13 待定系数法-高中数学思想方法导引课

待定系数法 1、 方法起源探究 待定系数法的形成是众多数学家在长期数学研究中不断探索的成果，难以确切指出由谁发现。在数学发展过程中，人们在解决诸如方程求解、函数表达式确定、曲线方程推导等问题时，逐渐意识到可以先根据问题的性质设出含有待定系数的表达式，再通过已知条件确定这些系数，从而得到问题的准确答案。随着数学理论的不断完善和实际应用的需求，待定系数法逐渐成为一种广泛应用且极具价值的数学方法 ，在高中数学的代数、几何等多个领域都发挥着关键作用。 二、核心数学思想阐述 待定系数法的核心数学思想是基于对数学对象结构的分析和假设。当我们知道所求数学对象（如函数、方程、多项式等）的类型或形式时，先设出包含待定系数的通用表达式，然后根据已知条件（如函数经过的点、方程的根、图形的性质等）列出关于待定系数的方程或方程组，最后通过求解这些方程或方程组来确定待定系数的值，从而得到具体的数学对象。其本质是将未知问题转化为已知的方程求解问题，通过引入待定系数搭建起已知条件和未知结果之间的桥梁，体现了转化与化归的数学思想。 三、解决的问题 在高中数学学习中，“待定系数法”主要解决以下几类问题： ① 确定函数表达式：已知函数的类型（如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等）以及函数的一些性质（如过某些点、有特定的最值、满足特定的等式关系等），利用待定系数法求出函数的具体表达式。 ② 求解曲线方程：在解析几何中，已知曲线的类型（如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等）和曲线的一些特征（如过某些点、焦点坐标、渐近线方程等），通过待定系数法确定曲线方程。 ③ 进行多项式的因式分解：对于一些多项式，先假设其因式分解后的形式，其中包含待定系数，再根据多项式恒等的性质列出方程求解待定系数，完成因式分解。 ④ 解决数列问题：在求数列的通项公式时，如果已知数列的类型（如等差数列、等比数列的变形形式），可设出通项公式的形式，利用已知条件确定其中的待定系数。 ⑤ 化简或计算某些代数式：通过设出含有待定系数的式子，根据等式关系确定系数，从而简化代数式的形式或完成计算。 四、方法应用示例 例题1 确定二次函数表达式 题目 已知二次函数的图象经过点，，，求该二次函数的表达式。 解题步骤： ① 设函数表达式： 题目已给出二次函数的一般形式，其中、、为待定系数。 根据已知条件列方程： 因为函数图象经过点，将，代入函数表达式可得：，即 ①； 函数图象经过点，将，代入可得： ，即 ②； 函数图象经过点，将，代入可得： ，即 ③。 ② 解方程组确定待定系数： 将代入①式可得：，即 ④； 将代入②式可得：，即 ⑤； ④ + ⑤得：，解得； 将代入④式得：，解得。 ③ 得出函数表达式： 将，，代入，可得二次函数表达式为。 例题2 求圆的方程 题目 求圆心在直线上，且与直线：相切于点的圆的方程。 解题步骤： ① 设圆的标准方程： 圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径，、、为待定系数。 ② 根据已知条件列方程： 因为圆心在直线上，所以 ①； 圆与直线：相切于点，则圆心与点的连线与直线垂直。 直线的斜率为，根据两垂直直线斜率之积为，可得，即，整理得 ②； 圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式（对于直线和点），可得 ③。 ③ 解方程组确定待定系数： 将①代入②得：， 移项可得：， 即，解得； 将代入①得：； 将，代入③得：。 ④ 得出圆的方程： 将，，代入圆的标准方程，可得圆的方程为，即。 五、练习题 ① 已知一次函数的图象经过点和，求该一次函数的表达式。 ② 已知抛物线过点，，且对称轴为直线，求抛物线的表达式。 ③ 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，求双曲线的标准方程。 ④ 若能被整除，求的值及因式分解的结果。 ⑤ 已知数列满足，，设，求数列的通项公式。 【答案】 ① 解：将点和代入得： 两式相减消去得：，解得； 将代入得：，解得。 所以一次函数表达式为。 ② 解：因为抛物线过点，，对称轴为直线，则有： 将代入得 ①； 由得 ②； 将②代入①得：，，解得； 将代入②得。 所以抛物线表达式为。 ③ 解：因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线方程为。 将点代入双曲线方程得：， 即，解得。 所以双曲线的标准方程为。 ④ 解：因为能被整除，设。 展开右边得：。 则有 由得；将代入得，解得；将代入得。 所以。 ⑤ 解：将变形为。 对比，可得，。 所以数列是以为首项，为公比的等比数列。 根据等比数列通项公式可得，则。 六、学习总结 待定系数法是高中数学中一种通用且强大的解题方法，应用范围广泛。运用该方法的关键在于准确判断问题所涉及的数学对象类型，合理设出含有待定系数的表达式。在列方程或方程组时，要充分利用题目给出的所有条件，确保方程的完整性和准确性。求解待定系数的过程中，需熟练掌握方程求解的方法和技巧，保证计算的正确性。通过大量练习不同类型的题目，加深对各种数学对象结构的理解，提高运用待定系数法解决问题的能力。同时，要学会将待定系数法与其他数学方法相结合，灵活应对复杂多变的数学问题，从而在高中数学学习中取得更好的成绩。 学科网（北京）股份有限公司 $