对称点的轨迹满足方程，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出以为直径的圆的方程，由两圆的圆心关于对称即可求解. 【详解】记以为直径的圆为圆，在方程中， ，记该方程表示的圆为圆． 由，得圆的方程为， 整理得． 圆，圆心． 依题意可知，圆与圆关于点中心对称，因为关于对称的点为， 所以圆的圆心为，所以，得．故选:D. 【典例7-4】(多选)(24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是(    ) A．点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 B．轨迹C上的点到直线的最小距离为 C．若点在轨迹C上，则的最小值是 D．圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、由圆的位置关系确定参数或范围【分析】利用两点距离公式计算可判定A，利用直线与圆的位置关系可判定B、C，利用两圆的位置关系可判定D. 【详解】设，由，整理得， 故点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A正确； 圆心到直线的距离， 所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误； 设，易知圆心到直线的距离，故C正确； 易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意， 则圆心距，解之得，故D正确.故选：ACD 【变式7-1】(24-25高二上·全国·课后作业)平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆 【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【详解】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为.故选：C. 【变式7-2】(2024·西藏拉萨·一模)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值(且)的点的轨迹是一个圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点在边长为6的正方形内(包含边界)运动，且满足，则动点的轨迹长度为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】建立平面直角坐标系，利用距离关系求得点的轨迹，求出圆心角，然后利用弧长公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，，设，因为，即， 整理得.所以动点的轨迹为以为圆心4为半径的圆的一部分. 设圆与线段交于点，与线段交于点， 因为在中，，，所以， 所以，所以点的轨迹长度为.故答案为： 【变式7-3】(2025·江西景德镇·三模)动圆经过直线与的交点，过原点向动圆作切线，切点为，若恒成立，则实数的最大值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、切线长、由直线与圆的位置关系求参数、用定义求向量的数量积 【分析】将与的方程联立可得，设动圆的方程为，由切线长可知的轨迹为圆，设设线段中点为令可得. 【详解】将与的方程联立，得，动圆的方程为， ∴切线长，即的轨迹是以为圆心为半径的圆， 设线段中点为，∵， 而(不能三点共线)， ∴的最大值是.故选:D． 【变式7-4】(多选)(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系中，已知，，，直线l：，动点满足，则(   ) A．点的轨迹是圆 B．面积的最大值为3 C．点到距离的最大值为2 D．的最大值为 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【分析】对于A，设，由，根据距离公式化简得到结果；对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，到轴上的最大距离为圆的半径，进而根据三角形面积公式计算；对于C，直线恒过点，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大；对于D，设圆心为C，则当直线PM与圆C相切时，最大，此时，在直角三角形中计算． 【详解】对于A，设，由，得，即， 即点的轨迹是圆，A正确； 对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，则面积的最大值为，B正确； 对于C，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大，和间的距离为，即到距离的最大值为，C错误； 对于D，设圆心为C，则当直线PM与圆C相切时，最大，此时，易知，，则，D正确．故选：ABD.    【变式7-5】(25-26高三上·河北保定·开学考试)已知点是圆上的两个动点，为原点，点共线，点为的中点，则点的轨迹长度为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、轨迹问题——圆 【分析】利用圆的性质得，进而可求得点的轨迹方程，联立圆的方程，求得两圆交点，再求出圆心角，即可求解. 【详解】圆的标准方程为， 则，又是的中点，则，不妨设， 又，则，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，且在圆内的部分，如图所示(劣弧)， 由，消得，解得，代入，解得， 所以，连接，易知， 又，则，所以，由圆的对称性知， 则，所以点的轨迹长度为，故答案为：. 【变式7-6】(24-25高二上·江苏宿迁·期末)已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是 . 【答案】或【难度】0.85【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先求出点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，再利用直线与圆的位置关系即可求得结果. 【详解】设点，由，则， 整理得，即点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上， 若直线上存在点M，使，则直线与圆有交点， 故圆心到直线的距离小于等于半径；即，解得：或， 故答案为：或 题型08 直线与圆有关的对称问题 【典例8-1】(24-25高二上·安徽阜阳·期中)已知圆关于直线对称，则(    ) A． B．1 C． D．0 【答案】B【难度】0.94【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意知直线过圆心，将圆心坐标代入即得答案. 【详解】由题意直线过圆心，则.故选：B 【典例8-2】(24-25高二上·河北廊坊·期末)一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为(    ) A． B． C．±3 D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】求出点关于直线的对称点，结合光的反射定律求出过作圆的切线斜率即可. 【详解】依题意，点关于直线的对称点，由光的反射定律知，反射光线必过点， 而圆：的圆心，半径1， 显然过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，即， 由，得，所以.故选：A 【典例8-3】(2025·江西赣州·二模)若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求两圆的交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k. 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为， 所以与两点所在直线，与垂直，故.故选：D 【典例8-4】(24-25高二上·上海·期末)在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为，且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则，易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过，所以，解得或(舍去)， 所以，，,所以， 所以的周长为.故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 【变式8-1】(24-25高二上·重庆渝中·期末)与直线关于x轴对称的直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线关于直线对称问题【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上.故选：A 【变式8-2】(24-25高二上·江苏苏州·期末)直线关于直线：对称的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】对称问题、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得.故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即.故选：B 【变式8-3】(23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中)已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】直线关于直线对称问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将题设转化为的图象和的图象有两个交点，求出直线和相切时的值以及直线过点时的值，结合图象即可求解. 【详解】关于直线的对称直线为， 则题设等价于函数的图象和的图象有两个交点． 令等价于， 设直线和相切，由，解得或(舍)， 又当直线过点时，解得，所以k的取值范围是.故选：A． 【变式8-4】(24-25高三上·全国·阶段练习)点坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】作点关于轴的对称点，方法一、利用直线与圆的关系计算圆心到反射光线的距离即可；方法二、利用反射光线与圆相切作临近值，借助两点距离公式、正切的和差角公式计算反射光线的斜率范围，再利用截距的意义计算即可. 【详解】方法一：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点． 又，所以直线的方程为，即． 由题知圆的圆心为，半径为1， 直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于1， 所以，解得． 方法二：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点，临界情况为直线与圆相切． 设切点为，令，易得，所以． 因为直线的斜率为，所以直线的斜率． 易得直线的方程为．所以．故选：A 【点睛】思路点睛：对于光线的反射问题一般作对称点由入射光线得出反射光线所在直线，再利用直线与圆的位置关系计算即可，法二、计算反射光线与圆相切时的斜率从而得出反射光线的斜率范围，再结合直线的截距意义计算，计算略显复杂，但也是一种很好的方向. 【变式8-5】(多选)(24-25高二上·江苏扬州·期中)已知点与关于直线l：对称，则下列说法正确的是(   ) A． B．直线l不过第四象限 C．直线l在两坐标轴上的截距之和大于零 D．直线l的倾斜角 【答案】BC【难度】0.85【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角、已知直线垂直求参数【分析】根据题意，求出直线的斜率，和点的中点，根据垂直关系可得直线l的方程，进而逐项判断即可. 【详解】，点与的中点，所以直线l的斜率为2，且过点， 则直线l：，即,所以，A错误； 直线l与两坐标轴的交点分别为，所以直线过一、二和三象限，故B正确； 又，所以C正确； ，而在上单调递增，所以直线l的倾斜角大于，D错误.故选：BC 【变式8-6】(25-26高二上·全国·单元测试)已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】设点在点的左边，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点，则，连接，交直线于点， 则即的最小值且， 故的最小值为．故答案为：. 题型09 直线与圆的综合问题 【典例9-1】(2025·山东·二模)直线与圆交于两点，，则为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由直线与圆位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理 【分析】设，联立方程组得出，由向量数量积列出方程求解即可． 【详解】设，由得，，则， ， 由得，，解得：,所以：，故选：B． 【典例9-2】(多选)(24-25高二上·吉林长春·阶段练习)已知圆：，圆：，为圆的动弦，则下列说法正确的是(    ) A．面积的最大值为1 B．当圆和圆存在公共点时，则实数a的取值范围为 C．存在实数使得两个圆内含 D．若原点始终在动弦上，则 【答案】AD【难度】0.65【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、由圆的位置关系确定参数或范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值，判断出A的真假；根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围，判断出BC的真假；分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解，判断出D的真假． 【详解】对于A，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，所以A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为,，所以B错误； 对于C，当圆和圆内含时，， 即得，显然不成立，故不存在实数a使得两个圆内含，C错误， 对于D，当弦垂直轴时，，，所以， 当弦不垂直轴时，设弦所在直线为，与圆联立得，， 设,，,，则，， 综上，恒为定值，所以D正确.故选：AD． 【典例9-3】(24-25高二上·云南曲靖·阶段练习)已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 【答案】10【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交——韦达定理及应用 【分析】设，根据，可得，联立方程，结合韦达定理即可求出参数. 【详解】由题知，设，因为， 所以， 联立，可得，所以， 所以，.故答案为： 【典例9-4】(2024高二上·江苏·专题练习)已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ． 【答案】【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】先确定直线过定点，再设坐标及直线l方程并与圆方程联立，利用韦达定理计算即可. 【详解】由直线得， 令，解得，直线l恒过定点. 圆的圆心为，半径为，直线过点， 直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在， 设直线l方程为，联立，得， 设，，则，， 是定值，定值为故答案为： 【变式9-1】(24-25高二上·山东菏泽·期中)直线l：与圆的公共点个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线与圆中的定点定值问题 【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论. 【详解】由整理得：， 可知圆圆心坐标为，半径为， 再由直线l：恒过点， 由圆心到点的距离为，可知，所以点在圆的内部， 即直线l与圆一定有两个交点.故选：C. 【变式9-2】(24-25高二上·湖北·期中)已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、直线与圆中的定点定值问题、直线过定点问题、切点弦及其方程 【分析】假设点，求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线的方程，然后可知直线过定点，最后判断和计算可得结果. 【详解】设，则，则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减，得到直线的方程为：， 又，可得，即， 可得，解得，所以直线恒过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离，， 所以点到直线距离的最大值为.故选：A. 【变式9-3】(多选)(24-25高二上·江苏镇江·期末)若两定点， 动点满足， 则下列说法正确的是(   ) A．点 的轨迹所围成区域的面积为 B．面积的最大值为24 C．点到直线距离的最大值为9 D．若圆上存在满足条件的点 ，则的取值范围为 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】点到直线的距离、轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由可整理得到点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；根据圆的面积公式可知A正确；根据点到直线的距离的最大值为可求得B正确；由圆上点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径可求得C错误；根据两圆有公共点可得两圆位置关系，从而得到圆心距和两圆半径之间的关系，解不等式可求得D正确. 【详解】设，由得：，， 整理可得：，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 对于A，点轨迹围成的区域面积为，A正确； 对于B，，若的面积取得最大值，则点到直线的距离最大，即到轴的距离最大， 点到直线的距离的最大值为，面积的最大值为，B错； 对于C，圆心到直线的距离， 即直线和圆相离， 点到直线距离的最大值为，C正确； 对于D，由题意知：点的轨迹与圆有公共点，即两圆有公共点， 圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距为，， 解得：，即的取值范围为，D正确.故选：ACD. 【变式9-4】(多选)(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知圆，直线.则以下几个结论正确的有(    ) A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．点到直线的距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】直线交点系方程及应用、直线与圆中的定点定值问题、求点到直线的距离 【分析】首先变形直线求定点，将代入圆的方程，求圆与轴的交点，即可判断B，结合定点，利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断CD. 【详解】A.直线，直线恒过定点，故A正确； B.当时，，解得：，，所以弦长为，故B正确； C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误； D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，， 所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确.故选：ABD 【变式9-5】(24-25高二上·辽宁大连·期中)已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.若，其中为坐标原点，则原点到直线的距离是 . 【答案】【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、数量积的坐标表示【分析】求出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示，列式求出，进而求出点到直线距离. 【详解】依题意，直线：，设， 由消去得， 则，，， 于是，解得， 当时，方程中，符合题意， 所以的方程为，原点到直线的距离是.故答案为： 【变式9-6】(24-25高二上·江苏扬州·阶段练习)二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆中的定点定值问题 【分析】利用同解方程可求圆的方程，根据利用垂径定理可求弦长，根据弦长为定值可求斜率和截距的值，故可求定值. 【详解】设圆的方程为，令，则，其解为的横坐标， 故该方程与同解，故， 又圆过，故，故， 故，故圆的方程为：. 其标准方程为：， 若定直线的斜率不存在，则可得定直线为：，此时截得的弦长为： ，无论取何值，弦长总不是常数， 设定直线为即， 圆心到直线的距离， 故弦长为， 若弦长为定值，则且， 故，此时弦长为，故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于圆中的定值问题，我们可以根据几何性质得到恒等式，再根据系数的性质得到参数满足的方程，从而求出定值. 一、单选题 1.(24-25高二上·福建福州·期中)给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】由标准方程确定圆心和半径、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据题意可得圆心为，从而可得直线方程的斜率为-4，由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心为， 则过坐标原点和圆心的直线方程的斜率为： ， 由直线的点斜式可得 ，即 .故选：B. 2.(24-25高二下·云南·阶段练习)若为圆的弦的中点，则直线的方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】圆的弦长与中点弦、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】求出直线的斜率，由垂径定理得到，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程. 【详解】由题意知直线的斜率存在，且；∴， ∵，∴，直线的方程为，即，故选：C. 3.(24-25高三下·上海·阶段练习)“”是“直线与垂直”的(   ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【分析】根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】当时，，， ，充分性成立； “直线与垂直”恒成立，并不需要a参与其中，必要性不成立. 故选：A 4.(2024·河南·模拟预测)已知为直线上动点，点满足，记的轨迹为，则(    ) A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线 【答案】C【难度】0.65【知识点】求平行线间的距离、求平面轨迹方程【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，将点坐标代入，得轨迹，结合选项即可得出正确答案. 【详解】设，由，则，由在直线上， 故，化简得，即的轨迹为直线且与直线平行， 上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选：C. 5.(24-25高二上·河南许昌·期末)若过点的直线与圆相切，又与直线平行，则(   ) A．2 B．1 C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】由直线与圆的位置关系求参数【分析】设与直线平行的直线为，根据题意有，由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】设与直线平行的直线为， 又直线过点，所以，所以直线为， 又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为 ，故选：D. 6.(24-25高二上·湖北·阶段练习)已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点问题 【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合几何性质求出最短弦和最长弦即可得解. 【详解】直线可化为，则直线过定点， 点代入圆中：，所以点在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短，即， 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，即， 所以.故选：A 7.(22-23高二上·上海嘉定·期末)对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论： ①点的轨迹是一个圆；②点的轨迹是一条直线；③当时，有最大值； ④当，时，． 其中正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系、判断命题的真假、轨迹问题——圆 【分析】由， 将已知条件看作到直线、距离之和的倍， 且已知圆在平行线、之间得，再结合各项描述分析正误. 【详解】令，可看作到直线、距离之和的倍， 由的值与无关，所以距离之和与在圆上的位置无关， 故已知圆在平行线、之间，而两线距离为， 当时，的轨迹是平行于、直线，①错误； 当时,的轨迹不是直线,②错误 ③时，，即有最大值，正确； ④时，则，故，④错误. 所以正确的有③.故选： 8.(23-24高二上·河南周口·阶段练习)已知：，直线l：，P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当弦长最小时，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】余弦定理解三角形、判断直线与圆的位置关系、已知圆的弦长求方程或参数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由题设得，半径，在等腰中分析最小时最小，进而得到最大，此时且，即最小，此时再应用余弦定理、倍角正弦公式求，设直线，点线距离公式和圆中弦长的几何求法确定直线的方程. 【详解】由题设，，则，半径，如下图示， 等腰中，要使最小，只需最小，即有最大， 当且仅当，即最小时，最大，此时，且， 所以，而，， 所以， 所以到直线的距离， 令直线，则或， 由图知：，即直线.故选：C 二、多选题 9.(24-25高二上·浙江杭州·期末)下列说法正确的有(   ) A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、斜率与倾斜角的变化关系、直线两点式方程及辨析 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确.故选：CD. 10.(23-24高二上·贵州·阶段练习)在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则(    ) A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．已知点，圆上的动点，则的最小值为 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 【答案】ABD【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值(范围)、求点到直线的距离、切点弦及其方程 【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为， 由，如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点， 另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；    选项B，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 则， 即的最小值为，故B正确；    选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大， 过点作，垂足为，此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；    选项D，设点，切点，可得切线方程为， 由点在切线上，得，同理可得， 故点都在直线上，即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确.故选：ABD. 11.(24-25高二上·四川成都·阶段练习)下列说法，正确的有(    ) A．已知点在圆外，则直线与圆相交 B．已知点在圆上运动，动点的坐标为，其中，则线段长度的最小值为 C．已知圆，直线，若上有且仅有两个点到的距离为，则的范围为 D．已知，点为原点，动点满足，则的范围为 【答案】ABD【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值(范围)、判断直线与圆的位置关系 【分析】对于A，利用点与圆的位置关系可得，再利用直线与圆的位置关系的判断方法，即可求解；选项B，先求出到圆心距离的最小值，再利用圆的性质，即可求解；选项C，先求出圆心到直线距离为和时，的取值，再数形结合，即可求解；选项D，先求出动点的轨迹，再利用数量积的运算，即可求解. 【详解】对于A，点在圆外，则， 又圆的圆心为，， 所以圆心到直线的距离为，故A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 又， 所以线段长度的最小值为，故B正确， 对于C，因为的圆心为，半径为， 当圆心到为时，，得到，当圆心到为时，，得到， 由图知当上有且仅有两个点到的距离为时，或，所以C错误， 对于D，设动点的坐标为，又， 由得到，整理得到， 所以动点的轨迹为以为圆心，为半径为圆，又，， 又，所以，故D正确.故选：ABD. 三、填空题 12.(24-25高二下·福建福州·期中)已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】【难度】0.85【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围. 【详解】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是.故答案为：. 13.(24-25高二下·河北保定·开学考试)“将军饮马”问题源自唐代诗人李顾的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ，在河边饮马点的坐标为 ． 【答案】；【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求点关于直线的对称点 【分析】求点关于直线的对称点，由圆的方程明确圆心与半径，根据圆外一点到圆上点的距离取最小，可得答案. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则,解得，故最短路径为． 记圆的圆心为，则直线BC的方程为， 联立，解得，即饮马点的坐标为．故答案为：；. 14.(24-25高二上·四川遂宁·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定值，则点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】【难度】0.4【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆 【分析】根据平面轨迹的求法求得动点的轨迹方程曲线为圆，作出图象，根据题意可知点到直线距离的最大值为，从而利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设，由，得， 即，化简整理得，则此圆心为，半径为，    因为是曲线上的两点，当都与圆相切，可使最大， 又，，此时四边形为正方形，， 显然，当时，为锐角，不满足题意， 当时，才能取得直角，故， 所以点到直线距离要满足， 所以，化简得，解得， 即实数的取值范围为.故答案为：. 四、解答题 15.(24-25高二上·陕西宝鸡·期末)已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或【难度】0.85 【知识点】由距离求已知直线的平行线、由两条直线垂直求方程 【分析】(1)根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程；(2)直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】(1)易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. (2)直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 16.(24-25高二上·上海·期末)设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率；(2)求为坐标原点面积的最小值. 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析 【分析】(1)利用直线的点斜式方程求出直线的方程，解得两交点坐标，再由中点坐标公式可求出； (2)写出的面积表达式，再利用换元法和基本不等式计算可得结果. 【详解】(1)由题意可得直线的方程为，如下图所示： 联立，解得；联立，解得； 又点是，中点，可得，且；解得； (2)因为的纵坐标均为正数，所以，解得； 易知的面积为， 令，则；因此； 当且仅当时，即时，等号成立，此时； 所以的最小值为，即的面积的最小值为. 17.(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程；(2)求圆与圆公切线段的长度；(3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.65 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、圆的公切线长 【分析】(1)设，根据题意列出关于的方程，求得即可； (2)首先得两圆相交，进一步得所求为； (3)首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】(1)由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5，， 此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． (2)由(1)知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． (3)圆的半径， 则四边形的面积． 设，， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 18.(24-25高二上·福建泉州·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数k(且)的点的轨迹是圆”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，，，动点P满足：，记动点P的轨迹为曲线G，过点A的直线与曲线G交于C、D两点. (1)求曲线G的方程；(2)若过A且与垂直的直线与曲线G交于E，F，求四边形面积S的最大值； (3)若点Q满足：且，证明：点Q在定直线上. 【答案】(1);(2)7;(3)证明见解析【难度】0.4 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆中的定点定值问题、轨迹问题——圆 【分析】(1)根据条件列出方程化简得解；(2)分类讨论，当斜率存在时，求出弦长，利用四边形对角线垂直的面积，再由基本不等式求最值即可；(3)设，斜率不为0时，设直线方程，联立圆的方程，由根与系数的关系，代入条件化简可得为定值. 【详解】(1)设，可得；化简得：，即曲线G的方程为： (2)如图，当直线斜率不存在时，为圆G的直径，即    当直线斜率为0时，同理可得 当直线斜率存在不为0时，设斜率为k，则斜率为 则方程为：，即，圆心O到距离为： ，同理 ， 当且仅当，即取等号， 又，∴四边形面积S的最大值为7. (3)设，，，由，， 可得，① 当斜率为0，不妨设，，可得，即Q在直线上 当斜率不为0，设，此时， 由①式，可得，整理得 由， ，，即Q在直线上 综上，Q在定直线上. 【点睛】关键点点睛：先根据圆的几何性质解决弦长问题，再由基本不等式求面积的最值，在第三问中，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系，代入消元得出为定值. 19.(24-25高二上·贵州六盘水·期中)若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程.(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. (i)求的方程.(ii)已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1);(2)(i)；(ii)直线过定点【难度】0.15【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、直线与圆中的定点定值问题、已知圆的弦长求方程或参数、轨迹问题——圆 【分析】(1)设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； (2)(i)分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；(ii)分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. 【详解】(1)因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径，所以圆的标准方程为. (2)(i)因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； (ⅱ)若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意；综上所述：直线过定点. 【点睛】过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第2章平面解析几何复习讲义 内容概览 1.教学目标、教学重难点 2.知识点01直线的方程 题型01直线的方程 题型02两直线的位置关系 题型03圆的方程 3.知识点02两直线的位置关系 题型04直线与圆、圆与圆的位置关系 第二章平面解析几何初步复习 题型05与弦有关的问题 4,知识点03几种距离公式 题型06圆的切线 题型07直线与圆有关的轨迹问题 题型08直线与圆有关的对称问题 5.知识点04圆的方程 题型09直线与圆的综合问题 6.知识点05直线与圆、圆与圆的位置关系 款学目标、教学重难点 1、掌握直线的倾斜角、斜率的概念及计算方法，掌握直线方程的求法，掌握两直线的位 置关系及应用： 教学目标 2、掌握圆的标准方程与一般方程，掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及应用： 3、掌握直线与圆的综合应用： 1、 重点：直线与圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系； 教学重难点 2、难点：轨迹问题、最值范围问题、对称问题： 知识清单 知识点01直线的方程 1.直线的斜率：()若直线倾斜角为a,则斜率k=tanc: ②若直线过两点：A(xy1),B,y2),飞1≠)，则k=兰 X1-一X2 B诺直线的方向向量为元=p,9),则k= 2.直线的方程： (1)点斜式：过点P(x,),斜率为k的直线1的方程为：y一=(x), (2)斜截式：与y轴的交点(0，b),斜率为k的直线1的方程为：斜率为k的直线1的方程为： (③)两点式：过两点R(x,),B(&,》(其中x≠愚，乃≠的直线方程出=1 y2-y1 x2-x1 3)两点式：在x轴上的截距为a,在y轴上的截距是b的直线方程：+片=1： (⑤)一般式：Ax+By十C=0(其中A,B不同时为0)： 【即学即练1-1】(24-25高二上浙江台州期末)已知直线1的一般式方程为x-2y+6=0,则() A.直线的截距式方程为专+号=1 ®。直线1的藏距式方程为。号1 C.直线1的斜截式方程为y=+3 D.直线l的斜截式方程为y=-3 【答案】A【难度】O.94【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 第1页共60页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别： 【详解】由x-2y+6=0得2y-x=6, 直线的截距式方程为： y-￥=1，即 36 +义=1 63 直线I的斜截式方程为：y=二x+3.故选：A 2 【即学即练1-2】(24-25高二下四川泸州·期末)直线3x+2y-1=0在y轴上的截距为) A.月 C.-1 【答案】A【难度】0.94【知识点】直线截距式方程及辨析【分析】直线方程中令x=0求得y值即得. 【详解】在3x+2y-1=0中令x=0得v=号故选：A 知识点02两直线的位置关系 1.平行 心斜寂式方：人y-方+4,4y=+A:一 ②报式方程：：4r+8+C=0,4:4x+ay-C=0,台低88： (3)平行直线系：与直线Ax十By十C=0平行的直线系方程为Ax+By十C1=O(CC): 2.重合 (1)斜截式方程：4y=kx+么，人y=kx+b,4/2重合台及=k b1=b2, 包一服式方程：不：Ax+月y4G-0.4:+及4C:-0,h垂合台低品8 3.垂直 (1)斜截式方程：Zy=x+b,12y=k2x+b2,Z⊥I2台kk2=-1 (2)一般式方程：l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l112台A1A2+B1B2=0 (3)垂直直线系：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay十G=O: 4.相交 (1)两条直线的交点坐标：己知两条直线1：A1x十B1y+C=0,2:A2x十B2y十C2=0相交， 则交点P的坐标是方程组低十y十区。=6约解。 (2)交点直线系：过直线A1x十B1y十C1=0与直线A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y十C1十A(A2x +B2y十C2)=0(不包括直线A2x+B2y十C2=0). 5.对称问题 (1)点P(ko,yo)关于点A(a,b)的对称点为P(2a一Xo,2b-yo) (2)设点P(o,yo)关于直线y=x十b的对称点为P(x',y), 第2页共60页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (y-0.k=-1, 则有 x-x0 可求出x',y +=k.t0+b 2 2 (3)若直线l1上的A、B关于直线1的对称点分别为A,B,则l1关于直线1的对称直线必然经过点A,B: 【即学即练2-1(2025天津和平.二模)若a∈R,直线：x+2y-1=0,直线2：(3a-1)x-y-1=0,则“a=0” 是“4/1L2"的) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、已知直线平 行求参数、既不充分也不必要条件 【分析】根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解。 【详解】当a=0时，4x-1=0,42:-x-1=0,则l1∥l2: 若1，则1xa)=2a3a-),解得a=0或号所以“a=0"是川，"的充分不必要条件.故选：A 6 【即学即练2-2】(24-25高二下.北京阶段练习)直线l:x+3y=0与直线1，：3x+y=0垂直，则实数a为) A.-3 B.-1 C.0 D.1 【答案】C【难度】0.94【知识点】已知直线垂直求参数【分析】根据两向量垂直的充要条件列式求解. 【详解】根据题意，可得ax3+3×a=0,解得a=0.故选：C 知识点03几种距离公式 1.两点距离：点P1x1,y),Pz(x2,y2)的距离.|PP=Vx2一x)2+2一y)2 2.点到直线的距离：点Pxo,o)到直线：Ar十By十C=0的距离d=Ao+Bo+ VA2+B2 3.两平行直线的距离：l1:Ax十By十C1=0与2：A十By十C2=0之间的距离d=G-c √A2+B2 【即学即练3】(24-25高二上贵州贵阳期中)点P(2,-1)到直线x-y+1+2k=0的最大距离为) A.2W3 B.2W5 C.4 D.6 【答案】B【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离 【分析】先求出直线所过的定点，然后可知点P到直线的最大距离即为该点到定点的距离 【详解】由直线x-y+1+2k=0可知k(x+2)-y+1=0: x+2=0 无论k为何值， 得 -y+1=0’故直线一定经过(-2,1). 由题意知：点P(2,-1)到直线kx-y+1+2k=0的最大距离， 即为点P(2,-1)到定点(-2,1)的距离：dx=V(2+2+(-1-1)2=2W5.故选：B. 知识点04圆的方程 1.圆的标准方程：(x-a)2+-b)2=r2,其中圆心：C(a,b),半径：r 2.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey十F=0(D2十必-4F>0), 第3页共60页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 圆心C(-,-),半径=D+E-4F 【即学即练4】(25-26高二上江苏宿迁·开学考试)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点M(-1,3),N(2,6), 且与x轴相切，则圆心C的横坐标是() A.-10 B.2或-10 C.-2或10 D.-2 【答案】B【难度】0.65【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据题意设出圆的方程，然后将经过的两个点坐标代入圆的方程中组成方程组，求解即可. 【详解】设圆心C(a,b),因为圆C与x轴相切，则r=b.所以圆的方程为(x-a)+(y-b)=b2。 (-1-a)2+(3-b)2=b2 a2+2a-6b+10=0① 因为该圆经过点M(-1,3),N(2,6),所以 .化简得 (2-a2+(6-b)2=b a2-4a-12b+40=0②' 两式相减得b=5-a.