集合的概念与运算 讲义-2026届高三数学一轮复习

集合的概念与运算 课前必备知识 课标要求 1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系及空集、全集的意义.2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集.3.理解交集、并集、补集的含义，能求两个简单集合的交集与并集，能求给定子集的补集． 知识梳理 1．集合的含义与表示 (1)一般地，我们把研究对象统称为　元素　，把一些元素组成的总体叫做　集合　(简称为　集　).集合中的元素具有　确定性　、　互异性　和　无序性　三个特征． (2)如果a是集合A的元素，就说a　属于　集合A，记作　a∈A　，如果a不是集合A的元素，就说a　不属于　集合A，记作　a∉A　． (3)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 　　(4)常用的集合表示法有：列举法、　描述法　和　图示法　． 2．集合间的基本关系 (1)如果集合A中　任意　一个元素　都是　集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作　A⊆B(或B⊇A)　． (2)如果集合A　⊆　B，但存在元素x　∈　B，且x　∉　A，就称集合A是集合B的真子集，记作　A⫋B(或BA)　． (3)如果　A⊆B且B⊆A　，即集合A与集合B中的元素是一样的，就称集合A与集合B相等． 3．集合的基本运算 (1)交集：由　所有　属于集合A　且　属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝　{x|x∈A，且x∈B}　． (2)并集：由　所有　属于集合A　或　属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝　{x|x∈A，或x∈B}　． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中　不属于集合A　的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA，即∁UA＝　{x|x∈U，且x∉A}　． 常用结论 1．空集是任何集合的　子集　，空集是任何非空集合的　真子集　． 2．若有限集合A中有n个元素，则A的子集有　2n　个，非空子集有　2n－1　个，真子集有　2n－1　个． 3．A⊆B⇔A∩B＝　A　⇔A∪B＝　B　． 课前训练 1．下列命题中正确的是(　　) A．∅与{0}表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2} D．集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 解析：B　对于A，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而∅ 不含任何元素，A错误； 对于B，根据集合中元素的无序性，B正确； 对于C，根据集合元素的互异性，C错误； 对于D，由于该集合为无限集且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，D错误．故选B. 2．(教材母题必修习题1.1T1)已知集合A＝{x|x2－x＝0}，则－1与集合A的关系为(　　) A．－1∈A B．－1∉A C．－1⊆A D．－1A 解析：B　因为A＝{x|x2－x＝0}＝，所以－1∉A，故选B. 3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 解析：A　因为A＝，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1<<2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A. 4．(教材母题必修习题2.3T5)若集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}，N＝{x|x＞－3}，则M∪N＝(　　) A．(－3，1] B．(－3，4] C．[－4，＋∞) D．[－1，＋∞) 解析：C　集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，N＝{x|x＞－3}，则M∪N＝{x|x≥－4}．故选C. 5．(2025·浙江月考)已知集合M＝{1，2，3}，N＝{0，1，2，3，4，7}，若M⊆A⊆N，则满足集合A的个数为　　　． 解析：8　因为M⊆A⊆N，所以A可以是{1，2，3}，{1，2，3，4}，{1，2，3，0}，{1，2，3，7}，{1，2，3，0，4}，{1，2，3，0，7}，{1，2，3，4，7}，{1，2，3，0，4，7}，共8个． 课堂核心考点 考点1　集合的基本概念 【例1】 (1)下列说法正确的是(　　) A．由0，2，4组成的集合可表示为{0，2，4}或{4，2，0} B．∅与{∅}是同一个集合 C．集合{x|y＝x2－1}与集合{y|y＝x2－1}是同一个集合 D．集合{x|x2＋5x＋6＝0}与集合{x2＋5x＋6＝0}是同一个集合 (2)(2024·江苏模拟预测)若集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是(　　) A．(，] B．[，) C．(，) D．[，] 解析：(1)A　集合中的元素具有无序性，A正确； ∅是不含任何元素的集合，{∅}是含有一个元素∅的集合，B错误； 集合{x|y＝x2－1}＝R，集合{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，C错误； 集合{x|x2＋5x＋6＝0}＝{x|(x＋2)(x＋3)＝0}中有两个元素－2，－3，集合{x2＋5x＋6＝0}中只有一个元素，为方程x2＋5x＋6＝0，D错误．故选A. (2)A　由题意可得 解得<m≤.故选A. (1)用描述法表示集合，首先要明确集合中元素的属性，即元素的满足限制条件，同时分清是数集、点集还是其他类型的集合． (2)研究集合的有关问题，首先要理解集合的属性，其次要注意集合中元素的三个特征——确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时，要根据互异性进行检验，同时解决集合问题常常应用分类讨论的思想方法． 变式探究 1．若集合A＝{x∈Z|m<x<4}有15个真子集，则实数m的取值范围为(　　) A．[－1，0) B．(－1，0] C．(－1，0) D．[－1，0] 解析：A　因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以－1≤m<0.故选A. 2．已知集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为(　　) A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0，－1，1} 解析：D　因为集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，所以一元二次方程(x－a2)(x－1)＝0有等根时，可得x＝a2＝1，即a＝±1.当方程有两不相等实根时，x＝a2＝0，即a＝0.综上，实数a所有取值的集合为{0，1，－1}．故选D. 考点2　集合间的基本关系 【例2】 (1)(教材母题必修习题1.2T5)已知集合A＝{x|1<x<2024}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(2024，＋∞) B．[2024，＋∞) C．(－∞，2024] D．(－∞，2024) (2)已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x||2x－2a－1|≤1}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(2，3) C．[1，3] D．[2，3] 解析：(1)B　集合A＝{x|1<x<2024}，B＝{x|x<a}，又A⊆B，则a≥2024，所以实数a的取值范围是[2024，＋∞).故选B. (2)B　解不等式|2x－2a－1|≤1，得a≤x≤a＋1， 所以B＝{x|a≤x≤a＋1}． 由A∩B＝B，得B⊆A，所以解得2<a<3.故选B. (1)判定两集合的关系一般有两种方法：一是化简集合，利用定义从中直接找到两集合的关系；二是采用具体化的策略，通过列举等途径，直观找到两集合之间的关系． (2)已知两集合间的关系求参数的取值范围时，要注意：①所给集合若能化简，则先化简；②若集合中的元素是离散的，则用Venn图表示，根据Venn图得到关于参数的一个或多个方程，求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾；③若集合中的元素是连续的，则用数轴表示，根据数轴得到关于参数的不等式，解之得到参数的取值范围，此时要注意端点值的取舍；④注意空集的特殊性，一般地，若B⊆A，则应分B＝∅与B≠∅两种情况进行讨论． (3)注意集合的包含关系与运算关系的转化，一般地，有A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 变式探究 3．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a－2}，若A＝B，则a等于(　　) A．1或2 B．－1或－2 C．2 D．1 解析：C　因为A＝B，所以3a－2＝a2，解得a＝1或2. 当a＝1时，集合A＝{0，1，1}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． 当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意， 所以a＝2.故选C. 4．已知集合A＝{x|log2x2≤2}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[－2，2] C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2] 解析：D　由题意可得A＝{x|0<x2≤22}＝[－2，0)∪(0，2]，因为A∪B＝A，则B⊆A，所以m∈[－2，0)∪(0，2].故选D. 考点3　集合的基本运算 【例3】 (1)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ (2)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2，4} B．{1，3} C．{1，3，4} D．{2，3，4} (3)设集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤a}，若A∪B＝{x|1<x≤4}，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：(1)A　因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. (2)B　由题意，图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB).因为U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4，6}，所以∁UB＝{1，3，5}，又A＝{1，2，3，4}，所以题图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{1，3}．故选B. (3)D　因为集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤a}，且A∪B＝{x|1<x≤4}，所以a＝4.故选D. (1)进行集合的运算时，要注意：①明确集合的意义，辨清是数集、点集还是图形集等；②将所给集合进行化简，使之明确化；③数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题． (2)处理集合的交、并、补的运算问题，首先要将集合进行化简，使之明确化，然后借助数轴、韦恩图等工具，应用集合运算的含义进行推导判定，同时将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，这实质上是数形结合思想在集合中的具体应用． 变式探究 5．已知集合A＝{x|x2－5≤0}，B＝{x|x2＋4x＋3>0}，则A∩B＝　　　　　　． 解析：{x|－1<x≤}　由题知A＝{x|x2－5≤0}＝{x|－≤x≤}，B＝{x|x2＋4x＋3>0}＝{x|x<－3或x>－1}，所以A∩B＝{x|－1<x≤}． 6．(2025·湖南九校联盟一)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|2<x≤3} D．{x|2≤x≤3} 解析：D　因为A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|－1≤x≤3}，则∁RA＝{x|x≤－2或x≥2}，故(∁RA)∩B＝{x|2≤x≤3}．故选D. 7．设集合A＝{x||x|≤3}，B＝{x|log2(x＋a)≥1}，若A∩B＝{x|－1≤x≤3}，则实数a的值为　　　　． 解析：3　由不等式|x|≤3，解得－3≤x≤3，所以A＝{x|－3≤x≤3}， 又由log2(x＋a)≥1，可得x＋a≥2，所以x≥2－a，所以B＝{x|x≥2－a}， 因为A∩B＝{x|－1≤x≤3}，所以2－a＝－1，解得a＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合的概念与运算 课前必备知识 课标要求 1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系及空集、全集的意义.2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集.3.理解交集、并集、补集的含义，能求两个简单集合的交集与并集，能求给定子集的补集． 知识梳理 1．集合的含义与表示 (1)一般地，我们把研究对象统称为　元素　，把一些元素组成的总体叫做　集合　(简称为　集　).集合中的元素具有　确定性　、　互异性　和　无序性　三个特征． (2)如果a是集合A的元素，就说a　属于　集合A，记作　a∈A　，如果a不是集合A的元素，就说a　不属于　集合A，记作　a∉A　． (3)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 　　(4)常用的集合表示法有：列举法、　描述法　和　图示法　． 2．集合间的基本关系 (1)如果集合A中　任意　一个元素　都是　集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作　A⊆B(或B⊇A)　． (2)如果集合A　⊆　B，但存在元素x　∈　B，且x　∉　A，就称集合A是集合B的真子集，记作　A⫋B(或BA)　． (3)如果　A⊆B且B⊆A　，即集合A与集合B中的元素是一样的，就称集合A与集合B相等． 3．集合的基本运算 (1)交集：由　所有　属于集合A　且　属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝　{x|x∈A，且x∈B}　． (2)并集：由　所有　属于集合A　或　属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝　{x|x∈A，或x∈B}　． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中　不属于集合A　的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA，即∁UA＝　{x|x∈U，且x∉A}　． 常用结论 1．空集是任何集合的　子集　，空集是任何非空集合的　真子集　． 2．若有限集合A中有n个元素，则A的子集有　2n　个，非空子集有　2n－1　个，真子集有　2n－1　个． 3．A⊆B⇔A∩B＝　A　⇔A∪B＝　B　． 课前训练 1．下列命题中正确的是(　　) A．∅与{0}表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2} D．集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 2．(教材母题必修习题1.1T1)已知集合A＝{x|x2－x＝0}，则－1与集合A的关系为(　　) A．－1∈A B．－1∉A C．－1⊆A D．－1A 3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 4．(教材母题必修习题2.3T5)若集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}，N＝{x|x＞－3}，则M∪N＝(　　) A．(－3，1] B．(－3，4] C．[－4，＋∞) D．[－1，＋∞) 5．(2025·浙江月考)已知集合M＝{1，2，3}，N＝{0，1，2，3，4，7}，若M⊆A⊆N，则满足集合A的个数为　　　． 课堂核心考点 考点1　集合的基本概念 【例1】 (1)下列说法正确的是(　　) A．由0，2，4组成的集合可表示为{0，2，4}或{4，2，0} B．∅与{∅}是同一个集合 C．集合{x|y＝x2－1}与集合{y|y＝x2－1}是同一个集合 D．集合{x|x2＋5x＋6＝0}与集合{x2＋5x＋6＝0}是同一个集合 (2)(2024·江苏模拟预测)若集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是(　　) A．(，] B．[，) C．(，) D．[，] (1)用描述法表示集合，首先要明确集合中元素的属性，即元素的满足限制条件，同时分清是数集、点集还是其他类型的集合． (2)研究集合的有关问题，首先要理解集合的属性，其次要注意集合中元素的三个特征——确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时，要根据互异性进行检验，同时解决集合问题常常应用分类讨论的思想方法． 变式探究 1．若集合A＝{x∈Z|m<x<4}有15个真子集，则实数m的取值范围为(　　) A．[－1，0) B．(－1，0] C．(－1，0) D．[－1，0] 2．已知集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为(　　) A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0，－1，1} 考点2　集合间的基本关系 【例2】 (1)(教材母题必修习题1.2T5)已知集合A＝{x|1<x<2024}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(2024，＋∞) B．[2024，＋∞) C．(－∞，2024] D．(－∞，2024) (2)已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x||2x－2a－1|≤1}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(2，3) C．[1，3] D．[2，3] (1)判定两集合的关系一般有两种方法：一是化简集合，利用定义从中直接找到两集合的关系；二是采用具体化的策略，通过列举等途径，直观找到两集合之间的关系． (2)已知两集合间的关系求参数的取值范围时，要注意：①所给集合若能化简，则先化简；②若集合中的元素是离散的，则用Venn图表示，根据Venn图得到关于参数的一个或多个方程，求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾；③若集合中的元素是连续的，则用数轴表示，根据数轴得到关于参数的不等式，解之得到参数的取值范围，此时要注意端点值的取舍；④注意空集的特殊性，一般地，若B⊆A，则应分B＝∅与B≠∅两种情况进行讨论． (3)注意集合的包含关系与运算关系的转化，一般地，有A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 变式探究 3．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a－2}，若A＝B，则a等于(　　) A．1或2 B．－1或－2 C．2 D．1 4．已知集合A＝{x|log2x2≤2}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[－2，2] C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2] 考点3　集合的基本运算 【例3】 (1)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ (2)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2，4} B．{1，3} C．{1，3，4} D．{2，3，4} (3)设集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤a}，若A∪B＝{x|1<x≤4}，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (1)进行集合的运算时，要注意：①明确集合的意义，辨清是数集、点集还是图形集等；②将所给集合进行化简，使之明确化；③数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题． (2)处理集合的交、并、补的运算问题，首先要将集合进行化简，使之明确化，然后借助数轴、韦恩图等工具，应用集合运算的含义进行推导判定，同时将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，这实质上是数形结合思想在集合中的具体应用． 变式探究 5．已知集合A＝{x|x2－5≤0}，B＝{x|x2＋4x＋3>0}，则A∩B＝　　　　　　． 6．(2025·湖南九校联盟一)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|2<x≤3} D．{x|2≤x≤3} 7．设集合A＝{x||x|≤3}，B＝{x|log2(x＋a)≥1}，若A∩B＝{x|－1≤x≤3}，则实数a的值为　　　　． 学科网（北京）股份有限公司 $