19 递推法-高中数学思想方法导引课

递推法 1、 方法起源探究 “递推法”是在数学发展的漫长历程中逐步形成的一种解题方法 。从古代数学对数列规律的探索，到近代数学在组合计数、算法设计等领域的拓展，人们不断运用递推的思想解决问题。例如，斐波那契数列（），其通项公式通过后一项等于前两项之和的递推关系得出，在1202年由意大利数学家斐波那契引入，用于解决兔子繁殖问题，这是递推法早期的典型应用。随着数学理论的日益完善，递推法逐渐成为解决各类数学问题的重要工具，被广泛应用于高中数学教学中。 二、核心数学思想阐述 “递推法”的核心数学思想是通过寻找问题中相邻元素（或相邻步骤、相邻状态）之间的关系，建立递推公式，利用已知的初始条件，逐步推导得出后续的结果 。它基于归纳的思维方式，从简单的初始情况出发，依据固定的递推规则，不断延伸和拓展，从而解决复杂的问题。递推法体现了从特殊到一般、从简单到复杂的逻辑推理过程，将一个大规模的问题分解为一系列具有相同结构的子问题，通过解决子问题逐步得到原问题的解，其本质是一种化归与转化的思想。 三、解决的问题 在高中数学学习中，“递推法”主要解决以下问题： ① 数列问题：求解数列的通项公式和前项和。对于一些无法直接通过公式法得出通项公式的数列，可通过分析相邻两项或多项之间的关系，建立递推公式，进而推导出通项公式；在求数列前项和时，也可利用递推关系简化计算过程。 ② 排列组合问题：在复杂的排列组合计数问题中，通过分析不同情况之间的递推关系，能够避免繁琐的分类讨论，快速得出结果。例如，某些染色问题、错位排列问题等，利用递推法可以更简洁地求解。 ③ 概率问题：在计算具有重复或类似结构的概率问题时，可通过建立递推关系，根据前一步的概率情况推导出下一步的概率，从而解决问题。如一些涉及多次重复试验的概率计算，递推法能清晰地呈现概率的变化规律。 ④ 函数迭代问题：对于函数的多次迭代运算，可通过递推关系找到函数值的变化规律，进而研究函数的性质，如周期性、极限等。 四、方法应用示例 例题1 数列通项公式求解 题目 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解题步骤： ① 对递推公式进行变形： 将变形为。 ② 构造新数列： 设，则，那么，且。此时数列是以为首项，为公比的等比数列。 ③ 求新数列的通项公式： 根据等比数列通项公式（其中为公比），可得。 ④ 求原数列的通项公式： 因为，所以。 例题2 排列组合问题 题目 将一个圆形花坛分成 4 个扇形区域（如图），用 4 种不同颜色（红、黄、蓝、绿）染色，要求相邻扇形颜色不同，求不同的染色方案数。 解析步骤： ① 定义递推关系： 设 表示用 种颜色染 个扇形（相邻及首尾均不同色）的方案数。 关键递推关系：考虑第 个扇形的染色情况： ❶ 第 个与第 个扇形颜色不同。 此时第 个扇形有 种选择（与第 个、第 个均不同），前 个扇形满足条件，方案数为 。 ❷ 第 个与第 个扇形颜色相同。 此时第 个与第 个同色，因此前 个扇形需满足首尾不同色（方案数为 ），且第 个扇形有 种选择（与第 个不同，且与第 个自动不同）。 递推公式： ② 确定初始条件： 2 个扇形（，即首尾相邻）：（第①、②扇形不同色） 3 个扇形（）：所有相邻不同色，首尾自动不同（因环形无直接首尾相邻）： ③ 代入具体值计算 本题中 ，：计算初始值： 代入递推公式： ④ 验证与对比： 直接分类法验证（辅助理解）： 若固定扇形①颜色（4 种选择）： 扇形②有 3 种选择（与①不同）； 扇形③有 2 种选择（与②不同，可能与①同）； 扇形④需与③、①均不同： 若①与③不同，则④有 2 种选择； 若①与③相同，则④有 3 种选择。 分类计算：总方案①③①③（一致） 五、练习题 ① 已知数列满足，，求数列的通项公式。 ② 用的小长方形去覆盖的长方形方格，共有多少种不同的覆盖方法？（提示：考虑最后一块小长方形的放置方式） ③ 已知数列满足，，，求的值。 ④ 有个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，这个圆把平面分成个部分，求的表达式。 ⑤ 设数列的前项和为，已知，，求数列的通项公式。 【答案】 ① 解：将变形为。 设，则，，且。 所以数列是以为首项，为公比的等比数列。 根据等比数列通项公式可得。 则。 ② 解：当时，；当时，。 对于，若最后一块小长方形是竖着放的，那么前面的长方形有种覆盖方法；若最后一块小长方形是横着放的，那么前面的长方形有种覆盖方法。 所以递推公式为。 由此可得为斐波那契数列类型，依次计算可得覆盖方法数。 ③ 解：已知，，。 ； ； 。 ④ 解：当时，；当时，。 个圆时，第个圆与前面个圆都相交，有个交点，这个交点把第个圆分成段弧，每段弧把所在区域一分为二，所以增加了个区域。 则递推公式为。 将以上式子累加可得： 。 ⑤ 解：由可得。 两式相减得：，即。 当时，，，则，，。 设，则是以为首项，为公比的等比数列，。 即，两边同时除以得：。 设，，，是以为首项，为公差的等差数列。 。 则。 六、学习总结 “递推法”是高中数学中极具逻辑性和规律性的重要解题方法。运用递推法的关键在于准确找出问题中的递推关系，这需要我们仔细观察题目条件，分析相邻元素之间的内在联系 。在数列问题中，常通过对递推公式变形构造新数列来求解通项；在排列组合和概率问题里，要从实际情况出发，依据分类或分步计数原理建立递推公式。同时，要重视初始条件的确定，它是递推计算的基础。在解题过程中，可能需要结合多种数学知识和方法，如数列的通项公式、求和公式，以及函数、方程等思想。通过大量练习不同类型的题目，不断总结经验，才能熟练掌握递推法，提高解决复杂数学问题的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $