第3章 圆锥曲线与方程（高效培优复习讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线 复习讲义 教学目标 1、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程，掌握圆锥曲线第二定义； 2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质； 3、掌握椭圆、双曲线、抛物线的应用； 教学重难点 1、重点：圆锥曲线的定义、几何性质、圆锥曲线的应用。 2、难点：圆锥曲线的综合问题、离心率的取值范围。 知识点01 圆锥曲线的概念 (一)圆锥曲线的第一定义： 1.椭圆： (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)椭圆表示为集合：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2.双曲线： (1)与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：如果没有绝对值，则仅表示双曲线的一支. (2)双曲线表示为集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 3.抛物线：在平面内到定点F的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线； 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线； (二)圆锥曲线第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线l距离的比为常数e的点的轨迹，是圆锥曲线。 其中：定点F是焦点，定直线l是准线，常数e就是离心率。 (1)时是椭圆； (2)时是抛物线； (3)时是双曲线； 【即学即练1-1】(23-24高二上·贵州安顺·期中)若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( ) A．5 B．2 C．7 D．6 【即学即练1-2】(2024高三·全国·专题练习)若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 知识点02 圆锥曲线的标准方程 1.椭圆：焦点在x轴()时：, 焦点在y轴()时：； 2.双曲线：焦点在x轴()时：, 焦点在y轴()时：； 3.抛物线：焦点在x轴正半轴()时：, 焦点在x轴负半轴()时：, 焦点在y轴正半轴()时：； 焦点在y轴负半轴()时：； 【即学即练2】(25-26高二上·全国·单元测试)若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 知识点03 圆锥曲线的几何性质 椭圆、双曲线、抛物线性质对比(以下是焦点在x轴的情况) 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) |PF|＝|PM| 点F不在直线l上 标准方程 y2＝2px(p>0) 图形 几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0) 通径 2p 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 (±c,0) 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 (0<e<1) (e>1) e＝1 准线 x＝－ 渐近线 无 无 【即学即练3-1】(2024·青海海南·二模)已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是(    ) A．2 B． C．3 D． 【即学即练3-2】(24-25高二上·陕西铜川·阶段练习)抛物线的准线方程是(   ) A． B． C． D． 知识点04 椭圆与双曲线的离心率 一般方法：根据条件，建立齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于e的方程求解． 1. (1)； (2)＝＝ (α,k为渐近线的倾斜角与斜率) 2. 焦点三角形中：(1)P为椭圆上异于长轴端点的任一点,， 则； (2)P为双曲线上异于实轴端点的任一点,， 则； 3.过椭圆(或双曲线)的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆(或双曲线)相交于A、B两点，且＝λ, (1)若焦点在x轴，则：；即． (2)当焦点在轴上时，则：)；注:或者。 4. 若直线y＝kx与椭圆(或双曲线)E交于A，B两点，P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝e2－1． 5.直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆(或双曲线)E交于A，B两点，P为弦AB中点，k0， 则k0·k＝e2－1． 注：当焦点在y轴上时a，b对调． 6.双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. 性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7.与有相同离心率的双曲线方程为： 焦点在轴上时：; 焦点在轴上时：; 【即学即练4-1】(25-26高三上·广西·开学考试)若椭圆的焦距是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是(    ) A． B． C． D． 【即学即练4-2】(2025高二·全国·专题练习)若双曲线的两个顶点三等分两焦点间的线段，则此双曲线的离心率为(    ) A．2 B． C．3 D． 知识点05 圆锥曲线的焦半径、焦点弦 (一)焦半径 1.椭圆上点P(x0，y0)与焦点F1，F2之间的距离叫做椭圆的焦半径，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1).第一定义：； (2).，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； ，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； 2.双曲线上点P(x0，y0)与焦点F1，F2之间的距离叫做双曲线的焦半径，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|: (1); (2)，(P在右支)， ，(P在左支)， (二)焦点弦 1.椭圆：若椭圆方程为，半焦距为，焦点， (1)过左焦点的焦点弦:；过右焦点的焦点弦:. (2)椭圆过焦点弦长公式： ()过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有 ①；②； (b)过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ①；②； (3)若是过焦点的弦,设,则； (4)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:；焦点弦中以通径最短； (5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4． 2.双曲线：若双曲线方程为，半焦距为，焦点， (1)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:, (2)双曲线焦点，过倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点， 则: (3)若AB是过焦点F的弦,设, AB在同支时, AB在两支时,;(设) (4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则△ABF2的周长为4a＋2|AB|． (5)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为， 异支的弦中最短的为实轴，长为2a. 3.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦AB，若，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)； (2)恒过定点； (3)中点轨迹方程：； (4)，则轨迹方程为：； 【即学即练5-1】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有(    )条 A．4 B．3 C．2 D．1 【即学即练5-2】(2025高三·全国·专题练习)设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为(    ) A． B．1 C．2 D．3 知识点06 圆锥曲线中的三角形 1.椭圆的焦点三角形：点P(x0，y0)在(a＞b＞0)上， 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则： (1). (2).S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|， 当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，θ最大, S也最大，最大值为bc. (3).焦点三角形的周长为2(a＋c)． (4).记，则； (5).点是内心，交于点，则. 2.双曲线的焦点三角形：,记，有以下结论成立: (1)； (2)焦点三角形的面积： . 3.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦AB，则： 【即学即练6】(25-26高三上·福建漳州·开学考试)已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为(   ) A．2 B．3 C． D．4 知识点07 圆锥曲线的中点弦 1.椭圆中有关点差法的经典结论(以下椭圆方程均为：) (1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则； (2).过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有； (3).过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则 (常数). 2.双曲线中有关点差法的经典结论(以下双曲线均为:) (1)M是的不平行于对称轴的弦AB的中点，则； (2)过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有； (3)过双曲线上任一点任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，则(常数) 【即学即练7】(24-25高二上·云南昆明·期末)已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 知识点08 圆锥曲线的切线 (一)椭圆 1.以上点为切点的切线斜率为；则；切线方程:. 2.过外一点作两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2所在直线方程：. (二)双曲线 (1)以上点为切点的切线斜率为；则；切线方程:. (2)过外一点作两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2所在直线方程：. (三)抛物线 1.如图所示，以焦点弦两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M，则有： (1)M点必在准线上；且:; (2)设线段AB的中点为N，则，即； (3)AB的中垂线与X轴交于点R，则 2.(1)以A(x1，y1)为切点的切线斜率为，切线方程为 (2)点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：； (3)点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：． 3.过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 【即学即练8】(2025·陕西汉中·模拟预测)在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 知识点09 双曲线的渐近线 的渐近线为：；的渐近线为：； 1.与共轭的双曲线方程为， (1)它们有公共的渐近线； (2)四个焦点都在以原点为圆心，为半径的圆上； (3)。 2.与有相同的渐近线的双曲线方程为：； 3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为:; 4.双曲线焦点到渐近线的距离总是:. 实轴顶点到渐近线的距离为:； 双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值: 【即学即练9】(2025·陕西商洛·模拟预测)双曲线 的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 知识点10 弦长公式 ， 或|AB|＝. 【即学即练10-1】(24-25高二上·陕西咸阳·期中)过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ． 题型01 圆锥曲线的概念 【典例1-1】(2025高三·全国·专题练习)已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(2025高三·全国·专题练习)如图，在正方体中，是侧面内一动点，若点到直线的距离是到直线的距离的2倍，则动点的轨迹所在的曲线是(    ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【典例1-3】(25-26高二上·全国·课后作业)与圆及圆都内切的圆的圆心在(    ) A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【典例1-4】(24-25高二上·云南曲靖·期末)双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为(   ) A．2 B．6 C．2或6 D．4 【变式1-1】(24-25高二上·安徽蚌埠·期末)已知，，动点P满足，则点P的轨迹是(   ) A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【变式1-2】(24-25高二上·山东烟台·期末)已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为(    ) A． B．8 C． D．16 【变式1-3】(24-25高二上·福建福州·期末)与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是(    ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【变式1-4】(2024高三·全国·专题练习)若动点满足，则动点P的轨迹为(     ) A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 【变式1-5】(多选)(24-25高二上·河南周口·阶段练习)下列说法中正确的有(   ) A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【变式1-6】(24-25高二下·四川达州·开学考试)已知椭圆，若上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为 . 题型02 圆锥曲线的标准方程 【典例2-1】(24-25高二下·湖南·阶段练习)已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为(   ） A． B． C． D． 【典例2-3】(24-25高二上·河北·期中）已知点在抛物线上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则的值是(   ） A．2或4 B．6或12 C．4或16 D．2或18 【典例2-4】(多选)若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是(    ） A．苦为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 【变式2-1】(2025·湖南·三模)已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】(24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 【变式2-3】(2025·广西南宁·三模)若抛物线上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3，则p的值为(   ) A．1或8 B．1或9 C．2或8 D．2或9 【变式2-4】(多选)(24-25高二上·四川达州·阶段练习)若方程所表示的曲线为，则(    ) A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 【变式2-5】(24-25高三上·湖南·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且垂直于轴，垂足为，则满足下列条件的动点的轨迹为椭圆的是(   ) A． B． C． D． 【变式2-6】已知点分别为双曲线的左､右焦点，若双曲线上一点满足，，则 ，双曲线的标准方程为 . 题型03 圆锥曲线的焦半径、焦点弦 【典例3-1】(2025高三·全国·专题练习)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于原点对称的两点，若，则直线截的弦长为(   ) A． B． C．3 D．4 【典例3-2】(2025高二·全国·专题练习)已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为(    ) A． B． C．1 D．2 【典例3-3】(24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末)过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则(     ) A． B． C． D． 【典例3-4】(2025高三·全国·专题练习)抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数(    ) A． B． C． D． 【变式3-1】(2025·河南·模拟预测)若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为(    ) A．14 B．12 C．10 D．8 【变式3-2】(24-25高二上·云南临沧·阶段练习)当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为(    ) A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 【变式3-3】(24-25高二上·福建莆田·期中)已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【变式3-4】(多选)(23-24高二上·四川广安·阶段练习)若方程所表示的曲线为，则(    ) A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若时，曲线上一点到焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为或 【变式3-5】(24-25高二上·全国·课后作业)地震台是利用各种地震仪器进行地震观测的观测点，会先后接收到波、波、面波三种，有利于开展地震观测与地震科学研究.如图，两地震台相距100公里，在地发生轻微地震后，两地震台先后均接收到信息，时间差为10秒，已知波的传播速度约为6公里/秒，则震源的轨迹方程为 .    【变式3-6】(2025高三·全国·专题练习)已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 题型04 圆锥曲线中的三角形 【典例4-1】(2025·湖北武汉·模拟预测)已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线(与轴不重合)交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是(   ) A． B． C． D． 【典例4-2】(2025·浙江嘉兴·一模)已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则(   ) A．48 B．96 C．144 D．192 【典例4-4】(2025·湖北武汉·二模)已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则(    ) A．4 B．3 C． D． 【变式4-1】(25-26高二上·全国·单元测试)已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为(    ) A．3 B．2 C．5 D．4 【变式4-2】(24-25高二下·山西·期中)已知双曲线C：，其左、右焦点分别为，，过点的直线交C的左右两支分别于A，B两点，且，，则C的实轴长为(   ) A．1 B．6 C．2 D．4 【变式4-3】(25-26高二上·全国·课后作业)已知抛物线交双曲线的渐近线于两点(异于坐标原点)且在点上方，双曲线的离心率为，的面积为64，则抛物线的焦点坐标为(    ) A． B． C． D． 15．(25-26高二上·全国·课后作业)已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为(    ) A．5 B． C．8 D． 【变式4-4】(24-25高三下·青海海东·阶段练习)已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若的内切圆的半径为，则的面积为(    ) A． B． C． D． 【变式4-5】(2025·广西·模拟预测)已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是(    ) A．椭圆的方程为 B．三角形的面积的最大值为 C．三角形的周长为8 D． 【变式4-6】(2025高三·全国·专题练习)已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为 . 题型05 椭圆、双曲线的离心率 【典例5-1】(2025·江西宜春·一模)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 【典例5-2】(25-26高三上·海南海口·开学考试)已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【典例5-3】(2025高三·全国·专题练习)如图，椭圆中心在原点，是焦点，为顶点，准线交轴于点，点，在椭圆上，且于，则椭圆的离心率是①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是(    ) A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例5-4】(25-26高三上·河北衡水·开学考试)过双曲线的顶点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线与轴交于点，若线段的长度等于双曲线的焦距的一半，则双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D．2 【变式5-1】(2025·广东梅州·一模)已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为(   ) A． B． C． D． 【变式5-2】(2025高二·全国·专题练习)已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C．或 D．或 【变式5-3】(24-25高二下·广西·阶段练习)已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为(   ) A． B． C． D． 【变式5-4】(25-26高三上·天津·开学考试)已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 【变式5-5】(多选)(2025·四川自贡·二模)设为坐标原点，椭圆：的左右焦点分别为，，点为定点，而点在椭圆上，且位于第一象限，若，则(   ) A． B． C．当的面积为时，的方程为 D．当轴时，的离心率 【变式5-6】(2025·四川成都·模拟预测)已知为双曲线(，)上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为 题型06 双曲线的渐近线 【典例6-1】(2025·甘肃天水·模拟预测)双曲线的渐近线方程的斜率为(   ) A． B． C． D． 【典例6-2】(25-26高三上·湖南·开学考试)若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数)，则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为(   ) A． B． C． D． 【典例6-3】(多选)(24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习)已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是(    ) A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【典例6-4】(2025·甘肃白银·三模)已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到该渐近线的距离为，过点作倾斜角为的直线，与双曲线交于，两点，记为坐标原点，则的余弦值为 . 【变式6-1】(25-26高三上·江苏南通·开学考试)已知双曲线：(，)的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为(   ) A． B． C． D． 【变式6-2】(24-25高二下·河北秦皇岛·期中)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式6-3】(25-26高三上·安徽·开学考试)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 【变式6-4】(24-25高二上·贵州黔南·阶段练习)已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【变式6-5】(多选)(2025·甘肃平凉·模拟预测)已知双曲线，直线l与双曲线右支交于点B，C(B在x轴上方，C在x轴下方)，与双曲线渐近线交于点A，D(A在x轴上方)，O为坐标原点，则(   ) A．直线l的倾斜角范围为 B． C．面积的最小值为1 D．若，则的面积为 【变式6-6】(2025·黑龙江哈尔滨·一模)已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 题型07 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例7-1】(23-24高二上·重庆·期末)已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【典例7-2】(2025·湖北黄冈·模拟预测)已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为(    ) A．1 B． C．2 D． 【典例7-3】(2025·江西·三模)已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为(   ) A． B． C． D． 【典例7-4】(24-25高二上·安徽·期末)已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【典例7-5】(24-25高二上·天津滨海新·期中)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为(    ) ①椭圆的离心率为;②到的左焦点的距离的最小值为;③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】(24-25高二上·全国·课后作业)已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为(   ) A． B． C． D． 【变式7-2】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有(    )条 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-3】(2025·河南新乡·三模)已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 【变式7-4】(多选)(2025·江苏泰州·模拟预测)在平面直角坐标系中，点A，B在椭圆C：上，点A和点B处的椭圆C的切线相交于点P，延长分别交圆O：于C，D，．设直线OP，AB的斜率分别为．O，P到直线的距离分别为，则下列结论正确的有(   ) A．点P在圆O上 B． C． D． 【变式7-5】(多选)(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是( ) A．15 B．16 C．17 D．18 【变式7-6】(多选)(23-24高二上·浙江舟山·期末)椭圆，直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，下列说法正确的是(    ) A．的取值范围为 B．以为直径的圆与相离 C．若，则的斜率为 D．若弦的中垂线与长轴交于点，则为定值 【变式7-7】(2025·湖南长沙·模拟预测)已知动圆过点且与直线：相切，直线与y轴交于K，点P为动圆圆心的轨迹E上任意一点，的角平分线与y轴交点为，则m最大值为 . 题型08 范围与最值问题 【典例8-1】(24-25高二上·重庆·期末)已知椭圆的左右焦点分别为、，过作直线交椭圆于、两点，其中点在轴下方，内切圆交边于点，则线段的长度取值范围为 . 【典例8-2】(2025高三·全国·专题练习)点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典例8-3】如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为(    )    A．40 B．50 C．55 D．60 【典例9-4】(多选)下列说法正确的有(     ) A．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是 B．设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为 C．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为 D．过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为 【变式8-1】(24-25高二上·广东湛江·期末)类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为(   ) A．1 B． C． D． 【变式8-2】点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 【变式9-3】(2025·陕西咸阳·三模)已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为(   ) A． B． C． D．3 【变式8-4】(多选)已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是(    ) A．的最小值是 B．点F到C的一条渐近线的距离为2 C．若直线与双曲线C有交点，则 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为 【变式8-5】(多选)(24-25高二上·浙江·期中)已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是(   ) A． B． C． D． 【变式8-6】已知椭圆，为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是 . 题型09 定点、定值问题 【典例9-1】(24-25高二上·山东泰安·期末)已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 【典例9-2】(24-25高三上·广东·阶段练习)已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则(    ) A． B． C． D． 【典例9-3】(2024·浙江·模拟预测）设点，，是抛物线上3个不同的点，且，若抛物线上存在点，使得线段总被直线平分，则点的横坐标是(    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例9-4】(多选)(24-25高二下·福建福州·期中)已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点(不在轴上)，下列选项正确的是() A．的周长为 B．存在点使得 C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1 【变式9-1】(24-25高三下·浙江·开学考试)已知为椭圆上一点(非顶点)，为椭圆的左右顶点，令(其中均不为).的面积为，则下列表达式不可能为定值的是(    ) A． B． C． D． 【变式9-2】(2024·河北邯郸·模拟预测)已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为(   ) A． B． C． D． 【变式9-3】(23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线过点交抛物线于两相异点，点关于轴的对称点为，过原点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为(    ） A． B． C． D． 【变式9-4】(多选)(23-24高二上·湖南岳阳·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点是双曲线上的点(异于、)，则下列结论正确的是(    ) A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为 C．若，则的面积为 D．点到、两点的连线斜率乘积为 【变式9-5】(多选)(24-25高二下·安徽·期末）已知抛物线的焦点为是上一点，过点的直线与交于A,B两点，且，则(    ） A． B．直线AB的方程为 C．直线PA，PB的斜率之和为0 D． 【变式9-6】(24-25高一下·江西景德镇·期末)已知椭圆，直线与椭圆交于两点，为椭圆外一点，直分别交椭圆于两点，直线交于点，则直线的斜率是 . 题型10 中点弦问题 【典例10-1】(24-25高二上·黑龙江鸡西·期中)若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【典例10-2】(24-25高二下·陕西西安·期末)直线被抛物线截得的线段的中点坐标是(    )． A． B． C． D． 【典例10-3】(24-25高二上·北京·阶段练习)设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【典例10-4】(多选)(24-25高二上·新疆伊犁·期中)已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是(     ) A． B．椭圆的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 【变式10-1】(24-25高三下·云南·阶段练习)已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则(   ) A．4 B．6 C．8 D．10 【变式10-2】(24-25高二上·内蒙古包头·期中)已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式10-3】(24-25高三下·黑龙江·阶段练习)已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 【变式10-4】(2023·四川成都·模拟预测)已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离(F不在l上)的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l(斜率为正)交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是(    ) A． B． C． D． 【变式10-5】(多选)(24-25高二上·浙江杭州·阶段练习)在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都为整数的点称为“整点”设点A是椭圆()的上顶点，若斜率不为0的直线与椭圆相交于、两点，使得，且点、的中点为“整点”，则满足条件的直线的条数可能为(  ) A．6 B．8 C．10 D．12 【变式10-6】(23-24高二上·河北石家庄·期末)已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 . 一、单选题 1.(23-24高二上·北京延庆·期末)到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高二上·河南驻马店·期末)若圆锥曲线：的焦距是6，则实数的值为(   ) A．40 B．13 C．40或 D．13或 3.（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．5 4.(2025·湖南邵阳·二模)过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点．若，则(    ) A． B． C． D． 5.(2025·全国·模拟预测)已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 6.(2025·甘肃白银·一模)已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 7.(24-25高二上·吉林·期末)已知点在以为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是(   ) A． B． C． D． 8.已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(25-26高二上·全国·课后作业)(多选)已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，则下列说法正确的是(    ) A．的周长为16 B．的周长为14 C．若，则 D．若，则的面积为7 10.(24-25高二下·河北邯郸·期末)已知半圆()，半圆与半圆关于轴对称，焦点为的抛物线的一部分恰与这两个半圆围成一个封闭的图形，点，在的抛物线部分上，点在半圆或半圆上，则下列说法正确的是(    ) A．若在半圆上，则到直线的距离最大值为 B．若在半圆上，则的最小值为 C．若，则的面积的最大值为 D．若在半圆上，是的中点，则的最大值为. 11.(24-25高二上·河北·期中)已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是(    ) A． B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为 C．若，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 三、填空题 12.(24-25高二上·上海·阶段练习)在3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出:到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时， 轨迹为抛物线: 当时，轨迹为双曲线. 现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值范围是 13.(25-26高三上·山东聊城·开学考试)已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 14.(2025年第四届典韦杯线上联考高考模拟数学试题)设为坐标原点，椭圆的左顶点和左焦点分别为、，、为上关于轴对称的两点(点在第二象限)且轴，，则的离心率为 ；已知、为上关于轴对称的两点，直线，交于点，若椭圆的长轴长为，则点的轨迹方程为 (结果含)． 四、解答题 15.(24-25高二下·四川成都·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上一点，的周长为6，离心率． (1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程． 16.(24-25高二下·云南临沧·期末)抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求；(2)若点在椭圆上，且直线AB与椭圆相切，求椭圆的标准方程. 17.(24-25高二下·河南商丘·期末)已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18.(24-25高二下·福建福州·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 19.(23-24高二上·上海·期末)已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；(2)直线过点与双曲线交于、两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；(3)动直线：恒过，且与双曲线的交于、两点(异于)，点(常数)是轴上的一个定点，若恒有成立，求实数的值． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆锥曲线复习讲义 内容概览 1.教学目标、教学重难点 2.知识点01圆锥曲线的概念 3.知识点02圆锥曲线的标准方程 4.知识点03圆锥曲线的几何性质 题型01圆锥曲线的概念 题型02圆锥曲线的标准方程 5.知识点04椭圆与双曲线的离心率 题型03圆锥曲线的焦半径、焦点弦 题型04圆锥曲线中的三角形 第3章圆锥曲线复习 6.知识点05圆锥曲线的焦半径、焦点弦 题型05椭圆、双曲线的离心率 题型06双曲线的渐近线 题型07直线与圆锥曲线的位置关系 7.知识点06圆锥曲线中的三角形 题型08范围与最值问题 题型09定点、定值问题 题型10中点弦问题 8.知识点07圆锥曲线的中点弦 9.知识点08圆锥曲线的切线 10.知识点09双曲线的新近线 11.知识点10弦长公式 教学目标、教学重难点 1、 掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程，掌握圆锥曲线第二定义： 教学目标 2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质： 3、掌握椭圆、双曲线、抛物线的应用； 1、重点：圆锥曲线的定义、几何性质、圆锥曲线的应用。 教学重难点 2、 难点：圆锥曲线的综合问题、离心率的取值范围。 知识清单 知识点01圆锥曲线的概念 (一)圆锥曲线的第一定义： 1.椭圆： (I)平面内与两个定点F,F2的距离的和等于常数（大于FF的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 (2)椭圆表示为集合：P={MMF1+MF2=2a,|F1F列=2c,其中a,c为常数且心0，c>0. ①当2>F1F2时，M点的轨迹为椭圆： ②当2a=FF时，M点的轨迹为线段FF2; ③当2F1F时，M点的轨迹不存在. 2.双曲线： 第1页共31页 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)与两个定点F1,F2(F1F2=2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(2aK2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意：如果没有绝对值，则仅表示双曲线的一支， (2)双曲线表示为集合：P={MM-MF2=2a,|F1F2=2c,其中a,c为常数且心0，c>0. ①当2F1F2时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a=FF时，M点的轨迹是两条射线： ③当2心lF1F时，M点不存在. 3抛物线：在平面内到定点F的距离与到定直线1的距离相等的点的轨迹是抛物线： 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线： (二)圆锥曲线第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线I距离的比为常数e的点的轨迹，是圆锥曲线。 其中：定点F是焦点，定直线I是准线，常数e就是离心率。 (1)0<e<1时是椭圆： (2)e=1时是抛物线： (3)e>1时是双曲线： 学即练1-1】2324高上·贵州交顺期中若椭圆5+y1上一点P到椭圆一个焦点的距离) 到另一个焦点的距离为) A.5 B.2 C.7 D.6 【即学即练1-2】(2024高三·全国·专题练习)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则 点P的轨迹方程为() A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 知识点02圆锥曲线的标准方程 1.椭圆：焦点在×轴(F1(-c0),F2(G,0)时：三+若=-1(a>b>0, 焦点在y轴(10，-c),F20,c》时：兰+号=1(a>b>0): 2双曲线：焦点在×轴(E1(-6,0),.F2c0)》时：三-是=1(a>0,b>0), 焦点在y轴10，-c,F,(0,0时：兰-三=1〔a>0,b>0): 3.抛物线：焦点在x轴正半轴(F(3,0)(>0)时：y2=2px, 焦点在x轴负半轴(F(-号，0)(p>0)时：y2=-2px 焦点在y轴正半轴(F(0,)(p>0)时：x2=2py: 焦点在y轴负半轴(F(0,-)0>0)时：x2=-2py: 【即学即练2】(25-26高二上全国单元测试)若椭圆的短轴顶点为(0,3)，焦距为8，则该椭圆的标准方程 为） 第2页共31页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. B.y 25*161 C. 961 D. 251 16 知识点03圆锥曲线的几何性质 椭圆、双曲线、抛物线性质对比（以下是焦点在x轴的情况） 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 PF1+PF2=2a(2a>F1F2) ‖PF1-PFz=2a(2a<F1F2 |P可=PM点F不在直线1上 标准方程 x2 ,y2 +6京=1(a>b>0) x2 y2 a2-6京=1(a>b>0) y2=2p.x(>0) 图形 ab o 范围 x≤a,y≤b x≥a x≥0 顶点 (±，0)，(0，±b) (±a,0) (0,0) 通径 2b2 2b2 令 2p a 几对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 何 焦点 (±c,0) (0) 性 轴 长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 e==1-0e<1) b2 质 e==1+e1) e=1 准线 lix=t c lix= c 渐近线 无 y=t 无 a 【即学即练3-1】(2024青海海南·二模)已知曲线M:Vx2+(y-52+2+y+5=4,圆 N:(x-)2+y2=1,若A,B分别是M,N上的动点，则AB的最小值是() A.2 B.2√2 C.3 D.2+√5 【即学即练3-2】(24-25高二上·陕西铜川阶段练习)抛物线y2=40x的准线方程是(） A.x=-20 B.x=-10 C.x=-80 D.x=-160 知识点04椭圆与双曲线的离心率 一般方法：根据条件，建立齐次等量关系a,b,c)=0,再化归为关于e的方程求解 1.(①)e销题==1-（合2 2)e双线==1+()2=V1十？=V1十tan2a(ak为渐近线的倾斜角与斜率) 2焦点三角形中：(QP为椭圆酷+发=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点，P,=&∠P平，，=B. 则e=S=sin(a+B) a sina+sinβ 2)P为双曲线号-导=1Q>0,b>0)上异于实轴端点的任一点，∠PF,=&∠PFF,=B, 第3页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则e=sin(a+) sina-sinβli 3.过椭圆（或双曲线）的焦点F作倾斜角为直线与椭圆（或双曲线）相交于A、B两点，且AF=1F(>0), ()若焦点在x轴，则：e=V1+区：即ecos9 元-1川 1+1 2)当焦点在y轴上时，则：e=、1+(付引：注入-或者= 4.若直线y=与椭圆（或双曲线）E交于A,B两点，P为椭圆（或双曲线）上异于A,B的点，若直线PA, PB的斜率存在，且分别为1,2，则1k2=2一l. 5.直线y=十(0且O)与椭圆（或双曲线）E交于A,B两点，P为弦AB中点，kPo=k, 则kok=e2-1. 注：当焦点在y轴上时a,b对调. 6.双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x,离心率e=√2. 性质：a=b;,e=V2;渐近线互相垂直； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项， 7.与后-兰=1有相同离心率的双曲线方程为： 焦点在x轴上时：兰-景-0>0：焦点在y轴上时：兰-茶-0>0)， 【即学即练41】(25-26高三上广西·开学考试)若椭圆C的焦距是短轴长的2倍，则椭圆C的离心率是() A.5 B.2V5 5 c D.3 2 【即学即练42】(2025高二全国专题练习若双曲线芳-1Q>0,6>0)的两个顶点三等分两焦点间的 线段，则此双曲线的离心率为() A.2 B.√5 C.3 D.5 知识点05圆锥曲线的焦半径、焦点弦 （一)焦半径 1.椭圆上点P(xo,yo)与焦点F1,乃2之间的距离叫做椭圆的焦半径，1=PF,2=PF, (1).第-定义：P+PF=2a: (=1(a>>).=a+exo.r=a-e%o: 5+号=1a>b>0):n=a+ew:n-a0, 2.双曲线上点P(xo,yo)与焦点F1,F2之间的距离叫做双曲线的焦半径，1=PF,2=PF: (1)IPFI-IPF2l 2a: (2)lPF1lmm=a+c,IPF2lmin=c-a(P在右支)， 第4页共31页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 IPF1lmin=c-a,|PF2lmin=c+a(P在左支)， (二)焦点弦 1.稀圆：若椭圆方程为号+台=1a>b>0),半焦距为c,焦点F(-c,0),R(6,0), (1)过左焦点的焦点弦：AB=2a+(x1+x2):过右焦点的焦点弦：AB=2a-e(x1+x2) 2ab2 (2)椭圆过焦点弦长公式：IAB= a2ccoa(焦点在x轴上) a2c2ma(焦点在y轴上) 2ab2 (a)过F的直线I的倾斜角为a,交椭圆于A、B两点，则有 ①Al=品lBr=:@h= b)过F,的直线I的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ①AFl=lB=.e:@A= )若AB是过焦点P的弦，设AF例=m,BF=,则+片=品 2 n (④过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：；焦点弦中以通径最短； (⑤)己知过焦点F的弦AB,则△ABF的周长为4a. 2双曲线：若双曲线方程为三-1a>0,6>0)半焦距为c,焦点E(-c,0),E(6,0), (1)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：公 ②)双曲线号-茶=1焦点(-c,0),￡(c,0),过￡倾斜角为a的直线1交双曲线于A、B两点， 2ab2 则：AB= a2ccoa(A,B在同一支) 2ab2 c0saa(A,B分在两支) (3)若AB是过焦点F的弦，设AP=mBF=n, AB在同支时，点+片祭：B在两支时，品-日祭：（设mm (4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则△ABF2的周长为4a十2AB. (5)同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦，其长为2， a 异支的弦中最短的为实轴，长为2a 3.抛物线y2=2xD>0)的焦点弦AB,若0A1OB,A(x1,),B(x2,2),则： (1)xx2=4P2,yy2=-4P2; (2)14恒过定点(2p,0)； (3)A,B中点轨迹方程：y2=p(x-2p): (4)OM⊥AB,则M轨迹方程为：(x-P)2+y2=p2: 第5页共31页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练51】24-25高二上.黑龙江哈尔滨阶段练习)过双曲线-，=1右焦点F作直线1与双曲线交于 4163 A,B两点，若AB=6,则直线1有()条 A.4 B.3 C.2 D.1 【即学即练5-2】(2025高三全国·专题练习)设抛物线C:y2=2x的焦点为F,过F的直线1与抛物线C交于 A,B两点，则AB的最小值为() A B.1 C.2 D.3 知识点06圆锥曲线中的三角形 1椭圆的焦点三角形：点P心0：w)在号+兰=1a>b>0)上， 若r1=PF,2=|PF列，∠FPF2=0,△PFF的面积为S,则： (1).cos0≥1-2e2 (2)S-PFIlPF:-sin 0-btan 9-cvdl. 当yo=b时，即点P为短轴端点时，最大，S也最大，最大值为bc. (3).焦点三角形的周长为2(a十c). 4记∠FPR=0,则PPF= 51点M是APR内心，PM交RR于点N,则-号 2双曲线的焦点三角形：△PF1F2,记∠F1PP2=0,有以下结论成立： (1)IPFPF2l=1c0s0 2b2 ②)焦点三角形的面积：SAPF,F2dbn= 62 3教物线产-加p>0的张点弦4，别及-时40mA0=号pk=霜。 【即学即练6】(25-26高三上·福建漳州开学考试)已知抛物线y2=2Px(p>0)的焦点为F(1,0),点A在抛物 线上，O是坐标原点，若△OFA的面积为V5,则A可长度为() A.2 B.3 c D.4 知识点07圆锥曲线的中点弦 1椭圆中有关点差法的经典结论（以下椭圆方程均为：茶+发=1(a>b>0) (1).B是椭圆的不平行于对称轴的弦，M(x,)为B的中点，则KOMkA=一三， ②).过原点的直线交椭圆于AB两点，P点是椭圆上异于AB两点的任一点，则有kAkB=一总 第6页共31页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 (3).过椭圆上任一点Pxyo)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于AB两点，则kB·ko=兰（常数）。 2双曲线中有关点差法的经典结论（以下双曲线均为学-茶=1a>0,b>0) aM(化，)是导-兰=1的不平行于对称轴的弦3的中点，则kMka=号 ②)过原点的直线交双曲线于AB两点，P点是双曲线上异于AB两点的任一点，则有kra'kro=三： (③)过双曲线上任一点PK,yo)任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于A,B两点，则KABKOP=一三（常数） 【即学即练71024：25高二上云南昆明，期未已知原点为0，椭圆C:菩+层-1a>6>0)与直线1：x-+1=0交 于A,B两点，线段AB的中点为M,若直线Q的率为子则椭圆C的离心率洲) A. B. c.V5-1 D.6 2 2 3 知识点08圆锥曲线的切线 （一)椭圆 1.发+发=1a>b>0)上点P,y)为切点的切线斜率为k:则kkA=总：切线方程学+罗=1 2过号+兰=1外一点PK,yo)作两条切线切点为P、P,则切点弦PP,所在直线方程：等+罗=1 (二)双曲线 (1)以哈-茶=1(a>0,b>0)上点PK,yo)为切点的切线斜率为k:则kkoA=-:切线方程警-学=1 2过塔-器=1外一点Pxyo)作两条切线切点为P、P,则切点弦P,P:所在直线方程：兰-罗=1 (三)抛物线 1如图所示，以焦点弦A,B两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M,则有： (1)M点必在准线上；且：MA⊥MB,MF⊥AB; (2)设线段AB的中点为，则MN/x轴，即yM=当些； 2 3)AB的中垂线与X轴交于点R,则AB=2FR 2(1)以A(1,四为切点的切线斜率为k=号，切线方程为yy=p(x+) (2)点P(&o,yo)是抛物线y2=2mx(m≠0)上一点，则抛物线过点P的切线方程是：yoy=m(xo+x): (3)点P&o,yo)是抛物线x2=2y(m≠0)上一点，则抛物线过点P的切线方程是：xox=my+y): 3.过x2=2的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB过点(0，) 第7页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练8】(2025陕西汉中模拟预测)在平面直角坐标xOy中，己知椭圆C: 若若=(abs0的路8 率为5，左、右焦点分别为R,R,点P(2V2)为C上一点，记C在点P处的切线L,过点R作I11于点M, 2 则PM的长为 知识点09双曲线的渐近线 兰-三-10a>0,b>0)的浙近线为：y=±片x:苦三-1a≥0，b>0)的浙近线为：y=±x 1.与后-卡=1共辄的双曲线方程为号-茶 a-6=-1, (1)它们有公共的渐近线； (2)四个焦点都在以原点为圆心，r=c为半径的圆上： +=1 2.与后三=1有相同的渐近线的双曲线方程为：三三=1： 3已知双曲线的浙近线方程为bx士=0，则双曲线方程可设为茶-茶=（≠0）， 4.双曲线焦点到渐近线的距离总是：b 实轴项点到渐近线的距离为兽： 双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值： 【即学即练9】2025陕西商洛模拟预测双曲线产-_上=1的渐近线方程为) 4 A.y=±x B.y=±2x C.y=+3x D.y=±4x 知识点10弦长公式 14Bl=V1+k2·x1-x2l=V1+k2·V(x1+x2)2-4x1x2, 或A8=1+(2:M-y2=1+1+y22-4wy2 【即学即练10-1】24-25高二上陕西成阳期中)过点P(1,1)作直线与椭圆+上=1交于A,B两点，若 4 2 线段AB的中点为P,线段AB的长度是 题型精讲 题型01圆推曲线的概念 凰典例1-1】(2025高三·全国.专题练习)已知定点R(-3,0),F(3,0),平面上满足下列条件的动点P的轨迹是椭 圆的是() A.PF +PF=4 B.PF+PF =6 C.PR +PF=10 D.PF+PF2=20 第8页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-2】(2025高三·全国·专题练习)如图，在正方体ABCD-ABCD中，P是侧面BBCC内一动点，若 点P到直线BC的距离是到直线CD的距离的2倍，则动点P的轨迹所在的曲线是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 D 【典例1-3】（25-26高二上·全国课后作业)与圆(x+4)+y2=4及圆x2+y2-8x+15=0都内切的圆的圆心在(） A.椭圆上B.双曲线的左支上C.双曲线的右支上D.圆上 【典例1-4】24-25高二上云南曲靖期末)双曲线2--1上一点P到它的一个焦点的距离为4，那么点P 16 到另一个焦点的距离为) A.2 B.6 C.2或6 D.4 【变式1-1】(24-25高二上安徽蚌埠.期末)已知A(0,-2),B(0,2),动点P满足PA-PB=2,则点P的轨 迹是() A.椭圆 B.双曲线的一支C.双曲线 D.射线 【变式1-2】24-25高二上山东烟台期末已知R,B分别为椭圆c:+之=1的左、右焦点，直线y=2x与C 84 交于两点A,B,则平行四边形ABF的周长为) A.4V2 B.8 C.8√2 D.16 【变式1-31(24-25高二上福建福州期末)与圆(x-2)+y2=1和圆(x+2)+y2=4都外切的圆的圆心的轨迹 是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支D.抛物线 I变式1-4】(2024高三·全国.专题练习)若动点P(x,y)满足4V(x-1)2+(y-2)=3x+4y+2,则动点P的轨 迹为() A.椭圆 B.双曲线 C.直线 D.抛物线 【变式1-5】（多选）24-25高二上河南周口·阶段练习)下列说法中正确的有() A.已知点耳(4，O),,(4,0),到，F两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 第9页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.已知点耳(4,0)，F,(4,0),到耳，耳两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C.已知点(4,0)，F,(4,0),到耳，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D.己知点(4,0)，F(4,0),到耳，E两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 变式1-6】2425高一下四川达州开学考试已知椭圆C5+。1,若C上一点P到一个焦点的距离为 5,则P到另一个焦点的距离为 题型02圆锥曲线的标准方程 【典例2-1】(24-25高二下湖南阶段练习)已知焦点在x轴上的椭圆，上顶点为M,左、右焦点分别为耳， F,经过点耳的直线垂直平分线段M俨，且交椭圆于B,C两点，△MBC的周长为8，则椭圆的标准方程 为) A.x2+4y2=1 C. -+y2=1 D.y -=1 4 43 【典例22】已知双曲线C:￡上 231【a>0,b>0与椭圆0+1有相同的焦点，且离心率为3，则双曲 线C的方程为() A.上=1 c.=1 .-=1 3218 169 916 【典例2-3】(24-25高二上·河北·期中)己知点A在抛物线y2=2px(p>0)上，若点A到抛物线的对称轴的距 离是6，到焦点的距离是10，则P的值是() A.2或4 B.6或12 C.4或16 D.2或18 【典例241（多选）若方程× =1所表示的曲线为C,下列说法正确的是() 3-t1-t A.苦C为椭圆，则1<t<3 B.若C为双曲线，则t>3或t<1 C.曲线C可能是圆 D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则1<t<2 【变式212025湖病三模尼知雕线C+,片1，设n:21<3,g曲线c是焦点在特上的椭 则p是q的()】 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【变式22】(24-25高二上贵州贵阳期末)己知圆A:(x+2)2+y2=2,P(xy)在圆A上运动，点B(2,0), 第10页共31页 第3章 圆锥曲线 复习讲义 教学目标 1、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程，掌握圆锥曲线第二定义； 2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质； 3、掌握椭圆、双曲线、抛物线的应用； 教学重难点 1、重点：圆锥曲线的定义、几何性质、圆锥曲线的应用。 2、难点：圆锥曲线的综合问题、离心率的取值范围。 知识点01 圆锥曲线的概念 (一)圆锥曲线的第一定义： 1.椭圆： (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)椭圆表示为集合：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2.双曲线： (1)与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：如果没有绝对值，则仅表示双曲线的一支. (2)双曲线表示为集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 3.抛物线：在平面内到定点F的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线； 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线； (二)圆锥曲线第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线l距离的比为常数e的点的轨迹，是圆锥曲线。 其中：定点F是焦点，定直线l是准线，常数e就是离心率。 (1)时是椭圆； (2)时是抛物线； (3)时是双曲线； 【即学即练1-1】(23-24高二上·贵州安顺·期中)若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( ) A．5 B．2 C．7 D．6 【答案】C【难度】0.94【知识点】椭圆定义及辨析【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解. 【详解】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义， 得到另一个焦点的距离为.故选：C 【即学即练1-2】(2024高三·全国·专题练习)若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程. 【详解】由题意，知P到的距离比它到的距离小2， 因此P到的距离与到直线的距离相等， 故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为．故选：C 知识点02 圆锥曲线的标准方程 1.椭圆：焦点在x轴()时：, 焦点在y轴()时：； 2.双曲线：焦点在x轴()时：, 焦点在y轴()时：； 3.抛物线：焦点在x轴正半轴()时：, 焦点在x轴负半轴()时：, 焦点在y轴正半轴()时：； 焦点在y轴负半轴()时：； 【即学即练2】(25-26高二上·全国·单元测试)若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程【分析】方法一：根据椭圆的定义和已知条件求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义进行理解辨析，利用排除法求得答案. 【详解】由题意椭圆的焦点在轴上，且，则，， 所以椭圆的标准方程为． 知识点03 圆锥曲线的几何性质 椭圆、双曲线、抛物线性质对比(以下是焦点在x轴的情况) 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) |PF|＝|PM| 点F不在直线l上 标准方程 y2＝2px(p>0) 图形 几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0) 通径 2p 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 (±c,0) 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 (0<e<1) (e>1) e＝1 准线 x＝－ 渐近线 无 无 【即学即练3-1】(2024·青海海南·二模)已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、利用椭圆定义求方程 【分析】根据题意可得曲线M的方程为，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】根据题意，曲线， 则曲线M上的点到点和距离之和为， 根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆， 其中，则，所以曲线M的方程为， 设点满足且，可得， 圆的圆心为，半径为1，则， 又函数在单调递减，所以， 所以的最小值是.故选：C 【即学即练3-2】(24-25高二上·陕西铜川·阶段练习)抛物线的准线方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的准线方程的定义求解. 【详解】抛物线的准线方程是.故选：B. 知识点04 椭圆与双曲线的离心率 一般方法：根据条件，建立齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于e的方程求解． 1. (1)； (2)＝＝ (α,k为渐近线的倾斜角与斜率) 2. 焦点三角形中：(1)P为椭圆上异于长轴端点的任一点,， 则； (2)P为双曲线上异于实轴端点的任一点,， 则； 3.过椭圆(或双曲线)的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆(或双曲线)相交于A、B两点，且＝λ, (1)若焦点在x轴，则：；即． (2)当焦点在轴上时，则：)；注:或者。 4. 若直线y＝kx与椭圆(或双曲线)E交于A，B两点，P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝e2－1． 5.直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆(或双曲线)E交于A，B两点，P为弦AB中点，k0， 则k0·k＝e2－1． 注：当焦点在y轴上时a，b对调． 6.双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. 性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7.与有相同离心率的双曲线方程为： 焦点在轴上时：; 焦点在轴上时：; 【即学即练4-1】(25-26高三上·广西·开学考试)若椭圆的焦距是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用结合已知条件：焦距是短轴长的2倍，带入离心率计算公式可求解 【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，则， 所以，，所以椭圆的离心率.故选：B 【即学即练4-2】(2025高二·全国·专题练习)若双曲线的两个顶点三等分两焦点间的线段，则此双曲线的离心率为(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】通过条件“两个顶点三等分两焦点间的线段”直接找到和的关系，利用离心率的定义求解． 【详解】由题意可知，，整理得，则．故选：C． 知识点05 圆锥曲线的焦半径、焦点弦 (一)焦半径 1.椭圆上点P(x0，y0)与焦点F1，F2之间的距离叫做椭圆的焦半径，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1).第一定义：； (2).，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； ，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； 2.双曲线上点P(x0，y0)与焦点F1，F2之间的距离叫做双曲线的焦半径，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|: (1); (2)，(P在右支)， ，(P在左支)， (二)焦点弦 1.椭圆：若椭圆方程为，半焦距为，焦点， (1)过左焦点的焦点弦:；过右焦点的焦点弦:. (2)椭圆过焦点弦长公式： ()过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有 ①；②； (b)过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ①；②； (3)若是过焦点的弦,设,则； (4)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:；焦点弦中以通径最短； (5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4． 2.双曲线：若双曲线方程为，半焦距为，焦点， (1)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:, (2)双曲线焦点，过倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点， 则: (3)若AB是过焦点F的弦,设, AB在同支时, AB在两支时,;(设) (4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则△ABF2的周长为4a＋2|AB|． (5)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为， 异支的弦中最短的为实轴，长为2a. 3.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦AB，若，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)； (2)恒过定点； (3)中点轨迹方程：； (4)，则轨迹方程为：； 【即学即练5-1】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有(    )条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C【难度】0.65【知识点】求双曲线中的弦长【分析】易知当直线轴时，满足题意的不存在；当不垂直轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可. 【详解】由题意知，，则.若直线轴时，， 代入方程，解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得，则， 所以， 又，所以，整理得， 得或，解得(舍去)或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条.故选：C 【即学即练5-2】(2025高三·全国·专题练习)设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为(    ) A． B．1 C．2 D．3 【答案】C【难度】0.65【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】方法一设出直线方程，联立方程组并利用韦达定理得到，，再利用弦长公式表示出弦长，进而求出最小值，方法二利用二级结论得到，再对条件合理变形，再利用基本不等式求解最小值，方法三利用抛物线的性质得到抛物线的焦点弦最短时为通径，直接求解最小值即可. 【详解】方法一：由已知得，直线的斜率不为0，如图，设，， 设直线的方程为，联立方程组，得到，且易得， 则由韦达定理得，， 由弦长公式得， 故当时，取最小值，且该值为2，故C正确.故选：C． 方法二：由二级结论得，易得， 而， 当且仅当时等号成立，故C正确.故选：C． 方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而，故C正确.故选：C． 知识点06 圆锥曲线中的三角形 1.椭圆的焦点三角形：点P(x0，y0)在(a＞b＞0)上， 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则： (1). (2).S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|， 当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，θ最大, S也最大，最大值为bc. (3).焦点三角形的周长为2(a＋c)． (4).记，则； (5).点是内心，交于点，则. 2.双曲线的焦点三角形：,记，有以下结论成立: (1)； (2)焦点三角形的面积： . 3.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦AB，则： 【即学即练6】(25-26高三上·福建漳州·开学考试)已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为(   ) A．2 B．3 C． D．4 【答案】D【难度】0.85 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据焦点可得抛物线方程，进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半径公式求解. 【详解】由，得，即，故抛物线的方程为. 设，则的面积为，得， 将代入，得，由焦半径公式.故选：D. 知识点07 圆锥曲线的中点弦 1.椭圆中有关点差法的经典结论(以下椭圆方程均为：) (1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则； (2).过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有； (3).过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则 (常数). 2.双曲线中有关点差法的经典结论(以下双曲线均为:) (1)M是的不平行于对称轴的弦AB的中点，则； (2)过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有； (3)过双曲线上任一点任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，则(常数) 【即学即练7】(24-25高二上·云南昆明·期末)已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且，故， 故,故，即，因此， 故选：D 知识点08 圆锥曲线的切线 (一)椭圆 1.以上点为切点的切线斜率为；则；切线方程:. 2.过外一点作两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2所在直线方程：. (二)双曲线 (1)以上点为切点的切线斜率为；则；切线方程:. (2)过外一点作两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2所在直线方程：. (三)抛物线 1.如图所示，以焦点弦两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M，则有： (1)M点必在准线上；且:; (2)设线段AB的中点为N，则，即； (3)AB的中垂线与X轴交于点R，则 2.(1)以A(x1，y1)为切点的切线斜率为，切线方程为 (2)点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：； (3)点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：． 3.过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 【即学即练8】(2025·陕西汉中·模拟预测)在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求椭圆的切线方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】首先求切线的方程，再求直线的方程，即可求交点的坐标，即可求解. 【详解】由条件可知，，解得：，， 所以椭圆，所以在点处的切线方程为，即， 因为，所以直线， 联立，解得：，，即，且 所以.故答案为： 知识点09 双曲线的渐近线 的渐近线为：；的渐近线为：； 1.与共轭的双曲线方程为， (1)它们有公共的渐近线； (2)四个焦点都在以原点为圆心，为半径的圆上； (3)。 2.与有相同的渐近线的双曲线方程为：； 3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为:; 4.双曲线焦点到渐近线的距离总是:. 实轴顶点到渐近线的距离为:； 双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值: 【即学即练9】(2025·陕西商洛·模拟预测)双曲线 的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线方程，确定的值，然后可直接得出渐近线方程. 【详解】因为双曲线 ，所以，即渐近线方程为：，故选：B. 知识点10 弦长公式 ， 或|AB|＝. 【即学即练10-1】(24-25高二上·陕西咸阳·期中)过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】求椭圆中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】用点差法求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程，结合弦长公式即可求出结果. 【详解】设，，因为线段的中点为， 根据中点坐标公式得：，， 由，在椭圆上，有，两式相减化简得：， 所以，即直线的斜率为， 可得直线的方程为：，即， 联立方程，消去得：，则，， 所以线段的长度是：， 故答案为： 题型01 圆锥曲线的概念 【典例1-1】(2025高三·全国·专题练习)已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】椭圆定义及辨析【分析】根据椭圆的定义可得答案 【详解】之间的距离，根据椭圆的定义，距离之和 对于A，不满足椭圆的定义，无轨迹，A错误； 对于B，，轨迹是线段，不是椭圆，B错误； 对于C，符合椭圆的定义，轨迹是椭圆，C正确； 对于D，这不是距离之和的条件，不直接符合椭圆的定义，实际上，这描述的轨迹不是椭圆.轨迹是以原点为中心的圆(如图)，D错误.故选：C 【典例1-2】(2025高三·全国·专题练习)如图，在正方体中，是侧面内一动点，若点到直线的距离是到直线的距离的2倍，则动点的轨迹所在的曲线是(    )    A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B【难度】0.94【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】由点到直线和直线的距离关系分析，可得动点的轨迹满足椭圆的第二定义. 【详解】由于侧面，所以点到直线的距离即为点到点的距离． 【典例1-3】(25-26高二上·全国·课后作业)与圆及圆都内切的圆的圆心在(    ) A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【答案】B【难度】0.65【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、双曲线定义的理解 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求圆的圆心为，半径为，如图所示， ，，所以，且， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的双曲线的左支．故选：B. 【典例1-4】(24-25高二上·云南曲靖·期末)双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为(   ) A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】双曲线，.设双曲线的两个焦点为，，已知， 由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B 【变式1-1】(24-25高二上·安徽蚌埠·期末)已知，，动点P满足，则点P的轨迹是(   ) A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B【难度】0.94【知识点】双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支.故选：B. 【变式1-2】(24-25高二上·山东烟台·期末)已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为(    ) A． B．8 C． D．16 【答案】C【难度】0.94【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为.故选：C 【变式1-3】(24-25高二上·福建福州·期末)与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是(    ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、双曲线定义的理解 【分析】由题意可以得到，结合双曲线的定义即可得解. 【详解】由题意设圆：的圆心、半径分别为， 设圆：的圆心、半径分别为， 不妨设满足题意的动圆圆心、半径分别为， 则由题意有， 故满足题意的动圆圆心轨迹是以为焦点，长轴长为的双曲线的一支(左支).故选：C. 【变式1-4】(2024高三·全国·专题练习)若动点满足，则动点P的轨迹为(     ) A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 【答案】B【难度】0.85【知识点】圆锥曲线的统一定义的应用【分析】根据双曲线第二定义可得答案. 【详解】由等式可得， 即动点P到定点与定直线的距离之比为且大于1， 而定点不在定直线上，所以动点P的轨迹为双曲线.故选：B 【变式1-5】(多选)(24-25高二上·河南周口·阶段练习)下列说法中正确的有(   ) A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【答案】CD【难度】0.85【知识点】椭圆定义及辨析【分析】根据椭圆定义分别判断各个选项即可. 【详解】根据题意，点，，则， 对于A，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹不存在，错误； 对于B，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹为线段，错误； 对于C，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆，正确； 对于D，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆，正确；故选：CD. 【变式1-6】(24-25高二下·四川达州·开学考试)已知椭圆，若上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为 . 【答案】3【难度】0.65【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】先根据条件求出，再根据椭圆的定义，由其到一个焦点的距离，可得到另一个焦点的距离. 【详解】由椭圆的定义，，所以到另一个焦点距离为3.故答案为：3. 题型02 圆锥曲线的标准方程 【典例2-1】(24-25高二下·湖南·阶段练习)已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程【分析】由题设条件易得，结合图形将的周长转化为的周长，从而求得的值，即得椭圆方程. 【详解】如图，因经过点的直线垂直平分线段，则，即， 因，则的周长等于的周长， 即，解得，，故椭圆的标准方程为.故选：D． 【典例2-2】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为(   ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【来源】天津市耀华中学2024-2025学年高二上学期期末学情调研数学试卷 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据椭圆方程得到，再由离心率得，根据双曲线中，计算得双曲线方程. 【详解】由椭圆方程，得其焦点为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线中， 又因为离心率为，所以，，，所以双曲线方程为.故选：D 【典例2-3】(24-25高二上·河北·期中）已知点在抛物线上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则的值是(   ） A．2或4 B．6或12 C．4或16 D．2或18 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据定义求抛物线标准方程【分析】设，根据定义求解； 【详解】设，代入抛物线，解得：， 又因为点到焦点的距离是10，根据抛物线的定义，得： 化简得：解得：或18.故选：D. 【典例2-4】(多选)若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是(    ） A．苦为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BC【难度】0.85【来源】陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、双曲线的方程与双曲线(焦点）位置的特征、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】利用二元二次方程与选项中曲线方程的结构特征，得到对应的不等式，解之即可得解. 【详解】因为方程，即所表示的曲线为， 对于A，若为椭圆，则，且，故A错误； 对于B，若为双曲线，则，或，故B正确； 对于C，当，即时，曲线为圆，故C正确； 对于D，若为焦点在轴上的椭圆，则，，故D错误.故选：BC. 【变式2-1】(2025·湖南·三模)已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，再进一步判断即可. 【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件．故选：A． 【变式2-2】(24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 【答案】;【难度】0.65【知识点】利用椭圆定义求方程、利用双曲线定义求方程 【分析】利用椭圆和双曲线的定义求解. 【详解】如图：当时，，点轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 则，，所以方程为； 如图：当时，，点轨迹是以A，B为焦点的双曲线， 则，，所以方程为. 故答案为：， 【变式2-3】(2025·广西南宁·三模)若抛物线上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3，则p的值为(   ) A．1或8 B．1或9 C．2或8 D．2或9 【答案】B【难度】0.65【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线【分析】根据抛物线方程得出其准线方程，再结合点到准线及对称轴的距离列出关于的方程，进而求解． 【详解】设点的坐标为，已知点到对称轴的距离为，因为抛物线的对称轴为轴，所以，则． 因为点在抛物线上，所以， 把代入可得，则． 抛物线的准线方程为， 已知点到准线的距离为，所以．把代入可得． 去分母，得到．解得或．故选：B． 【变式2-4】(多选)(24-25高二上·四川达州·阶段练习)若方程所表示的曲线为，则(    ) A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 【答案】AB【难度】0.94【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，当，即时，曲线，表示圆，故A正确； 对于B，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故B正确； 对于C，由A知，当时，曲线为圆，故C错误； 对于D，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，其焦距为，故D错误. 故选：AB. 【变式2-5】(24-25高三上·湖南·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且垂直于轴，垂足为，则满足下列条件的动点的轨迹为椭圆的是(   ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】求平面两点间的距离、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义，利用两点距离公式，逐项整理等式，可得答案. 【详解】对于A，，由椭圆定义可知动点的轨迹为椭圆，故A正确； 对于B，设，则 ， ∴，∴动点的轨迹为椭圆，故B正确； 对于C，设， 则，∴， 即，这样的点的轨迹不存在，故C错误； 对于D，设， 则，∴， 即，动点的轨迹为椭圆，故D正确．故选：ABD. 【变式2-6】已知点分别为双曲线的左､右焦点，若双曲线上一点满足，，则 ，双曲线的标准方程为 . 【答案】；【难度】0.65 【来源】甘肃省白银市靖远县第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷(一) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由题意可得，即有；由双曲线定义可得，结合余弦定理即可解得，又即可得. 【详解】因为，，所以， 即，则，所以；则， 设，所以， 由余弦定理知，解得， 因为，所以，即双曲线的方程为.故答案为：；. 题型03 圆锥曲线的焦半径、焦点弦 【典例3-1】(2025高三·全国·专题练习)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于原点对称的两点，若，则直线截的弦长为(   ) A． B． C．3 D．4 【答案】A【难度】0.85【知识点】求椭圆中的弦长【分析】根据题意，设直线交于点，不妨设在第一象限，则，，求得直线方程与椭圆联立得，根据韦达定理解得，最后根据弦长公式计算弦长． 【详解】易知，设直线交于点， 因为，为上关于原点对称的两点，且，令，得， 如图，不妨设在第一象限，则，，则， 所以直线：，联立，得，则，解得， 所以根据弦长公式可得．故选：A. 【典例3-2】(2025高二·全国·专题练习)已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】D【难度】0.85【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】首先得，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦长公式列方程即可求解. 【详解】因为直线经过点，则，由得， 则，故，所以．故选：D． 【典例3-3】(24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末)过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】双曲线中的通径问题 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，则， 所以，双曲线的右焦点坐标为， 由题意可知，直线的方程为，联立，解得， 可取、，故.故选：B. 【典例3-4】(2025高三·全国·专题练习)抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】椭圆的焦半径与焦点弦问题 【分析】当直线的斜率为0时，直接求出，当直线的斜率不为0时，故可设直线的方程为，设，，利用焦半径公式结合韦达定理可得结论. 【详解】由题意可知，且当直线的斜率为0时，， ，则； 当直线的斜率不为0时，故可设直线的方程为， 由消去，整理得， 设，，所以，， 由得， ， ，， ， 即，．故选：B． 【变式3-1】(2025·河南·模拟预测)若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为(    ) A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B【难度】0.94【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先利用双曲线的标准方程确定焦点坐标，再利用双曲线的定义求解即可． 【详解】由题意可知，，则， 则双曲线的左、右焦点分别为， 因或，且，故．故选：B 【变式3-2】(24-25高二上·云南临沧·阶段练习)当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为(    ) A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 【答案】A【难度】0.85【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线【分析】根据的变化规律得出对应的余弦值的大小，再由圆、椭圆、双曲线等标准方程对应即可得出结论. 【详解】①当时，，曲线，表示圆； ②当时，，曲线表示椭圆； ③当时，，曲线即，表示两条直线； ④当时，，曲线表示双曲线.故选：A. 【变式3-3】(24-25高二上·福建莆田·期中)已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用双曲线定义求方程【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，，则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为.故选：D 【变式3-4】(多选)(23-24高二上·四川广安·阶段练习)若方程所表示的曲线为，则(    ) A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若时，曲线上一点到焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为或 【答案】AC【难度】0.65【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据方程表示椭圆求参数的范围【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义及性质判断即可. 【详解】当，即时，方程为，表示圆心为原点，半径为的圆，故A正确，B错误； 对于C，若为焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 对于D，若时，方程为，表示焦点在轴上的双曲线， 则，，所以双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误.故选：AC. 【变式3-5】(24-25高二上·全国·课后作业)地震台是利用各种地震仪器进行地震观测的观测点，会先后接收到波、波、面波三种，有利于开展地震观测与地震科学研究.如图，两地震台相距100公里，在地发生轻微地震后，两地震台先后均接收到信息，时间差为10秒，已知波的传播速度约为6公里/秒，则震源的轨迹方程为 .    【答案】【难度】0.85【知识点】利用双曲线定义求方程【分析】建立平面直角坐标系，设震源坐标为，得到，结合双曲线的定义，即可求得其方程. 【详解】以所在直线为轴，中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 设震源坐标为，则， 因为，可得，所以点为双曲线的左支， 可设方程为，则，所以，可得， 所以震源的轨迹方程为.故答案为：. 【变式3-6】(2025高三·全国·专题练习)已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解、利用双曲线定义求方程【分析】根据圆的性质，结合平行关系，即可得，由双曲线的定义即可求解. 【详解】如图，根据题意，，因为，， 所以，所以，所以． 当位置互换时，， 当过的直线与轴重合时，无法作出， 所以点在以为焦点的双曲线上， 设该双曲线方程为，则，所以， 所以的轨迹方程为．故答案为： 题型04 圆锥曲线中的三角形 【典例4-1】(2025·湖北武汉·模拟预测)已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线(与轴不重合)交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的周长问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【详解】如图依题意，的周长为，解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以．故椭圆的标准方程为．故选：D. 【典例4-2】(2025·浙江嘉兴·一模)已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图：设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上，所以. 又，所以. 又在双曲线上，所以. 所以. 所以双曲线的离心率为：.故选：A 【典例4-3】(2025高三·全国·专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则(   ) A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得. 【详解】由于，则由双曲线定义知，所以． 如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则， 结合，所以，解得， 又为锐角，故，则. 在中，由余弦定理可知，则， 所以．故选：B 【典例4-4】(2025·湖北武汉·二模)已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则(    ) A．4 B．3 C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义及三角形面积公式列式求出 【详解】抛物线的焦点，设直线，点， 由消去得，则， ，即， ， ，则，因此， 所以.故选：A 【点睛】易错点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 【变式4-1】(25-26高二上·全国·单元测试)已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为(    ) A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】D【难度】0.85【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距、已知点到直线距离求参数【分析】由题意得直线为，由点线距离、椭圆焦点三角形周长列方程，结合椭圆参数关系求参数值，即可得. 【详解】由题意，，，则直线的方程为，即，    所以点到直线的距离①． 由的周长为16，得，即②． 联立①②，解得③；因为，所以④． 联立②④，解得，，所以．故选：D 【变式4-2】(24-25高二下·山西·期中)已知双曲线C：，其左、右焦点分别为，，过点的直线交C的左右两支分别于A，B两点，且，，则C的实轴长为(   ) A．1 B．6 C．2 D．4 【答案】D【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义列式求出，进而求出实轴长. 【详解】设，则， 因此，解得， 所以C的实轴长.故选：D 【变式4-3】(25-26高二上·全国·课后作业)已知抛物线交双曲线的渐近线于两点(异于坐标原点)且在点上方，双曲线的离心率为，的面积为64，则抛物线的焦点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】确定渐近线方程，得到交点对称，进而表示出三角形面积，即可求. 【详解】由双曲线的离心率为，则， 即双曲线是等轴双曲线，则渐近线方程为． 由抛物线、双曲线都关于轴对称且，可设，， 故，故， 所以，所以，故，即抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点坐标为．故选：B. 15．(25-26高二上·全国·课后作业)已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为(    ) A．5 B． C．8 D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设与轴的交点为，易知轴．设点，，由菱形的性质得到，即可得到. 【详解】设与轴的交点为，易知轴． 设点，．如图，由于四边形为菱形，，所以，所以．不妨设，则，解得． 在中，，所以菱形的周长为．故选：D 【变式4-4】(24-25高三下·青海海东·阶段练习)已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若的内切圆的半径为，则的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】椭圆定义及辨析、三角形面积公式及其应用 【分析】由椭圆定义可得，利用三角形面积公式即可求. 【详解】由可知，因为，为椭圆左、右焦点，且，两点在椭圆上， 所以，， 两式相加得，即， 又因为的内切圆的半径为， 所以.故选：A 【变式4-5】(2025·广西·模拟预测)已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是(    ) A．椭圆的方程为 B．三角形的面积的最大值为 C．三角形的周长为8 D． 【答案】AC【难度】0.65【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形(四边形)的面积、椭圆中的定值问题 【分析】根据条件求出，可确定椭圆方程，判断A的真假；结合椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积，可判断B的真假；利用椭圆的定义，可判断C的真假；利用特殊情况，可判断D的真假. 【详解】如图：    对于选项A，由于，可得椭圆的方程为，所以A正确； 对于选项B，，所以B错误； 对于选项C，的周长，所以C正确； 对于选项D，当直线方程为时，由通径的概念可得， 所以，所以不能恒成立，故D错误.故选：AC 【变式4-6】(2025高三·全国·专题练习)已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为 . 【答案】28【难度】0.15【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】先求出，由可得，， 进而得到直线的方程为，，可求得，再建立方程可求得，可得，进而结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，，则，所以直线的方程为， 联立，解得或，即， 则，，由，则，则， 则，即，则，整理得，即， 又，则，即，则，， 则直线的方程为，而椭圆， 联立，解得或，即， 则，解得，则， 所以的周长为. 故答案为：. 题型05 椭圆、双曲线的离心率 【典例5-1】(2025·江西宜春·一模)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出焦距及长轴长，再求出离心率. 【详解】依题意，椭圆的焦距，长轴长， 所以该椭圆的离心率.故选：A 【典例5-2】(25-26高三上·海南海口·开学考试)已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先得到双曲线的渐近线方程，根据斜率之积等于得到的关系，再根据的关系和离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 因为两条渐近线互相垂直，所以. 所以双曲线的离心率为：.故选：A 【典例5-3】(2025高三·全国·专题练习)如图，椭圆中心在原点，是焦点，为顶点，准线交轴于点，点，在椭圆上，且于，则椭圆的离心率是①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是(    ) A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D【难度】0.85【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的第二定义即可判断①，由，代入化简即可判断②， 由代入化简即可判断③，由代入化简即可判断④， 由离心率的定义即可判断⑤. 【详解】由题意有，根据椭圆的第二定义有，故①正确， 又，所以，故②正确， 又，所以，故③正确， 由，所以，故④正确， 由，所以，故⑤正确，故选：D. 【典例5-4】(25-26高三上·河北衡水·开学考试)过双曲线的顶点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线与轴交于点，若线段的长度等于双曲线的焦距的一半，则双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D．2 【答案】B【难度】0.65【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】设点在轴的正半轴上，由已知可得点，根据直线与渐近线垂直可得，即可求解双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为，为坐标原点， 不妨设点在轴的正半轴上，，有， 可得点，直线的斜率为， 又由直线与渐近线垂直，有， 可得，可得双曲线的离心率为.故选：B. 【变式5-1】(2025·广东梅州·一模)已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】利用过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，求出圆的标准方程，再利用点A在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过A，B，F三点的圆的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得．故选：B． 【变式5-2】(2025高二·全国·专题练习)已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C【难度】0.85【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】分点在渐近线和两种情况，求出点坐标，根据得到方程，求出的值，进而得到离心率. 【详解】当点在渐近线上时，联立，可得，解得，则， 故，从而，即， 解得，负值舍去，故． 当点在渐近线上时，同理可得，故， 从而，即，解得，负值舍去，即． 所以或．故选：C． 【变式5-3】(24-25高二下·广西·阶段练习)已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解. 【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,，得为等边三角形，则， 所以C的离心率为.故选：B 【变式5-4】(25-26高三上·天津·开学考试)已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由点到线的距离公式可得，由勾股定理可得，从而得，在中，由余弦定理可得 ，则有，即可得，最后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题意得，，双曲线的渐近线方程为， 如图，不妨设点在直线上，即点在直线上，则， 在直角中，，所以，故， 在中，， 所以，所以，故双曲线的离心率. 故选：C. 【变式5-5】(多选)(2025·四川自贡·二模)设为坐标原点，椭圆：的左右焦点分别为，，点为定点，而点在椭圆上，且位于第一象限，若，则(   ) A． B． C．当的面积为时，的方程为 D．当轴时，的离心率 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形(四边形)的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】对A，根据题意，可求得得解；对B，根据题意可得点在以点为圆心，为半径的圆上，求得，得解；对C，由椭圆焦点三角形面积公式求得，进而求出得解；对D，根据题意可得，结合椭圆焦点三角形面积公式求得，进而得解. 【详解】对于A，由，则，又， 所以，即，，故A正确； 对于B，由对称性可得，所以点在以点为圆心，为半径的圆上， ，故B错误； 对于C，因为，由椭圆焦点三角形面积公式得， ，解得，则，所以椭圆方程为，故C正确； 对于D，当轴时，可得，由椭圆焦点三角形面积公式得， 即，解得，，则，解得， 故D正确.故选：ACD.    【变式5-6】(2025·四川成都·模拟预测)已知为双曲线(，)上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为 【答案】【难度】0.4【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设点，由双曲线的渐近线斜率为，求出点与渐近线平行的直线方程，解得点坐标，进而得，利用恒成立即可求解. 【详解】设点，双曲线的渐近线斜率为， 过点与一条渐近线平行的直线方程为， 令得，令得， 同理过点与另一条渐近线平行的直线方程为， 令得，令得， 所以， 所以， ， 由恒成立， 所以恒成立，所以，即，所以， 所以双曲线离心率的取值范围为.故答案为：. 题型06 双曲线的渐近线 【典例6-1】(2025·甘肃天水·模拟预测)双曲线的渐近线方程的斜率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】已知方程求双曲线的渐近线【分析】根据双曲线性质直接得解. 【详解】双曲线的焦点位于轴，且，， 所以其渐近线方程为，故斜率为，故选：B. 【典例6-2】(25-26高三上·湖南·开学考试)若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数)，则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、圆锥曲线新定义【分析】由3型双曲线定义可知双曲线的方程为，且，求得，即可求出渐近线方程. 【详解】由新概念可知，的3型双曲线的方程为，且， 所以，即，则， 所以的3型双曲线的渐近线为.故选：D. 【典例6-3】(多选)(24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习)已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是(    ) A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】AB【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】直接求出两曲线的渐近线方程即可判断A，求出，再根据双曲线的定义求出，，即可判断B，设，利用勾股定理求出，再由面积公式计算即可判断C，根据渐近线的斜率判断D. 【详解】对于A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ，，，故的周长为，B正确； 对于C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或(舍去)， 所以的面积为，故C错误； 对于D：若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D错误，故选：AB． 【典例6-4】(2025·甘肃白银·三模)已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到该渐近线的距离为，过点作倾斜角为的直线，与双曲线交于，两点，记为坐标原点，则的余弦值为 . 【答案】【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求直线与双曲线的交点坐标、向量夹角的坐标表示 【分析】根据题意求解双曲线与直线方程，联立方程求出，两点坐标，用向量法求解的余弦值. 【详解】由题知，，解得，所以双曲线，所以， 所以过点作倾斜角为的直线方程为， 联立方程组，消去并整理得， 解得，，所以，， 所以直线与双曲线交点的坐标为，， 所以，， 所以.故答案为：. 【变式6-1】(25-26高三上·江苏南通·开学考试)已知双曲线：(，)的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即，故选：A. 【变式6-2】(24-25高二下·河北秦皇岛·期中)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的焦距 【分析】根据渐近线的倾斜角可得，即可由焦距以及的关系列方程求解. 【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故， 又和，解得，故双曲线方程为，故选：A 【变式6-3】(25-26高三上·安徽·开学考试)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】连接，由题意可得，由余弦定理化简得，求得即可. 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或(舍去)，故的渐近线方程为．故选：A. 【变式6-4】(24-25高二上·贵州黔南·阶段练习)已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求点到直线的距离 【分析】由题意，根据双曲线的定义和内切圆的性质可得，设，则内切圆的圆心为，利用点到直线的距离公式建立关于的方程，解得，结合渐近线的概念即可求解. 【详解】因为左焦点，，所以直线过点， 由双曲线的定义知，设内切圆与各边的切点为， 则，，，所以，设， 则，解得. 又内切圆的半径为，所以内切圆的圆心为， 因为直线过点，设圆心到直线的距离为，则，解得， 又，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A 【变式6-5】(多选)(2025·甘肃平凉·模拟预测)已知双曲线，直线l与双曲线右支交于点B，C(B在x轴上方，C在x轴下方)，与双曲线渐近线交于点A，D(A在x轴上方)，O为坐标原点，则(   ) A．直线l的倾斜角范围为 B． C．面积的最小值为1 D．若，则的面积为 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、三角形面积公式及其应用、直线的倾斜角、根据韦达定理求参数 【分析】当直线l斜率不存在时，符合题意，当直线l斜率存在时，设l：，代入， 由即可得出直线倾斜角的范围判断A；设，，由，得出和的中点重合，判断B；，结合A选项中判断C； 由得，进而得出，判断D． 【详解】对于A，当直线l斜率不存在时，符合题意； 当直线l斜率存在时，设l：，代入，得，① 显然，，即， 设，，则，是方程①的两个根，有，， 由得或，所以直线倾斜角的范围为，故A正确； 对于B，设，，由得；由得； 所以，即和的中点重合，则恒成立，故B正确； 对于C，， 由A知，，则，故C错误； 对于D，若，则， 所以，即， 所以，故D正确；故选：ABD． 【变式6-6】(2025·黑龙江哈尔滨·一模)已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程【分析】设的方程为，联立渐近线方程求出纵坐标，根据中点坐标公式结合列方程组求解可得. 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为， 双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即，整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即， 因为，所以，所以， 又，所以，即，所以渐近线方程为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于中点坐标公式和垂直直线的斜率关系列方程，化简得到齐次式即可得解. 题型07 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例7-1】(23-24高二上·重庆·期末)已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据韦达定理求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率.故选：A 【典例7-2】(2025·湖北黄冈·模拟预测)已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为(    ) A．1 B． C．2 D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】椭圆中三角形(四边形)的面积、根据韦达定理求参数、求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的最值问题 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后分情况讨论直线的斜率情况.设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出和，进而得到四边形的面积表达式，再通过函数求最值的方法求出面积的最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，所以右焦点. 当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，，. 联立，消去可得： 即 由韦达定理可得，.根据弦长公式，可得： 因为，所以直线的斜率为，同理可得. 则四边形的面积 根据基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立. 所以. 当直线的斜率为时， 此时，，则四边形的面积. 当直线的斜率不存在时， 此时，，则四边形的面积. 综上所得，则四边形的面积最小值为故选：B. 【典例7-3】(2025·江西·三模)已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】利用点差法结合直线平行求解即可. 【详解】如图所示，设直线与双曲线的另一个交点为C， 设，，由图形的对称性知． 由A，B两点在双曲线上知，，作差得到， 其中，故直线的斜率，此时直线的方程为， 与双曲线的方程联立得，化简得，即或， 那么或． 又直线AB的斜率为，所以或，解得，故选:D． 【典例7-4】(24-25高二上·安徽·期末)已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题【分析】设，，由抛物线焦半径公式可得：， 再由，结合基本不等式即可求解； 【详解】根据题意，圆，可得， 所以该圆的圆心为，所以，， 所以， 设点，，易知斜率不为0， 设方程为：，联立抛物线方程消去可得：， 所以，又，两式相乘可得：， 所以， 因，当且仅当时等号成立． 即时，取得最小值.故选：B 【典例7-5】(24-25高二上·天津滨海新·期中)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为(    ) ①椭圆的离心率为;②到的左焦点的距离的最小值为;③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【难度】0.4【知识点】求椭圆中的最值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形(四边形)的面积、椭圆中的定值问题 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④. 【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上， 即有，则，椭圆的离心率，①正确； 对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径，即有， 显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为， 因此面积的最大值为，③正确； 对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有， 则，而，因此， 即，所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确； 对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有， 于是得，又由①知，，得， 所以，④正确，所以说法正确的有①②③④.故选：D. 【点睛】解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用，及点差法得出斜率积等的应用. 【变式7-1】(24-25高二上·全国·课后作业)已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】设出直线方程，联立曲线方程后借助焦点弦公式计算即可得. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得，所以直线l的斜率为.故选：B. 【变式7-2】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有(    )条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C【难度】0.65【知识点】求双曲线中的弦长【分析】易知当直线轴时，满足题意的不存在；当不垂直轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可. 【详解】由题意知，，则. 若直线轴时，，代入方程， 解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得，则， 所以， 又，所以，整理得， 得或，解得(舍去)或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条.故选：C 【变式7-3】(2025·河南新乡·三模)已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D【难度】0.4【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、椭圆定义及辨析、椭圆中的定值问题【分析】由条件可得为正三角形，继而得出直线为线段的垂直平分线，写出直线的方程为并与椭圆方程联立，得到韦达定理，由利用弦长公式推出，结合图形将化简转化，利用椭圆的定义即可求得. 【详解】如图，连接因为，即，， 因，则为正三角形. 又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且， 故直线的方程为，代入椭圆的方程，得. 设，则，， 则， 解得，则， .故选：D. 【变式7-4】(多选)(2025·江苏泰州·模拟预测)在平面直角坐标系中，点A，B在椭圆C：上，点A和点B处的椭圆C的切线相交于点P，延长分别交圆O：于C，D，．设直线OP，AB的斜率分别为．O，P到直线的距离分别为，则下列结论正确的有(   ) A．点P在圆O上 B． C． D． 【答案】AD【难度】0.4【知识点】求椭圆的切线方程、求点到直线的距离、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围【分析】本题需综合运用椭圆切线方程、向量垂直条件、点到直线距离公式及斜率关系等知识,解题步骤分为验证点P在圆上、计算距离乘积、分析斜率乘积及判断直线平行性. 【详解】对于A,由椭圆的蒙日圆性质，对于椭圆， 从椭圆上任意两点引出的切线互相垂直时，两切线交点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆， 在椭圆C：中，，又，即， 所以蒙日圆方程为，即圆O：,所以点P在圆O上，所以A选项正确. 对于B,设，直线的方程为，用点到直线距离公式计算： ，将代入化简：   .   所以B选项错误. 对于C,设,直线的斜率，直线的方程为， 所以直线的斜率为，则，所以C选项错误. 对于D,如图：设与交于点，由， 由圆的内接四边形对角互补可知：四点共圆, 又，所以点为圆心，根据圆的性质，， 又因为是圆O的半径，所以(垂径定理相关推论)， 由，且，所以，故选项D正确.故选:AD. 【变式7-5】(多选)(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是( ) A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】AB【难度】0.65【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、数量积的坐标表示、双曲线中向量点乘问题【分析】由双曲线方程可得焦点坐标，设点在第一象限，，可得，利用向量数量积的坐标运算表示，由双曲线的性质可得的取值范围，进而可知的最大值，即可求解. 【详解】双曲线中，，实轴长， 不妨设点在第一象限，，则， 所以，，则， 又点在双曲线上，所以，即， 则，由，可知，即， 则的最大值为16，所以的取值可以是，.故选：. 【变式7-6】(多选)(23-24高二上·浙江舟山·期末)椭圆，直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，下列说法正确的是(    ) A．的取值范围为 B．以为直径的圆与相离 C．若，则的斜率为 D．若弦的中垂线与长轴交于点，则为定值 【答案】BCD【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数、椭圆中的定值问题、判断直线与圆的位置关系 【分析】对于A，弦长公式求出表达式进一步即可判断；对于B，只需判断点到直线的距离与的大小关系即可判断；对于C，结合韦达定理即可得解；对于D，先得点坐标，进一步即可判断. 【详解】由题意， 对于A，直线斜率不存在时，将代入，得，此时， 直线斜率存在时，设， 联立椭圆方程，化简整理得， 显然，， 所以， 因为，所以，所以，故A错误； 对于B，直线斜率不存在时，以为直径的圆与相离，满足题意； 直线斜率存在时，设中点为，则，即， 点到直线的距离满足，故B正确； 对于C，直线斜率不存在时，显然不满足题意， 直线斜率存在时，若，则，又， 所以，解得，所以的斜率为，故C正确； 对于D，直线斜率不存在时，显然不满足题意，当时，点与原点重合，， 直线斜率存在且不为0时，弦的中垂线方程为， 令，得，所以，即为定值，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：C选项的关键是转换为向量共线结合韦达定理，其他选项关键是充分利用韦达定理以及弦长，由此即可顺利得解. 【变式7-7】(2025·湖南长沙·模拟预测)已知动圆过点且与直线：相切，直线与y轴交于K，点P为动圆圆心的轨迹E上任意一点，的角平分线与y轴交点为，则m最大值为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】抛物线中的参数范围问题、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】由抛物线的定义以及题意写出抛物线方程，整理函数解析式，根据三角函数的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，由题意可得，动圆圆心的轨迹E为抛物线，焦点，准线方程为， 过点P作垂直于准线，H为垂足，如图所示：因为抛物线关于y轴对称，不妨设点P的横坐标， 由抛物线的定义可得，设， 由，求导可得，设切点，切线斜率为， 则切线方程为，代入，可得，解得， 所以当直线与相切时，其倾斜角等于，因此，且. 由角平分线定理可得，即，则 因为函数在单调递减， 因此当时，，故最大值为.故答案为：. 题型08 范围与最值问题 【典例8-1】(24-25高二上·重庆·期末)已知椭圆的左右焦点分别为、，过作直线交椭圆于、两点，其中点在轴下方，内切圆交边于点，则线段的长度取值范围为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】求椭圆中的最值问题、求椭圆中的弦长【分析】根据内切圆的有关性质知，，结合椭圆的定义可推出，注意到点在下方，所以，. 【详解】因为的内切圆交边于点，所以, 又因为在椭圆中，, 所以， 而，(等号取不到)因此.故答案为：. 【典例8-2】(2025高三·全国·专题练习)点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】抛物线中的参数范围问题、基本不等式求和的最小值、求抛物线的切线方程【分析】先利用几何条件转化，得，求出的范围，结合基本不等式可得答案. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得，由，在中由正弦定理可知，所以，所以， 设的倾斜角为，则， 当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切， 设直线的方程为，则联立可得 即，所以，所以，即，则. 可得，即，所以，当时取等. 当时，；当时，； 由对勾函数的性质可得则.故选：B. 【典例8-3】如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为(    )    A．40 B．50 C．55 D．60 【答案】A【难度】0.65【来源】第六单元 双曲线B卷【知识点】求双曲线中的最值问题 【分析】由已知可得，将点代入双曲线方程得，进而可求，直线的方程为.令，得， .连接，.由可得，所以.又因为点为双曲线左支上一点，且，可知当时，取得最小值，即可求解的最大值. 【详解】由已知可得，将点代入双曲线方程得，解得， 所以，所以，直线的方程为. 令，解得，所以，所以，所以. 连接，.因为，所以， 所以. (另解  也可用极化恒等式来化简，). 又因为点为双曲线左支上一点，且，所以当时，取得最小值，所以的最大值为40.故选：A. 【典例9-4】(多选)下列说法正确的有(     ) A．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是 B．设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为 C．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为 D．过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为 【答案】BCD【难度】0.4 【来源】福建省连城县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中的最值问题、椭圆中三角形(四边形)的面积 【分析】对于A，连接，根据椭圆和直线的对称性可得四边形为平行四边形，由余弦定理结合离心率求解判断即可；对于B，利用余弦定理及三角形面积公式可得，再利用等面积法求解判断即可；对于C，结合焦点到渐近线的距离为及离心率为2可得双曲线的方程为，进而结合内心的性质及直角三角形中内切的定义求解判断即可； 对于D，由正弦定理可得，进而结合椭圆定义及离心率求解判断即可. 【详解】对于A，设为椭圆的另一焦点，如图，连接， 根据椭圆和直线的对称性，可得四边形为平行四边形，又因为，所以. 在中，， 所以，当且仅当时，等号成立， 即，又因为，所以， 又因为，故，故A错误； 对于B，由，得，，， 则，，， 由余弦定理得，， 则， 则，即， 所以， 设P点的纵坐标为，则，则，即，故B正确； 对于C，在中，其中一条渐近线方程为，即， 由题意，焦点到渐近线的距离为，则，即， 又，解得：，则，所以双曲线的方程为. 记的内切圆在边，，上的切点分别为， 则，横坐标相等，，， 由，即， 得，即， 记的横坐标为，则，于是，得， 同理内心的横坐标也为，故轴. 设直线的倾斜角为，则，(Q为坐标原点)， 在中，， 由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为， 所以，即，所以的范围是，故C正确； 对于D，在中， 所以， 所以该椭圆的离心率，故D正确. 故选：BCD. 【变式8-1】(24-25高二上·广东湛江·期末)类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为(   ) A．1 B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、根据椭圆的有界性求范围或最值、辅助角公式 【分析】设，结合辅助角公式运算求解即可. 【详解】设曲线上的点为，且， 可得，其中， 所以曲线上的点到原点的距离平方最大值为.故选：D. 【变式8-2】点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A【难度】0.65【来源】广东省珠海市第二中学2024-2025学年高三下学期考前冲刺数学试题 【知识点】求双曲线中的最值问题、双曲线定义的理解 【分析】利用双曲线定义将转化为，可知当，，三点共线时，最小，又点的轨迹方程为圆心在，半径为2的圆，再利用两边之和大于第三边即可求得结果. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点， 可得，所以， 当，，三点共线时，最小， 因为直线和相互垂直，且和分别过定点和， 所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2， 所以， 当三点共线且在和之间时最小，所以的最小值为6，故选：A 【变式9-3】(2025·陕西咸阳·三模)已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为(   ) A． B． C． D．3 【答案】B【难度】0.65【知识点】切线长、抛物线的范围【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【详解】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以， 又在单调递增，所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为.故选：B. 【变式8-4】(多选)已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是(    ) A．的最小值是 B．点F到C的一条渐近线的距离为2 C．若直线与双曲线C有交点，则 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为 【答案】BD【难度】0.65【来源】广东省珠海市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试数学试题【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的最值问题【分析】由双曲线，求得，根据选项，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 对于A中，设点的坐标为， 其中，则， 所以， 根据二次函数的性质得，当时，，所以A不正确； 对于B中，由双曲线的其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到的距离为，所以B正确； 对于C中，由由双曲线的近线方程为， 要使得直线与双曲线C有交点，则，所以C不正确； 对于D中，设点的坐标为，则，可得， 又由，则，所以D正确.故选：BD. 【变式8-5】(多选)(24-25高二上·浙江·期中)已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】椭圆中x、y的取值范围、根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆的定义，，将转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C，利用焦半径的最值，即可判断D. 【详解】，，，，，设，，则，， A．，范围是，故A正确； B．设，则，故B错误； C．设为原点，则；故C正确； D．和的最大值为，最小值为 ，所以的最大值为，最小值为，，故D正确.故选：ACD 【变式8-6】已知椭圆，为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是 . 【答案】5【难度】0.15【来源】山西省太原市第五中学2024届高三下学期一模数学试题 【知识点】求双曲线的轨迹方程、求椭圆的切线方程、求双曲线中的最值问题、求椭圆中的最值问题 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，证明椭圆在处的切线方程为，从而得到椭圆在点和的切线方程，得到切点弦方程为，对照系数结合得到的轨迹方程，计算出，，求出，得到点轨迹的渐近线，先得到，设，则，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，即得结果. 【详解】因为，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0，所以直线斜率一定存在， 设直线的方程为，联立方程，消去y可得，则， 设，，则，， 可得， 且，，由，可得，即，解得， 下面证明椭圆在处的切线方程为， 理由如下：当时，故切线的斜率存在，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得：， 所以， 把代入，得：，于是， 则椭圆的切线斜率为，切线方程为，整理得到， 其中，故，即， 当时，此时或， 当时，切线方程为，满足， 当时，切线方程为，满足， 综上：椭圆在处的切线方程为； 可知：椭圆在点的切线方程为，椭圆在点的切线方程为， 由于点为与的交点， 故，，所以直线为， 因为直线的方程为，对照系数可得，， 又，故，整理得， 又在第一象限，故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分， ，同理可得，则， 又由于，，，故， 设，则，则两式联立得， 由得，， 检验，当时，，又，解得，满足要求. 故的最小值为4；故的最小值是5；故答案为：5. 【点睛】结论点睛：过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：； 过椭圆上一点的切线方程为； 过椭圆外一点的切点弦方程为； 过双曲线上一点的切线方程为； 过双曲线外一点的切点弦方程为. 题型09 定点、定值问题 【典例9-1】(24-25高二上·山东泰安·期末)已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题 【分析】根据对称点得出斜率积为定值，结合最小值得出，从而可得离心率. 【详解】设椭圆方程为，其中， 已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点， 且直线，的斜率分别为， 设，，，则，， 又，，则， 又，当且仅当时取等号， 又的最小值为，则，则，即，即．故选：A． 【典例9-2】(24-25高三上·广东·阶段练习)已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的定值问题 【分析】根据设出，与双曲线渐近线方程联立分别求出，， 易得四边形是平行四边形，则得，再结合，从而可求解. 【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为， 联立解得， 不妨取，同理可得， 则， 因为四边形是平行四边形， 于是， 由于点在上，所以，因此，故C正确.故选：C． 【典例9-3】(2024·浙江·模拟预测）设点，，是抛物线上3个不同的点，且，若抛物线上存在点，使得线段总被直线平分，则点的横坐标是(    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【难度】0.4【知识点】抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】说明直线过定点,并求出关于点的对称点代入抛物线即可求解. 【详解】设，，，则, 同理，故直线方程为：， 整理得,① 由得整理得,② 由①②两式得，即直线过点, 关于点的对称点即为点在抛物线上， 代入得，解得.故选:A. 【典例9-4】(多选)(24-25高二下·福建福州·期中)已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点(不在轴上)，下列选项正确的是() A．的周长为 B．存在点使得 C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中的定值问题 【分析】根据椭圆的定义判断A；首先求出，根据椭圆的几何性质可知当在椭圆的短轴顶点时取得最大值，即可判断B；设，求出即可判断C；利用基本不等式判断D． 【详解】椭圆，则，则， 对于A：因为，所以的周长为，故A正确； 对于B：当在椭圆的短轴顶点时取得最大值， 不妨取，此时， 所以为钝角，所以存在点使得，B正确； 对于C：因为，设， 则，故C错误； 对于D：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确；故选：ABD 【变式9-1】(24-25高三下·浙江·开学考试)已知为椭圆上一点(非顶点)，为椭圆的左右顶点，令(其中均不为).的面积为，则下列表达式不可能为定值的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】三角恒等变换的化简问题、椭圆中的定值问题 【分析】设，则，利用斜率公式判断A，根据两角和的正切公式判断B，利用两角和差的余弦公式判断C，推出矛盾，说明D. 【详解】设，则，所以为定值，故A正确. 由对称性，不妨设，则， 又 ， 所以为定值，故B正确. 为定值，故C正确. ， 如果为定值，则也是定值，则、均为定值，不可能，故D错误.故选：D 【变式9-2】(2024·河北邯郸·模拟预测)已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题 【分析】，再求得，进而可得即可求离心率. 【详解】设，则，所以， 又，所以， 又点在上，所以，所以， 即，由，故选:D． 【变式9-3】(23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线过点交抛物线于两相异点，点关于轴的对称点为，过原点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为(    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】轨迹问题——圆、抛物线中的直线过定点问题 【分析】求得直线恒过的定点，结合圆的定义，即可容易求得结果. 【详解】设抛物线上两点坐标为， 若直线斜率存在，则， 则直线方程为：，， 又，故方程为：； 若直线斜率不存在，则，此时直线方程为：， 显然也可表示这种情况； 综上所述：抛物线上两点，若坐标分别为， 则直线方程可表示为：；又过点，故； 又为，同理可得直线方程为：， 也即，其恒过定点，记该点为； 根据题意可得，，故点在以为直径的圆上，且不与重合； 容易得该圆圆心为，半径，故点的轨迹方程为：.故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够求得直线恒过的定点，本题采用表达直线方程，可简化运算；属综合困难题. 【变式9-4】(多选)(23-24高二上·湖南岳阳·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点是双曲线上的点(异于、)，则下列结论正确的是(    ) A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为 C．若，则的面积为 D．点到、两点的连线斜率乘积为 【答案】BC【难度】0.85【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的定值问题 【分析】求出、、的值，利用双曲线的离心率公式可判断A选项；求出该双曲线的渐近线方程，可判断B选项；利用双曲线的定义、勾股定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用斜率公式结合双曲线的方程可判断D选项. 【详解】在双曲线中，，，则， 对于A选项，该双曲线的离心率为，A错； 对于B选项，该双曲线的渐近线方程为，B对； 对于C选项，因为，则，由双曲线的定义可得， 所以，，可得， 故，C对； 对于D选项，设点，其中，且，可得， 易知点、，则，D错.故选：BC. 【变式9-5】(多选)(24-25高二下·安徽·期末）已知抛物线的焦点为是上一点，过点的直线与交于A,B两点，且，则(    ） A． B．直线AB的方程为 C．直线PA，PB的斜率之和为0 D． 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】A选项，根据焦点坐标得到，抛物线，将代入，求出；B选项，根据，求出直线AB的斜率，由点斜式求出直线AB的方程；C选项，联立与，得到两根之和，两根之积，表达出，代入两根之和，两根之积，求出斜率之和为0；D选项，表达出，结合C选项，代入求解即可. 【详解】A选项，，故，解得，抛物线， 为抛物线上一点，故抛物线，解得，A错误； B选项，由A知，，故，又，所以直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为，即，B正确； C选项，联立与得，，设， 则，其中，， 所以， 直线PA，PB的斜率之和为0，C正确； D选项，， ， 由C知，，，，故， 故，D正确.故选：BCD 【变式9-6】(24-25高一下·江西景德镇·期末)已知椭圆，直线与椭圆交于两点，为椭圆外一点，直分别交椭圆于两点，直线交于点，则直线的斜率是 . 【答案】【难度】0.4【知识点】斜率公式的应用、椭圆中的定值问题【分析】设出点的坐标，利用斜率坐标公式并表示出方程，再表示出直线的斜率即可得出结论. 【详解】设，则，， 令直线斜率分别， 则，同理， 设，由直线过点得， 由直线过点N得，两式相乘得， 同理得，两式相减得， 直线的斜率，所以直线的斜率为.故答案为： 题型10 中点弦问题 【典例10-1】(24-25高二上·黑龙江鸡西·期中)若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，，由，在双曲线上， 则，两式做差可得，即， 又弦被点平分，则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得，故选：D. 【典例10-2】(24-25高二下·陕西西安·期末)直线被抛物线截得的线段的中点坐标是(    )． A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】抛物线的中点弦 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是.故选：B. 【典例10-3】(24-25高二上·北京·阶段练习)设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、求弦中点所在的直线方程或斜率、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程. 【详解】将直线方程代入椭圆方程中，得到. 展开式子化简为. 根据韦达定理,所以，中点横坐标. 已知，把代入可得. 因为，即. 所以线段的中点所在的直线方程为.故选：C. 【典例10-4】(多选)(24-25高二上·新疆伊犁·期中)已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是(     ) A． B．椭圆的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】AC【难度】0.65【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由弦中点求弦方程或斜率【分析】根据椭圆方程和焦点坐标可求出判断A；求出离心率公式判断B；利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程判断C；由点与直线的关系判断D. 【详解】对于A，椭圆的焦点为，则，得，A正确； 对于B，椭圆长半轴长，则离心率为，B错误； 对于C，设，则，，两式相减得 ，即， 由为线段MN的中点，得，，则，直线的斜率， 的方程为，即，经检验符合题意，C正确； 对于D，直线过点，即点共线，D错误.故选：AC    【变式10-1】(24-25高三下·云南·阶段练习)已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则(   ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D【难度】0.85【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线的中点弦 【分析】利用设点法结合斜率可求中点纵坐标，从而得中点横坐标，故可根据焦半径公式求解. 【详解】解：设，，则，故， 所以，代入l得，则，故选：D． 【变式10-2】(24-25高二上·内蒙古包头·期中)已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】如图，由题意，点，，直线的斜率为，因，故， 设点，则，两式相减，可得：(*)， 因的中点为，则，且， 代入(*)，化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为.故选：B. 【变式10-3】(24-25高三下·黑龙江·阶段练习)已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】先利用“点差法”探索的关系，再根据双曲线离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】设，，则，①；，② 因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为， 由得：中点坐标为，所以，且. ①②可得，则， ；故选：D 【变式10-4】(2023·四川成都·模拟预测)已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离(F不在l上)的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l(斜率为正)交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、圆锥曲线的统一定义的应用、基本(均值)不等式的应用【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为， 因为，则，所以， 设，则， 所以，，即， 所以， 所以，当且仅当即时，等号成立，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后利用点差法得，根据基本不等式即得. 【变式10-5】(多选)(24-25高二上·浙江杭州·阶段练习)在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都为整数的点称为“整点”设点A是椭圆()的上顶点，若斜率不为0的直线与椭圆相交于、两点，使得，且点、的中点为“整点”，则满足条件的直线的条数可能为(  ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】AC【难度】0.4【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题【分析】设，的中点为，点差法得到，由垂直关系得到，求出直线的方程，将代入得，由于点在椭圆内，满足，得，在直线上，将纵坐标代入椭圆中，得到，是整点，因此，又，易知或，分两种情况，求出相应的横坐标，排除不合要求的直线，得到答案. 【详解】设，的中点为， 由题意得，两式相减得，即， ，其中，，得， 因为，由三线合一得⊥，由垂直关系可得，，得， 因此直线的点斜式方程为：， 直线经过点，因此，得， 由于点在椭圆内，满足，得，因此在直线上，中， 令得，故， 由题意是整点，因此，又，易知或，当时，，， 此时，即横坐标可为， 当横坐标为0时，由对称性可知，直线的斜率为0，不合要求，舍去，故有10条直线满足要求； 当时，，此时， 即横坐标可为， 当横坐标为0时，由对称性知，直线的斜率为0，不合要求，舍去， 有条直线满足要求， 综上，满足条件的直线的条数可能为6或10；故选：AC 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版----定比点差法，解法快捷. 【变式10-6】(23-24高二上·河北石家庄·期末)已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 . 【答案】【难度】0.4【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率【分析】利用点差法得到，根据题意和渐近线方程得到，故，从而求出离心率的取值范围. 【详解】设，则，两式相减得， 若，则的中点在轴上，不合要求，若，则的中点在轴上，不合要求， 所以，因为为的中点，所以，故， 因为的渐近线方程为， 要想直线与双曲线：交于A、B两点，则，即，解得， 所以离心率.故答案为： 【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷. 一、单选题 1.(23-24高二上·北京延庆·期末)到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是.故选：B. 2.(24-25高二上·河南驻马店·期末)若圆锥曲线：的焦距是6，则实数的值为(   ) A．40 B．13 C．40或 D．13或 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】分焦点在轴、焦点在轴讨论可得答案. 【详解】焦距，所以， 当焦点在轴上时，，，由得，所以； 当焦点在轴上时，，故不可能为椭圆，只能为双曲线，故， 由得，所以.故选：D. 3.（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】B【难度】0.65【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求点到直线的距离、求抛物线上一点到定直线的最值【分析】设动点直线的距离分别为，根据抛物线的定义得到，结合图象分析求解. 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3.故选：B. 4.(2025·湖南邵阳·二模)过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点．若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】设点、，分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，分析可知，代入韦达定理求出的值，并求出的值，利用弦长公式可求得的值. 【详解】抛物线的焦点为，设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， 因为，则， 所以，，可得，所以，，可得， ，解得， 所以，，，则， 抛物线的准线方程为，所以，点的横坐标为， 所以，.故选：C. 5.(2025·全国·模拟预测)已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据弦长求参数 【分析】设，，，联立与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程得，结合椭圆参数关系求离心率. 【详解】设，，，则直线， 联立方程，消去y得， 则可得，，， 则，整理得， 又，则，则.故选：B 6.(2025·甘肃白银·一模)已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【难度】0.65【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数【分析】先运用中位线定理，将转化得到两点到准线的距离和，再用抛物线的定义得到的值. 【详解】根据题意，过点分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 所以，所以，设，， 根据定义可得， 联立，可得，，则， ，解得.故选：B. 7.(24-25高二上·吉林·期末)已知点在以为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】由题意设，，由椭圆的定义和勾股定理计算可得，结合二次函数的图象与性质确定的单调性，进而，结合离心率的定义计算即可求解. 【详解】如下图所示：由题意可知，，设，则， 由椭圆定义可得， 在Rt中，由勾股定理可得， 即，即， 因为点在椭圆内，则， 又因为，所以， 令，是一条开口向上的抛物线，对称轴为，所以在上单调递增， 若方程在内有实根，则，得， 所以， 因为点在椭圆内，且，则，即， 所以，因此.故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据椭圆的定义和勾股定理推出()，利用二次函数的图象与性质求得，结合离心率的定义求解即可. 8.已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.15 【来源】安徽省宣城市宣城中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中的最值问题 【分析】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】如图，记双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知，四边形是平行四边形， 则，因为，则， 设，则，又， 所以，即，，则， 因为，所以， 在中，， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时由于，当且仅当时，等号成立， 注意当时，，不满足题意， 故，所以当时，有解， 且由得，满足题意，所以的最小值为．故选：B    【点睛】关键点睛：本题的关键是利用双曲线定义和余弦定理得到，最后利用基本不等式求出最值. 二、多选题 9.(25-26高二上·全国·课后作业)(多选)已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，则下列说法正确的是(    ) A．的周长为16 B．的周长为14 C．若，则 D．若，则的面积为7 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形(四边形)的面积 【分析】根据椭圆的性质对选项逐一判断计算即可. 【详解】椭圆中，，则，． 因为和都是焦点三角形，周长均为，所以A错误B正确； 由椭圆的定义知，所以，所以C正确； 在中，，所以是直角三角形，且． 直角三角形中，斜边的中线长等于斜边的一半， 方法一，由得  ①． 由勾股定理得，代入①得，故． 方法二，由焦点三角形面积公式可得．所以D正确；故选：BCD.    10.(24-25高二下·河北邯郸·期末)已知半圆()，半圆与半圆关于轴对称，焦点为的抛物线的一部分恰与这两个半圆围成一个封闭的图形，点，在的抛物线部分上，点在半圆或半圆上，则下列说法正确的是(    ) A．若在半圆上，则到直线的距离最大值为 B．若在半圆上，则的最小值为 C．若，则的面积的最大值为 D．若在半圆上，是的中点，则的最大值为. 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】数量积的运算律、求抛物线上一点到定点的最值、定点到圆上点的最值(范围)、求点到直线的距离【分析】利用点到直线距离判断A；利用抛物线定义将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求最值判断B；根据图形的对称性以及直线过定点设设直线()，利用圆心到直线距离确定到直线的距离，直曲联立得，构造函数利用导数判断函数的单调性求得最值判断C；利用点差法求出直线方程，直曲联立利用弦长公式求出，再利用极化恒等式即可判断D. 【详解】根据题意，因为半圆() 表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，又因为半圆与半圆关于轴对称， 可得半圆()，表示以为圆心，为半径的圆的上半部分. 对于选项A，直线的方程为，到直线的距离为， 所以到直线的距离最大值为，故选项A正确； 对于选项B，抛物线的准线为，过点作，垂足为， 则，则，故选项B正确； 对于选项C，根据对称性，不妨设直线()，显然离距离最远的点在上， 设到直线的距离为，则， 联立消去，整理得，，则，， 所以， 所以， 设，易得在上单调递增， 所以的最大值为，故选项C错误； 对于选项D，因为，，所以， 所以，所以直线的方程为， 联立消去，整理得，则，， 所以， ，故选项D正确.故选：ABD. 11.(24-25高二上·河北·期中)已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是(    ) A． B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为 C．若，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】BCD【难度】0.15【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形(四边形)的面积、椭圆定义及辨析、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】由椭圆和双曲线定义有，将两式平方相加后由余弦定理和向量的数量积计算可得A错误；由对称性得到四边形的顶点的坐标，再结合基本不等式求出面积可得B正确；由离心率的定义和边长关系得到，再结合对勾函数的单调性可得C正确；由角平分线的定理将问题转化为求的最小值，再由椭圆和双曲线的性质结合余弦定理得到，再用基本不等式的乘“1”法分析可得D正确； 【详解】对于A，设，由椭圆和双曲线定义有， 将两式平方得，相加整理得， 又在中，由余弦定理有， 则，即，则，故A选项错误； 对于B，椭圆和双曲线一个交点，由椭圆和双曲线的对称性可知， 另外三个点的坐标为，，以它们为顶点的四边形为矩形，面积， 又点在椭圆上，所以，则有， 当且仅当时等式成立，故B选项正确； 对于C，即，所以，则， 又，所以，即，又，所以， ，则． 令，则， 函数在上单调递减，所以，故C选项正确； 对于D，由为的角平分线，，易知为的外角平分线， 则由角平分线性质定理有即， 由外角平分线性质定理有，即， 求的最小值即求的最小值； 由可得， 代入即，整理可得，所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D选项正确；故选：BCD. 【点睛】本题D选项关键在于利用角平分定理将所求转换成求的最小值，再结合基本不等式的乘“1”法分析. 三、填空题 12.(24-25高二上·上海·阶段练习)在3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出:到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时， 轨迹为抛物线: 当时，轨迹为双曲线. 现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值范围是 【答案】【难度】0.85【知识点】双曲线定义的理解、圆锥曲线的统一定义的应用 【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，求出的取值范围． 【详解】因为方程表示的曲线是双曲线， 由，显然，即，则， 其中表示点到定点的距离， 表示点直线的距离，又点不在直线上， 则表示平面内一点到定点的距离与到直线的距离之比， 依题意可得，解得，即实数的取值范围是.故答案为： 13.(25-26高三上·山东聊城·开学考试)已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【答案】；【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求双曲线的焦点坐标、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，，所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以，两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即.故答案为：； 14.(2025年第四届典韦杯线上联考高考模拟数学试题)设为坐标原点，椭圆的左顶点和左焦点分别为、，、为上关于轴对称的两点(点在第二象限)且轴，，则的离心率为 ；已知、为上关于轴对称的两点，直线，交于点，若椭圆的长轴长为，则点的轨迹方程为 (结果含)． 【答案】；【难度】0.4【知识点】求平面轨迹方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】(1)根据点的横坐标代入椭圆方程中得出点的纵坐标，再利用即可求出，最后利用公式即可； (2)先证明，再结合得出，利用点斜式写出直线的方程，再采用交轨法求出点的轨迹方程，最后利用、为上关于轴对称的两点得出. 【详解】(1)如图：设椭圆的半焦距为，则由题意可知，点的横坐标为， 代入椭圆方程中得，则，因点在第二象限，则， 因，则，即，则离心率. (2)由(1)可知，因，则，，则 ，， 取关于轴的对称点，则，设，则且， 则， 又关于轴对称，关于轴对称，则，则， 又直线，直线， 两式相乘得，，即，即， 当点与椭圆的左(或右)顶点重合时， 直线也交于椭圆的左(或右)顶点，故(不重合)， (当点与点重合时，直线可视为椭圆在点处的切线，此时直线与直线平行，可理解为交与无穷远处)， 故点的轨迹方程为：；故答案为：； 四、解答题 15.(24-25高二下·四川成都·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上一点，的周长为6，离心率． (1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1)；(2)【难度】0.85【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】(1)由离心率及的周长求得，再根据即可求解； (2)分类讨论，当直线l为x轴时，与题意不符，当直线l不与x轴重合时，设，联立方程，由韦达定理，平面向量数量积的坐标运算公式即可求解． 【详解】(1)由已知可得，，，． (2)，当直线l为x轴时，与题意不符， ∴可设， 由，得，，， 又， ，∴直线l的方程为． 16.(24-25高二下·云南临沧·期末)抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求；(2)若点在椭圆上，且直线AB与椭圆相切，求椭圆的标准方程. 【答案】(1)；(2).【难度】0.65【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据椭圆过的点求标准方程、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】(1)由已知及抛物线定义得，即可求参数；(2)由(1)及已知得，应用点斜式写出直线，联立椭圆方程并结合及点在椭圆上求椭圆参数，即可求方程. 【详解】(1)由抛物线定义知，则； (2)由(1)知，则(负值舍)， 所以，可得， 联立，可得， 所以，整理得， 又，即，可得， 所以，则. 17.(24-25高二下·河南商丘·期末)已知双曲线. (1)若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程. (2)若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，.【难度】0.65 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】(1)利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可； (2)利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得； 【详解】(1)设，则，作差得， 又线段的中点坐标为，则，所以，可得， 所以，即；经检验成立 (2)假设存在定点，使得， 设，焦点，若时，， 所以，化简得， 又，则，整理得对恒成立， 所以，可得， 当，此时为等腰直角三角形，也成立，综上，. 18.(24-25高二下·福建福州·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为；(2)直线l的方程为；(3)点N不在定直线上 【难度】0.4【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中向量共线比例问题、椭圆中的定直线 【分析】(1)根据椭圆的性质确定a、c的值，即可求出椭圆方程.(2)设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，，结合韦达定理和共线向量坐标关系求解.(3)首先利用点差法求得直线的方程，然后分别取个不同的值，求解相应个点坐标，由向量不共线即可说明点N不在某条定直线上. 【详解】(1)根据椭圆的性质，椭圆，离心率(c为半焦距)， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为．由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得．所以椭圆C的标准方程为． (2)设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得：， 由韦达定理得，． 因为，所以，即，也就是． 将代入，可得，即，． 再代入，可得，解得， 所以直线l的方程为． (3)由(2)知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取，则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意，故， 结合椭圆对称性可知，设，，则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由(2)知，设，，不妨设，由，． 故当时，则，又由，可解得， 则，且， 此时交点；故当时，则，又由， 可解得，， 且，此时交点； 当时，，则，，，， 此时交点；，， 因为，所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 19.(23-24高二上·上海·期末)已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；(2)直线过点与双曲线交于、两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；(3)动直线：恒过，且与双曲线的交于、两点(异于)，点(常数)是轴上的一个定点，若恒有成立，求实数的值． 【答案】(1);(2);(3)1【难度】0.15【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由弦中点求弦方程或斜率、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】(1)根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解； (2)利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程；(3)由，即，设出，，联立直线与双曲线，根据韦达定理代入运算得解. 【详解】(1)由题意可得，，，则， 又，，，所以椭圆的标准方程为. (2)设，，点为中点，则，，又因为两点在双曲线上， 可得，两式相减得，化简整理得，即， 所以直线的方程为，即.经检验，满足题意 (3)由动直线恒过点，可得，即直线， 设，，联立直线与双曲线， ，消去整理得， 因为直线与双曲线Γ的交于M、N两点， 所以，， 则，， 由，得，即， 即，整理得， 即，当时，上式成立，当时，得， 所以当时，恒有成立. 【点睛】关键点睛：本题第三问，轴上定点恒有，关键转化为，联立直线与双曲线，根据韦达定理代入运算得解. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆锥曲线复习讲义 内容概览 1.教学目标、教学重难点 2.知识点01圆锥曲线的概念 3.知识点02圆锥曲线的标准方程 4.知识点03圆锥曲线的几何性质 题型01圆锥曲线的概念 题型02圆锥曲线的标准方程 5.知识点04椭圆与双曲线的离心率 题型03圆锥曲线的焦半径、焦点弦 题型04圆锥曲线中的三角形 第3章圆锥曲线复习 6.知识点05圆锥曲线的焦半径、焦点弦 题型05椭圆、双曲线的离心率 题型06双曲线的渐近线 题型07直线与圆锥曲线的位置关系 7.知识点06圆锥曲线中的三角形 题型08范围与最值问题 题型09定点、定值问题 题型10中点弦问题 8.知识点07圆锥曲线的中点弦 9.知识点08圆锥曲线的切线 10.知识点09双曲线的新近线 11.知识点10弦长公式 教学目标、教学重难点 1、 掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程，掌握圆锥曲线第二定义： 教学目标 2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质： 3、掌握椭圆、双曲线、抛物线的应用； 1、重点：圆锥曲线的定义、几何性质、圆锥曲线的应用。 教学重难点 2、 难点：圆锥曲线的综合问题、离心率的取值范围。 知识清单 知识点01圆锥曲线的概念 (一)圆锥曲线的第一定义： 1.椭圆： (I)平面内与两个定点F,F2的距离的和等于常数（大于FF的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 (2)椭圆表示为集合：P={MMF1+MF2=2a,|F1F列=2c,其中a,c为常数且心0，c>0. ①当2>F1F2时，M点的轨迹为椭圆： ②当2a=FF时，M点的轨迹为线段FF2; ③当2F1F时，M点的轨迹不存在. 2.双曲线： 第1页共92页 而学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 (1)与两个定点F1,F2(F1F2=2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(2aK2c)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意：如果没有绝对值，则仅表示双曲线的一支， (2)双曲线表示为集合：P={MM-MF2=2a,|F1F2=2c,其中a,c为常数且心0，c>0. ①当2KF1F2时，M点的轨迹是双曲线： ②当2a=FF时，M点的轨迹是两条射线： ③当2心FF时，M点不存在. 3抛物线：在平面内到定点F的距离与到定直线1的距离相等的点的轨迹是抛物线： 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线： (二)圆锥曲线第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线I距离的比为常数e的点的轨迹，是圆锥曲线。 其中：定点F是焦点，定直线I是准线，常数e就是离心率。 (1)0<e<1时是椭圆： (2)e=1时是抛物线： (3)e>1时是双曲线： 【即学即练1】2324高-上货州安服老第因若护1止一点？到國个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为() A.5 B.2 C.7 D.6 【答案】C【难度】0.94【知识点】椭圆定义及辨析【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解 详解】椭圆+=1的长轴长2a=10,由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义 得P到另一个焦点的距离为2a-3=7故选：c 【即学即练1-2】(2024高三·全国.专题练习)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则 点P的轨迹方程为) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 【答案】C【难度】0.94【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程， 【详解】由题意，知P到F(0,2)的距离比它到y+4=0的距离小2， 因此P到F(0,2)的距离与到直线y+2=0的距离相等， 故P的轨迹是以F为焦点，y=-2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2=8y,故选：C 知识点02圆锥曲线的标准方程 1椭圆：焦点在x轴(1(-c,0),F2(6,0)时：三+发=1(a>b>0), 焦点在y轴(10，-c).F20,c》时：三+后=1(a>b>0): 2双商线：焦点在x轴G1(-6,0,Fc0)时：兰-三-1a>0.b>0, 第2页共92页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 焦点在y轴，0，-c,Fz0,0》时：兰-三=1a>0,b>0): 3.抛物线：焦点在x轴正半轴(F(号，0)(p>0)时：y2=2px 焦点在x轴负半轴(F(-2,0)p>0)》时：y2=-2px, 焦点在y轴正半轴(F(0,)p>0)时：x2=2py: 焦点在y轴负半轴(F(0,-)p>0)时：x2=-2py: 【即学即练2】(25-26高二上全国单元测试)若椭圆的短轴顶点为(0,3)，焦距为8，则该椭圆的标准方程 为) x2+y=1 4. B.+=1c.+=1D.+-1 259 2516 916 1625 【答案】A【难度】O.85【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程【分析】方法一：根据椭圆的定义和已知 条件求出椭圆的标准方程：方法二：根据椭圆的定义进行理解辨析，利用排除法求得答案。 【详解】由题意椭圆的焦点在x轴上，且b=3,2c=8,则c=4,a2=b2+c2=25, 所以餐风的标布方程为芳号一】 知识点03圆锥曲线的几何性质 椭圆、双曲线、抛物线性质对比（以下是焦点在x轴的情况） 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 PF1+PF2=2a(2a>FF2) PF-PF=2a(2a<F1F2l) P可=|PM点F不在直线1上 标准方程 x2.y2 x2 y2 a2+62 =1(a>b>0) a2-62=1(a>b>0) y2=2p.x0D>0) 、y 图形 F eoF 范围 x≤a,ly≤b x≥a x≥0 顶点 (土a,0),(0,±b) (±a,0) (0,0) 通径 2b2 2b2 2p a a 几对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 何 焦点 (±c,0) (50) 性 轴 长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a,虚轴长2b 质 离心率 e==1-号oex e==J1+e) e=1 准线 a2 :x= :x=±吗 x=-P 2 渐近线 无 b y=±-x 无 【即学即练3-1】(2024青海海南.二模)已知曲线M:√x2+-B+2+y+5=4,圆 N:(x-5)2+y2=1,若A,B分别是M,N上的动点，则AB的最小值是() A.2 B.2√2 C.3 D.2+5 第3页共92页 丽学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、利用椭圆定义求方程 【分析】根据题意可得曲线M的方程为二+x产=L,设出A化，为)，利用两点间距离公式并由二次函数性 质可求得AN.=4,进而利用点与圆的位置关系求解即可。 【详解】根据题意，曲线M:√2+(Oy-V3)+V+y+V3)2=4 则曲线M上的点到点(0，V3)和(0，-V3)距离之和为4>2√5， 根据椭圆定义知曲线M的是以(0，V3)和(0，-√3)为焦点的椭圆， 其中c=5,a=2,则b=a-c=1,所以曲线M的方程为二+x2=1, A 设点A(化，%)满足2+=1且x,∈[-1，]，可得=41-x), 圆N:(x-5)'+y2=1的圆心为(5,0)，半径为1，则AW=V(-5)+(。-0)2=√-3x-10x,+29, 又函数y=√3x6-10x。+29在6∈[-1,1]单调递减，所以AW≥√-3-10+29=4， 所以AB的最小值是AWmm-1=3.故选：C 【即学即练3-2】(24-25高二上陕西铜川·阶段练习)抛物线y2=40x的准线方程是() A.x=-20 B.x=-10 C.x=-80 D.x=-160 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的准线方程的定义求解 【详解】抛物线y2=40x的准线方程是x=-10.故选：B. 知识点04椭圆与双曲线的离心率 般方法：根据条件，建立齐次等量关系a,b,c)=0,再化归为关于e的方程求解. 1.(1)e椭=、1-（哈）2： (2)e双钱-：-、1+（总）2=1V1+k=V1+十an2a(ak为渐近线的倾斜角与斜率) 2焦点三角形中：(@P为椭圆酷+芳=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点，P,F2=&∠P℉，P1=B, 则e=c= sim(a+β) sina+sinβ 包)P为双曲线-发=1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点Pr,2=&∠PF,P=B, 则e=sin(a+) Isina-sinβl 3.过椭圆（或双曲线）的焦点F作倾斜角为0直线与椭圆（或双曲线）相交于A、B两点，且AF=λF(1>0), (1)若焦点在x轴，则：e=V1+区： 即1ecos- 1元+11 2)当焦点在y轴上时，则：e=、1+(引：注入=或者入=。 第4页共92页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.若直线y=与椭圆（或双曲线）E交于A,B两点，P为椭圆（或双曲线）上异于A,B的点，若直线A, PB的斜率存在，且分别为，，则k1k2=e2-1. 5.直线y=十m(≠0且0)与椭圆（或双曲线）E交于A,B两点，P为弦AB中点，kPo=k, 则kok=e2一1. 注：当焦，点在y轴上时a,b对调， 6.双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x,离心率e=√2 性质：a=b:,e=V2;渐近线互相垂直； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项. 7.与片-三=1有相同离心率的双曲线方程为： 焦点在x轴上时：三-茶=2Q>0:焦点在y轴上时：兰茶=0>0)： 【即学即练41】(25-26高三上广西·开学考试)若椭圆C的焦距是短轴长的2倍，则椭圆C的离心率是() A B.25 c D.3 5 2 【答案】B【难度】0.94【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用2=b2+c2结合已知条件：焦距是短轴长的2倍，带入离心率计算公式可求解 2c=2×2b 【详解】设椭圆C的焦距为2c,长轴长为2a,短轴长为2b,则 a2=b2+c2' 所以a2=5b2,c2=4b2,所以椭圆C的离心率e=C 故选：B 【即学即练42】(2025商二全国专圈练习)者双曲线若茶-1a>00)的两个顶点三等分两焦点间的 线段，则此双曲线的离心率为) A.2 B.√2 C.3 D.5 【答案】C【难度】0.94【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】通过条件“两个顶点三等分两焦点间的线段”直接找到a和c的关系，利用离心率的定义求解。 【详解】由题意可知，c-a=2a,整理得c=3a,则e=3.故选：C. 知识点05圆锥曲线的焦半径、焦点弦 （一)焦半径 1.椭圆上点Po,o)与焦点F1,乃，之间的距离叫做椭圆的焦半径，1=PF,r2=PF (1).第一定义：P+PF=2a; (2)后+5=1(a>b>0),n=a+exo,n=a-eo: =1(a>0),n=ate,r:=a-ew: 2.双曲线上点P(xo,yo)与焦点F,F2之间的距离叫做双曲线的焦半径，1=PF,n=PF: (1)IPFI-IPF21=2a: 第5页共92页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②lPF1lmm=a+c,IPF2lmin=c-a(P在右支)， |PF1lmin=c-a,|PF2lmin=c+a(P在左支)， (二)焦点弦 1稀圆：若椭圆方程为后+兰-1(a>b>0,半焦距为c,焦点g(-6,0),(6,0) (1)过左焦点的焦点弦：AB=2a+e(x1+x2):过右焦点的焦点弦：AB=2a-e(x1+x2) 2ab2 (2)椭圆过焦点弦长公式：ABl a2oa(焦点在x轴上) (a2cma(焦点在y轴上) 2ab2 (a)过F的直线1的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有 @MFl-F-a:②1Al-云 2ab2 a-ccosa (b)过E的直线I的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ①a==lB=:@hAB=2 2ab2 3)若AB是过焦点F的弦，设AF=mBF=,则片+片=会 4)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：女；焦点弦中以通径最短： (⑤)已知过焦点F的弦AB,则△ABF的周长为4a 2双曲线：若双曲线方程为后-发=1〔a>0,b>0),半焦距为c,焦点(-c,0),(c,0), ()过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为 ②)双曲线号-器=1焦点r(-c,0),(c,0),过顿斜角为a的直线1交双曲线于AB两点， 2ab2 则：AB= a-c0osa(A,B在同一支) cosa-a(A,B分在两支) 2ab2 (3)若AB是过焦点F的弦，设AF=,BF=n, B在同支时，片+日；B在两支时，日片=祭：（设K0 (4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则△ABF2的周长为4a十2AB: (5)洞支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的），其长为2， a 异支的弦中最短的为实轴，长为2a. 3.抛物线y2=2xD>0)的焦点弦AB,若0A1OB,A(1,y),B(x2,y2),则： (1)xx2=4P2,yy2=-4P2: (2)14a恒过定点(2P,0)； (3)A,B中点轨迹方程：y2=p(x-2p): (4)OM⊥AB,则M轨迹方程为：(x-p)2+y2=p2: 第6页共92页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练51】24-25高二上：黑龙江哈尔滨阶段练习刃过双曲线，=1石焦点F作直线1与双曲线交于 A,B两点，若AB=6,则直线1有()条 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C【难度】0.65【知识点】求双曲线中的弦长【分析】易知当直线l⊥x轴时，满足题意的1不存在： 当1不垂直x轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可 【详解】由题意知，a=4,b=√3，则c=√a2+b2=√9.若直线l⊥x轴时，1：x=19, 代入方程无号-1，解得)=±异，所以-*6，此时直线/不满足题意： 当直线l不垂直x轴时，若直线1与双曲线的两个顶点相交时， 设A(x1,y1),B(x2,y2),1:x=m四+V19, x=+V9 三三=1，消去x得6m-16y+61m+9=0,则男+头=6、 9 163 =3m-16%,3m-16 所以AB=V1+m2V0+y)2-4y,y2=V1+m -6W19m2 36 =V1+m 36·16(m2+1) =24- m2+1 V3m2-16 3m2-16 (3m2-16)2 3m2-16 又AB=6,所以24 m2+1 m-i可6，整理得4m+)=3m2-16, 得4(m+=3m-16或40r+0=16-3nm,解得m=-20(舍去减m-9, 所以m=±235，此时直线1与双曲线的右支相交且交点为A,B,使得AB=6有2条 7 综上，满足题意的直线l有2条故选：C 【即学即练5-2】(2025高三·全国.专题练习)设抛物线C:y2=2x的焦点为F,过F的直线1与抛物线C交于 A,B两点，则AB的最小值为) A. B.1 C.2 D.3 【答案】C【难度】0.65【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、 基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】方法一设出直线方程，联立方程组并利用韦达定理得到y+y2=2,y2=一1，再利用弦长公式 表示出弦长，进而求出最小值，方法二利用二级结论得到丽之，再对条件合理变形4B到=A+B, 再利用基本不等式求解最小值，方法三利用抛物线的性质得到抛物线的焦点弦最短时为通径，直接求解最 小值即可 【详解】方法一：由已知得行0， 直线I的斜率不为0，如图，设A(,),B(x2,y2), 1 [y2=2x 设直线1的方程为x=0w+2,联立方程组 1,得到y2-2-1=0,且易得△>0， x=2y+ 2 则由韦达定理得y+y2=2,yy2=-1, 第7页共92页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由弦长公式得4B到=V1+m以-y,=1+m·Vy+乃2)-4y%=21+m)≥2， 故当=0时，AB取最小值，且该值为2，故C正确故选：C 方法二：电二级结论得高名2，易得-45+刊B, 时+ BFAF +1)=2, 当且仅当AF=BF=1时等号成立，故C正确故选：C 方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而AB≥2p=2,故C正确.故选：C. 知识点06圆锥曲线中的三角形 1,椭圆的焦点三角形：点P心o,)在号+茶=1a>b>0上， 若1=|PFl,=|PF,∠FPF2=0,△PFF2的面积为S,则： (1).c0s0≥1-2e2 (2)-PFPF:sin 0-b-tan 9-ctyl, 当o=b时，即点P为短轴端点时，最大，S也最大，最大值为bc. (3).焦点三角形的周长为2(a十c). 4记∠RPR=0,则PFP= 5点M是APRR内，PM交E于点N,则=月 2.双曲线的焦点三角形：△PF1F2,记∠F1PF2=0,有以下结论成立： (1)IPFPF2=100 2b2 ®焦点三角形的面积：SApF,-b,二 3数线=0>0焦点弦A,则：及-4o9mA0附=号094，-=品0 【即学即练6】(25-26高三上·福建漳州·开学考试)已知抛物线y2=2Px(p>0)的焦点为F(1,0),点A在抛物 线上，O是坐标原点，若△OFA的面积为√5，则AF长度为) 7 A.2 B.3 C.2 D.4 【答案】D【难度】0.85 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 第8页共92页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据焦点可得抛物线方程y2=4x,进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半径公式求解. 【详解】由F0,0),得号=1，即P=2,故抛物线的方程为=4x. 设4(，则OA的面积为2xOF×%=2X6上V3,得%=±25. 将%，=士2W3代入y2=4x,得x。=3,由焦半径公式|AF=x。+1=4.故选：D 知识点07圆锥曲线的中点弦 1.椭圆中有关点差法的经典结论（以下椭圆方程均为：三+发=1(a>b>0) 1).B是椭圆的不平行于对称轴的弦，M(x,)为B的中点，则kMk4B=一经： ②.过原点的直线交椭圆于A,B两点，P点是椭圆上异于AB两点的任一点，则有kA~kp=一 ②.过椭圆上任一点P(o)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于AB两点，则kAB kop=二（常数）. 2双曲线中有关点差法的经典结论（以下双曲线均为号-三=1a>0,b>0) aM(,)是写一景-=1的不平行于对称镇的弦3的中点，则kMk-号 ②)过原点的直线交双曲线于AB两点，P点是双曲线上异于AB两点的任一点，则有kP4·kPB-: 3)过双曲线上任一点P6K,yo)任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于A,B两点，则kB·ko-二（常数） 即学即练7】2425高二上云南昆明期末已知原点为0，椭圆℃：千+a>6>0)与直线 1 I:x-y+1=0交于AB两点，线段AB的中点为M,若直线OM的斜率为-了则椭圆C的离心率为) A.月 B.3 c.5-1 2 D.v6 2 3 【答案】D【难度】0.85【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法，结合斜率公式即可求解. 【详解】设4(B化，)则学+荟-1且三+是-=1，故￡-0 a2 b2 a2 b2 故等器学将意答》营e后晋9 a 故选：D VA M 0 知识点08圆锥曲线的切线 (一)椭圆 第9页共92页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 1号+发=1a>b>0)上点Pxyw)为切点的切线斜率为k:则k~kA=总切线方程学+罗=1 2过若+芳=1外一点PK,o)作两条切线切点为P、P,则切点弦PP,所在直线方程：等+学=1 (二)双曲线 1)以号-若=1(a>0,b>0)上点P,o)为切点的切线斜率为k:则k:kA=-:切线方程受-罗=1 2过号-兰=1外一点P(Xo.yo)作两条切线切点为B、P,则切点弦PP,所在直线方程：等-罗=1 (三)抛物线 1.如图所示，以焦点弦A,B两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M,则有： (1)M点必在准线上；且：MA⊥MB,MF⊥AB; ②)设线段AB的中点为则MN/x轴，即w=”, (3)AB的中垂线与X轴交于点R,则AB=2FR 2(1)以4，W为切点的切线斜率为k=切线方程为y=p(x+x) (2)点P(xo,yo)是抛物线y2=2mx(m≠0)上一点，则抛物线过点P的切线方程是：yoy=m(xo+x): (3)点P(xo,yo)是抛物线x2=2my(m≠0)上一点，则抛物线过点P的切线方程是：xox=myo+y). 3.过x2=2四的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB过点(0，)： 【即学即练8】(2025陕西汉中模拟预测在平面直角坐标x0O中，已知椭圆C，+扩(a>b>0的离心 率为5，左、右焦点分别为R,R,点P(么，V2)为C上一点，记C在点P处的切线1，过点耳作111于点M, 2 则PM的长为 【答案】√6【难度】0.65【知识点】求椭圆的切线方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】首先求切线l的方程，再求直线的方程，即可求交点M的坐标，即可求解 c_v2 2 【详解】由条件可知 4 2 =1,解得：a=8,B=c2=4, a2 a2=b2+c2 所以精圆c苦+号-1，所以在点P2)处的切线方程为+=1，即x+y-4=0。 98+4 因为耳(-2,0)，所以直线1'：y=√2(x+2), 联立 =5(+2)解得：=0，y=25,即M0,22),且P22) x+V2y-4=0 第10页共92页