然后将b=5-a代入①式中得d2+8a-20=0,解得a=-10或a=2.故选：B. 知识点05直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线Ax+By十C=0与圆K-)2+y-b)=2(>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 几何法：设圆心到直线的距离d=HAa+Bb+q d<r d=r dr 判定方法 A2+B2 Ax+Bv+C=0 代数法：由 消元后利用判别式判断 >0 1=0 <0 (x-a四2+0y-b2=r2 2.圆与圆的位置关系 (①)几何法：若两圆的半径分别为1,2，两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 3 2 d与r1,2的关系 dn+r d=r1+2 l一r2Kkr1+n d=n1-r2l1≠r2) 0≤dkn1-r21≠) 公切线条数 4 3 2 0 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 4>0→相交， 圆C1的方程)消元 一元二次方程 △=0→内切或外切， 圆C2的方程) (△<0→内含或外离， 3.弦长问题 直线I被⊙C截得的弦长为AB的常用方法 M B (1)几何法（优先推荐）：弦长公式：AB=2V2-d 第4页共60页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2代数法：直线l:Ax+By+C=0；OC.x+y+Dx+y+F=0 「Ax+By+C=0 联立 +y+Dx++F=0消去“y”得到关于“x”的一元二次函数x2+x十c=0 弦长公式：AB=V1+k2V:,+x,)2-4xx, 【即学即练4】(24-25高二下，湖南期中)已知点A,B为圆0：x2+y2=14上两动点，且AB=4W3,点P为 直线：x+y+12=0上动点，则() A.圆心O到直线AB的距离为√2 B.以AB为直径的圆与直线I相离 C∠APB的最大值为号 D.PA.PB的最小值为38 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】对于A,根据条件，利用弦长公式，即可求解：对于B,利用选项A可得点C在以O为圆心，√为 半径的圆上，再利用圆的几何性质和直线与圆的位置关系的判定，即可求解：对于C,根据条件找到最大角， 进而得最大角小于5，即可求解：对于D,根据条件得到A历=PC-12,再求出CPl。,即可求解。 【详解】对于选项A,设AB的中点为C,如图1，连接OC,A0.则OC LAB,AC=BC=A到=23， 图1 所以OC=A0-4C=4-12=√2，故选项A正确： 对于选项B,由A知，点C在以O为圆心，√为半径的圆上， 又原点0到1：x+y+12=0的距离为d=2=6N5, Γ√2 所以点C到直线l的距离的最小值为6√2-√2=5√2， 因为5√2>2√5，故以AB为直径的圆与直线1相离，所以选项B正确： 对于选项C,如图2，当直线AB与直线1平行，且O,C,P共线时，△ABP为等腰三角形， 此时CP最小，最小值为5√2，又BC=23,故此时∠BPC最大，且∠APB=2∠CPB, 图2 则tan∠CPB= BC 2363 CR5V万S<3,所以∠CPB<石，则∠AB< 6 故选项C错误： 第5页共60页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 对于选项D,pA.PB=(PC+CA(PC+CB)=PC+P元(CA+CB)+Ca.CB=PC2-AB-PC2-12, 当OP⊥1，O,C,P共线，且C在O,P之间时取等号，CPln=5V2, 所以PA.PB的最小值为38，所以选项D正确，故选：ABD. 题型精讲 题型01直线的方程 【典例1-1】(24-25高二上北京怀柔期末)已知直线的倾斜角为60°，且过点P(0,1),则直线的方程为) A.y=5x-1 x+1 C.y=3x-1 D.y=V3x+1 3 8.y=3 3 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程， 【详解】因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率k=tn60°=V3, 又直线过点P(0,1),所以直线的方程为y=√3x+1.故选：D 【典例1-2】(24-25高二上湖北期中)已知定点M(5,0),若直线l过定点M且方向向量是n=(-5,5),直线 12过定点M且方向向量是2=(5，-3)，直线l1在y轴上的截距是a,直线l2在y轴上的截距是b,则a-b=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 【答案】A【难度】O.85【知识点】根据直线的方向向量求直线方程、直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据M的坐标以及方向向量分别求解出l1,12的方程，由此可求结果. 【详解】因为y=与(-5列，即叫y-x+5,所以a=5, 因为子x列，即4：子+，所以6=3，所以a-6=5-3=2故选：人 【典例1-3】(24-25高二上河北张家口·期末)已知过点P(2,1)的直线1分别与x,y轴的正半轴交于点 A(a,0),B(0,b),O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值是() A.4 B.22 C.8 D.5 【答案】A【难度】O.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、基本不等式求和的最小值【分析】由题意设 1y1-(x-2).k<0,求出AB坐标，则)+女4小，结合差本不等式计算即可求解。 【详解】直线1与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点，可知直线的斜率为负数， 设直线1：y-1=k(x-2),k<0, 令x=0,得v=1-2,令y=0,得x=2无，可知1-2>0,2是>0， 可得8e分-2到--4)六+44+到=4 第6页共60页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当且仅当=名：即k=时，等号成立，所以40B面积的最小伯为4故选：A 【典例1-4】(2025高二全国.专题练习)设△ABC的三个顶点分别为A(0,a,B(b,0),C(c,0),且b,c不相等， 点P(O,P)在线段AO上（异于端点）.若a,b,C,p均为非零实数，直线BP,CP分别交直线AC,AB于点E, P,某同学已正确算得直线0驱的方程为合)+日=0，则直线OF的方程为) A.日日-0.日g》-。c.(台日-。0.= 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】求出直线AB与直线CP的方程，两式相减即可求解 【详解】由已知可得直线AB:+y=1,直线CP:+-1,两式相减得 C D 》记- 则直线AB与CP的交点F满足此方程，又因为原点O也满足此方程，所以此方程即为直线OF的方程， 故选：A. 变式1-1】(24-25高二上广东梅州期末)己知直线1经过点(3,1)，且倾斜角为45°，则直线1的方程为(） A.x-y-4=0 B.x+y-4=0 C.x+y-2=0 D.x-y-2=0 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得。 【详解】由题意知，直线1的斜率为1，又经过点(3,1) 故直线l的方程为y-1=x-3,即x-y-2=0.故选：D. 【变式1-212425高三上安徽宿州期末将直线：x+5y-1=0绕点1,0)顺时针旋转5得到直线k,则，的 方程是()】 A.x-5y-1=0B.5x+y-5=0C.x-y-1=0D.5x-y-5=0 【答案】D【难度】0.85 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据两条直线垂直得出斜率，再应用点斜式求解直线即可。 【详解】由题盒可知，直线4与人垂直，直线的斜率为}所以人的斜率为5： 又因为l2过点(1,0)，所以直线l2的方程为y=5(x-1),即5x-y-5=0.故选：D. I变式1-3】(24-25高二上·四川成都阶段练习)设A(-2,2),B(1,1),若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则 a的取值范围是() B. c.(-,-2U 。2 【答案】C【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析、直线与线段的相交关系求 斜率范围【分析】直线+y+1=0恒过定点P(0,-1),若直线+y+1=0与线段AB有交点，画图图形，求 第7页共60页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 出临界时直线PA的斜率与直线PB的斜率，即可得解 【详解】由+y+1=0得y=-x-1,因此直线l:ax+y+1=0过定点P(0,-1),且斜率k=-a, 如图所示，当直线1由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时，符合题意， 易得上-2，a=2,母-，结合图形知-a22或-a≤-子解得a≤-2或a号 1-0 -2-0 即a的取值范围是(-，-2[+ 故选：C 【变式1-4】（多选(24-25高二上河北唐山期末）已知直线1的方程为3.x+y-5=0,则下列选项正确的有() A.1的斜率为-3B.1的方向向量为(1，-3)C.1在y轴上的截距为5D.1在x轴上的截距为5 【答案】ABC【难度】0.85【知识点】直线方向向量的概念及辨析（平面中）)、直线综合、直线的斜截式方程 及辨析【分析】化直线的方程为斜截式方程，结合直线的斜率与直线方向向量的关系，即可判断A、B、C, 令y=0,解出x=即可判断D 【详解】对于A,直线I的方程为3x+y-5=0,即y=-3x+5,所以直线的斜率为-3，A正确： 对于B,根据直线的斜率，可以确定(1，-3)为直线1的方向向量，B正确： 对于C,根据直线的斜截式方程，可知1在y轴上的截距为5，C正确： 对于0，令y=0,解得x所以1在轴上的藏距为？D错误故远：A8C 5 〖变式1-5】（多选）(23-24高二上甘肃白银·期中)下列说法错误的是() A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B.经过点(1,1)且斜率为2的直线方程为2x-y=0 C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D.直线x=1的斜率为0 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的 面积问题、直线斜率的定义【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断AD,利用点斜式直线方程求解判 断B,利用直线与坐标轴的围成面积求解判断C. 【详解】当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在， 所以直线x=I的斜率不存在，所以AD错误： 对于B,过点(1,1)且斜率为2的直线的方程为y-1=2(x-1)即2x-y-1=0,错误： 对于C,对于直线x-y-2=0,令x=0,则y=-2,令y=0则x=2, 第8页共60页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则1在x轴上的截距为2,1在y轴上的截距为-2， 1 所以1与坐标轴围成的三角形的面积为。×2×2=2，正确.故选：ABD I变式1-6】（多选24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法错误的是() A.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x+y=a(a∈R)表示 B.方程x+y-2=0(M∈R)表示的直线斜率一定存在 C.经过点P(1,2),倾斜角为ax的直线方程为y-2=tana(x-1) D.经过两点(5，y),￡(，y)(s≠x)的直线方程为y-y=当(K-x) X2-X1 【答案】AC【难度】0.5 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角、直线两点式方程及辨析 【分析】根据特殊值法判断A,C,应用一般式求斜率判断B,结合直线的两点式判断D 【详解】A选项中直线x-y=0在两坐标轴上的截距相等，但不能用x+y=a(a∈R)表示，所以A选项错误； B选项，方程x+y-2=O(∈R)表示的直线斜率为-m,所以B选项正确. C选项中若=90°则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错. D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确故选：AC 题型02两直线的位置关系 凰典例2-1】(24-25高二下·四川广安开学考试)下列说法正确的是() A.“a=-1"是“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充要条件： B.直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+d-1=0互相平行，则a=-1: C.过（￥y),(5,)两点的所有直线的方程为-当=-立 ,乃x2- D.经过点1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0. 【答案】B【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、己知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线两点式方程及辨析 【分析】根据两直线垂直求参数a判断A的真假；根据两直线平行求参数aα判断B的真假：格努直线两点式 适用的条件判断C的真假：求过点1，)且在两坐标轴上截距相等的直线方程判断D的真假， 【详解】对A:由直线a2x-y+1=0与x-y-2=0垂直可得：a2+a=0→a=-1或a=0故A错误； a(a-1)-2=0 对B:由直线ax+2y+6=0与x+(a-1)y+a2-1=0平行，可得： 2(a2-1-6a-1)≠0→a=-1,故B正确： 对C:当x=x,或乃=为时，直线方程不能写成-”=二的形式，故C错误： y2-y1x2-X1 对D:经过点(11)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,故D错误.故选：B 【典例2-2】(24-25高二上四川雅安·期末)经过点P(2,3)且与直线2x-y=0垂直的直线1的方程为() A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0 C.x+2y-8=0 D.x+2y+4=0 第9页共60页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C【难度】0.94【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据直线垂直斜率乘积为-1可求得所求的直线斜率，=一2，再利用点斜式得到直线方程即可。 【详解】：直线2x-y=0斜率为2，直线1与直线2x-y=0垂直，·2=-1，即= 1 过P(23)且与直线2x-y-0垂直的直线为y-3--2习，即x+2-8-0放选：C 【典例2-3】(24-25高二上安徽阶段练习)若点P(3,-4)是直线4x+by+2=0和a2x+by+2=0的公共点， 则相异两点A(a,b)和B(a2,b2)所确定的直线AB方程是() A.3x-4y+2=0B.4x-3y+2=0C.3x-4y-2=0D.4x-3y-2=0 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【详解】因为P(3,4)是直线4x+by+2=0和4，x+b,y+2=0的公共点， 所以3a1-46+2=0,且3a2-4b,+2=0, 所以两点A(4,b)和B(a2,b2)都在同一条直线3x-4y+2=0上， 故直线AB的方程是3x-4y+2=0.故选：A. 【奥例2.412025商三全国专题练习尼知直线4：2++m=00u>0)与圆C:(x+1+(-2-号交于 若∠4CB，则直线与直线：2x+y+3=0间的 A. 2W5 8.⑤ C.1 D.2 5 【答案】A【难度】0.85【知识点】求平行线间的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用平面几何思想求圆心到直线的距离，再用解析几何思想再求圆心到直线的距离，从而可求 出参数=1，最后用两平行线间的距离公式求解即可。 【鲜解】如周，因为之4c8=受4水-25， O 所以在等腰△4CB中，可得圈心C到直线4：2x+y+m=0的距离d=CAsn亚-25x片-5 6525 再由圆心C到直线：2x+牛m=0的距离公式可得：d=上2+2+川_-5 √22+12V55 因为m>0,所以解得m=1,即直线l1:2x+y+1=0, 第10页共60页 第2章 平面解析几何 复习讲义 教学目标 1、掌握直线的倾斜角、斜率的概念及计算方法，掌握直线方程的求法，掌握两直线的位置关系及应用； 2、掌握圆的标准方程与一般方程，掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及应用； 3、掌握直线与圆的综合应用； 教学重难点 1、重点：直线与圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系； 2、难点：轨迹问题、最值范围问题、对称问题； 知识点01 直线的方程 1.直线的斜率：(1)若直线倾斜角为，则斜率； (2)若直线过两点：，则； (3)若直线的方向向量为:，则； 2.直线的方程： (1)点斜式：过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程为：y－y0＝k(x－x0)， (2)斜截式：与y轴的交点(0，b)，斜率为k的直线l的方程为：斜率为k的直线l的方程为： (3)两点式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程； (3)两点式：在x轴上的截距为a，在y轴上的截距是b的直线方程：； (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)； 【即学即练1-1】(24-25高二上·浙江台州·期末)已知直线的一般式方程为，则(    ) A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 【即学即练1-2】(24-25高二下·四川泸州·期末)直线在轴上的截距为(   ) A． B． C．-1 D． 知识点02 两直线的位置关系 1.平行 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， (3)平行直线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； 2.重合 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， 3.垂直 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：则 (3)垂直直线系:与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； 4.相交 (1)两条直线的交点坐标：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交， 则交点P的坐标是方程组的解． (2)交点直线系：过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 5.对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. (3)若直线上的A、B关于直线的对称点分别为，则关于直线的对称直线必然经过点； 【即学即练2-1】(2025·天津和平·二模)若，直线：，直线：，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即学即练2-2】(24-25高二下·北京·阶段练习)直线与直线垂直，则实数为(    ) A． B． C．0 D．1 知识点03 几种距离公式 1.两点距离：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离．|P1P2|＝. 2.点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离. 3.两平行直线的距离：l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离. 【即学即练3】(24-25高二上·贵州贵阳·期中)点到直线的最大距离为(   ) A． B． C．4 D．6 知识点04 圆的方程 1.圆的标准方程：，其中圆心：，半径: 2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 圆心C，半径r＝ 【即学即练4】(25-26高二上·江苏宿迁·开学考试)在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是(    ) A． B．2或 C．或10 D． 知识点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元后利用判别式Δ判断 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 2.圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 公切线条数 4 3 2 1 0 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 3.弦长问题 直线被截得的弦长为的常用方法 (1)几何法(优先推荐)：弦长公式： (2)代数法：直线：； 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练4】(24-25高二下·湖南·期中)已知点，为圆上两动点，且，点为直线上动点，则(    ) A．圆心到直线的距离为 B．以为直径的圆与直线相离 C．的最大值为 D．的最小值为 题型01 直线的方程 【典例1-1】(24-25高二上·北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(24-25高二上·湖北·期中)已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则(   ) A．2 B． C．1 D． 【典例1-3】(24-25高二上·河北张家口·期末)已知过点的直线分别与轴的正半轴交于点为坐标原点，则的面积的最小值是(    ) A．4 B． C．8 D．5 【典例1-4】(2025高二·全国·专题练习)设的三个顶点分别为，，，且不相等，点在线段上(异于端点)．若均为非零实数，直线，分别交直线，于点，，某同学已正确算得直线的方程为，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】(24-25高二上·广东梅州·期末)已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25高三上·安徽宿州·期末)将直线绕点顺时针旋转得到直线，则的方程是(    ) A． B． C． D． 【变式1-3】(24-25高二上·四川成都·阶段练习)设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式1-4】(多选)(24-25高二上·河北唐山·期末)已知直线的方程为，则下列选项正确的有(    ) A．的斜率为 B．的方向向量为 C．在轴上的截距为5 D．在轴上的截距为5 【变式1-5】(多选)(23-24高二上·甘肃白银·期中)下列说法错误的是(    ) A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 【变式1-6】(多选)(24-25高一下·江苏南京·期末)下列说法错误的是(   ) A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 题型02 两直线的位置关系 【典例2-1】(24-25高二下·四川广安·开学考试)下列说法正确的是(    ) A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件； B．直线与直线互相平行，则； C．过两点的所有直线的方程为； D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为． 【典例2-2】(24-25高二上·四川雅安·期末)经过点且与直线垂直的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【典例2-3】(24-25高二上·安徽·阶段练习)若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是(    ) A． B． C． D． 【典例2-4】(2025高三·全国·专题练习)已知直线：与圆C：交于两点，若，则直线与直线：间的距离为(   ) A． B． C．1 D．2 【变式2-1】(24-25高二上·河南新乡·期末)直线过点，且与直线垂直，则直线方程为(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(24-25高二上·河南商丘·期中)直线与垂直，则实数(   ) A．3 B．-3 C．2 D．1 【变式2-3】(24-25高一上·四川·期中)已知直线和直线，则下列说法错误的是(    ) A．若直线的斜率为1，则与坐标轴围成的三角形面积为 B．直线的斜率一定存在 C．若，则或 D．点到直线的距离的最大值为2 【变式2-4】(24-25高二上·湖南长沙·阶段练习)已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为(    ) A． B． C．1 D．2 【变式2-5】(多选)(24-25高三上·宁夏银川·阶段练习)下列说法中，正确的有(   ) A．直线必过定点 B．点关于直线对称的点是 C．直线的斜率为 D．点到的距离是 【变式2-6】(24-25高二下·上海静安·期中)直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 题型03 圆的方程 【典例3-1】(25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习)已知点在圆外，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【典例3-2】(24-25高三上·福建漳州·阶段练习)直线经过圆的圆心，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(24-25高二上·江苏南京·阶段练习)已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为(    ) A．( B． C． D． 【典例3-4】(24-25高二上·湖北孝感·阶段练习)已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为( ) A． B． C． D． 【变式3-1】(2025·河北邯郸·一模)“”是“点在圆外部”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】(25-26高二上·江苏南京·阶段练习)若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式3-3】(25-26高三上·北京·开学考试)已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为(    ) A． B．3 C． D．2 【变式3-4】(多选)(25-26高二上·山东菏泽·阶段练习)已知实数满足圆的方程，则(    ) A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【变式3-5】(多选)(24-25高二上·福建厦门·期中)下列命题中，正确的是(   ) A．如果且，那么直线不经过第三象限 B．若直线：与：平行，则与的距离为 C．圆C：关于直线对称的圆方程为 D．点为圆上任意一点，则的最大值为 【变式3-6】(25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习)过点，且圆心在直线上的圆的圆心坐标为 . 题型04 直线与圆、圆与圆的位置关系的位置关系 【典例4-1】(25-26高三上·湖北·开学考试)与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有(    ) A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【典例4-2】(24-25高二上·河北唐山·期中)若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(24-25高二上·四川巴中·期中)已知圆和圆的交点为，则(    ) A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【典例4-4】(2024·陕西安康·模拟预测)已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是(    ) A． B． C． D． 【变式4-1】(24-25高二上·江苏南京·阶段练习)已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(24-25高二上·浙江金华·期末)点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为(    ) A．1 B． C． D．2 【变式4-3】(2025高三·全国·专题练习)过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为(    ) A． B．1 C． D． 【变式4-4】(多选)(24-25高二上·宁夏银川·阶段练习)已知圆和圆的交点为A，B，则下列说法正确的是(    ) A．公共弦AB所在直线的方程为 B．线段AB的中垂线方程为 C．公共弦AB的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 【变式4-5】(2025高三·全国·专题练习)直线分圆周长的比为，，则圆心到直线的最大距离为 . 【变式4-6】(24-25高二上·重庆九龙坡·期中)已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 题型05 与弦有关的问题 【典例5-1】(24-25高二上·河南驻马店·期中)若圆与圆交于A，B两点，则弦长为(   ) A． B． C．2 D．4 【典例5-2】(23-24高二上·浙江杭州·期中)已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：的动点到直线距离的最大值为 . 【典例5-3】(24-25高三下·云南·阶段练习)直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为 . 【典例5-4】(2025·安徽安庆·二模)已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【变式5-1】(24-25高二上·河北邢台·期末)圆与圆的公共弦所在的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【变式5-2】(2025·安徽合肥·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】(24-25高二上·全国·课后作业)已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是(    ) A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【变式5-4】(多选)(24-25高二上·江苏徐州·期末)若圆：与圆：的交点为，，则(    ) A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．过点作圆：的切线方程为 D．若实数，满足圆：，则的最大值为2 【变式5-5】(24-25高二下·湖北·期中)已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【变式5-6】(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 题型06 圆的切线 【典例6-1】(24-25高二上·山东·期中)圆：与圆：的公切线的条数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【典例6-2】(23-24高二上·北京·期中)过点作圆的切线，切点为，则切线段长为(    ) A． B．3 C． D． 【典例6-3】(24-25高二上·广东广州·期中)已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为(    ) A． B． C． D． 【典例6-4】(2025·江西景德镇·二模)已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则(    ) A． B． C． D． 【变式6-1】(24-25高二下·甘肃甘南·期末)过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则(   ) A． B． C． D．5 【变式6-2】(24-25高二上·浙江金华·期末)点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为(    ) A．1 B． C． D．2 【变式6-3】(24-25高二上·河南郑州·期末)已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为(    ) A． B． C． D．8 【变式6-4】(2025·江苏苏州·三模)点是直线上的动点，过点引圆的两条切线,；，为切点，当的最大值为时，的值为(    ) A．1 B． C． D．2 【变式6-5】(多选)(23-24高三上·江苏南通·期中)已知点P满足，点，，，则(   ) A．当最小时， B．当最大时， C．当面积最大时， D．当最大时，面积为 【变式6-6】(24-25高二上·江苏常州·期末)动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 题型07 直线与圆有关的轨迹问题 【典例7-1】(24-25高二上·全国·课后作业)已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是(   ) A． B． C． D． 【典例7-2】(25-26高三上·河北衡水·开学考试)已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则(   ) A．与圆O相切 B．是两条平行的直线 C．的最大值为 D．上的点到原点O的距离的最大值为6 【典例7-3】(24-25高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，已知点，若点是以为直径的圆上的动点，且点关于点的对称点的轨迹满足方程，则(    ) A． B． C． D． 【典例7-4】(多选)(24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是(    ) A．点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 B．轨迹C上的点到直线的最小距离为 C．若点在轨迹C上，则的最小值是 D．圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是 【变式7-1】(24-25高二上·全国·课后作业)平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【变式7-2】(2024·西藏拉萨·一模)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值(且)的点的轨迹是一个圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点在边长为6的正方形内(包含边界)运动，且满足，则动点的轨迹长度为 . 【变式7-3】(2025·江西景德镇·三模)动圆经过直线与的交点，过原点向动圆作切线，切点为，若恒成立，则实数的最大值是(    ) A． B． C． D． 【变式7-4】(多选)(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系中，已知，，，直线l：，动点满足，则(   ) A．点的轨迹是圆 B．面积的最大值为3 C．点到距离的最大值为2 D．的最大值为 【变式7-5】(25-26高三上·河北保定·开学考试)已知点是圆上的两个动点，为原点，点共线，点为的中点，则点的轨迹长度为 ． 【变式7-6】(24-25高二上·江苏宿迁·期末)已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是 . 题型08 直线与圆有关的对称问题 【典例8-1】(24-25高二上·安徽阜阳·期中)已知圆关于直线对称，则(    ) A． B．1 C． D．0 【典例8-2】(24-25高二上·河北廊坊·期末)一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为(    ) A． B． C．±3 D． 【典例8-3】(2025·江西赣州·二模)若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为(    ) A． B． C． D． 【典例8-4】(24-25高二上·上海·期末)在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于(    ) A． B． C． D． 【变式8-1】(24-25高二上·重庆渝中·期末)与直线关于x轴对称的直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【变式8-2】(24-25高二上·江苏苏州·期末)直线关于直线：对称的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【变式8-3】(23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中)已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式8-4】(24-25高三上·全国·阶段练习)点坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式8-5】(多选)(24-25高二上·江苏扬州·期中)已知点与关于直线l：对称，则下列说法正确的是(   ) A． B．直线l不过第四象限 C．直线l在两坐标轴上的截距之和大于零 D．直线l的倾斜角 【变式8-6】(25-26高二上·全国·单元测试)已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为 ． 题型09 直线与圆的综合问题 【典例9-1】(2025·山东·二模)直线与圆交于两点，，则为(    ) A． B． C． D． 【典例9-2】(多选)(24-25高二上·吉林长春·阶段练习)已知圆：，圆：，为圆的动弦，则下列说法正确的是(    ) A．面积的最大值为1 B．当圆和圆存在公共点时，则实数a的取值范围为 C．存在实数使得两个圆内含 D．若原点始终在动弦上，则 【典例9-3】(24-25高二上·云南曲靖·阶段练习)已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 【典例9-4】(2024高二上·江苏·专题练习)已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ． 【变式9-1】(24-25高二上·山东菏泽·期中)直线l：与圆的公共点个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式9-2】(24-25高二上·湖北·期中)已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值(    ) A． B． C． D． 【变式9-3】(多选)(24-25高二上·江苏镇江·期末)若两定点， 动点满足， 则下列说法正确的是(   ) A．点 的轨迹所围成区域的面积为 B．面积的最大值为24 C．点到直线距离的最大值为9 D．若圆上存在满足条件的点 ，则的取值范围为 【变式9-4】(多选)(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知圆，直线.则以下几个结论正确的有(    ) A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．点到直线的距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【变式9-5】(24-25高二上·辽宁大连·期中)已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.若，其中为坐标原点，则原点到直线的距离是 . 【变式9-6】(24-25高二上·江苏扬州·阶段练习)二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 . 一、单选题 1.(24-25高二上·福建福州·期中)给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高二下·云南·阶段练习)若为圆的弦的中点，则直线的方程是(   ) A． B． C． D． 3.(24-25高三下·上海·阶段练习)“”是“直线与垂直”的(   ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 4.(2024·河南·模拟预测)已知为直线上动点，点满足，记的轨迹为，则(    ) A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线 5.(24-25高二上·河南许昌·期末)若过点的直线与圆相切，又与直线平行，则(   ) A．2 B．1 C． D． 6.(24-25高二上·湖北·阶段练习)已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则(   ) A． B． C． D． 7.(22-23高二上·上海嘉定·期末)对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论： ①点的轨迹是一个圆；②点的轨迹是一条直线；③当时，有最大值； ④当，时，． 其中正确的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 8.(23-24高二上·河南周口·阶段练习)已知：，直线l：，P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当弦长最小时，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(24-25高二上·浙江杭州·期末)下列说法正确的有(   ) A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 10.(23-24高二上·贵州·阶段练习)在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则(    ) A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．已知点，圆上的动点，则的最小值为 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 11.(24-25高二上·四川成都·阶段练习)下列说法，正确的有(    ) A．已知点在圆外，则直线与圆相交 B．已知点在圆上运动，动点的坐标为，其中，则线段长度的最小值为 C．已知圆，直线，若上有且仅有两个点到的距离为，则的范围为 D．已知，点为原点，动点满足，则的范围为 三、填空题 12.(24-25高二下·福建福州·期中)已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 13.(24-25高二下·河北保定·开学考试)“将军饮马”问题源自唐代诗人李顾的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ，在河边饮马点的坐标为 ． 14.(24-25高二上·四川遂宁·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定值，则点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15.(24-25高二上·陕西宝鸡·期末)已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 16.(24-25高二上·上海·期末)设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率；(2)求为坐标原点面积的最小值. 17.(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程；(2)求圆与圆公切线段的长度；(3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 18.(24-25高二上·福建泉州·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数k(且)的点的轨迹是圆”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，，，动点P满足：，记动点P的轨迹为曲线G，过点A的直线与曲线G交于C、D两点. (1)求曲线G的方程；(2)若过A且与垂直的直线与曲线G交于E，F，求四边形面积S的最大值； (3)若点Q满足：且，证明：点Q在定直线上. 19.(24-25高二上·贵州六盘水·期中)若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程.(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. (i)求的方程.(ii)已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $