19 第4章 第2节 力的分解（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中物理必修第一册（鲁科版）

第2节　力的分解 [学习目标]　1．理解力的分解的概念。知道力的分解是力的合成的逆运算，会用平行四边形定则求分力。会用直角三角形计算分力。2．掌握力的正交分解法。3．通过欣赏“力与平衡”之美，为我国古代精湛的建筑技术而骄傲，体会物理学的技术应用在生产生活中的作用及意义，会用力的分解分析解决生产生活中的实际问题。 知识点一　力的分解 1．定义：求一个已知力的分力的过程。 2．分解法则：力的分解遵循平行四边形定则。 3．力分解的方式 (1)一个力分解为两个力，如果无限制条件，则可分解出无数组大小方向不同的分力。 (2)在实际问题中力分解时，要结合力的效果分解——即效果分解法。 　把一个力分解为两个力，但不能认为在这两个分力的方向上有两个施力物体。 1．思考辨析(正确的打√，错误的打×) (1)力的分解是力的合成的逆运算。 (√) (2)把已知力F分解时，只能分解为两个力。 (×) (3)在力的分解中，分力可以比合力大。 (√) 知识点二　力的正交分解及应用 1．力的正交分解 (1)定义：为了计算方便，可把一个力分解为两个相互垂直的分力，这种分解方法称为力的正交分解，如图所示。 (2)公式：Fx＝F cos θ，Fy＝F sin θ。 (3)正交分解适用于各种矢量运算。 2．力的分解的应用 (1)在生产生活中，力的分解有着十分广泛的应用。如上山的路一般修成盘山公路，城市中高架桥要建很长的引桥，等等。 (2)当合力一定时，分力的大小和方向将随分力间夹角的改变而改变；在两分力大小相等的情况下，分力间夹角越大，分力越大。 2．思考辨析(正确的打√，错误的打×) (1)力的正交分解是指把一个力分解为水平和竖直两个方向互相垂直的分力的方法。 (×) (2)正交分解仅适用于矢量运算。 (√) (3)正交分解的两个分力与合力作用效果一定相同。 (√) 在小区或学校门口经常设有减速带，以使行驶的车辆放慢速度，从而有效地保障行人的安全，也大大减少了交通事故的发生。 (1)当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对前轮胎的弹力方向如何？ (2)为什么会起到减速的作用？ 提示：(1)弹力方向与接触面垂直，指向斜后上方。 (2)按照力的作用效果分解，可以将F分解为沿水平方向和竖直方向的两个分力，水平方向的分力产生减慢汽车速度的作用效果，竖直方向的分力产生向上运动的作用效果。 考点1　力的分解 1．力的分解原则 (1)一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)。 (2)实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力。 2．按实际效果分解的几个实例 实例 分析 (1)拉力F的两个效果： ①使物体具有沿水平地面前进(或前进的趋势)的分力F1 ②竖直向上提物体的分力F2 (2)分力大小：F1＝F cos α， F2＝F sin α (1)重力的两个效果： ①使物体具有沿斜面下滑(或下滑的趋势)的分力F1 ②使物体压紧斜面的分力F2 (2)分力大小：F1＝mg sin α， F2＝mg cos α (1)重力的两个效果： ①使球压紧板的分力F1 ②使球压紧斜面的分力F2 (2)分力大小：F1＝mg tan α， F2＝ (1)重力的两个效果： ①使球压紧竖直墙壁的分力F1 ②使球拉紧悬线的分力F2 (2)分力大小：F1＝mg tan α， F2＝ (1)重力的两个效果： ①拉紧OA的分力F1 ②拉紧OB的分力F2 (2)分力大小：F1＝mg tan α， F2＝ (1)重力的两个效果： ①拉伸AB的分力F1 ②压缩BC的分力F2 (2)分力大小：F1＝mg tan α， F2＝ 【典例1】　如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球的压力大小之比为多大？斜面受到两小球的压力大小之比为多大？ 思路点拨： [解析]　对小球1所受的重力G来说，其效果有二：第一，使小球沿水平方向挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面。因此，力的分解如图甲所示，由此可得两个分力的大小分别为F1＝G tan θ，F2＝。对小球2所受的重力G来说，其效果有二：第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面。因此，力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝G sin θ，F4＝G cos θ。可知，挡板A、B受到小球的压力之比为F1∶F3＝1∶cos θ，斜面受到两小球的压力之比为F2∶F4＝1∶cos2θ。 甲　　 　　　　　　乙　　 [答案]　1∶cosθ　1∶cos2θ 　力的分解的原理与步骤 (1)原理：若两个力共同作用的效果与某一个力作用时的效果完全相同，则可用这两个力“替代”这一个力。 (2)步骤 ①根据已知力的实际效果确定两个分力的方向。 ②根据两个分力的方向作出力的平行四边形，确定表示分力的有向线段。 ③利用数学知识解平行四边形或三角形，计算分力的大小和方向。 [跟进训练] 1．(源自粤教版教材)如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g。若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块对侧面的压力的大小为(　　) A．　　　　　　 B． C．mg tan α D． A　[楔形石块的重力产生了两个作用效果，即对两侧面产生压力F，如图所示，解得F＝，选项A正确。] 考点2　力的正交分解 1．正交分解的目的：将力的合成简化为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”是为了更好地“合”。 2．正交分解的适用情况：适用于计算三个或三个以上共点力的合成。 3．力的正交分解的依据：分力与合力的等效性。 4．正交分解的基本步骤 (1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上。 (2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。 (3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即： Fx＝F1x＋F2x＋… Fy＝F1y＋F2y＋… (4)求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝，即α＝arctan 。 【典例2】　(教材P107T3改编)在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 思路点拨：当物体受多个力作用时，一般采用正交分解法求解，可按以下思路： [解析]　如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有 甲 Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N 因此，如图乙所示，合力为 乙 F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1 即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上。 [答案]　38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上 　正交分解时坐标系的选取原则与方法 (1)原则：用正交分解法建立坐标系时，通常以共点力作用线的交点为原点，并尽量使较多的力落在坐标轴上，以少分解力为原则。 (2)方法：应用正交分解法时，常按以下方法建立坐标轴。 ①研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴。 ②研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴。 ③研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴。 [跟进训练] 2．(教材P113T3改编)(双选)如图所示，质量为m的物体受到推力F作用，沿水平方向做匀速直线运动，已知推力F与水平地面的夹角为θ，物体与地面间的动摩擦因数为μ，则物体所受的摩擦力大小为(　　) A．F cos θ B．μmg C．μF D．μ(mg＋F sin θ) AD　[对物体受力分析如图所示，因为物体做匀速运动，所以物体所受的合力为零，在水平方向有f＝F cos θ，选项A正确；再由f＝μN，N＝mg＋F sin θ可知，f＝μ(mg＋F sin θ)，选项B、C错误，D正确。] 考点3　力的分解中常见的四种情况 条件 已知示意图 分解示意图 解的情况 已知两个力的方向 唯一解 已知一个分力的大小和方向 唯一解 已知两个分力的大小　 F1＋F2>F 两解 F1＋F2＝F 唯一解 F1＋F2<F 无解 已知合力的大小和方向以及它的一个分力(F2)的大小和另一个分力(F1)的方向 F2<F sin θ 无解 F2＝F sin θ 唯一解 F sin θ<F2<F 两解 F2>F 唯一解 【典例3】　将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力F1有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力F2的大小为6 N，则在分解时(　　) A．有无数组解　　　　 B．有两组解 C．有唯一解 D．无解 B　[由已知条件可得F sin 30°＝5 N，又5 N＜F2＜10 N，即F sin 30°＜F2＜F，所以F1、F2和F可构成如图所示的两个三角形，故此时有两组解，选项B正确。] 　力的分解有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)。若可以构成平行四边形(或三角形)，说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解。 [跟进训练] 3．已知两个共点力的合力F为10 N，分力F1的大小为5 N。则关于另一个分力F2的说法正确的是 (　　) A．F2的大小是唯一的 B．F2的大小可以是任意值 C．F2的方向与合力F的方向一定成30°角 D．F2的方向与合力F的方向的最大夹角为30° D　[合力大小为10 N，若其中一个分力大小为5 N，另一个分力的大小范围为5 N≤F≤15 N，设F2的方向与合力F的方向的最大夹角为θ，由图可得sin θ＝＝，即F2的方向与合力F的方向的最大夹角为30°，故D正确。] 1．用轻质细绳系住一小球，小球静止在光滑斜面上，如图所示，1为水平方向、2为沿斜面方向、3为沿绳方向、4为竖直方向、5为垂直斜面方向。若要按照力的实际作用效果来分解小球的重力，下列叙述正确的是(　　) A．将小球的重力沿1和5方向分解 B．将小球的重力沿2和5方向分解 C．将小球的重力沿3和5方向分解 D．将小球的重力沿3和2方向分解 C　[将力进行分解时，一般要按照力的实际作用效果来分解或按需要正交分解，若要按照力的实际作用效果来分解，要看力产生的实际效果，小球重力产生两个效果，一是使绳子拉伸，二是使斜面受压，故应按3和5两个方向分解。] 2．当直升机倾斜飞行时，螺旋桨产生的升力F垂直于机身，升力F与竖直方向的夹角为θ。现沿水平和竖直两个方向分解力F，如图所示。下列说法正确的是(　　) A．水平分力大小为Fx＝F tan θ B．水平分力大小为Fx＝F cos θ C．竖直分力大小为Fy＝F tan θ D．竖直分力大小为Fy＝F cos θ D　[将力F分解为两个相互垂直的分力，其中沿水平方向的分力大小为：Fx＝F sin θ。竖直分力大小为：Fy＝F cos θ。故D正确，A、B、C错误。] 3．一辆汽车不小心陷进了泥潭，司机要想办法将车拉出，在司机用力大小一定的情况下，下列哪种方式更容易将车拉动(设汽车受到的阻力相同)(　　) A．甲图中，司机站在车的正前方，水平用力拉车 B．乙图中，司机站在高处，斜向上拉车 C．丙图中，将绷直的绳子两端分别拴到树上和车上，然后垂直于绳子方向水平用力拉 D．丁图中，在树上固定一定滑轮，将绳子绕过定滑轮用力拉 C　[题图甲和题图丁中车受到的水平方向力的大小是司机所施加的力的大小。题图乙中车受到的水平方向力的大小是司机所施加的力在水平方向的分力，题图丙中绳子的拉力大小T1，F为司机所施加的力，如图所示，由受力分析图可知T＝F，T1>T，汽车所受到的绳子的拉力大于司机所施加的力。综上汽车水平方向所受到的拉力T丙＞T甲＝T丁＞T乙，故选C。 ] 4．(新情境题：以千斤顶顶起轿车为背景，考查力的分解)如图所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°。 (1)此时千斤顶每臂受到的压力是多大？ (2)若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力如何变化？ [解析]　(1)将汽车对千斤顶的压力F分解为沿两臂的两个分力F1、F2，根据对称性可知，两臂受到的压力大小相等。由2F1cos θ＝F得F1＝＝1.0×105 N，所以此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N。 (2)继续摇动把手，两臂靠拢，夹角θ减小，由F1＝分析可知，F不变，当θ减小时，cos θ增大，F1减小。 [答案]　(1)1.0×105 N　(2)减小 回归本节知识，完成以下问题： (1)力的分解应遵循什么规律？ 提示：平行四边形定则。 (2)力的分解法通常有哪两种？ 提示：①效果分解法，②正交分解法。 (3)如果没有限制，一个力可以分解为多少组解？ 提示：无数组。 课时分层作业(十二)　力的分解 题组一　力的分解 1．减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F的画法正确且分解合理的是(　　) A　　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　　D B　[减速带对车轮的弹力方向垂直于车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F分解为沿水平方向和竖直方向的两个分力，水平方向的分力产生的效果是减慢汽车的速度，竖直方向的分力产生使汽车向上运动的作用效果，故B正确，D错误。] 2．如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为(　　) A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G C．Fa＝0.8G，Fb＝0.6G D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G D　[对圆柱体受力分析，如图： 由几何关系得：Fa＝G sin 37°＝0.6G，Fb＝G cos 37°＝0.8G，故A、B、C错误，D正确。] 3．如图所示，质量为m的小滑块静止在半径为R的半球体上，它与半球体间的动摩擦因数为μ，它与球心连线跟水平地面的夹角为θ，则小滑块(　　) A．所受摩擦力大小为mg cos θ B．所受摩擦力大小为mg sin θ C．所受摩擦力大小为μmg sin θ D．对半球体的压力大小为mg cos θ A　[质量为m的小滑块静止在半径为R的半球体上，小滑块受到重力mg、球面的支持力FN和摩擦力Ff作用，如图所示。重力mg产生两个效果，沿切线方向使物体下滑，其分力等于摩擦力的大小，则Ff＝mg cos θ；沿半径方向压紧球面，其分力大小等于支持力大小，则FN＝mg sin θ，由此可知B、C、D均错误，A正确。] 4．如图所示是斧头劈木柴的剖面图，其中BC边为斧头背，AB、AC边为斧头的刀面。要使斧头容易劈开木柴，斧头应该(　　) A．BC边与AB、AC边都短一些 B．BC边长一些，AB、AC边短一些 C．BC边短一些，AB、AC边长一些 D．BC边长一些，AB、AC边也长一些 C　[把斧头所受的向下的力F按力的实际作用效果沿垂直AB、AC边的两个方向分解为F1和F2，设BC与AC成 θ角，由图可知F1＝F2，F＝2F1cos θ，所以F1＝F2＝。要使木柴容易劈开，应使F1和F2大一些，则θ应大一些，因此BC边应短一些，AB、AC边应长一些，故C正确。] 题组二　力的正交分解 5．如图所示，质量为10 kg的物体静止在平面直角坐标系xOy的坐标原点，某时刻只受到F1和F2的作用，且F1＝10 N，F2＝10 N，则物体的合力(　　) A．方向沿y轴正方向 B．方向沿y轴负方向 C．大小等于10 N D．大小等于10 N C　[正交分解如图，故物体的合力为10 N，方向沿x轴正向。 　] 6．如图甲所示，斜拉桥的塔柱两侧有许多钢索，它们的一端都固定在塔柱上。对于每一对钢索，它们的上端可以看成系在一起，即两根钢索对塔柱的拉力F1、F2作用在同一点，它们合起来对塔柱的作用效果应该让塔柱好像受到一个竖直向下的力F一样，如图乙所示。这样，塔柱便能稳固地矗立在桥墩上，不会因钢索的牵拉而发生倾斜，甚至倒下。如果斜拉桥塔柱两侧的钢索不能呈对称分布，如图丙所示，α＝，β＝，要保持塔柱所受的合力竖直向下，那么钢索AC、AB的拉力FAC、FAB应满足(　　) 甲　　　　　　　乙　　　　　　　　丙 A．FAC∶FAB＝1∶1　　　　 B．FAC∶FAB＝∶1 C．FAC∶FAB＝1∶ D．FAC∶FAB＝2∶ B　[将钢索AC、AB的拉力FAC、FAB进行合成，合力竖直向下，根据平行四边形定则作图，如图所示，结合正弦定理可知：FAC∶FAB＝sin β∶sin α＝∶1。故B正确，A、C、D错误。] 7．如图所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面的动摩擦因数相同，受到三个大小相同的作用力F，当它们滑动时(　　) 甲　　　　　 　乙　　　　 　　丙 A．甲、乙、丙所受摩擦力相同 B．甲受到的摩擦力最大 C．乙受到的摩擦力最大 D．丙受到的摩擦力最大 C　[将各题图中的力F沿水平和竖直方向分解，则题图中三个物体对地面的压力分别为N甲＝mg－F sin θ，N乙＝mg＋F sin θ，N丙＝mg，因它们均相对地面滑动，由f＝μN知，f乙>f丙>f甲，故C正确。] 题组三　力的分解中常见的四种情况 8．如图所示，一物块受一恒力F作用，现要使该物块沿直线AB运动，应该再加上另一个力的作用，则加上去的这个力的最小值为(　　) A．F cos θ　　　　　 B．F sin θ C．F tan θ D．F cot θ B　[要使物块沿AB方向运动，恒力F与另一个力的合力必沿AB方向，当另一个力与AB方向垂直时为最小，故F′＝F sin θ，B正确。] 9．郑济高铁黄河大桥架有很长的引桥，其目的是(　　) A．增大汽车上桥时对桥面的压力 B．减小汽车上桥时对桥面的压力 C．增大汽车重力沿平行于引桥桥面向下的分力 D．减小汽车重力沿平行于引桥桥面向下的分力 D　[引桥相当于斜面，引桥越长，斜面的倾角θ越小，汽车重力沿平行于引桥桥面向下的分力也越小，使汽车上桥时牵引力不至于太大，方便汽车通过大桥。] 10．(双选)两个共点力F1、F2互相垂直，其合力大小为F，F1与F间的夹角为α，F2与F间的夹角为β，如图所示。若保持力F的大小和方向均不变而改变F1，对于F2的变化情况，以下判断正确的是(　　) A．若保持α不变而减小F1，则β变小，F2变大 B．若保持α不变而减小F1，则β变大，F2变小 C．若保持F1的大小不变而减小α，则β变大，F2变大 D．若保持F1的大小不变而减小α，则β变小，F2变小 AD　[合力F保持不变，若保持α不变而减小F1，根据平行四边形定则可知，β变小，F2变大，如图甲所示，故A正确，B错误；若保持F1的大小不变而减小α，根据平行四边形定则可知，β变小，F2变小，如图乙所示，故C错误，D正确。 　] 甲　　　　　　　　　　　乙 11．(源自人教版教材改编)三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端、B端都固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳(　　) A．必定是OA B．必定是OB C．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC A　[由力的分解图知F1最大，故OA先断，A正确。 　] 12．如图所示，A、B两球完全相同，质量均为m＝0.4 kg，用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间夹着一根原长为L0＝0.2 m、劲度系数为k＝30 N/m的轻弹簧，静止时细线与竖直方向的夹角θ＝37°，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)细线的拉力T的大小； (2)弹簧的长度L。 [解析]　(1)A球的受力分析如图所示 细线的拉力 T＝＝5 N。 (2)弹簧弹力F＝mg tan θ 根据胡克定律得，弹簧的压缩量 x＝ 由以上各式解得L＝L0－x＝0.1 m。 [答案]　(1)5 N　(2)0.1 m 13．(教材P117T7改编)质量为M的木楔倾角为θ＝30°，在水平面上始终保持静止。当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑，如图所示，如果用沿与斜面也成θ＝30°角的力F拉木块，则木块刚好匀速上滑，求拉力F的大小。 [解析]　木块在斜面上匀速向下运动时，有 mg sin θ＝μmg cos θ，即μ＝tan θ＝ 施加拉力时，以斜面为x轴建立直角坐标系 y方向：FN＋F sin θ＝mg cos θ x方向：F cos θ＝mg sin θ＋μFN 解得：F＝＝mg。 [答案]　mg 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $