11 抽屉原理-高中数学思想方法导引课

抽屉原理 1、 方法起源探究 抽屉原理是由数学家狄利克雷（Dirichlet）在19世纪首先明确提出并用于解决数论中的问题 ，所以该原理也被称为狄利克雷原理。狄利克雷在研究数论问题时，发现了这一简单而又强大的原理，并将其运用到具体的数学证明中。随着数学的发展，抽屉原理逐渐被广泛应用于各个数学领域，包括组合数学、集合论等，成为解决存在性问题的重要工具。在高中数学学习中，抽屉原理也发挥着重要作用，帮助学生解决许多与组合、计数相关的问题。 二、核心数学思想阐述 抽屉原理的核心数学思想是基于一种分配和存在性的逻辑。其基本表述为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。更一般地，若将个元素放入个抽屉（），那么至少有一个抽屉里有不少于（表示不小于的最小整数）个元素。它的本质是通过对元素和集合（抽屉）关系的分析，不考虑具体的放置方式，而是从整体上保证某种存在性结论，即必然存在某个抽屉满足特定的元素数量条件，体现了从极端情况和整体角度思考问题的数学思维。 三、解决的问题 在高中数学学习中，抽屉原理主要解决以下几类问题： ① 存在性问题：证明在一定条件下，必然存在满足某种性质的元素或组合。例如证明在若干个整数中，一定存在几个数的和能被某个数整除。 ② 组合计数问题：辅助计算满足特定条件的组合数量下限，或者判断某种组合情况是否必然会出现。 ③ 逻辑推理问题：在一些逻辑推理场景中，帮助快速得出必然成立的结论，简化推理过程。 四、方法应用示例 例题1 简单存在性问题 题目 从，，，，这个自然数中，任意取出个数，证明其中必有两个数互质。 解题步骤： ① 构造抽屉： 将这个自然数分成组（个抽屉）：，，，，。可以发现，同一组中的两个数是相邻的自然数，而相邻的自然数必定互质。 ② 运用抽屉原理： 现在要从个数中任意取出个数，相当于把个元素放入个抽屉中。根据抽屉原理，，那么至少有两个数会来自同一个抽屉。 ③ 得出结论： 因为同一个抽屉中的两个数是互质的，所以任意取出的个数中必有两个数互质。 例题2 复杂组合计数问题 题目 某班有名学生，他们分别订阅了、、三种杂志中的一种、两种或三种。问至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？ 解题步骤： ① 确定所有可能的订阅情况（构造抽屉）： 订阅一种杂志的情况有种（即订、订、订）； 订阅两种杂志的情况有种（即订、订、订）； 订阅三种杂志的情况有种（即订）。 所以总的订阅情况有种，这种情况就是个抽屉。 ② 运用抽屉原理计算： 将名学生放入这个抽屉中，，其中是商，是余数。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有（取整）个元素。 ③ 得出结论： 所以至少有名学生订阅的杂志种类相同。 五、练习题 ① 在一个口袋里有个黑球，个白球，个红球，至少取出多少个球才能保证其中有白球？ ② 从到这个自然数中，任意选取个数，证明其中一定有两个数的差是。 ③ 某学校有名学生是月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？（2月按28天算） ④ 有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球各若干个，每个人可以从中任意摸出两个。那么至少需要多少人摸球，才能保证有两人摸的小球颜色相同？ ⑤ 证明：在任意的个正整数中，一定可以找到两个数和，使得或能被整除。 【答案】 ① 解：考虑最不利的情况，即先把个黑球和个红球全部取出，此时再取个球，就一定是白球。所以至少要取出个球才能保证其中有白球。 ② 解：构造个抽屉：，，，，，，。从个数中任意选取个数，相当于把个元素放入个抽屉中，根据抽屉原理，至少有两个数会来自同一个抽屉，而同一个抽屉中的两个数的差是，所以其中一定有两个数的差是。 ③ 解：把月份的天看作个抽屉，名学生看作个元素。，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有个元素，所以至少有两个学生生日是在同一天。 ④ 解：摸出两个球的颜色组合有：红红、黄黄、蓝蓝、绿绿、红黄、红蓝、红绿、黄蓝、黄绿、蓝绿，共种情况，即个抽屉。所以至少需要人摸球，才能保证有两人摸的小球颜色相同。 ⑤ 解：一个正整数除以的余数有，，，，，共种情况。把余数分为组（抽屉）：，，，，，。在任意的个正整数中，至少有两个数除以的余数会在同一组中。若余数相同，则两数之差能被整除；若余数之和为，则两数之和能被整除。所以一定可以找到两个数和，使得或能被整除。 六、学习总结 抽屉原理看似简单，但在高中数学问题解决中却有着广泛而深刻的应用。学习抽屉原理的关键在于准确构造抽屉，这需要我们仔细分析题目条件，找出元素和抽屉之间的合理对应关系。在面对存在性、组合计数等问题时，要善于从整体和极端情况出发，运用抽屉原理进行推理。通过大量练习不同类型的题目，积累构造抽屉的经验，提高对问题的敏感度和分析能力。 学科网（北京）股份有限公司 $