14 导数法-高中数学思想方法导引课

导数法 1、 方法起源探究 导数的概念最早可追溯到17世纪，由英国数学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分别创立 。牛顿在研究物理学中的变速运动问题时，为了描述物体运动的瞬时速度，引入了导数的思想；莱布尼茨则从几何学中曲线的切线问题出发，建立了导数的理论。两人的工作为微积分学的发展奠定了基础，导数也成为了微积分学中的核心概念之一。随着数学的不断发展，导数的理论和应用得到了进一步的完善和拓展，逐渐成为高中数学中解决函数相关问题的重要工具。 二、核心数学思想阐述 导数法的核心数学思想基于函数的局部线性近似和变化率概念。导数表示函数在某一点处的瞬时变化率，通过求导可以得到函数的导数表达式，从而分析函数的单调性、极值、最值、凹凸性等性质。其本质是将复杂的函数问题转化为对导数的研究，利用导数的正负判断函数的增减性，导数为零的点寻找函数的极值点，进而解决函数的最值、零点、不等式证明等问题，体现了数学中从局部到整体、从微观到宏观的研究思路，以及转化与化归的思想。 三、解决的问题 在高中数学学习中，“导数法”主要解决以下几类问题： ① 研究函数的单调性：通过判断函数导数的正负，确定函数在不同区间的单调性，进而绘制函数大致图象。 ② 求函数的极值与最值：找到导数为零的点，判断这些点两侧导数的符号变化，确定函数的极值点，再结合函数定义域求出函数在给定区间的最值。 ③ 解决函数的零点问题：利用导数分析函数的单调性和极值情况，结合零点存在定理，判断函数零点的个数及所在区间。 ④ 证明不等式：将不等式问题转化为函数问题，通过研究函数的单调性、最值等性质，证明不等式成立。 ⑤ 解决实际应用中的优化问题：如求最大利润、最小成本、最优方案等，将实际问题抽象为函数模型，利用导数求最值来解决。 四、方法应用示例 例题1 求函数的单调区间、极值与最值 题目 已知函数，求函数的单调区间、极值与在区间上的最值。 解题步骤： ① 求函数的导数： 根据求导公式，对求导，可得。 ② 求函数的单调区间： 令，即，提取公因式得到，解得或。 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增。 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为。 ③ 求函数的极值： 根据单调性可知，当时，函数取得极大值，； 当时，函数取得极小值，。 ④ 求函数在给定区间上的最值： 计算函数在区间端点的值，，。 比较，，，的大小，可得函数在区间上的最大值为，最小值为。 例题2 利用导数证明不等式 题目 证明：当时，。 解题步骤： ① 构造函数： 设，。 ② 求函数的导数： 根据求导公式，，对求导，。 ③ 分析函数的单调性： 因为，所以，这表明函数在上单调递增。 ④ 利用单调性证明不等式： 由于函数在上单调递增，所以。 计算，即，所以当时，成立。 五、练习题 ① 已知函数，求函数的单调区间和极值。 ② 求函数在区间上的最大值和最小值。 ③ 证明：当时，。 ④ 已知函数，若在上有两个零点，求的取值范围。 ⑤ 某工厂生产某种产品，固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元。已知总收益与年产量的关系是，求总利润最大时的年产量。 【答案】 ① 解：函数的定义域为。 对求导，。 令，即，因为，所以，解得。 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增。 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为。 当时，函数取得极小值，，无极大值。 ② 解： 对求导，。 令，解得或（不在区间内，舍去）。 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减。 计算函数在区间端点和极值点的值： ； ； 。 所以函数在区间上的最大值为，最小值为。 ③ 证明：设，。 对求导，。 因为，所以，，即，函数在上单调递增。 所以，即，所以当时，成立。 ④ 解：对求导，。 当时，，所以，在上单调递增，在上不可能有两个零点。 当时，令，即，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 所以在处取得极小值，也是最小值，。 因为在上有两个零点，所以。 设，对求导，。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 在处取得最大值，所以的解为。 又因为当时，，；当时，，。 所以的取值范围是。 ⑤ 解：设总利润为。 当时，。 对求导，。 令，解得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 所以当时，取得极大值，也是最大值，。 当时，，在上单调递减，。 所以总利润最大时的年产量是件。 六、学习总结 导数法是高中数学解决函数问题的重要利器，其应用贯穿函数学习的多个方面。在运用导数法时，首先要熟练掌握基本函数的求导公式和求导法则，准确求出函数的导数。对于函数单调性、极值和最值的问题，要通过分析导数的正负和零点，结合函数定义域进行严谨的推理和计算；在证明不等式时，关键在于巧妙构造函数，将不等式问题转化为函数的最值问题；处理实际应用问题，则需要准确建立函数模型，再利用导数求解。学习过程中，应多做不同类型的练习题，总结解题规律和方法，培养利用导数分析问题和解决问题的能力，从而在面对复杂的函数问题时能够游刃有余。 学科网（北京）股份有限公司 $