12 错位相减法-高中数学思想方法导引课

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 错位相减法 一、方法起源探究 “错位相减法”是在数学发展的历程中，随着对数列求和问题研究的不断深入，数学 家们在探索特殊数列求和方法时，逐渐总结出了错位相减法。它是在处理等差数列与等比 数列对应项乘积构成的新数列求和问题时应运而生的。这种方法经过长期的实践检验和完 善，成为了解决此类数列求和问题的经典方法，广泛应用于高中数学的数列学习中，帮助 学生有效求解复杂数列的前n项和。 二、核心数学思想阐述 “错位相减法”的核心数学思想是通过将数列的前项和表达式乘以等比数列的公比， 然后与原前项和表达式相减，使得相减后所得式子中除首项和末项外，其余项构成一个 等比数列，进而利用等比数列求和公式求出原数列的前项和。其本质是利用等式的性质， 通过巧妙的错位和相减操作，消除中间项的复杂性，将复杂的数列求和问题转化为简单的 等比数列求和问题，体现了数学中转化与化归的思想。 三、解决的问题 在高中数学学习中，“错位相减法”主要用于解决以下问题： ①求由等差数列与等比数列对应项乘积构成的数列的前n项和：例如数列anb,其 中an}是等差数列，(b}是等比数列，通过错位相减法可以求出该数列的前n项和Sn。 ②简化复杂数列求和的计算过程：对于一些具有特定结构的数列，虽然不是标准的等 差数列与等比数列对应项乘积形式，但经过适当变形后，也可运用错位相减法进行求和， 从而简化计算。 四、方法应用示例 例题1求数列前n项和 题目求数列n·2的前n项和Sn 解题步骤：写出Sn的表达式： Sn=1×2+2×22+3×23+.+n×2” ① ①两边同乘以等比数列的公比： 数列2的公比为2，将①式两边同时乘以2，得到： 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2”+n×2+1 ② ②错位相减： 用①-②，相同次数的项对齐相减： Sn-2Sn=(1×22+(2-1)×22+(3-2)×23+…+[n-(n-1刃×2”-n×2*1) -Sn =22+22+23+…+2”-n×2m1 ③利用等比数列求和公式计算： 等比数列{2丹的首项1=2，公比q=2,项数为n,根据等比数列求和公式 Sn=1- 1-q ,可得： -sn=号-nx2m1=2k--nx2*1=(1-]2*1-2 ④求出Sn: 两边同时乘以-1，得到Sn=(n-1)2计1+2。 例题2变形后使用错位相减法 题目求数列}的前n项和Tn 解题步骤： ①写出T的表达式： T=京+学+3+…+是 ③ ②两边同乘以等比数列的公比： 数列}的公比为时，将③③式两边同时乘以，得到： n=京+系+景+…+学+ :④ ③错位相减： 用③-④： Tn-n=寺+（导-）+（得-）+…+（得-学）-品 专Tn =+京++…+京- ④利用等比数列求和公式计算： 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 等比数列}的首项a1=吉，公比q=专，项数为n,根据等比数列求和公式可得： -字京=1-会=器 ⑤求出T 两边同时乘以2，得到Tn=2-学。 五、练习题 ①求数列n·3円的前n项和Sn ②求数列}的前项和T ③求数列(2n-1)·2丹的前n项和Mn。 ④求数列}的前n项和Na ⑤求数列n(n+1)2的前n项和Pn 【答案】 ①解：①Sm=1×31+2×32+3×33+…+n×3” ① ②3Sn=1×32+2×33+…+(n-1)×3+n×3+1 ② ①②①-②得： 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 -Sn=3+32+33+…+3”-n×3+1 =华-n×3m1 =343-n×3t1 =(传-3*1- 所以Sn=(a-)3*1+。 ②解：①Tn=寺+子+是+…+导 ① ②哈Tn=字+系+…+学+品 ② ①②①-②得： 双n=青+寺+字十…+寺一 非-) =北-)-种 =-湖 所以Tn=是-。 ③解：①Mn=1×22+3×22+5×23+…+(2n-1)×2① ②2Mn=1×22+3×23+…+(2n-3)×2+(2n-1)×2*1② ①②①-②得： -Mn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)×2m1 =2+23+24+…+2+1-(2n-1）×2*1 -2+4=9-2a-1小×2* =2+2*2-8-(2n-1)×2+1 =(3-2n2+1-6 所以Mn=(2n-3)2t1+6。 国解：①N=寺+寻+3+…+学 ① ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ②2Nn=京+是+…+学3+ ② ①②①-②得： Nn=支+2×克+2×京+…+2×京- =+声-器 1-号 所以Nn=3-学。 ⑤解：①Pn=1×2×2°+2×3×22+3×4×2+…+n(n+1)×2r1 ① ②2Pm=1×2×22+2×3×22+…+(n-1)m×2r1+n(n+1)×2”② ①②①-②得： -Pn=2+2×22+3×23+…+n×2-(n+1)×2” 设③Qn=2+2×22+3×23+…+n×2”③ ④2Qn=22+2×23+…+(n-1×2+n×2+1④ ③④③-④得： -Qn=2+22+23+…+20-n×2*1 =1-29 1-2 -n×2*1 =(1-n)2+1-2 所以Qn=(n-12+1+2。 则-Pn=(a-1)2m1+2-n(a+1)×2=(-n2-n+1)2”+2 所以Pn=(n2+n-1)2”-2。 六、学习总结 “错位相减法”是高中数学数列求和的重要方法，尤其适用于等差数列与等比数列对 应项乘积构成的数列。使用该方法的关键在于准确写出S的表达式，正确乘以公比并进行 错位相减操作。在相减过程中，要注意各项的符号和次数，确保计算准确。同时，对于一 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 些需要变形后才能使用错位相减法的数列，要善于观察数列的结构特征，通过适当的变换 使其符合错位相减法的应用条件。通过大量练习，熟练掌握错位相减法的步骤和技巧，提 高在数列求和问题中的解题能力，并且要学会与数列的其他知识相结合，灵活应对各种复 杂的数列问题。 ·独家授权侵权必究