02 比较法-高中数学思想方法导引课

比较法 1、 方法起源探究 “比较法”作为数学中一种重要的方法，是在数学发展的漫长历史进程中，数学家们在不断探索和解决各种数学问题时，逐渐形成并完善的一种通用方法 。从古代数学对不同数量关系的比较，到近代数学中在函数、不等式等领域的广泛应用，比较法经过长期的实践检验，成为数学学习和研究中不可或缺的工具。 二、核心数学思想阐述 比较法的核心思想是通过对两个或多个对象进行对比、分析，找出它们之间的相同点和不同点，从而判断对象之间的大小关系、性质差异等。在高中数学中，比较法主要分为作差比较法和作商比较法。作差比较法的原理是：若，则；若，则；若，则。作商比较法适用于两个正数的比较，原理是：若（），则；若（），则；若（），则。其本质是将抽象的数学关系转化为具体的数值或式子的运算结果进行判断。 三、解决的问题 在高中数学学习中，比较法主要用于解决以下问题： ① 判断函数的单调性：通过比较函数在不同点的函数值大小，判断函数的增减性。例如，对于函数，在定义域内任取，，且，通过比较与的大小来确定函数单调性。 ② 证明不等式：利用作差或作商的方式，将不等式两边的式子进行比较，从而证明不等式成立。 ③ 比较数值大小：在多个数值或代数式中，通过比较法确定它们的大小顺序。 四、方法应用示例 例题1 作差比较法例题 题目 比较与的大小。 解题步骤： ① 作差：。 ② 对差式进行变形：。 ③ 分析差式的取值范围：因为任何数的平方都大于等于，所以，则。 ④ 得出结论：即，所以。 例题2 作商比较法例题 题目 已知，比较与的大小。 解题步骤： ① 作商：。 ② 分析商式的取值范围： 因为，所以，。根据指数函数的性质，当底数大于，指数大于时，函数值大于，所以。 ③ 得出结论：因为，且，所以。 例题2 比较函数单调性例题 题目：判断函数在区间上的单调性。 解题步骤： 在区间上任取，，且。 ① 计算： 。 ② 分析差式的正负： 因为，且，所以，，即，那么，也就是，。 ③ 得出结论： 所以函数在区间上单调递增。 五、练习题 ① 比较与的大小。 ② 已知，，比较与的大小。 ③ 判断函数在上的单调性，用比较法证明。 ④ 若，比较与的大小。 ⑤ 比较与的大小。 【答案】 ① 解：作差，所以。 ② 解：作差。因为，，所以，当且仅当时取等号，所以。 ③ 解：在上任取，，且。。因为，所以，，则，，所以函数在上单调递增。 ④ 解：作商。因为，所以，，。则，，所以，又，所以。 ⑤ 解：作差。因为，所以，即。 六、学习总结 比较法是高中数学中实用性很强的方法，作差比较法通过对差式变形判断正负，作商比较法则依赖商值与的大小关系。在运用时，关键要准确对式子进行变形，如配方、因式分解等，以便判断结果的正负或与的大小。同时，要注意作商比较法使用前提是两个数均为正数。通过大量练习，熟练掌握这两种方法，能有效解决函数单调性判断、不等式证明、数值大小比较等多种问题，提升数学解题能力。 学科网（北京）股份有限公司 $