1.4绝对值 讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

1.4绝对值 学习目标 1. 理解绝对值的概念，掌握绝对值的几何意义和代数意义． 2. 会求一个有理数的绝对值，能利用绝对值的性质解决简单问题． 3. 掌握已知绝对值求原数的方法，理解绝对值的非负性． 4. 能比较含绝对值的数的大小，以及化简含绝对值的代数式． 知识点讲解 一、绝对值的定义 1. 几何意义：在数轴上，表示数 (a) 的点与原点的距离叫做数 (a) 的绝对值，记作 (|a|)． 2. 代数意义： · 当 (a > 0) 时，； · 当 时，； · 当 (a < 0) 时，． 二、绝对值的性质 1. 非负性：对于任意有理数 (a)，都有（绝对值最小的数是 0）． 2. 对称性：互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ． 3. 等价性：若 ，则 或 ． 4. 取值与原数关系： · 当 (a > 0) 时，； · 当 时，； · 当 (a < 0) 时，（即负数的绝对值是它的相反数，结果为正数）． 例题解析 例1：求下列各数的绝对值 （1）(7)；（2）；（3）(0)；（4）；（5） 例2：已知绝对值求原数 （1）若 ，求 (x) 的值；（2）若，求 (y) 的值． 例3：绝对值的非负性应用 若 ，求 (a + b) 的值． 例4：比较含绝对值的数的大小 比较下列各组数的大小： （1）与；（2） 与 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 一个数的绝对值一定是正数 B. 绝对值等于它本身的数一定是正数 C. 绝对值等于它的相反数的数一定是负数 D. 互为相反数的两个数的绝对值相等 2. 的值是（　　） A. (2023) B. (-2023) C. . 3. 若 ，则 (a) 的值是（　　） A. (7) B. (-7) C. (7) 或 (-7) D. 以上都不对 4. 下列各数中，绝对值最大的是（　　） A. (-3) B. (2) C. (0) D. 5. 若 ，则 (x) 的值是（　　） A. (2) B. (-2) C. (2) 或 (-2) D. 无法确定 二、填空题 1. （结果保留根号）． 2. 若 ，则 (m) 的取值范围是________． 3. 已知 ，则 ． 4. 比较大小：（填“(>)”“(<)”或“”）． 5. 若 ，，且 (a < 0)，(b > 0)，则 ． 三、解答题 1. 计算：． 2. 若 ，求 (a - b) 的值． 3. 比较下列各数的大小，并按从小到大的顺序排列：，，(0)，(-2)，(| 4 |)． 4. 已知 ，，且 (x < y)，求 (x + y) 的值． 5. 当 (x < -1) 时，化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4绝对值 学习目标 1. 理解绝对值的概念，掌握绝对值的几何意义和代数意义． 2. 会求一个有理数的绝对值，能利用绝对值的性质解决简单问题． 3. 掌握已知绝对值求原数的方法，理解绝对值的非负性． 4. 能比较含绝对值的数的大小，以及化简含绝对值的代数式． 知识点讲解 一、绝对值的定义 1. 几何意义：在数轴上，表示数 (a) 的点与原点的距离叫做数 (a) 的绝对值，记作 (|a|)． 2. 代数意义： · 当 (a > 0) 时，； · 当 时，； · 当 (a < 0) 时，． 二、绝对值的性质 1. 非负性：对于任意有理数 (a)，都有（绝对值最小的数是 0）． 2. 对称性：互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ． 3. 等价性：若 ，则 或 ． 4. 取值与原数关系： · 当 (a > 0) 时，； · 当 时，； · 当 (a < 0) 时，（即负数的绝对值是它的相反数，结果为正数）． 例题解析 例1：求下列各数的绝对值 （1）(7)；（2）；（3）(0)；（4）；（5） 解析： （1）因为 (7 > 0)，根据绝对值的代数意义，得 ． （2）因为，根据绝对值的代数意义，得． （3）因为 (0) 的绝对值是它本身，得 ． （4）因为 ，根据绝对值的代数意义，得 ． （5）因为，根据绝对值的代数意义，得． 例2：已知绝对值求原数 （1）若 ，求 (x) 的值；（2）若，求 (y) 的值． 解析： （1）根据绝对值的定义，绝对值等于 (5) 的数是数轴上与原点距离为 (5) 的点表示的数，所以 或 ． （2）同理，绝对值等于的数是与原点距离为的点表示的数，所以或． 例3：绝对值的非负性应用 若 ，求 (a + b) 的值． 解析： 因为绝对值具有非负性，即，，且它们的和为 (0)，所以每个绝对值都必须为 (0)． 即 解得 ，． 所以 ． 例4：比较含绝对值的数的大小 比较下列各组数的大小： （1）与；（2） 与 解析： （1）先求绝对值： ，． 因为，，且，所以． （2）先化简绝对值： ，． 因为 (-4 < -3)，所以 ． 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 一个数的绝对值一定是正数 B. 绝对值等于它本身的数一定是正数 C. 绝对值等于它的相反数的数一定是负数 D. 互为相反数的两个数的绝对值相等 2. 的值是（　　） A. (2023) B. (-2023) C. . 3. 若 ，则 (a) 的值是（　　） A. (7) B. (-7) C. (7) 或 (-7) D. 以上都不对 4. 下列各数中，绝对值最大的是（　　） A. (-3) B. (2) C. (0) D. 5. 若 ，则 (x) 的值是（　　） A. (2) B. (-2) C. (2) 或 (-2) D. 无法确定 二、填空题 1. （结果保留根号）． 2. 若 ，则 (m) 的取值范围是________． 3. 已知 ，则 ． 4. 比较大小：（填“(>)”“(<)”或“”）． 5. 若 ，，且 (a < 0)，(b > 0)，则 ． 三、解答题 1. 计算：． 2. 若 ，求 (a - b) 的值． 3. 比较下列各数的大小，并按从小到大的顺序排列：，，(0)，(-2)，(| 4 |)． 4. 已知 ，，且 (x < y)，求 (x + y) 的值． 5. 当 (x < -1) 时，化简：． 巩固练习答案 一、选择题答案 1. D 解析：A. (0) 的绝对值是 (0)，不是正数，故A错误；B. (0) 的绝对值等于它本身，但 (0) 不是正数，故B错误；C. (0) 的绝对值等于它的相反数（(0)），但 (0) 不是负数，故C错误；D. 互为相反数的两个数到原点距离相等，绝对值相等，故D正确． 2. A 解析：因为 (-2023 < 0)，所以 ． 3. C 解析：绝对值等于 (7) 的数是 (7) 或 (-7)，故 或 ． 4. D 解析：，，，，因为 (3.33 > 3 > 2 > 0)，所以绝对值最大的是． 5. A 解析：因为 ，所以 ，解得 ． 二、填空题答案 1. (0.6)； 解析：；． 2. 解析：正数和 (0) 的绝对值等于它本身，所以． 3. (2) 或 (-4) 解析：由 ，得 或 ，解得 或 ． 4. (>) 解析：，，因为 (5 > 4)，所以 ． 5. (-2) 解析：因为 且 (a < 0)，所以 ；因为 且 (b > 0)，所以 ，则 ． 三、解答题答案 1. 解： 2. 解： 因为，，且 ， 所以 ，， 解得 ，， 则 ． 3. 解： 先化简各数： ，，， 所以各数为 (-5)，(3)，(0)，(-2)，(4)， 从小到大排列为：(-5 < -2 < 0 < 3 < 4)． 4. 解： 因为 ，所以 或 ； 因为 ，所以 或 ． 又因为 (x < y)， 当 时，(5 < 3) 和 (5 < -3) 均不成立，舍去； 当 时，(-5 < 3) 和 (-5 < -3) 均成立， 所以 ， 或 ， 则 或 ． 5. 解： 当 (x < -1) 时，(x + 1 < 0)，(x - 1 < 0)， 所以 ，， 则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $