第3章 专题强化练7 抛物线的综合应用（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 聚焦抛物线定义与几何性质，通过8道分层题构建“定义转化-方程联立-几何量计算”的系统性解题体系，强化数学抽象与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|2题|焦点准线转化法、距离最值模型|从抛物线定义出发，构建“到焦点距离=到准线距离”的核心转化逻辑| |直线与抛物线综合|3题|韦达定理应用、参数方程法|以直线与抛物线联立为基础，建立坐标关系与几何量的推导链条| |几何量计算|2题|面积公式、斜率公式|结合三角形面积、弦长等几何量，强化代数运算与几何直观的融合| |轨迹与定值问题|1题|轨迹定义法、斜率定值模型|从动态几何情境抽象轨迹方程，通过方程思想证明定值问题|

专题强化练7　抛物线的综合应用 1.(2025甘肃靖远第一中学期中)抛物线y2=8x上的点M到其准线的距离与到直线y=2x+3的距离之和的最小值为(　　) A.　　　　　B.　　　　　 C.　　　　　D. 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合,斜率为k(k>0)的直线l经过点F,且与C的交点为A,B.若|AF|=2|BF|,则直线l的斜率为(　　) A.1　　　　　B.　　　　　 C.　　　 　D.2 3.(多选题)(2025重庆八中月考)过抛物线E:y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点(点A位于第一象限),过A,B分别向E的准线作垂线,垂足分别为C,D,O为坐标原点,若△ACF与△BDF的面积的比值为9,则下列说法正确的是(　　) A.=9　　　　　 B.直线AB的斜率为 C.|AB|=　 　　　 D.△AOB的面积为 4.(多选题)设F是抛物线y2=4x的焦点,过F且斜率为的直线与抛物线的一个交点为A,以F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点,且B在C的上方,B关于点F的对称点为D,以下结论正确的是(　　) A.线段CD的长为8 B.A,C,F三点共线 C.△CDF为等边三角形 D.四边形ABCD为矩形 5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线l交抛物线于A,B两点,点M,若直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=　　　　.   6.(2025天津经济技术开发区第一中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与x轴的交点为K,|FK|=2,直线l过点K,且与抛物线C交于A,B两点,若|BF|=|BK|,则|AF|+|BF|=　　　　.  7.(2025甘肃临夏月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,6)是抛物线上一点,以M为圆心的圆与直线x=交于A,B两点(A在B的上方),若sin∠MFA=,则抛物线C的方程为　　　　.  8.(2024辽宁营口质检)已知圆M:(x-1)2+y2=,动圆N与圆M外切,且与直线x=-相切. (1)求动圆圆心N的轨迹C的方程; (2)已知点P,Q(1,2),过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A,B(与点Q不重合),直线QA,QB的斜率之和是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 专题强化练7　抛物线的综合应用 1.D　抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),记为F,准线方程为x=-2, 过M点作准线的垂线,垂足为M',过M点作直线y=2x+3的垂线,垂足为N,则抛物线上的点M到其准线的距离为|MM'|,点M到直线y=2x+3的距离为|MN|,连接MF, 由抛物线的定义可知|MM'|=|MF|,则|MM'|+|MN|=|MF|+|MN|,其最小值为焦点F(2,0)到直线y=2x+3的距离,设为d,则d==, 即抛物线y2=8x上的点M到其准线的距离与到直线y=2x+3的距离之和的最小值为. 2.D　因为椭圆的方程为+=1,所以c2=25-16=9,即c=3,所以右焦点的坐标为(3,0), 因为抛物线的方程为y2=2px,所以抛物线的焦点坐标为,所以=3,即p=6,所以抛物线的方程为y2=12x,所以直线l的方程为y=k(x-3),抛物线的准线方程为x=-3,易知椭圆的左焦点在准线上,记左焦点为F1,则|F1F|=6. 不妨设A位于第一象限,过点A,B分别作准线x=-3的垂线,垂足为N,M,取AF的中点E,过E作准线的垂线,垂足为H,如图, 由|AF|=2|BF|,得|AB|=3|BF|,又E为线段AF的中点,所以|AB|=|BE|,所以|FE|=|BF|,即F为BE的中点,设|BF|=m,则|AF|=2m,|BM|=|BF|=m,|AN|=|AF|=2m,所以|EH|=3+m, 所以|F1F|==6,所以m=,所以B点的横坐标为,代入抛物线的方程可知B点的纵坐标为-3,所以B,把B点的坐标代入直线l的方程,得-3=k,即k=2. 3.BCD　 对于A,由抛物线的定义可得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,sin∠CAF=sin∠DBF, 则S△ACF=|AF|2sin∠CAF,S△BDF=|BF|2sin∠DBF,又S△ACF=9S△BDF,所以|AF|=3|BF|,即=3,故A错误; 对于B,由题意知直线AB的斜率不为0,设直线AB:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 又点A位于第一象限,|AF|=3|BF|,所以m>0,且y1=-3y2, 联立得y2-4my-4=0, 所以y1+y2=4m,y1y2=-4,又y1=-3y2,所以y1=2,y2=-,m=,则x1=3,x2=, 所以直线AB的斜率k==,故B正确; 对于C,|AB|=x1+x2+p=3++2=,故C正确; 对于D,S△AOB=×|OF|×|y1-y2|=×1×=,故D正确. 4.BCD　由抛物线的方程可得F(1,0),准线方程为x=-1,过点F且斜率为的直线的方程为y=(x-1),代入抛物线方程可得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.易知当x=3时,圆F才能与抛物线的准线相交,此时点A的坐标为(3,2),则|FA|=3+1=4,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=16,令x=-1,得y=±2,则B(-1,2),C(-1,-2),设B关于点F的对称点为D(m,n),则=1,=0,解得m=3,n=-2, 所以D(3,-2), 所以|CD|=3-(-1)=4,故A错误; 因为=(2,2),=(-2,-2), 所以=-, 所以A,C,F三点共线,故B正确; 因为|FC|=|FD|=4,且|CD|=4, 所以三角形CDF为等边三角形,故C正确; 易知|AB|=|CD|,AB⊥BC,AB∥CD, 所以四边形ABCD为矩形,故D正确. 5.答案　-2 解析　由题知F,直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+,将其与抛物线的方程y2=2px联立,消去x并整理,得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,所以k1+k2=+=+=+=·=·==-2. 6.答案　14 解析　不妨令点A在点B上方, ∵|FK|=2, ∴p=2,则抛物线方程为y2=4x, ∴F(1,0),K(-1,0),准线方程为x=-1, 作BM垂直于准线,垂足为点M,则|BF|=|BM|, ∵|BF|=|BK|, ∴|BM|=|BK|, ∵在△BMK中,tan∠MBK====, ∴tan∠BKF=tan∠MBK=, ∴直线AB的斜率k=,又直线AB过点K(-1,0), ∴直线AB的方程为y=(x+1), 由得x2-12x+1=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12, ∴|AF|+|BF|=x1++x2+=12+2=14. 7.答案　y2=12x 解析　如图所示,过点M作EM垂直于直线x=,垂足为E,ME的延长线交准线于点D,则sin∠MFA==,由抛物线的定义可得|MF|=|MD|=x0+,∴==,即5x0+p=7x0-p,∴x0=3p, ∵点M(x0,6)是抛物线上一点, ∴(6)2=2px0, 将x0=3p代入上式,得36×6=6p2, ∴p=6, ∴抛物线C的方程为y2=12x. 8.解析　(1)圆M的圆心为点(1,0),半径为.设N到直线x=-的距离为d,则圆N的半径也为d. 因为动圆N与圆M外切,所以|MN|=d+, 所以N到直线x=-1的距离等于N与M(1,0)两点间的距离, 由抛物线的定义可知,N的轨迹C为抛物线,其焦点为M(1,0),准线方程为x=-1, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)直线QA,QB的斜率之和是定值.设直线l的方程为x+=m,即2x-2my+1-m=0. 因为点A,B与点Q不重合,所以m≠. 设直线QA,QB的斜率分别为k1和k2,点A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去x并整理得y2-4my-2m+2=0,则y1+y2=4m,y1y2=2-2m, 由Δ=(-4m)2-4(-2m+2)>0,解得m<-1或m>,且m≠, 则k1===, 同理可得k2=, 所以k1+k2=+ = = ==, 故直线QA,QB的斜率之和为定值. 7 学科网（北京）股份有限公司 $