精品解析：吉林省四平市吉林师范大学附属中学2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学试题

八年级数学学科托管验收（一） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的边长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为，由题意得： ， 则， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 2. 画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据三角形高的定义逐一分析，即可得到答案． 【详解】选项A是中BC边上的高，故不符合题意； 选项B不是的高，故不符合题意； 选项C是中AC边上的高，故符合题意； 选项D为中边上的高，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的定义，从而完成求解． 3. 小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 都可以 【答案】C 【解析】 【分析】带去的玻璃应该有原玻璃上完整的几个角或几个边，这样可以利用这些角或边去配出与原三角形玻璃全等的新玻璃． 【详解】①中只有原三角玻璃的一个完整的角，无法判定三角形全等，②中没有原三角形玻璃完整的角或边也无法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的两个角和一条边，可以利用角边角判定全等，故可以带③去， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等判定的实际应用，熟悉三角形全等的判定定理是解决本题的关键． 4. 如图，已知D、E分别是中、边的中点，的面积是16，则的面积是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．利用三角形中线将三角形面积平分的性质，逐步推导得出的面积． 【详解】解：是的中点， ， 又， ． 是的中点， ， ． 故选：B． 5. 已知，，，，且平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先根据三角形内角和求出的度数，再由角平分线得出的度数，最后利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， ． 平分， ． ， ． 故选：A． 6. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要运用“”判定．还需补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的“”判定定理，熟练掌握“”判定定理中两边及其夹角对应相等的要求是解题的关键．根据“”（边角边）判定三角形全等的条件，已有，，需要找到一组对应边相等，且这组边是与的另一边，所以分析各选项能否推出该边相等． 【详解】解：要运用“”判定，已知，，则还需要． ， ， ，满足“”的条件，符合题意． 对于选项B，，不符合“”的边的要求，不符合题意； 选项C，，不符合“”的边的要求，不符合题意； 选项D，，是“”的条件，不是“”的条件，不符合题意． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 炎热的夏天工人师傅在安装空调时一般会采用如图所示方法固定，其依据的数学原理是_______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性这一特性是解题的关键．观察图形，空调通过三角形支架固定，思考三角形的特性来确定依据的数学原理． 【详解】解：安装空调时采用三角形支架固定，其依据的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 8. 如图，点分别在线段上，若，且则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再结合线段的和差可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为： 9. 如图，两个三角形全等．则的度数为______． 【答案】##68度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等是解题的关键．先根据全等三角形对应角相等，得出相关角的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ，， ， 故答案为：． 10. 一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么__________． 【答案】60°． 【解析】 【分析】根据直角三角尺的特点，可以得到∠B的度数，再根据∠FDB=90°，从而可以得到∠α的度数． 【详解】由图可知， ∠B=30°，∠FDB=90°， 故∠α=90°-∠B=90°-30°=60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11. 如图，在中，，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点处，则的度数为_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．先根据三角形内角和求出的度数，再利用折叠性质得到的度数，最后根据三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠可知，． ． 故答案为：． 二、解答题：（每小题6分．共18分） 12. 如图，已知、，，，求证： 【答案】 证明：， 即， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先利用等式性质由推出，再根据得到角相等，结合垂直条件得出直角相等，最后用“角边角”证明三角形全等． 【详解】略 13. 已知：如图，在中，，于点，平分，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，垂线的定义，角平分线的定义，先由垂线的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则可求出，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 14. 如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键． 通过连接，利用三角形内角和定理，先求出，再求出． 【详解】解：连接， 在中，， 即， ，，， ， ， 在中，， ． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 项目学习：数学兴趣小组的同学就“测量河两岸A，B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在CD的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为30米 （1）猜想A，B两点间距离是______米． （2）请你验证（1）中猜想是否正确． 【答案】（1）30 （2） 解：理由如下：在中， ∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中，，，， ∴（AAS） ∴． ∴． 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）证明，推出，即可得到结论； （2）利用全等三角形的性质来证明即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ，即， 测得的长就是、两点间的距离，即30米， 故答案为：30； 【小问2详解】 略 16. 如图是的正方形网格，请在以下三个图中做出格点（三角形的每个顶点均在网格格点上）与全等．要求每幅图中的三角形位置不同． 【答案】 如图1，图2，图3中的即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握（三边对应相等的两个三角形全等）和勾股定理是解题的关键． 分别在图，图，图中取格点，连接、，则即为所求． 【详解】解：图1，设网格中小正方形的边长为， 根据勾股定理，，；，；，． 在和中， ， 所以（）． 图2，设网格中小正方形的边长为． 根据勾股定理，，；，；，． 在和中， ， 所以（）． 图3，设网格中小正方形的边长为． 根据勾股定理，，；，；，． 在和中， ， 所以（）． 17. 如图，已知 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 交于点 O，且 OB=OC． 求证：AO平分∠BAC． 【答案】 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°， 在△BOD 和△COE 中， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE， ∴点 O 在∠BAC 的平分线上， 即 AO 平分∠BAC． 【解析】 【分析】根据已知条件证明△BOD≌△COE（AAS），再利用全等三角形性质即可解题. 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和全等三角形的性质，属于简单题．证明全等是解题关键. 五、解答题：（每题8分，共16分） 18. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 【答案】 （1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABF＋∠BAD＝∠CBE＋∠C， ∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD，∠AEF＝∠CBE＋∠C， ∴∠AEF＝∠AFE； （2）150° 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE； （2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果． 【详解】解：（1）略 （2）∵FE平分∠AFG， ∴∠AFE＝∠GFE， ∵∠AEF＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠GFE， ∴FG∥AC， ∵∠C＝30°， ∴∠CGF＝180°−∠C＝150°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题． 19. 如图，在和中，，，． （1）当点D在上时，如图①，线段有怎样的数量关系和位置关系？写出结论并说明理由； （2）将图①中的的位置改变一下，如图②，其他条件不变，则线段又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】（1） 解：， 理由如下： 如图①，延长与交于点F 在和中， ，，， ， ，∠． ， ． ． ． （2） ， 理由如下： ， ， 即 在和中， ，，， ，． 如图②，延长交于点F，交于点H． 在和中， ，， ． 【解析】 【分析】（1）延长与交于点F，证出,可得，且，即可解答； （2）延长交于点F，交于点H，可以证明,可得，利用三角形的内角和为180°，即可得到最终结果； 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中准确作出辅助线求证三角形全等是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、解答题：（每题10分，共20分） 20. 如图，在的边上任取一点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，顺次连接． （1）求证：平分； （2）连接，求证：； （3）若，则________度． 【答案】（1） 证明： ，，， ， ， 平分． （2） 证明：，，， ． （3）115 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和三角形的外角性质、等腰三角形的性质． （1）利用证明，即可得证； （2）直接利用证明即可； （3）证明得出，则可求的度数，根据等腰三角形的性质可求的度数，根据三角形内角和定理可求的度数，由可求的度数，根据三角形外角的性质可求的度数，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， 又， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：115． 21. 如图1，，．以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰． （1）求C点的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过D作轴于E点，求的值； （3）如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与y轴负半轴交于点，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，请找到m和n的等量关系并说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）， 理由如下： 如图3，过点分别作轴于点，轴于点，则，， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴，则， 在和中，， ∴ ∴， 又∵，，点坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过作轴于点，由“”证明，可得出，，即可求点坐标； （2）如图2，过作于点，根据坐标可得，，即，由“”可明，可得，即可得结论； （3）如图3，过点分别作轴于点，轴于点，可知，，由点坐标可得，利用平行线和角的互余关系可得，由“”证明，可得，再根据，表示出，，即可求得的值． 【小问1详解】 解：过作轴于点，如图1， ∵为等腰三角形。 ∴，， ∵，，则， ∴，， 则， 在和中，， ∴ ∴，， 则， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 如图2，过作于点， ∵，， ∴，，则，， ∴， ∵为等腰三角形。 ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，等腰直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线利用角的互余关系构造全等三角形是本题的关键． 七、解答题：（每题12分，共12分） 22. 长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从向运动，点同时以每秒2个单位的速度从向运动，设，两点运动时间为，点为边上任意一点．(点不与点、点重合) （1）请直接用含、的代数式，表示线段的长度； （2）当时，连接，若与全等，求的长； （3）若在边上总存在点使得，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式；一元一次不等式的应用； （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）由题意得：，，，当时：当时分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，，故，得，可得①，②，即可解得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，，， ， 线段的长度为； 【小问2详解】 由题意得：，，， 当时： ， 解得： 此时； 当时：， 得， 此时； 综上所述：或时，与全等； 【小问3详解】 ， ，， 由知：， 解得：， ，， ； 即①， ， ， ， 即②； 由①②解得：， 满足条件的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科托管验收（一） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的边长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 2. 画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 都可以 4. 如图，已知D、E分别是中、边的中点，的面积是16，则的面积是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 6 5. 已知，，，，且平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要运用“”判定．还需补充的条件是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 炎热的夏天工人师傅在安装空调时一般会采用如图所示方法固定，其依据的数学原理是_______． 8. 如图，点分别在线段上，若，且则的长为________． 9. 如图，两个三角形全等．则的度数为______． 10. 一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么__________． 11. 如图，在中，，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点处，则的度数为_____． 二、解答题：（每小题6分．共18分） 12. 如图，已知、，，，求证： 13. 已知：如图，在中，，于点，平分，，求的度数． 14. 如图，已知，，，求的度数． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 项目学习：数学兴趣小组的同学就“测量河两岸A，B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且； ②测得，； ③在CD的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为30米 （1）猜想A，B两点间距离是______米． （2）请你验证（1）中猜想是否正确． 16. 如图是的正方形网格，请在以下三个图中做出格点（三角形的每个顶点均在网格格点上）与全等．要求每幅图中的三角形位置不同． 17. 如图，已知 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 交于点 O，且 OB=OC． 求证：AO平分∠BAC． 五、解答题：（每题8分，共16分） 18. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 19. 如图，在和中，，，． （1）当点D在上时，如图①，线段有怎样的数量关系和位置关系？写出结论并说明理由； （2）将图①中的的位置改变一下，如图②，其他条件不变，则线段又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 六、解答题：（每题10分，共20分） 20. 如图，在的边上任取一点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，顺次连接． （1）求证：平分； （2）连接，求证：； （3）若，则________度． 21. 如图1，，．以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰． （1）求C点的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过D作轴于E点，求的值； （3）如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与y轴负半轴交于点，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，请找到m和n的等量关系并说明理由． 七、解答题：（每题12分，共12分） 22. 长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从向运动，点同时以每秒2个单位的速度从向运动，设，两点运动时间为，点为边上任意一点．(点不与点、点重合) （1）请直接用含、的代数式，表示线段的长度； （2）当时，连接，若与全等，求的长； （3）若在边上总存在点使得，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $