第22章 二次函数 单元复习讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学二次函数复习讲义以“定义-图象性质-方程关系-实际应用”为主线构建知识体系，通过表格对比不同形式二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等三要素，用要点诠释解析a、b、c的作用及与方程根的关系，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“知识点-例题-分层训练”的闭环设计，涵盖定义辨析、图象平移、实际应用等八类题型，如用待定系数法求解析式培养抽象能力，销售利润应用题发展模型意识，平移问题强化几何直观。基础题巩固概念，综合题提升思维，助力学生分层提升，为教师精准教学提供有效支持。

二次函数复习讲义2025-2026学年人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点二：二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 知识点三：二次函数与一元二次方程的关系 　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 知识点四：利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【典型例题与巩固练习】 类型一：二次函数的定义 【典型例题】 例1．下列函数中，是二次函数的是（       ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1.下列函数不属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数是二次函数的条件是（ ） A．、为常数，且m≠0 B．、为常数，且 C．、为常数，且n≠0 D．、可以为任何数 3．若是二次函数，且图象开口向下，则的值为（ ） A． B．0 C． D． 4.已知函数是二次函数，则m＝________． 5．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 类型二：二次函数的图象与性质 【典型例题】 例2.关于函数的图象，有下列说法： ①对称轴为直线   ②抛物线开口向上 ③图象经过原点       ④从图象可以判断出当时，y随着x的增大而减小． 其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【巩固训练】 1.抛物线的开口方向是（    ） A．向下 B．向上 C．向左 D．向右 2．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　） A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2 3.对于抛物线y＝2（x﹣5）2＋3，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线x＝5 B．函数的最大值是3 C．开口向上，顶点坐标（5，3） D．当x＞5时y随x的增大而增大 4．下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．方程的解是 D．当，函数值小于0 5.抛物线的顶点坐标是（       ） A．（，4） B．（，） C．（4，） D．（，） 6.已知抛物线（）过，两点，则下列关系式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 8.二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限 9．抛物线的对称轴是______． 10.二次函数的最大值是______． 11．（已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． 类型三：二次函数的图像与系数的关系 【典型例题】 例3.如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固训练】 1.已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（       ） A．B．C． D． 2.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是(     ) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 3.二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个相等的实数根，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，抛物线的对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5.如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为(1，0)．下面的四个结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的结论是_____(填写序号)． 类型四：待定系数法球二次函数解析式 【典型例题】 例4.如图，二次函数图象经过点、、． （1）求此二次函数的解析式； （2）观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 【巩固训练】 1. 抛物线 y＝ax²+bx+c 过 (0,4)、(1,2)、(2,0)，则解析式为（ ） A. y=-x²-x+4 B. y=-x²+x+4 C. y=x²-x+4 D. y=x²+x+4 2.已知抛物线顶点为 (2,-3)，且过点 (0,1)，则其解析式为（ ） A. y=(x-2)²-3 B. y=(x+2)²-3 C. y=(x-2)²+1 D. y=(x+2)²+1 3.抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与 x 轴交于 (1,0)、(3,0)，且过 (0,6)，则解析式为（ ） A. y=2x²-8x+6 B. y=x²-4x+3 C. y=3x²-12x+9 D. y=-2x²+8x-6 4.抛物线与 x 轴交于 (－3,0)、(1,0)，且过 (0,－3)，则解析式为 __________。 5.已知抛物线对称轴 x＝－1，过 (0,2) 和 (1,0)，则解析式为 __________。 2. 6.已知抛物线的顶点为且过，求其解析式． 7.二次函数的图象如图所示，其中图象与x轴交于点A和点B． （1）求此二次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 类型五：二次函数的图像平移问题 【典型例题】 例5.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1.将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（    ） A．（－4，4） B．（0，4） C．（0，6） D．（－4，－6） 2.将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是（    ） A．y＝﹣2（x﹣3）2﹣1 B．y＝﹣2（x＋1）2﹣1 C．y＝﹣2（x＋1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣3 3.将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 4.小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度        ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度        ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.若要得到抛物线y=（x+5）2-3，可以将抛物线y=x2（    ） A．先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度 6．二次函数y＝x2—2x一2的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_______． 7.把抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式_____． 类型六：二次函数交点问题 【典型例题】 例6.已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0 【巩固训练】 1．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（    ） A． B．2 C． D．4 2.二次函数的图象与x轴有一个公共点．这对应着一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（2，0）．当y＞0时，x的取值范围是_____． 4.抛物线和x轴有公共点，则k的取值范围是___________． 5.已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是______． 类型七：二次函数与不等式 【典型例题】 例7．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【巩固训练】 1.如图，函数y=ax2+c与y=mx+n的图象交于A（-1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式ax2-mx≥n-c的解集是（     ） A．x≥2 B．-1<x<2 C．-1≤x≤2 D．x≤-1或x≥2 2.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 3．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 4.抛物线的部分图像如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_____． 类型八：二次函数应用题 【典型例题】 例8.某县古镇地摊上出售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个20元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：，设这种双肩包每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该地摊销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【巩固训练】 1.广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（  ） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 2.拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为（    ）米. A．8 B．9 C．10 D．11 3．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数解析式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（       ） A．6m B．12m C．8m D．10m 4.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（    ） A．y＝x（40－x） B．y＝x（18－x） C．y＝x（40－2x） D．y＝2x（40－x） 5.加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________． 6.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m. 7.某学校在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. （1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； （2）求矩形养殖园面积的最大值. 8.我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？ （2）试确定月销售量（台）与售价（元/台）之间的函数关系式，并求出售价的范围． （3）当售价（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？ 【综合训练】 1．若是二次函数，则的值是（    ） A． B．3 C．9 D． 2.二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 3.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④3a+c＝0，其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.二次函数的最小值为________． 5.若二次函数y=ax2+ax+c（a≠0）的图象经过点（1，0），则方程ax2+ax+c=0（a≠0）的解为_________ ． 6.某产品进价为90元，按100元一个售出时，每天售500个，如果这种产品涨价1元，其销售量每天就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为____元． 7．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 8.某超市对进货价位元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量（千克）与销售价（元/千克）存在一次函数关系，如图所示． （1）求关于的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 二次函数复习讲义2025-2026学年人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点二：二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 知识点三：二次函数与一元二次方程的关系 　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 知识点四：利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【典型例题与巩固练习】 类型一：二次函数的定义 【典型例题】 例1．下列函数中，是二次函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【巩固训练】 1.下列函数不属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．函数是二次函数的条件是（ ） A．、为常数，且m≠0 B．、为常数，且 C．、为常数，且n≠0 D．、可以为任何数 【答案】B 3．若是二次函数，且图象开口向下，则的值为（ ） A． B．0 C． D． 【答案】D 4.已知函数是二次函数，则m＝________． 【答案】 5．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 【答案】﹣5、3、1 类型二：二次函数的图象与性质 【典型例题】 例2.关于函数的图象，有下列说法： ①对称轴为直线   ②抛物线开口向上 ③图象经过原点       ④从图象可以判断出当时，y随着x的增大而减小． 其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【巩固训练】 1.抛物线的开口方向是（    ） A．向下 B．向上 C．向左 D．向右 【答案】A 2．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　） A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2 【答案】A 3.对于抛物线y＝2（x﹣5）2＋3，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线x＝5 B．函数的最大值是3 C．开口向上，顶点坐标（5，3） D．当x＞5时y随x的增大而增大 【答案】B 4．下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．方程的解是 D．当，函数值小于0 【答案】D 5.抛物线的顶点坐标是（       ） A．（，4） B．（，） C．（4，） D．（，） 【答案】A 6.已知抛物线（）过，两点，则下列关系式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 7.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 【答案】D 8.二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限 【答案】C 9．抛物线的对称轴是______． 【答案】 10.二次函数的最大值是______． 【答案】1 11．（已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． 【答案】 类型三：二次函数的图像与系数的关系 【典型例题】 例3.如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【巩固训练】 1.已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（       ） A．B．C． D． 【答案】C 2.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是(     ) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 3.二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个相等的实数根，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 4.如图，抛物线的对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 5.如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为(1，0)．下面的四个结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的结论是_____(填写序号)． 【答案】①②④． 类型四：待定系数法球二次函数解析式 【典型例题】 例4.如图，二次函数图象经过点、、． （1）求此二次函数的解析式； （2）观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 【答案】 【小问1详解】 解：二次函数图象经过点、、， ， 解得：， 二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，的取值范围为：或． 【巩固训练】 1.抛物线 y＝ax²+bx+c 过 (0,4)、(1,2)、(2,0)，则解析式为（ ） A. y=-x²-x+4 B. y=-x²+x+4 C. y=x²-x+4 D. y=x²+x+4 [答案]B 2.已知抛物线顶点为 (2,-3)，且过点 (0,1)，则其解析式为（ ） A. y=(x-2)²-3 B. y=(x+2)²-3 C. y=(x-2)²+1 D. y=(x+2)²+1 [答案]A 3.抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与 x 轴交于 (1,0)、(3,0)，且过 (0,6)，则解析式为（ ） A. y=2x²-8x+6 B. y=x²-4x+3 C. y=3x²-12x+9 D. y=-2x²+8x-6 [答案]A 4.抛物线与 x 轴交于 (－3,0)、(1,0)，且过 (0,－3)，则解析式为 __________。 [答案]y＝x²＋2x－3 5.已知抛物线对称轴 x＝－1，过 (0,2) 和 (1,0)，则解析式为 __________。 [答案]y＝－2x²－4x＋2 6.已知抛物线的顶点为且过，求其解析式． 解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2， 把（0，-1）代入得a•（0+1）2+2=-1，解得a=-3， 所以抛物线的解析式为y=-3（x+1）2+2． 7.二次函数的图象如图所示，其中图象与x轴交于点A和点B． （1）求此二次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】 【小问1详解】 解：由已知，函数图象经过， 将点A，B坐标代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 由已知，二次函数图象与x轴的交点横坐标分别为， 不等式的解集为或． 类型五：二次函数的图像平移问题 【典型例题】 例5.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【巩固训练】 1.将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（    ） A．（－4，4） B．（0，4） C．（0，6） D．（－4，－6） 【答案】B 2.将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是（    ） A．y＝﹣2（x﹣3）2﹣1 B．y＝﹣2（x＋1）2﹣1 C．y＝﹣2（x＋1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣3 【答案】B 3.将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度        ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度        ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 5.若要得到抛物线y=（x+5）2-3，可以将抛物线y=x2（    ） A．先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】B 6．二次函数y＝x2—2x一2的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_______． 【答案】y＝(x-4)2＋1 7.把抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式_____． 【答案】y＝2x2+3． 类型六：二次函数交点问题 【典型例题】 例6.已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0 【答案】C 【巩固训练】 1．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 2.二次函数的图象与x轴有一个公共点．这对应着一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（2，0）．当y＞0时，x的取值范围是_____． 【答案】x＜﹣1或x＞2##x＞2或x＜-1 4.抛物线和x轴有公共点，则k的取值范围是___________． 【答案】且 5.已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是______． 【答案】 类型七：二次函数与不等式 【典型例题】 例7．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 【巩固训练】 1.如图，函数y=ax2+c与y=mx+n的图象交于A（-1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式ax2-mx≥n-c的解集是（     ） A．x≥2 B．-1<x<2 C．-1≤x≤2 D．x≤-1或x≥2 【答案】C 2.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 3．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 4.抛物线的部分图像如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_____． 【答案】 类型八：二次函数应用题 【典型例题】 例8.某县古镇地摊上出售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个20元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：，设这种双肩包每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该地摊销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) 解：， 与之间的函数解析式； (2) 解：根据题意得：， ， ∴当时，有最大值，最大值是400； (3) 解：当时，， 解得，， ， ∴不符合题意，舍去， 即该地摊销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为30元． 【巩固训练】 1.广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（  ） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 【答案】B 2.拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为（    ）米. A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 3．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数解析式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（       ） A．6m B．12m C．8m D．10m 【答案】D 4.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（    ） A．y＝x（40－x） B．y＝x（18－x） C．y＝x（40－2x） D．y＝2x（40－x） 【答案】C 5.加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________． 【答案】3.75 6.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m. 【答案】2 7.某学校在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. （1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； （2）求矩形养殖园面积的最大值. 【答案】 【小问1详解】 解：∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. ∴设养殖园的边的长为， 则， 那么 解得 ∵墙长为16米. ∴ ∴养殖园的边的长为米； 【小问2详解】 解：设矩形养殖园面积为， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且平方米． 8.我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？ （2）试确定月销售量（台）与售价（元/台）之间的函数关系式，并求出售价的范围． （3）当售价（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）由题意得：（台） 答：该月可售出350台； （2）由题意得： 由供货商对售价和销售量的规定得：，即 解得： 答：所求的函数关系式为，售价的范围为； （3）由题意和（2）可得： 整理得： 由二次函数的性质可知：当时，随x的增大而减小 则当时，取得最大值，最大值为（元） 答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元． 【综合训练】 1．若是二次函数，则的值是（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 2.二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 【答案】B 3.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④3a+c＝0，其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 4.二次函数的最小值为________． 【答案】-2 5.若二次函数y=ax2+ax+c（a≠0）的图象经过点（1，0），则方程ax2+ax+c=0（a≠0）的解为_________ ． 【答案】x1=-3，x2=1 6.某产品进价为90元，按100元一个售出时，每天售500个，如果这种产品涨价1元，其销售量每天就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为____元． 【答案】120 7．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 【答案】8 8.某超市对进货价位元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量（千克）与销售价（元/千克）存在一次函数关系，如图所示． （1）求关于的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）设y=kx+b，由图象可知，， 解得：，则y=-4x+160; （2）设销售利润为P，根据题意， 得：P=（x-20）（-4x+160） =-4x2+240x-3200， =-4（x-30）2+400， 则当x=30时，P最大值=400， 答：当售价为30元/千克时，该品种苹果的每天销售利润最大，最大利润是400元． 学科网（北京）股份有限公司 $