精品解析：2024年山东省枣庄市台儿庄区中考二模数学试题

2023~2024学年度第二次调研考试 九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上． 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项正确． 故答案为D． 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据中心对称图形、轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行， ，. ， ，. . 故选：C. 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质. 4. 关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解集m＜x＜3， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，-1， ∴-2≤m<-1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到-2≤m<-1是解此题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，再根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图，过A点作轴于D点， 的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为． ， ， 为的中点， ， ， ， 则点的坐标为：，． 故选：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识． 6. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示， 则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 7. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤(lǎng)”、“朤(lǎng)”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法和概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 画树状图，共有16种等可能的结果，共有16种等可能的结果，两人抽到汉字可以组成“朤朤”的有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：“前”、“程”、“朤(lǎng)”、“朤(lǎng)”四个汉字，用A、B、C、D表示 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两人抽到汉字可以组成“朤朤”的有4种， ∴两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是， 故选B． 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果. 【详解】解：连接OA和OC， ∵点P在y轴上，则△AOC和△APC面积相等， ∵A在上，C在上，AB⊥x轴， ∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=6， ∴△APC的面积为6， 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键. 9. 如图，在矩形中，是上的一点，是等边三角形，交于点，则下列结论不成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法正确；假设∠BAC=45°，可得到AB=BC，又AB=BE，所以BE=BC，不成立，所以B说法错误；设EC的长为x，BE=2EC=2x，BC=，证得△ECF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得，C说法正确；AD=BC=，AB=BE=2x，可得D说法正确． 【详解】解：在矩形ABCD中，是等边三角形， ∴∠DAB=90°，∠EAB=60°， ∴∠DAE=90°-60°=30°， 故A说法正确； 若∠BAC=45°，则AB=BC， 又∵AB=BE， ∴BE=BC， 在△BEC中，BE为斜边，BE＞BC， 故B说法错误； 设EC的长为x， 易得∠ECB=30°， ∴BE=2EC=2x，BC=， AB=BE=2x， ∵DC∥AB， ∴∠ECA=∠CAB， 又∵∠EFC=∠BFA， ∴△ECF∽△BAF， ∴， 故C说法正确； AD=BC=， ∴， 故D说法正确． 故选：B 【点睛】本题考查了矩形和等边三角形的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握矩形和等边三角形的性质是解题的关键． 10. 已知二次函数（为常数）图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项． 【详解】解： ∵图象与x轴有交点， ∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0 解得a≥-2； ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴实数a的取值范围是-2≤a≤3． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题纸上． 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式-n，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解：-m2n+6mn-9n =-n(m2-6m+9) =-n(m-3)2 故答案为：-n(m-3)2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法分解因式的综合运用．熟练掌握提公因式法与公式法分解因式的方法是解题的关键． 12. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．分和两种情况，分别求解即可． 【详解】解：对于关于的方程， 当时，可有，解得； 当时，该方程为一元二次方程， 则有， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 13. 某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 【答案】八 【解析】 【分析】打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可. 【详解】解：设应打x折， 则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%， 解得：x=8． 故商店应打八折． 故答案为：八． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法． 14. 如图，，分别与相切于A，B的点，且，若点C是上异于点A、B，则的大小为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时， ∵分别与相切于两点 ∴， ∵． ∴ ∵， ∴， 当点在劣弧上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 15. 如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答． 【详解】解：设BC=a，则AC=2a ∵正方形 ∴EC=，∠ECD= 同理：CG=,∠GCD= ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，以为圆心，为半径作 得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，利用关于原点成中心对称，从而可得答案． 【详解】解：如图，以为圆心，为半径作 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个， 即把绕点O顺时针旋转i个， 旋转后的对应点依次记为， 周角 绕点O顺时针旋转次回到原位置， 与重合， 连接 正六边形， ∴ 由正六边形的对称性可知： 由图可知：关于原点成中心对称， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，正六边形的性质，对称性，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：（满分72分） 17. （1）化简，再求值：，其中； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值和实数的混合运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分得最简结果，再把代入计算即可； （2）原式分别根据负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则、绝对值代数意义、立方根以及特殊角三角函数值对各项进行化简，最后进行计算即可． 【详解】解：（1） 当时，原式； （2） ． 18. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由： （3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）79，79，27； （2）乙，见解析； （3）42人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解； （2）结合平均数，方差代表的数据信息说明； （3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数． 【小问1详解】 解：甲班成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，故中位数，众数； 乙班数据方差 【小问2详解】 乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好． 【小问3详解】 获奖人数：（人）． 答：两个班获奖人数为42人． 【点睛】本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数，方差的定义是解题的关键． 19. 为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元． （1）A，B两种花卉每盆各多少元？ （2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）A 种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元；（2）购买A 种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250元 【解析】 【分析】（1）设A 种花卉每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方程并检验； （2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t），w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000，w随t的增大而减小，所以根据t的范围可以求得w的最小值． 【详解】解：（1）设A 种花卉每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元． 根据题意，得． 解这个方程，得x＝1. 经检验知，x＝1是原分式方程的根，并符合题意． 此时x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）． 所以，A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元． （2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t）， 解得∶t≤1500. 由题意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000. 因为w是t的一次函数，k＝－0.5＜0，w随t的增大而减小，所以当t＝1500 盆时，w最小． w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）． 所以，购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为8250元． 【点睛】本题主要考查了分式方程解决实际问题和一次函数求最值，根据等量关系列出方程和函数关系式及取值范围是解题关键． 20. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 A，B之间的距离 任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是______m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，，） 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？ 【答案】任务一：；任务二：；任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等． 【解析】 【分析】任务一：两数之和除以2，即可作答； 任务二：设，解直角三角形即可得到结论； 任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）． 【详解】任务一：平均值：， 故答案为：； 任务二：由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，， 设， 在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（m）， 答：旗杆GH的高度为． 任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可； （2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入一次函数，得， 解得， ， 把代入反比例函数，得， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令，解得或， 当时，，即， 当时，， ， ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即； 当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即； 当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即； 综上，P点坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 22. 如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆的切线； （2）已知，，求长度及阴影部分面积． 【答案】（1）证明见详解； （2）AC=3，阴影部分面积为． 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可； （2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC、OD、CD，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积． 【小问1详解】 证明：连接OD ∵OD=OB ∴∠OBD=∠ODB ∵AC=CD ∴∠A=∠ADC ∵∠ADC=∠BDE ∴∠A=∠EDB ∵∠AOB=90° ∴∠A+∠ABO=90° ∴∠ODB+∠BDE=90° 即OD⊥CE， 又D在上 ∴是圆的切线； 【小问2详解】 解：由（1）可知，∠ODC=90° 在Rt△OCD中， ∴设OD=OB=4x，则OC=5x， ∴ ∴AC=3x ∴OA=OC+AC=8x 在Rt△OAB中： 即： 解得，（-1舍去） ∴AC=3，OC=5，OB=OD=4 在Rt△OCE中， ∴设OE=4y，则CE=5y， ∵ 解得，（舍去） ∴ ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）点，的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； 【小问2详解】 当时，， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； 【小问3详解】 过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示， ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 24. 问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． （1）操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________； （2）类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； （3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）， （参考数据：） 【答案】（1）1，1， （2）①是等边三角形，理由见解析；② （3）， 【解析】 【分析】（1）若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积=正方形的面积=1；当与垂直时，，重叠部分的面积=正方形的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为．利用全等三角形的性质证明即可； （2）①结论：是等边三角形．证明，可得结论； ②如图3中，连接，过点O作于点J．证明，推出，解直角三角形求出，即可解决问题； （3）当点都在上时，过点作于点，作的外接圆，记为，连接，过点作于点，则，设为，由于，而为定值，故最小，则最小，在中，，则当最小，最小，因为，则，故当点三点共线时，取得最小值，此时在中，，则；当点M在上，点在上时，过点作于点，过点交于点， 同上可得，则，由于，故当最小，则最大，因为，故最小，则最大，同上，垂直平分， 此时，，，则，则． 【小问1详解】 解：当与重合时，与重合，如图所示， 重叠部分的面积； 当与垂直时，，如图所示， 重叠部分的面积； 一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为． 理由：设交于点J，交于点K，过点O作于点M，于点N．如图所示， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1，1，． 【小问2详解】 解：①如图2中，结论：是等边三角形． 理由：过点O作， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②如图3中，连接，过点O作于点J． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：当点都在上时，过点作于点，作的外接圆，记为，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， 设为， ∵，而为定值， ∴最小，则最小， 在中，， ∴， ∴当最小，最小， ∵， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，如图 此时垂直平分， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 当点M在上，点在上时，过点作于点，过点交于点，如图 同上可得， ∴， ∵， ∴当最小，则最大， ∵， ∴最小，则最大， 同上，垂直平分，如图 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，的最小值为，的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二次调研考试 九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上． 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 7. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤(lǎng)”、“朤(lǎng)”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 12 9. 如图，在矩形中，是上的一点，是等边三角形，交于点，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题纸上． 11 分解因式：__________． 12. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 13. 某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 14. 如图，，分别与相切于A，B的点，且，若点C是上异于点A、B，则的大小为_________． 15. 如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是__________． 三、解答题：（满分72分） 17. （1）化简，再求值：，其中； （2）计算：． 18. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由： （3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 19. 为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元． （1）A，B两种花卉每盆各多少元？ （2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 20. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 度数 A，B之间的距离 任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是______m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，，） 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？ 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆的切线； （2）已知，，求长度及阴影部分面积． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； （3）第一象限内抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的坐标． 24. 问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． （1）操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________； （2）类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； （3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）， （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $