1.2.1数轴 讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

1.2.1数轴 学习目标 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。 2. 能够正确地画出数轴，并在数轴上表示出有理数和无理数。 3. 初步理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系。 4. 掌握在数轴上表示无理数的基本方法，特别是利用勾股定理构造直角三角形来确定无理数的位置。 知识点讲解 一、数轴的定义 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 二、数轴的三要素 1. 原点：在直线上取一个点表示数0，这个点叫做原点。它是数轴的基准点。 2. 正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。一般用箭头表示正方向。 3. 单位长度：选取适当的长度作为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1, 2, 3, ...；从原点向左，用类似方法依次表示-1, -2, -3, ...。单位长度的选取要根据实际需要而定，同一数轴上的单位长度必须统一。 三、数轴上的点与有理数的对应关系 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 - 正数在原点的右边，负数在原点的左边，0用原点表示。 - 对于分数或小数，可以将单位长度进行等分后表示。例如，可以表示在原点右边，距离原点半个单位长度的点。 四、数轴上的点与无理数的对应关系 无理数是无限不循环小数，如, ,, π等。它们也可以用数轴上的点来表示。 - 基本思路：利用勾股定理构造直角三角形，使其斜边的长度等于该无理数，然后以原点为圆心，以斜边长度为半径画弧，弧与数轴正方向的交点即为该无理数对应的点。 - 例如，表示,：在数轴上，过表示1的点作数轴的垂线，在垂线上截取长度为1的线段，连接原点与该线段的端点，得到一个直角边为1的等腰直角三角形，其斜边长为,=,。然后用圆规量取这个斜边的长度，以原点为圆心画弧，与数轴正半轴的交点即表示,。 - 对于像π这样的无理数，可以通过近似值在数轴上找到它的大致位置。 例题解析 例题1判断下列关于数轴的说法是否正确，并说明理由。 (1) 数轴是一条直线。 (2) 数轴上的原点表示0。 (3) 数轴上距离原点越远的点表示的数越大。 (4) 数轴的单位长度可以根据需要任意选取。 例题2说出如何在数轴上表示下列各数：3, -2, , ,。 例题3已知数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，距离原点3个单位长度；点B在原点右侧， 距离原点5个单位长度。 (1) 写出点A、点B所表示的数。 (2) 比较点A、点B所表示的数的大小。 例题4一个点从数轴上的原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后再向右移动1个单位长度。请说出这个点最终在数轴上表示的数是多少？ 巩固练习 一、选择题 (每题只有一个正确答案) 1. 下列哪项不是数轴的三要素 A. 原点 B. 正方向 C. 单位长度 D. 箭头 2. 数轴上表示-4的点在原点的 A. 左侧4个单位长度处 B. 右侧4个单位长度处 C. 左侧个单位长度处 D. 右侧个单位长度处 3. 在数轴上，与原点距离为个单位长度的点表示的数是 A. B. - C. ± D. 5 4. 下列各数中，能在数轴上准确表示的是 A. 0.1010010001...(每两个1之间依次多一个0) B. 无限循环小数 C. 所有无理数 D. 以上都可以 5. 数轴上点A表示的数是-1，将点A向右移动3个单位长度后得到点B，则点B表示的数是 A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 二、填空题 1. 数轴上表示-3的点与表示5的点之间的距离是（ ） 个单位长度。 2. 在数轴上，表示数（ ） 的点到原点的距离是它本身。 3. 要在数轴上表示,，可以构造一个直角边分别为 （ ） 和（ ） 的直角三角形，其斜边长度即为,。 4. 数轴上点M表示的数是2，点N表示的数是-3.5，点M在点N的 (填“左侧”或“右侧”)。 5. 一个数在数轴上对应的点在原点的左侧，且距离原点2.5个单位长度，这个数是（ ） 。 三、解答题 1. 请详细描述如何在数轴上找到表示,的点。 2. 数轴上有一点P，它表示的数是x。 (1) 如果点P在原点左侧，且|x|=4，求x的值。 (2) 如果将点P先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度后，所表示的数是2，求原来点P表示的数x。 3. 小明在画数轴时，不小心把一滴墨水滴在了画好的数轴上，墨迹覆盖了点A和点B之间的部分（点A在点B左侧）。已知点A表示的数是-1，点B表示的数是3。 (1) 点A和点B之间的距离是多少？ (2) 请写出两个被墨迹覆盖的整数。 (3) 被墨迹覆盖的部分表示的数的取值范围是多少？（用不等式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1数轴 学习目标 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。 2. 能够正确地画出数轴，并在数轴上表示出有理数和无理数。 3. 初步理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系。 4. 掌握在数轴上表示无理数的基本方法，特别是利用勾股定理构造直角三角形来确定无理数的位置。 知识点讲解 一、数轴的定义 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 二、数轴的三要素 1. 原点：在直线上取一个点表示数0，这个点叫做原点。它是数轴的基准点。 2. 正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。一般用箭头表示正方向。 3. 单位长度：选取适当的长度作为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1, 2, 3, ...；从原点向左，用类似方法依次表示-1, -2, -3, ...。单位长度的选取要根据实际需要而定，同一数轴上的单位长度必须统一。 三、数轴上的点与有理数的对应关系 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 - 正数在原点的右边，负数在原点的左边，0用原点表示。 - 对于分数或小数，可以将单位长度进行等分后表示。例如，可以表示在原点右边，距离原点半个单位长度的点。 四、数轴上的点与无理数的对应关系 无理数是无限不循环小数，如, ,, π等。它们也可以用数轴上的点来表示。 - 基本思路：利用勾股定理构造直角三角形，使其斜边的长度等于该无理数，然后以原点为圆心，以斜边长度为半径画弧，弧与数轴正方向的交点即为该无理数对应的点。 - 例如，表示,：在数轴上，过表示1的点作数轴的垂线，在垂线上截取长度为1的线段，连接原点与该线段的端点，得到一个直角边为1的等腰直角三角形，其斜边长为,=,。然后用圆规量取这个斜边的长度，以原点为圆心画弧，与数轴正半轴的交点即表示,。 - 对于像π这样的无理数，可以通过近似值在数轴上找到它的大致位置。 例题解析 例题1判断下列关于数轴的说法是否正确，并说明理由。 (1) 数轴是一条直线。 (2) 数轴上的原点表示0。 (3) 数轴上距离原点越远的点表示的数越大。 (4) 数轴的单位长度可以根据需要任意选取。 解析： (1) 正确。数轴的定义是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 (2) 正确。原点是数轴上表示0的点。 (3) 错误。数轴上，在原点右侧，距离原点越远的点表示的数越大；但在原点左侧，距离原点越远的点表示的数越小（即越负）。 (4) 正确。单位长度的选取是人为规定的，可以根据实际表示数的大小来确定。 例题2说出如何在数轴上表示下列各数：3, -2, , ,。 解析： 表示3：从原点出发，沿数轴正方向数3个单位长度，该点即表示3。 表示-2：从原点出发，沿数轴负方向数2个单位长度，该点即表示-2。 表示 ：从原点出发，沿数轴正方向，将一个单位长度平均分成2份，取其中1份的点即表示 。 表示： 第一步，在数轴上找到表示1的点A。 第二步，过点A作数轴的垂线l。 第三步，在垂线l上截取线段AB，使AB的长度为√2（可以通过先构造腰长为1的等腰直角三角形得到斜边√2）。 第四步，连接原点O与点B，此时OB为直角三角形OAB的斜边，OA=1，AB=√2。 第五步，根据勾股定理，OB= =,。 第六步，以原点O为圆心，OB长为半径画弧，弧与数轴正半轴交于点C，则点C即表示。 例题3已知数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，距离原点3个单位长度；点B在原点右侧， 距离原点5个单位长度。 (1) 写出点A、点B所表示的数。 (2) 比较点A、点B所表示的数的大小。 解析： (1) 因为点A在原点左侧，距离原点3个单位长度，所以点A表示的数是-3。 因为点B在原点右侧，距离原点5个单位长度，所以点B表示的数是5。 (2) 因为-3是负数，5是正数，负数小于正数，所以-3 < 5，即点A表示的数小于点B表示的数。 例题4一个点从数轴上的原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后再向右移动1个单位长度。请说出这个点最终在数轴上表示的数是多少？ 解析： 点从原点（表示0）开始移动。 第一次向右移动2个单位长度后，点表示的数是 0 + 2 = 2。 第二次向左移动5个单位长度后，点表示的数是 2 - 5 = -3。 第三次向右移动1个单位长度后，点表示的数是 -3 + 1 = -2。 所以，这个点最终在数轴上表示的数是-2。 巩固练习 一、选择题 (每题只有一个正确答案) 1. 下列哪项不是数轴的三要素 A. 原点 B. 正方向 C. 单位长度 D. 箭头 2. 数轴上表示-4的点在原点的 A. 左侧4个单位长度处 B. 右侧4个单位长度处 C. 左侧个单位长度处 D. 右侧个单位长度处 3. 在数轴上，与原点距离为个单位长度的点表示的数是 A. B. - C. ± D. 5 4. 下列各数中，能在数轴上准确表示的是 A. 0.1010010001...(每两个1之间依次多一个0) B. 无限循环小数 C. 所有无理数 D. 以上都可以 5. 数轴上点A表示的数是-1，将点A向右移动3个单位长度后得到点B，则点B表示的数是 A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 二、填空题 1. 数轴上表示-3的点与表示5的点之间的距离是（ ） 个单位长度。 2. 在数轴上，表示数（ ） 的点到原点的距离是它本身。 3. 要在数轴上表示,，可以构造一个直角边分别为 （ ） 和（ ） 的直角三角形，其斜边长度即为,。 4. 数轴上点M表示的数是2，点N表示的数是-3.5，点M在点N的 (填“左侧”或“右侧”)。 5. 一个数在数轴上对应的点在原点的左侧，且距离原点2.5个单位长度，这个数是（ ） 。 三、解答题 1. 请详细描述如何在数轴上找到表示,的点。 2. 数轴上有一点P，它表示的数是x。 (1) 如果点P在原点左侧，且|x|=4，求x的值。 (2) 如果将点P先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度后，所表示的数是2，求原来点P表示的数x。 3. 小明在画数轴时，不小心把一滴墨水滴在了画好的数轴上，墨迹覆盖了点A和点B之间的部分（点A在点B左侧）。已知点A表示的数是-1，点B表示的数是3。 (1) 点A和点B之间的距离是多少？ (2) 请写出两个被墨迹覆盖的整数。 (3) 被墨迹覆盖的部分表示的数的取值范围是多少？（用不等式表示） 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. D 解析：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度。箭头通常用来指示正方向，但它本身不是三要素之一。 2. A 解析：数轴上，负数在原点左侧，正数在原点右侧。-4是负数，所以在原点左侧，距离原点4个单位长度。 3. C 解析：与原点距离为√5个单位长度的点，可能在原点左侧，也可能在原点右侧，所以表示的数是±√5。 4. D 解析：0.1010010001...(每两个1之间依次多一个0)是无理数，无理数可以通过几何方法在数轴上找到对应点；无限循环小数是有理数，有理数都能在数轴上准确表示；所有无理数都能在数轴上找到对应的点（虽然有些不能用尺规作图精确画出，但从理论上是存在对应点的）。所以A、B、C选项的数都能在数轴上准确表示（或理论上存在对应点），故D正确。 5. C 解析：点A表示-1，向右移动3个单位长度，即-1 + 3 = 2，所以点B表示2。 二、填空题 1. 8 解析：数轴上两点之间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值。表示-3的点与表示5的点之间的距离是|5 - (-3)| = |5 + 3| = 8。 2. 非负数（或0和正数） 解析：数轴上，正数和0到原点的距离是它本身，负数到原点的距离是它的相反数。所以表示数非负数的点到原点的距离是它本身。 3. 2, (只要两数平方和为7即可) 解析：要构造斜边为√7的直角三角形，只要两直角边的平方和为7即可。例如，2² + (,)² = 4 + 3 = 7，所以直角边可以是2和,。（答案不唯一） 4. 右侧 解析：数轴上，右边的数总比左边的数大。因为2 > -3.5，所以点M在点N的右侧。 5. -2.5 解析：在原点左侧的数是负数，距离原点2.5个单位长度，所以这个数是-2.5。 三、解答题 1. 解析： 第一步，在数轴上找到表示2的点A。 第二步，过点A作数轴的垂线l。 第三步，在垂线l上截取线段AB，使AB的长度为1个单位长度。 第四步，连接原点O与点B。此时，三角形OAB是一个直角三角形，其中OA = 2，AB = 1。 第五步，根据勾股定理，斜边OB的长度为== ,。 第六步，以原点O为圆心，OB长为半径画弧，弧与数轴正半轴交于点C。 则点C即为表示,的点。 2. 解析： (1) 因为点P在原点左侧，所以x是负数。 又因为|x| = 4，所以x = -4。 (2) 根据题意，点P先向左移动3个单位长度，表示的数为x - 3。 再向右移动6个单位长度后，表示的数为(x - 3) + 6。 已知最终表示的数是2，所以可列方程： (x - 3) + 6 = 2 x + 3 = 2 x = 2 - 3 x = -1 所以原来点P表示的数x是-1。 3. 解析： (1) 点A表示-1，点B表示3。 点A和点B之间的距离是|3 - (-1)| = |3 + 1| = 4。 (2) 被墨迹覆盖的整数是大于-1且小于3的整数，有0, 1, 2。从中任选两个即可，例如：0和1。 (3) 点A在点B左侧，所以被墨迹覆盖的部分表示的数x的取值范围是 -1 < x < 3。 学科网（北京）股份有限公司 $