54 配凑法-高中数学思想方法导引课

配凑法 一、方法起源探究 配凑法并非由某位特定数学家独立发现，而是在数学发展的漫长历史中逐渐形成的一种解题技巧 。在解决各类数学问题时，人们发现通过对数学式子的结构、形式进行观察和分析，有目的地对式子进行变形、组合，能够更简洁地解决问题，这种方法便逐渐发展成为配凑法。从古代数学对算术和代数问题的求解，到现代数学在函数、数列、不等式等多个领域的研究，配凑法不断被应用和完善，成为高中数学学习中不可或缺的重要方法。 二、核心数学思想阐述 配凑法的核心数学思想是根据数学问题的条件和目标，对已知式子进行适当的变形、组合，使其呈现出特定的结构或形式，从而能够运用已有的公式、定理、性质来解决问题 。其本质是通过对式子的巧妙处理，揭示式子中隐藏的规律和关系，实现从已知到未知的转化，体现了数学思维的灵活性和创造性。配凑的过程需要对数学知识有深入的理解和掌握，能够敏锐地观察式子的特点，并结合目标进行有针对性的构造。 三、解决的问题 在高中数学学习中，配凑法主要解决以下问题： ① 函数问题：求函数的最值、值域，判断函数的单调性，化简函数表达式等。例如，对于二次函数，通过配凑将其化为顶点式，从而方便分析函数的性质。 ② 数列问题：求数列的通项公式、前项和。在数列中，常常通过对递推公式进行配凑，构造出等差数列或等比数列，进而求解。 ③ 不等式问题：证明不等式或求解不等式。通过配凑，将不等式的一边构造成完全平方式或其他便于分析的形式，利用非负性等性质解决问题。 ④ 三角函数问题：化简三角函数表达式，求三角函数的周期、最值等。例如，利用三角函数的公式，通过配凑将复杂的三角函数式转化为标准形式。 四、方法应用示例 例题1 函数求最值 题目 求函数在区间上的最值。 解题步骤： ① 对函数进行配凑： 。 ② 分析函数性质： 函数的图象是一个开口向上的抛物线，对称轴为。 ③ 根据区间求最值： 当时，取得最小值，。 当时，；当时，。 比较和的大小，可得当时，取得最大值，。 例题2 数列求通项公式 题目 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解题步骤： ① 对递推公式进行配凑： 由，可变形为。 ② 构造新数列： 设，则，且。 所以数列是以为首项，为公比的等比数列。 ③ 求新数列的通项公式： 根据等比数列通项公式，可得。 ④ 求原数列的通项公式： 因为，所以。 例题3 不等式证明 证明：对于任意实数，。 解题步骤： ① 对式子进行配凑： 。 ② 利用平方的非负性证明： 因为任何实数的平方都大于等于，即。 所以。 五、练习题 ① 求函数在区间上的值域。 ② 已知数列满足，，求数列的通项公式。 ③ 证明不等式：，对于任意实数都成立。 ④ 求函数的最大值。 ⑤ 已知，，求的最小值。 【答案】 ① 解：。 函数图象开口向上，对称轴为。 在区间上，当时，取得最小值，。 当时，。 所以函数的值域为。 ② 解：由，变形得。 设，则，且。 所以数列是以为首项，为公比的等比数列。 根据等比数列通项公式，可得。 因为，所以。 ③ 证明：。 因为，所以。 即对于任意实数都成立。 ④ 解：。 令，则，函数化为。 函数图象开口向下，对称轴为。 在区间上，函数单调递增。 所以当，即时，取得最大值，。 ⑤ 解：因为，，所以。 根据基本不等式，当且仅当时取等号。 所以，即的最小值为。 六、学习总结 配凑法是高中数学中一种极具灵活性和创造性的解题方法，掌握配凑法的关键在于对数学式子结构的敏锐观察以及对相关公式、定理的熟练运用 。在解题时，首先要明确问题的目标，然后根据式子的特点进行有针对性的配凑。在函数问题中，通过配凑将函数化为标准形式，便于分析函数性质；在数列问题中，配凑的目的是构造出熟悉的数列模型；在不等式问题中，配凑是为了利用式子的特殊性质进行证明或求解。配凑的方式多种多样，需要通过大量的练习积累经验，培养思维的灵活性，才能在面对不同类型的数学问题时，准确、巧妙地运用配凑法找到解题思路，提高解题效率和准确性。 学科网（北京）股份有限公司 $