17 等高线法-高中数学思想方法导引课

等高线法 1、 方法起源探究 “等高线法”是在数学研究和实际应用中逐渐发展形成的一种方法。在解决优化问题，尤其是线性规划问题时，人们发现通过将目标函数看作是具有相同取值的一系列“等高线”，可以直观地分析目标函数在约束条件下的变化情况，从而找到最优解。随着数学教育的发展，这种方法逐渐被引入高中数学教材，成为解决线性规划等问题的重要手段。 二、核心数学思想阐述 “等高线法”的核心数学思想是将目标函数视为一个具有相同取值的曲面（在二维平面中表现为曲线），即等高线。通过分析这些等高线与约束条件所确定的可行域之间的关系，来找到目标函数在可行域内的最值。其本质是利用几何直观来解决代数问题，将抽象的函数最值问题转化为直观的图形交点和位置关系问题。通过移动等高线，观察它与可行域边界的接触情况，从而确定目标函数取得最值的位置，体现了数形结合的数学思想。 三、解决的问题 在高中数学学习中，“等高线法”主要解决以下问题： ① 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值，如在资源分配、生产计划安排等实际问题转化的数学模型中，确定最优方案。 ② 部分非线性规划问题：对于一些可以通过变形转化为类似线性规划形式的非线性问题，也可以利用等高线法的思想进行求解。 ③ 函数最值问题：在某些函数问题中，通过构造类似等高线的概念，分析函数在给定区域内的变化情况，进而求出函数的最值。 四、方法应用示例 例题1 线性规划问题 题目 已知变量，满足约束条件，求目标函数的最大值。 解题步骤： ① 画出可行域： 分别画出直线，，。 对于直线，取其左上方区域满足；对于直线，取其右上方区域满足；对于直线，取其左下方区域满足。这三条直线所围成的公共区域就是可行域。 ② 画出目标函数的等高线： 目标函数可变形为，表示直线在轴上的截距。当取不同值时，得到一组平行直线，这些直线就是目标函数的等高线。 ③ 平移等高线求最值： 将的直线进行平移，当直线经过可行域的顶点时，可能取得最值。 联立，解得；联立，解得；联立，解得。 将这三个顶点坐标分别代入目标函数： 当，时，； 当，时，； 当，时，。 所以的最大值为。 例题2 非线性规划问题 题目 已知，满足，求的最大值。 解题步骤： ① 画出可行域： 表示轴右侧区域，表示轴上方区域，与坐标轴围成的三角形区域（包含边界）就是可行域。 ② 分析目标函数的几何意义： 目标函数表示点到原点距离的平方，其等高线是以原点为圆心的同心圆。 ③ 确定最值位置： 通过观察可行域与等高线的关系，可知当点为直线与轴的交点时，点到原点的距离最大。 将代入，可得，所以的最大值为。 五、练习题 ① 已知变量，满足约束条件，求目标函数的最大值。 ② 设，满足约束条件，求目标函数的最小值。 ③ 已知，满足，求的最大值。 ④ 变量，满足约束条件，求目标函数的最大值。 ⑤ 若，满足约束条件，求目标函数的最小值。 【答案】 ① 解：画出可行域，联立，解得；联立，解得；联立，解得。 将三个顶点坐标代入： 当，时，；当，时，；当，时，。 所以的最大值为。 ② 解：画出可行域，联立，解得；联立，解得；联立，解得。 将三个顶点坐标代入： 当，时，；当，时，；当，时，。 所以的最小值为。 ③ 解：，其几何意义是点到点距离的平方减。 画出可行域，直线与轴交点为，此时点到点距离最大。 将代入，可得，所以的最大值为。 ④ 解：表示可行域内的点与原点连线的斜率。 画出可行域，联立，解得。 此时直线与点连线斜率最大，。 ⑤ 解：画出可行域，联立，解得；联立，解得；联立，解得。 将三个顶点坐标代入： 当，时，；当，时，；当，时，。 所以的最小值为。 六、学习总结 “等高线法”是高中数学中解决规划和函数最值问题的重要方法，其核心在于巧妙运用数形结合思想。在使用该方法时，首先要准确画出约束条件所确定的可行域，这是后续分析的基础。对于目标函数，要理解其几何意义，无论是线性目标函数还是非线性目标函数，都要将其转化为与图形相关的量，如直线的截距、点与点之间的距离、直线的斜率等。然后通过平移等高线或分析等高线与可行域的关系，找到目标函数取得最值的位置。在解题过程中，要注意计算的准确性，尤其是求解可行域顶点坐标时。 学科网（北京）股份有限公司 $