江浙皖高中（县中）发展共同体2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题

绝密★启用前 2025学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级10月联考 数 学 命题：命题专家 审题：长兴中学 姜堰中学 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析。 一、选择题：本题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是是符合题目要求的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．集合，则中的元素个数为（ ▲ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．在复平面内，对应的点位于（ ▲ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某学校为了解学生的视力情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一、高二、高三三个年级共抽100名学生，已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名，300名，300名学生，则不同的抽样结果种数有（ ▲ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ▲ ） A． B． C．10 D． 5．若函数的最小正周期为2，则正实数（ ▲ ） A． B． C． D． 6．若定义在上的可导函数满足，则函数在处的瞬时变化率为（ ▲ ） A． B． C． D．1 7．若，则的最大值是（ ▲ ） A．0 B． C． D．3 8．已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点的直线与圆交于两点，且满足，则的取值范围是（ ▲ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则下列命题为真命题的是（ ▲ ） A． B． C． D． 10．一家大型超市的店长为了解本店日销售情况，记录了过去100天的日销售营业额(单位：万元)并将数据整理下表 日销售额 150) 频数 5 20 40 30 5 据表中数据，结论中正确的是（ ▲ ） A．100天日销售营业额的中位数小于250万元． B．100天日销售营业额的平均值为230万元 C．100天日销售营业额的第75百分位数介于200~250之间 D．100天日销售营业额的极差介于150~250之间 11．在正四棱柱中，，是的中点，则（ ▲ ） A．平面 B．平面 C．对角线与底面所成的角为 D．四面体的体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线是曲线的切线，则 ▲ ． 13．已知、、分别为三个内角、、的对边，且，则 ▲ ． 14．一袋中有4个白球和3个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中，如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复3次这样操作后，记袋中的白球个数为，则 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表： 性别 身高 低于 不低于 合计 男 9 91 100 女 90 10 100 合计 99 101 200 (1)在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于的概率是多少？ 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联释所得结论的实际含义． 附， 16．（本题满分15分）已知数列满足． (1)若，求； (2)若是公差为的等差数列，求的取值范围． 17．（本题满分15分）如图，在直四棱柱中，平面平面，且， ． (1)求证：四点共面； (2)若，求二面角的正弦值 18．（本题满分17分）设椭圆的离心率为，是的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点是上的两点，且． (i)设直线的斜率为，求直线的方程； (ii)求面积的最大值与最小值． 19．（本题满分17分）已知函数． (1)若是的一个极值点． (i)求的值： (ii)判断在处取得极大值还是极小值，并说明理由： (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年第一学期江浙皖高中（县中)发展共同体高三年级10月联考 数学参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的： 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.) 1.【答案】C 【解析】AUB={1,2,3,4}U{3,4,5,6}=1,2,3,4,5,6},有6个元素，故答案选C。 2.【答案】B 【解析】(1+)(1+3)=一2十4i对应的点位于第二象限，故答案选B. 3.【答案】D 【解析】由题可知各年级分别抽40,30,30名学生，不同抽样结果为C48CC8,故答案选D. 4.【答案】C 【解析】由题意可知b-=3,即b=3a,离心率e=a+-10d2=V10,故答案选C. a a 5.【答案】A 【解折】-+2sn0coax-inax=cas2a+sn2axN2sin2ox+孕.其月期722。 解得0 ,故答案选A. 6.【答案】D 【解析】由条件，得2f)一f6-y)=3,令x=3,得f③)=1.故答案选：D. 7.【答案】B 【解析】由M=y-x+1z-y+1Vz-x≤21 w=0十》+2x=(N2+1)2-x≤2+1.等号在 2 X=0,y=1时成立，故答案选B. 8.【答案】A 【解析】取A,B的中点Q,因为A-3店，所以A=3店，P可-+-店，所以P@=子2， 又og-是x9 49+1=5,所以点P在圆x-2y++22=25上，又P在直线1上， 所以直线1与圆(K-2++2=25相交或相切，所以m5,所以-52s5V2,选A. V2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.) 9.【答案】ACD 【解析】当x=0时，∥b,故A正确：因为a十b=(0,2x),m-b=(10,0),所以，≠0时，(a+) 第1页（共5页） 与(a-b)不共线，故B错误；当x=5,或-5时，b=0,所以aLb,故C正确：因为（叶）(a-)= (0,2x)(10,0)=0,所以(a十D)⊥(a-b),故D正确.故选ACD. 10.【答案】ABD 【解析】对于A,根据频数分布表可知，营业额大于或等于250的天数共有30+5=35天，故中位数一定 小于250，故A正确：日销售营业额的平均值为，1×(5x125+20×175+40×225+30x275+5×325)= 100 230,故B正确；因为5+20叶40=65<75，所以第75百分位数不小于250，故C错误；极差最大值小 于350一100=250，最小值大于300一150=150，故D正确.故答案选ABD. 11.【答案】AB 【解析】因为AC∥A1C1,A1C1C平面A1CD,ACa平面A1CD,所以AC∥平面A1CD,故A正确： 因为E为CC1中点，且CC1=2BC,所以B1E⊥BE,又AB⊥BE,AB∩BE=B,所以B1E⊥平面ABE, 故B正确：由正四棱柱性质及线面角定义可知∠DBD1为对角线BD1与底面ABCD所成的角，其正切 值为N2,故C错误：因为CD∥平面AB,所以s=yae=as}A×S}1Ix1 3 2 石故D错误，答案选AB, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】e2 【解析】设切点为，).由=x得'-所以a=即6。切线方程为r一之b4 10 -1-Ina=-3,Ina=2,a=e2. 1B.【答案】} 【解折】因为b=aeoC+-cos4,所以3csn4+coa4=2,所以V34+co4=2.所以A-号 14.【答案1753 343 【解1由题在可知.X=4.5.6.且心=到9-梁心=5列=号+号 7 777777 183 009+号+号阳e刀名0所以04+5g 3431 343 6×90+7×6=1753 343 343343 另解：设a次操作后白球的个数为x,则4)01，而0-头所以0斗+1 235 49 B0-BW)=6x235+1=1753 749 343 (本题可考虑求E(X) 第2页（共5页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 解：(1)设两名学生身高均不低于170cm的事件为A,由古典概率计算公式得 PA)=C21o1=101 C2200398 (2)零假设为H:该中学高三年级学生的性别与身高无关联， n(ad-be) x= =200x(9x101-90x99Y-=131.233>10.828, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 100×100×99×101 根据=0.001的独立性检验，我们推断H不成立，即认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 .13分 16.(本题满分15分) 解：(1)因为4=1,4n+1≤2an,所以，a2≤2，≤4，a4≤8，as≤16， .3分 且等号成立的条件为2=2，a3=4,4=8,5=16, 所以a=4. 7分 (2)因为a=1,AaE2a,meN,所以&>0，所以公差心0， ..9分 由a≤2a,得1十k2,所以k1, ...12分 当0l时，a+1=a+da>4,a+1=a+ka十a42a 所以，aSa,E2a,故d的取值范国为0s1. ..15分 17.(本题满分15分) 解：(1)因为平面AA1D1D⊥平面CC1D1D,DD⊥CD,CDc平面CC1D1D, 所以CD⊥平面AADD: .2分 因为ADC平面AA1D1D,所以CD⊥AD ..4分 由AB=AD=V2,BD=2,得AB2十AD2=BD2,所以AB⊥AD,所以CD∥AB, 又因为CD∥CD1,所以AB∥CD1, 故A、B、C1、D1四点共面， ..7分 (2)以DC为x轴，DA为y轴，DD1为z轴，D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(O, 00D0.0240-2..22.0c00c0问 ..9分 则=(2,0.0.d=(--2.V②.d=00,2. 易得平面ABC1D1的法向量为m=(0,1,1), ..10分 第3页（共5页） 设平面BCC的法向量为2=(x,y,),则 mBC1=0, kc,,(-2,-2.2)=0, 2 1cC=0.lx,,o,0.2=0 →2=(2，-1,0)，.12分 设二面角A一BC-C的平面角为0，则cos0=西2=Y10 1l210 .14分 所以m0=30,二面角4一C一C的正弦值为310 .15分 10 10 18.(本题满分17分) [c_1 解：(1)由题意可知： a 2 解得a=2,c=1,b=12-c2=3, c=1, 故椭圆C的方程为+”-1. .4分 43 D设A,D,B2,直线AB的方程为：y =-3x+m, 2 联系x+y=1 消去y整理得：3x2-3x十2-3=0， 43 由根与系数关系得：x1十x=,2=m-3, 6分 3 所以，=（子+0诚-+网-景a++m㎡-m,9 3 4 因为∠AFB=90°，所以(x1-1)x2一1)十yy2=0, 即x1x2-(x1十x2)+1+yy2=0,· 8分 代入整理得：72-121-27=0，解之得m=3,或- 故直线4B的方程为：=子+3，成=子+一号 10分 (i)不妨设E4=r1,|FB=2,∠AFX=a.则∠BFX=a十90°，A(1十r1cosa,r1sina, B(1+r2cos(a+90),T2sin(a+90), .12分 因为A,B在椭圆上，所以（1+r1coso+sin@=1, 4 3 解得h=，3 ，或h=一 3 (因为r1>0,所以舍去)， 2+cosa 2-cosa 3 同理可得：r2= …14分 2-sina =1=1x3—x 3 9 所以，SA48=r12 15分 2 22+cosa 2-sina 8-4(sina-cosa)-2sinacosa 第4页（共5页） 令sina-cosa=t,则-V2≤V2,2 sinacosa=1-, 9 所以，9 9-42·即81一362<5a 81+36V2 SAABF- 2-4t+71 9+4V2 49 49 当a=3抓，7时，S4s=81+362 4’4 49 S4=81-36V2 49 所以，△BP面积的最大值为81+362，最小值为81-362， 17分 49 49 19.(本题满分17分) 解：(1)（）①由题意，得f'(x)=1十cosx一C OSx-十sinx. 2分 所以f'(2m=2-a=0,解得a=2. 3分 (ii)a=2,fx)=x+sinx-2xcosx,f'(x)=1-cosx+2xsinx, g(x)=f'(x)=1-cosx+2xsinx,g'(x)=3sinx+2xcosx, .5分 当e(g185.g>×m+2x1os-gr>0, 6 6 ”626 所以6陶在区间g1上单调，即网在区间女11单润塔， 7分 6 6 6 所以xe(2刘，了f=0,当e2,l85时，f>-0, 所以x)在x=2π处取得极小值其极小值为一2π. 10分 (2)当a≤0时，显然对任意x∈[0，，f)≥0. 12分 当0<a≤2时，x∈[0，，f'6)=1+1-a0cosx+-axsinx≥1-cosx+-axsinx≥0， 所以)在[0，上单调增，九例≥0=0. 14分 当a>2时，令g(x)=f'(w)=1+(1-dcosx+asinx, 则，g(x)=(2a-1)sinx十axcOsx>0, 所以fw[0,孕上单调增，而f0=2-a<0,f9=1+受>0， 存在，∈0，引，使得当x∈(0x,)时，有f()<0,此时在(0，，)上为单调减函数， 从而x)≤0)=0，故x)恒大于0不成立， 综上所述，实数a的取值范围为a≤2. 17分 第5页（共5页）