精品解析：重庆市朝阳中学校2025--2026学年上学期九年级上学期10月月考数学试题

数学第二次定时作业 一、单选题 1. 在二次根式中，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 3到4之间 B. 2到3之间 C. 1到2之间 D. 0到1之间 7. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 或1 B. 1 C. D. 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 9. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中，，，，，，，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法中： ①当时，若，则； ②当时，满足条件的整式共有10个； ③若，则一定不等于． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 计算：________． 12. 若，则_____． 13. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 14. 如图，等腰三角形中， ，于点D，于点E，，若，，则__ ． 15. 已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是______． 16. 一个四位自然数，若它的千位数字与十位数字之和为9，百位数字与个位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“数”．若将一个“数”的千位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的四位数．规定．例如：，∵，∴1283是“数”，则．若“数”，则_________；已知是“数”（均为正整数），若被7整除，则满足条件的的最大值是__________． 三、解答题 17. 计算： （1） （2）解方程：； 18. 如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且． （1）如果，求的长； （2）如果，，求的长． 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，83，84，86，88． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 众数 91 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1600名学生，八年级有1000名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中 21. 已知关于的方程． （1）求证：对于任意的，该方程总有两个实数根． （2）若等腰三角形的一边长为2，另外两边长为该方程的两个实数根，求的值和三角形的周长． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 23. 在矩形中，，，点P，Q分别从点B，点D同时出发，点P沿以每秒1个单位长度的速度运动，点Q以某一速度匀速沿运动，点P到达点D时点Q停止运动．点P的运动时间为x秒，的面积记为，的面积记为，关于x的图象如下，解答下列问题： （1）请直接写出与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接估计当时x的取值范围：________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）． 24. 如图1，一次函数分别与轴，轴交于点，点在轴上满足． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点是直线上一动点，线段在轴上移动，记为，分别连接，当线段最短时，求周长的最小值； （3）如图3，在（2）问的条件下，将直线沿射线方向平移个单位得到直线，点是直线上一动点，连接，是否存在点使得直线与直线与的夹角等于，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 25. 如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． （1）若菱形的对角线．，求的长； （2）如图1，若，求证：； （3）如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学第二次定时作业 一、单选题 1. 在二次根式中，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根式有意义的条件，解题的关键是掌握平方根的非负性，利用非负性列出不等式即可求解． 【详解】解：在二次根式中， ， 解得：， 故选：A． 2. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式， 不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的定义是解题的关键．如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：C． 4. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到右侧，再将左侧写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 5. 关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 把代入方程得到一个关于的方程，再结合一元二次方程的定义即可确定的值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 解得：， ， ， 故选：B． 6. 估计的值应在（ ） A. 3到4之间 B. 2到3之间 C. 1到2之间 D. 0到1之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和夹逼法是解题的关键． 先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：B． 7. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 或1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义得出且，即可求出m的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得或， ， ， ， 故选：B． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 9. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据“增长率问题”及题意可直接列出方程，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D． 10. 已知整式，，其中，，，，，，，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法中： ①当时，若，则； ②当时，满足条件的整式共有10个； ③若，则一定不等于． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键．①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；当时，存在满足条件的和使得，故可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∴当时，，， ∵，， ∴，，故①符合题意； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有， 即当时，满足条件的整式M共有10个，故②符合题意； 假设存在，此时使得， 设，， 当时，， 当时，， ∴， 故存在（如），使得，故③不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法求值即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 13. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设的长为，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的长为； 故答案为：． 14. 如图，等腰三角形中， ，于点D，于点E，，若，，则__ ． 【答案】 【解析】 【分析】证明，求解，可得，，，如图，过作于，而，，证明四边形为矩形，再进一步求解即可． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 如图，过作于，而，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是化为最简二次根式，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15. 已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分类思想，二次根式有意义的条件，整数解的意义，分类计算求解，结合有意义的条件，计算确定m的值，后求和即可． 【详解】∵， ∴， 解得； ∵ m是整数， 故， 当时，即，方程变形为， 解得，是整数解，符合题意， 故； 当时，∵， ∴， 解得，， ∵ 方程的根都是整数，， ∴， 综上所述，符合题意的m值为， ∴， 故答案为：． 16. 一个四位自然数，若它的千位数字与十位数字之和为9，百位数字与个位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“数”．若将一个“数”的千位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的四位数．规定．例如：，∵，∴1283是“数”，则．若“数”，则_________；已知是“数”（均为正整数），若被7整除，则满足条件的的最大值是__________． 【答案】 ①. 5 ②. 8114 【解析】 【分析】本题考查了新定义下实数的运算、整式加减的应用，解题的关键在于理解“数”的定义，正确列式计算．根据题意直接计算，即可求解；根据“数”的定义，得出，，由题意可得，即可求解出满足条件的的最大值． 【详解】解：根据题意，； ∵是“数”， ∴，， ， ∵，，各位数字均不为0， ∴，， ∴当取最小值1时，最大，此时才有可能取最大值， ∵被7整除， ∴能被7整除， ∴当，能被7整除时，， ∴此时， 满足条件的的最大值是． 故答案为：；8114． 三、解答题 17. 计算： （1） （2）解方程：； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程． （1）先计算完全平方公式、平方差公式、化简二次根式，再计算加减即可； （2）根据公式法计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， ， ， ． 18. 如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且． （1）如果，求的长； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）6 （2）15 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理， （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长， 熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ． 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，83，84，86，88． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 众数 91 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1600名学生，八年级有1000名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 【答案】（1），， （2） 解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下， ∵七年级的众数小于八年级的众数， ∴八年级 学生的安全知识竞赛成绩较好； （3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共约是人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的知识，掌握样本百分比的计算，中位数、众数的计算，由样本百分比估算总体数量的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，根据样本百分比，中位数，众数的计算方法求解即可； （2）根据众数作决策即可； （3）根据样本估算总体数的方法计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生参加竞赛， ∴八年级组的人数为（人），组的人数为（人），组的人数有人， ∴八年级组有（人），则， ∴， ∴中位数落在组，是第位同学成绩的平均数，即， ∵七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100， ∴出现次数最多的是， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：样本中七年级安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数人，八年级安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数人， ∴（人）， ∴该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共约是人． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式减法化简并代值计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，原式． 21. 已知关于的方程． （1）求证：对于任意的，该方程总有两个实数根． （2）若等腰三角形的一边长为2，另外两边长为该方程的两个实数根，求的值和三角形的周长． 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴对于任意的，该方程总有两个实数根； （2）5；5 【解析】 【分析】（1）只需要证明即可； （2）当腰长为2时，则是方程的一个解，据此把代入原方程求出k的值，进而解方程求出底边长，再根据三角形三边的关系和三角形周长公式求解即可；当底边长为2时，则原方程有两个相等的实数根，据此求出k，进而解方程求出腰长，再根据三角形三边的关系和三角形周长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当腰长为2时，则是方程的一个解， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得或， ∴底边长为1， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴三角形的周长为； 当底边长为2时，则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， ∴腰长为1， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，，三角形的周长为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 23. 在矩形中，，，点P，Q分别从点B，点D同时出发，点P沿以每秒1个单位长度的速度运动，点Q以某一速度匀速沿运动，点P到达点D时点Q停止运动．点P的运动时间为x秒，的面积记为，的面积记为，关于x的图象如下，解答下列问题： （1）请直接写出与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接估计当时x的取值范围：________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2） 函数图像如图所示： 函数的性质：函数有最大值，最大值为6． （3）或 【解析】 【分析】（1）通过三角形的面积公式即可求解； （2）根据题意画出函数图像，即可求解； （3）由函数图象可求解． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，， 当时，，； 当时，，，， 综上所述，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可得：当或时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 24. 如图1，一次函数分别与轴，轴交于点，点在轴上满足． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点是直线上一动点，线段在轴上移动，记为，分别连接，当线段最短时，求周长的最小值； （3）如图3，在（2）问的条件下，将直线沿射线方向平移个单位得到直线，点是直线上一动点，连接，是否存在点使得直线与直线与的夹角等于，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出点B坐标，再用待定系数法求解即可； （2）先根据垂线段最短利用勾股定理求出点，再利用建桥选址（平移）模型和将军饮马（对称）模型将周长的最小值问题转化为，再根据坐标系中两点距离公式求解即可， （3）先求出点点沿射线方向平移个单位得到点坐标为，进而求出直线的解析式，再根据当轴时，，求出此时点的坐标为，进而利用对边等角找到另一个满足条件点，利用坐标系中两点距离公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：对于一次函数， 令，则， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把、代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于一次函数， 令，则， ∴， ∴， 当线段最短时，则， ∵点是直线上，且， ∴设， ∵， ∴， 解得： ，（不符合题意舍去）， ∴， ∵周长 ∴当最小时，周长最小， 如图，取点关于轴对称点，将点向右平移个单位，得，连接、、、， 由对称可知：， 由平移可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一直线上，即点在与轴交点上时，最小， 即的最小值为， ∵， 周长最小为． 【小问3详解】 解：∵， ∴直线解析式为， 设点沿射线方向平移个单位得到点坐标为， 则， ∴， ∴， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当轴时，，此时点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 所以点的坐标为， 在直线取点使，设点坐标为，如图： ∴ ∴， ∴，， ∴，即直线与直线与的夹角等于， 由可得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴点坐标为， 综上所述：以点的坐标为或 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，解题关键是利用平行和对称转化线段关系，由建桥选址（平移）模型和将军饮马（对称）模型求出最小值，利用平行直线的一次项系数相等求解析式． 25. 如图1，菱形中，对角线相交于O，于E，与相交于F，连接． （1）若菱形的对角线．，求的长； （2）如图1，若，求证：； （3）如图2，M、N分别是线段上的两个动点，且，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∵为直角三角形，为中点， ， ， ， ， ， ； （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）先求出菱形的边长，再根据面积公式求出的长； （2）在上取一点，使，连接，将转化为转化为，即可得证； （3）将绕点逆时针旋转至，证明，将转化为，即可得到最小值． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，对角线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将绕点逆时针旋转至，连接， 在上， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，属于综合题，正确做出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $