2025-2026学年人教版数学九年级上学期期中复习之一元二次方程的新定义专题讲义

2025-2026学年度九年级上学期期中复习之一元二次方程的新定义专题 专题概述:解一元二次方程新定义问题，关键技巧是“先拆定义，再套旧知”，核心是把陌生的新规则转化为熟悉的一元二次方程性质（如系数、根、判别式等）来解决。具体可分为三步技巧和两个关键提醒， 1、 核心解题三步法 这是解决所有新定义问题的通用流程，能确保思路不跑偏。 ①第一步：“翻译”定义，提取关键条件，逐句阅读新定义，用圈画的方式找出其中的“关键信息”。比如定义“倍根方程”时，会明确“一个根是另一个根的2倍”，这就是需要转化的核心条件；定义“对称方程”时，会提到“系数a=c”，这就是判断或计算的直接依据。 ②第二步：关联旧知，建立等式或不等式关系，将提取的关键条件与一元二次方程的“旧知识”绑定。若条件涉及“根的关系”，就用韦达定理（根的和、积）建立方程；若条件涉及“是否为一元二次方程”，就用“二次项系数≠0”建立限制；若条件涉及“有实根”，就用判别式Δ≥0建立不等式。 ③第三步：验证结果，排除不符合项，计算出参数或根后，必须回头对照“新定义”和“一元二次方程的基本要求”双重验证。比如求出参数后，要检查二次项系数是否为0（避免变成一次方程）；求出根后，要代入新定义的规则中，确认是否满足最初的定义要求。 2、 两大关键提醒 这两个细节能帮你避开80%的易错点，尤其在含参数的题目中至关重要。 提醒1：优先保证“一元二次方程”的本质，无论新定义如何变化，这类题的前提是“基于一元二次方程”，因此必须先满足二次项系数a≠0。即使根据新定义算出参数值，若该值使a=0，也必须排除。 提醒2：涉及“根”的问题，先看判别式Δ，若新定义与“方程的根”相关（如存在实根、根的关系等），第一步要先计算判别式Δ=b²-4ac。若Δ<0，方程无实根，后续所有关于“根”的计算都不成立，可直接判断“不存在这样的参数”或“方程不符合定义”。 典例1.（2024秋•扬州市邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 变式训练1．（2025•泰州市阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为　 　 ． 典例2．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 变式训练2．我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值 典例3。（2025•广陵区校级期中）定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，x2＝1， ∵， ∴是差积方程． （1）方程x2﹣5x+6＝0 　 　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值． （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，则b+c＝ 　　 ． 变式训练3．（2025•江苏省苏州市相城区校考）阅读下面材料：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现： ，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是b2﹣4ac＝a2． （1）请通过计算判断方程x2+7x+12＝0是否是“差根方程”． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． （3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b＝0的一个根是x＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 1．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知，则__________； (3)已知实数x、y满足，求的最值． 2．关于x的一元二次方程（）的两个实数根分别是、，若该一元二次方程的两个实数根满足，则称此类方程为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)在方程①；②中，是“差根方程”的是_________（填序号）； (2)已知是关于x的一元二次方程的一个根，且该方程为“差根方程”，求a的值． 3．（2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 4．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 5．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限制方程”．比如：一元二次方程的两根为，因，所以一元二次方程不是“限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程______“限制方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，求m的取值范围． 6．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 7．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 8．定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； 9．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级上学期期中复习之一元二次方程的新定义专题 专题概述:解一元二次方程新定义问题，关键技巧是“先拆定义，再套旧知”，核心是把陌生的新规则转化为熟悉的一元二次方程性质（如系数、根、判别式等）来解决。具体可分为三步技巧和两个关键提醒， 1、 核心解题三步法 这是解决所有新定义问题的通用流程，能确保思路不跑偏。 ①第一步：“翻译”定义，提取关键条件，逐句阅读新定义，用圈画的方式找出其中的“关键信息”。比如定义“倍根方程”时，会明确“一个根是另一个根的2倍”，这就是需要转化的核心条件；定义“对称方程”时，会提到“系数a=c”，这就是判断或计算的直接依据。 ②第二步：关联旧知，建立等式或不等式关系，将提取的关键条件与一元二次方程的“旧知识”绑定。若条件涉及“根的关系”，就用韦达定理（根的和、积）建立方程；若条件涉及“是否为一元二次方程”，就用“二次项系数≠0”建立限制；若条件涉及“有实根”，就用判别式Δ≥0建立不等式。 ③第三步：验证结果，排除不符合项，计算出参数或根后，必须回头对照“新定义”和“一元二次方程的基本要求”双重验证。比如求出参数后，要检查二次项系数是否为0（避免变成一次方程）；求出根后，要代入新定义的规则中，确认是否满足最初的定义要求。 2、 两大关键提醒 这两个细节能帮你避开80%的易错点，尤其在含参数的题目中至关重要。 提醒1：优先保证“一元二次方程”的本质，无论新定义如何变化，这类题的前提是“基于一元二次方程”，因此必须先满足二次项系数a≠0。即使根据新定义算出参数值，若该值使a=0，也必须排除。 提醒2：涉及“根”的问题，先看判别式Δ，若新定义与“方程的根”相关（如存在实根、根的关系等），第一步要先计算判别式Δ=b²-4ac。若Δ<0，方程无实根，后续所有关于“根”的计算都不成立，可直接判断“不存在这样的参数”或“方程不符合定义”。 典例1.（2024秋•扬州市邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1， ∵方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程， ∴a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2， ∴原式 ＝﹣1﹣2024 ＝﹣2025． 故选：C． 变式训练1．（2025•泰州市阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为　 　 ． 解：由题意，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）既是“和谐”方程又是“美好”方程， ∴． ∴． ∴一元二次方程为ax2﹣a＝0． ∵a≠0， ∴可取a＝1． ∴这个一元二次方程为x2﹣1＝0（答案唯一）． 故答案为：x2﹣1＝0（答案唯一）． 典例2．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． (1)四 (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 变式训练2．我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值 (1)；或； (2)，该方程的“幸运数”为 (3)或 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 典例3。（2025•广陵区校级期中）定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，x2＝1， ∵， ∴是差积方程． （1）方程x2﹣5x+6＝0 　 　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值． （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，则b+c＝ 　　 ． 解：（1）解x2﹣5x+6＝0得：x1＝2，x2＝3， ∵|2﹣3|≠|2×3|， ∴x2﹣5x+6＝0不是“差积方程”； 故答案为：不是； （2）解x2﹣（m+3）x+3m＝0得方x1＝3，x2＝m， ∵x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”， ∴|3﹣m|＝|3m|， 即3﹣m＝3m或3﹣m＝﹣3m， 解得m或m； （3）设x2+bx+c＝0的另一个根为α， ∴﹣1+α＝﹣b，﹣1×α＝c， ∴b＝1﹣α，c＝﹣α， ∵x2+bx+c＝0是“差积方程”， ∴|﹣1﹣α|＝|﹣1×α|， 即﹣1﹣α＝﹣α或﹣1﹣α＝α， 解得α， ∴b＝1﹣α＝1，c＝﹣α， ∴b+c2； 故答案为：2． 变式训练3．（2025•江苏省苏州市相城区校考）阅读下面材料：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现： ，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是b2﹣4ac＝a2． （1）请通过计算判断方程x2+7x+12＝0是否是“差根方程”． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． （3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b＝0的一个根是x＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 解：（1）原方程整理得（x+3）（x+4）＝0， ∴x+3＝0或x+4＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣4， ∴|x1﹣x2|＝|﹣3﹣（﹣4）|＝1， ∴方程x2+7x+12＝0是“差根方程”； （2）由条件可知|x1﹣x2|＝1， ∴， ∵x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1﹣k， ∴， 解得：， ∴方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）由条件可知ax2+2amx+am2+b＝0， ∴（2am）2﹣4×a×（am2+b）＝0， ∴（2am）2﹣4×a×（am2+b）＝a2， ∴a＝﹣4b， 将a＝﹣4b代入方程a（x+m+4）2＝﹣b可得：， 解得：，， ∴， ∴方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”，它的根为，． 1．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知，则__________； (3)已知实数x、y满足，求的最值． 2．关于x的一元二次方程（）的两个实数根分别是、，若该一元二次方程的两个实数根满足，则称此类方程为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)在方程①；②中，是“差根方程”的是_________（填序号）； (2)已知是关于x的一元二次方程的一个根，且该方程为“差根方程”，求a的值． 3．（2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 4．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 5．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限制方程”．比如：一元二次方程的两根为，因，所以一元二次方程不是“限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程______“限制方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，求m的取值范围． 6．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 7．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 8．定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； 9．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 参考答案 1．(1) (2) (3)最大值为6，无最小值 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）把10分成1和9即可； （2）由，则且，然后分别求解即可； （3）先求出，则，然后由，从而即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）， 且， 解得且， ． （3）∵， ∴， ， ， 的最大值为6，无最小值． 2．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，根与系数的关系，正确理解“差根方程”的定义是解题的关键， （1）据“差根方程”定义判断即可； （2）先由为的解，求出值，再根据是“差根方程”，且得到，进而即可得解． 【详解】（1）解：由题意知：， ， 方程不是差根方程； ②由题意知：，， ， 方程是差根方程， 故答案为：； （2）解：是关于x的一元二次方程的一个根， ， ， ， 因式分解得， 解得， 关于的方程是“差根方程”， ， ，即． 3．（1）；（2），；（3）互为倒数，，过程见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，熟练掌握一元二次方程的解法、求根公式以及对新定义“友好方程”的理解与运用是解题的关键． （1）依据“友好方程”的定义直接写出； （2）先写出“友好方程”，再用因式分解法求解； （3）先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积或和来推导关系． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； 4．(1)是“倍根方程”．理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． （1）解一元二次方程后，根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）通过转化一元二次方程，求解，再根据“倍根方程”的定义判断即可． 【详解】（1）解：是“倍根方程”． 理由：解方程，得，． 根据“倍根方程”的定义知，一元二次方程是“倍根方程”． （2）解：点在双曲线上， ，，且， 方程化为方程， 分解因式，得， 解得，， 方程是“倍根方程”． 5．(1)不是 (2)6 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，根据，代入可求出k的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，然后分两种情况，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 不是“限制方程”； （2）解：是的两根， 则，， ∵， ∴， ， 解得或6， 当时，，解得， ， 不符合题意，舍去， 当时，，解得，满足， ∴； （3）解：方程的根为， ∵该方程是“限制方程”， ∴， 当时， ，解得， 当时， ，解得， ∴m的取值范围是或． 6．(1) (2)“两根点”P的坐标为． 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 7．(1)③ (2)或 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：设的两个根为，， 由韦达定理得，． ∵为“邻根方程”， ∴，可得， 即， 代入得． 8．(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）①利用根的判别式即可证明； ②先运用因式分解法整理得，再根据衍生点的定义即可写出M点坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴两个根为， 根据题意衍生点的定义为横坐标和纵坐标得到点得的衍生点为． 故答案为：． （2）解：①证明：∵ ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②， ∴， 解得：， ∴方程的衍生点M为； 9．(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 10．(1)不是 (2) (3)的值为0． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （3）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵，， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； （2）解：设方程的两个根分别为：，， 则由根与系数的关系可得：，， 消去得：， 故答案为：； （3）解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 学科网（北京）股份有限公司 $