拓展专题11 斜棱柱、不规则几何体建系的十大技巧10大考点22题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

拓展专题11 斜棱柱、不规则几何体建系的十大技巧 考点01 斜棱柱垂面型建系(共2小题) 3 考点02 斜棱柱垂线法建系（共2小题） 6 考点03 棱锥垂面型建系（共2小题） 9 考点04 斜面棱锥建系（共2小题） 12 考点05 平行六面体型建系（共3小题） 15 考点06 等角射影角平分线型建系（共2小题） 21 考点07 台体建系（共2小题） 24 考点08 不规则几何体型建系（共2小题） 28 考点09 翻折型建系（共2小题） 31 考点10 无垂面垂线型（共3小题） 35 【重要方法归纳】 类型 策略 斜棱柱垂面型 从以下几方面思考： 1. 垂面如果是菱形，多是60°角菱形，则可以通过菱形分割成两个等边三角形，再借助“等边三角形的中线就是高”，寻找建系的z轴 2. 垂面如果是一般梯形，可以借助梯形的中线（等腰梯形）或者直角梯形的直角腰建系. 斜棱柱垂线型建系 如果存在垂线（投影型）斜棱柱，则可以直接借助垂线作为z轴建系，下底面，可以寻找或者做出一对垂线作为xy轴.这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标.空中点坐标可以有以下思维： 1. 让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度 2. 借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标 棱锥垂面型建系 棱锥型垂面相对而言较简单，棱锥型垂面，一般垂面多是等腰三角形较多，可以直接用中线来作为z轴. 如果是任意三角形，则借助三角形正余弦定理求出高度.z轴可以选择合适的底面垂线组处 斜面型棱锥建系 斜面型棱锥建系 斜面型棱锥， 不容易找到垂面和垂线，多采用投影法来建系：从棱锥顶点向下底面做垂线，通过题中条件，寻找并计算出三棱锥的高.再在垂足处，构造或者寻找一对互相垂直的线作为x、y轴来建立坐标系. 平行六面体型建系 平行六面体建型，一般情况下，平行六面体具有特殊性：平行六面体的测棱和底面两边所成的角度相等，此时，侧棱在底面射影是底面相邻边所成角度的角平分线（可证明），可以选侧棱上合适的点做底面投影以作为z轴建系. 等角射影平分线型建系 如果一条线和一个角的两边所成角度相等，则该线在角度所在平面射影是角平分线.此时，这个模型也满足“三面角余弦定理”： 大题解答时，需要简单的证明才能使用 台体建系型 1. 正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z轴. 2.非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系思维. 不规则几何体型建系 不规则几何体建系型思维： 1、 多是有垂面，可以垂面建系，难点在于需要寻找“空中点坐标”. 2、 如有垂线，则可以垂线型建系. 无有垂线和垂面，则可以通过选择合适几个点，“切割出”三棱锥，转化为斜面型三棱锥来建系设点. 翻折型建系 翻折型几何体，寻找翻折前和翻折后的“变与不变”的点线面关系. 1. 翻折前翻折后在同一平面内的点线，数量关系不变. 2. 翻折后，一般情况下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系计算 3. 翻折后，可以构造三棱锥，利用三棱锥斜面建系法来建系计算 考点01 斜棱柱垂面型建系(共2小题) 1.（24-25高三下·浙江金华·阶段练习）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧面是矩形，． (1)求证：三棱锥是正三棱锥； (2)若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明平面即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可. 【详解】（1）分别取AB，BC中点D，E，连接CD，AE交于点O，则点O为正三角形ABC的中心． 因为得， 又平面， 所以平面，又平面， 则； 取中点，连接，则四边形是平行四边形， 因为侧面是矩形，所以，又， 又平面， 所以平面，又平面，则； 又，平面，所以平面， 所以三棱锥是正三棱锥． （2）因为三棱柱的体积为，底面积为，所以高， 以E为坐标原点，EA为x轴正方向，EB为y轴正方向，过点E且与平行的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量，因为． 则，取，可得， 又， 设直线与平面所成角为θ， 所以. 2．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． (1)若是线段的中点，求证：平面； (2)若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据已知得出.进而根据面面垂直以及线面垂直的性质定理得出.然后根据菱形的性质得出.进而即可根据线面垂直的判定定理，得出证明； （2）连接，先根据已知推得面.以为原点，建立直角坐标系．设，得出各点的坐标，根据向量共线得出点坐标，求出平面以及平面的法向量.根据已知列出方程，结合图象，即可得出的值. 【详解】（1）连接， 因为为正三角形且是的中点，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 因为四边形是菱形， 所以. 又，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面． （2） 连接， 因为四边形是菱形， 所以，. 又，所以为等边三角形. 又是的中点，所以. 平面平面，平面平面，平面， 所以，面. 以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴、所在直线为轴，如图建立直角坐标系． 设，则，，， 所以，，，. 又，所以. 设面法向量为， 因为，， 所以，即， 取，得. 设，则，， 由得，， 即，即， 则，则，. 设为面法向量，则 ，所以有，即， 取可得，. 由已知可得，解得或5． 因为二面角为锐二面角，所以由图可知，． 考点02 斜棱柱垂线法建系（共2小题） 3．如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，.    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据圆的几何关系证明先线垂直，再根据线面垂直的性质和线面垂直判定即可求解；（2）根据线面角法向量求法和均值不等式即可求解. 【详解】（1）因为点为棱的中点，，所以A,B,C三点共圆，且AC为直径，所以. 因为平面，平面，所以.又因为，平面， 所以平面.因为平面，所以. （2）设，以为轴，为轴，过点与垂直的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，   则 所以，，，设平面的法向量为， 所以令，则，.所以.所以 （当且仅当，即时，等号成立）. 所以直线与平面所成角的正弦的最大值为. 4.如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，． (1)证明：． (2)若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，，将线线垂直转换为线面垂直，即平面，通过线面垂直的判断定理证明即可； （2）先证明平面ABC，再建立空间直角坐标系求出各点的坐标，求出二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式即可得出结果. 【详解】（1）证明：取AB的中点，连接，，因为M为AC的中点，所以， 又，所以， 因为，所以，所以M，N，，四点共面， 因为，，，平面，平面， 所以平面，所以. （2）因为平面，所以， 又，，所以， 因为，，所以在中，，则， 由平面，可得.因为，所以平面ABC， 以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，以经过点且垂直于方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则由，可得， 令，得， 由题可知，平面的一个法向量为， ， 则平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 考点03 棱锥垂面型建系（共2小题） 5.（25-26高三上·云南·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面．点是线段的中点，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接,根据条件证明即得； （2）先证明平面，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面与平面的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【详解】（1）如图，连接交于，连接,由是的中点可得， 因为，， 所以与相似，所以， 又，所以， 又平面平面，所以平面； （2）因平面平面，且平面平面， 由已知，点E是线段AD的中点，所以， 又平面，故得平面. 如图，取的中点为，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， ，，则，. 设平面的法向量为，由， 则，故，取，则， 故为平面的一个法向量； 设平面的法向量为， 由， 则，故，取，则， 故为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 6.（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，平面平面，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，点是的中点. (1)证明：； (2)设点，，，均在球的球面上. ①证明：点O在平面内； ②求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直； （2）①首先根据（1）的结果建立空间直角坐标系，利用坐标法求点的坐标，即可证明； ②求平面的法向量，利用坐标法求线面角的正弦值. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 且是等腰直角三角形，，点是的中点， 所以，所以平面，且平面， 所以； （2）①因为是等边三角形，且点是的中点， 所以， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，， 设， 由条件可知，， 所以， 解得：，即， 所以点在平面内； ②，，， 设平面的一个法向量， ，令，则， 所以平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以. 考点04 斜面棱锥建系（共2小题） 7.如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）取中点，连接，， 在和中，，，， 可得，则，所以， 因为，且，平面， 所以平面， 且平面，所以. （2）在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，， 由（1）得平面，且平面，所以， 且，平面，所以平面， 在中，，， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 在中，，可得，， 则以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面与平面的夹角， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.    8.（25-26高三上·广西·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，，. (1)证明：平面； (2)若，，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，进而得，再根据线面垂直的判定定理得证； （2）以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）因为，E为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，平面，且，所以平面. （2）取棱的中点，连接， 因为E为棱的中点，所以∥， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 由（1）可知平面的一个法向量为. 由， 所以二面角的正弦值为. 考点05 平行六面体型建系（共3小题） 9．（2025·浙江·二模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，， (1)求平行六面体的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作平面，结合边长关系得出高，再应用棱柱的体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系再计算平面与平面的法向量，最后应用向量夹角公式计算求解. 【详解】（1）如图，过作平面，垂足为， 因为平面，所以， 过作， ，垂足分别为，， 连接，，平面，所以平面，平面，所以，同理得， 又，为公共边，所以，所以， 又，为公共边，所以， 所以，所以在的平分线上. 又底面是菱形，所以在上. 又，， 所以， 所以，所以为中点. ，，，所以， 菱形的面积为，所以平行六面体的体积为； （2）由（1）可得HA，HB，HA两两垂直，建系如图所示， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， ， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 10．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算与数量积运算，设，则可得，从而得，，结合数量积运算判断的关系，再得，根据线面垂直判定定理即可得结论； （2）过点，作，连接，根据线面关系可得过点且与平行的直线为轴，所在的直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解即可得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为． 设，则， 所以， 又， 所以， 故， 因为四棱柱，且， 所以四边形为菱形，则， 又平面， 所以平面； （2）过点，作，连接， 设， 因为平面 ， 平面 ， 所以，又因为，且， 故底面， 又因为， 所以平面平面， 所以， 在中，， 在中，， 在中，， 以过点且与平行的直线为轴，所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 平面的法向量为， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 11.如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)1(2) 【分析】（1）应用等体积法求出点到平面距离； （2）空间向量法求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）在平行六面体中，是三棱柱， ， 设点到平面的距离为，则，所以， 即点到平面的距离为1． （2）在中，，所以是菱形，连接交于，则， 由（1）知点到平面的距离为1，所以平面． 设点在直线上射影为点， 则，且， 所以和重合，即． 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 根据，则， ，设平面的一法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角正弦值为．    考点06 等角射影角平分线型建系（共2小题） 12.如图，在四棱柱中， (1)求证：平面平面； (2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答. （2）由（1）的信息，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. 【详解】（1）设交于点，连接，如图， 因为，则点在线段的垂直平分线上，即有为的中点， 又因为，则，又平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，平面，而平面，则平面平面， 在平面内过作，又平面平面，因此平面， 射线两两垂直，以为原点，射线的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为为棱的中点，则点是正的重心，又，平面，且，则，所以，设平面的法向量为， 则，令，得，设平面的法向量为， 则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为. 13.如图，在三棱柱中，，，． (1)求证：； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据已知可推得，，进而得出平面，.然后根据勾股定理，可证得，进而得出平面，即可得出证明； （2）设，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，然后求出以及平面的法向量，根据向量法即可求出答案. 【详解】（1），，.，，. ，平面，平面，平面. 又平面，.在中，有.，， ，，.又平面，平面，， 平面.平面，． （2）由（1）知，平面，. 设，则，， 则以为原点，分别以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，.设平面的一个法向量为， ，即，取，则，，所以是平面的一个法向量， ，直线与平面所成角的正弦值． 考点07 台体建系（共2小题） 14．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，，E是的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由底面菱形性质得，再由线面垂直性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面和平面的法向量，再用向量夹角公式求两平面夹角余弦值. 【详解】（1）因底面是菱形，，E是BC的中点，所以， 又，则．又平面，平面，所以． 因为平面，且，所以平面． （2）因为平面，，，所以两两垂直． 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.    则， 设平面的一个法向量为，， 则，所以即，取，得， 设平面的法向量为，， 则，所以，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 15．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形求出，余弦定理求出，即可根据勾股定理证明，结合，可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. （3）求出平面ADE的法向量，设，由点M在侧面内，所以存在使得，再结合平面可推出，根据两点间距离公式及二次函数的性质可求出取最小值时m的取值，即可求出此时点M的坐标，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）由棱台性质知， 所以，则， 在中，由余弦定理可得：，， 连接，因为D为BC中点，所以，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）因为， 所以，则， 以A为坐标原点，AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，， ，， 设平面的一个法向量为， ，令，得，故， 设直线与平面所成角为， （3）设为平面ADE的法向量， ， ，令得，， 设， 因为点M在侧面内，所以存在使得, ， ，，， 因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得， 则，所以， 因为M在侧面内，所以， 当时，取得最小值，此时， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为 ，， ，令得，， 设平面与平面所成的二面角为， ，， 所以平面与平面所成的二面角得正弦值为. 考点08 不规则几何体型建系（共2小题） 16.如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点． (1)若点N为的中点，求证：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）连接，，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面． （2）根据题意，证得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，，因为M，N分别为，的中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）解：取的中点O，连接，因为侧面为菱形，且， 所以在中，，解得，所以'，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，过O作的垂线，交于H并延长， 分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则，故，，，，， 则，，，，， 设平面的法向量为，则 ，即， 取，可得， 设平面的法向量为， ，即， 令，则，所以， 则，故平面与平面夹角的余弦值为． 17.如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．      (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面； (2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形，即可证明平面； （2）根据题意可知，以为原点建立空间直角坐标系，可设利用空间向量即可表示出，进而确定点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为. 【详解】（1）证明：连接，如下图（1）中所示：因为四边形为平行四边形，所以是中点， 又点为线段的中点，则，且,又且，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；    （2）以为原点，为轴，过且在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：由平面⊥平面，，可知， 均为边长为2的正三角形，则有， 设，则， 为平面的法向量，所以， 解得（其中舍去）,所以， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故可取． 设平面的法向量为，则有， 令，则，故可取所以． 所以二面角的正弦值为．即二面角的正弦值为. 考点09 翻折型建系（共2小题） 18.（2025·辽宁·二模）如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，连接，即可证明四边形是菱形，从而得到，即可得到，从而证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）图1中，连接，交于点，连接， 为AB中点，， 又，，四边形是菱形， ， 所以在图2中，，又平面，， 平面， 又平面，； （2）以中点为坐标原点，为轴，为轴，过点做垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则， 所以，，， 设平面的法向量， 由，有，， 令，则， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 19.（25-26高二上·宁夏·阶段练习）立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为. 【分析】（1）取中点，连接，由题意可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判断定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴，轴正向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）假设存在满足条件的点，设，利用空间向量求出的值即可. 【详解】（1）取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在图1中，且, 在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， ， 所以， 又因为，平面，所以， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的正切值为， 则只需，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为. 考点10 无垂面垂线型（共2小题） 20.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）连接，利用平行线分线段成比例定理，及线面平行的判断定理推理作答. （2）由已知证明平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，交于点，连接，如图， 四边形为平行四边形，有，而为的中点，则， 由，得，又分别为的中点，即有， 因此，则，而平面平面， 所以平面． （2）因为，则是菱形，又，即，是正三角形， 则，矩形中，，而， 平面，于是平面，令， 过作，则平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，   则， ，设平面和平面的法向量分别为，，则，令，得， ，令，得，，令二面角的大小为， 则，于是，所以二面角的正弦值为． 21.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在四棱锥中，．平面．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理可得，由勾股定理的逆定理可得，由已知可得，利用线面垂直的判定可证结论； （2）取的中点为，连接，可证，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）在中，因为， 由余弦定理可得 ， 所以，所以，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面； （2）取的中点为，连接，又因为，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，所以平面，又平面，所以， 故以所在直线为轴，过作平面，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 22．（2025·四川绵阳·模拟预测）三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面上的射影E是线段靠近点A的四等分点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求三棱锥外接球体积； (3)设靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面?若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）法一：利用等体积法，求出点到平面的距离，从而；法二：连接PE，证得，求得，过B作，证得平面，得到为与平面所成角，在中，求得，利用面积相等法，求得，再直角中，即可求得与平面所成角的正弦值； （2）由几何性质知，球心M在过AB中点O且与面CAB垂直的垂线上，建立AB中点O为空间坐标原点，OC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴的空间直角坐标系，设，由，可解； （3）以AB中点O为空间坐标原点，OC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，，则D点轨迹方程，分别求出平面和平面的法向量，根据可解. 【详解】（1）法一：等体积法：，， ， ∴由，则， ． 法二：连接PE，因为P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点， 可得，因为平面，所以， 在直角中，可得， 又因为平面，所以平面平面，且交线为CE， 过B作于点G，连接PG， 因为平面，由面面垂直的性质，可得平面， 故为PB与平面PCE所成角， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 又由，所以， 在中，由，所以， 即直线PB与平面PCE所成角的正弦值为； （2）由几何性质知，球心M在过AB中点O且与面CAB垂直的垂线上， 建立AB中点O为空间坐标原点，OC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，过点O平行于的直线为轴的空间直角坐标系， 则，，设， 由，， ，故，， 故； （3）则由几何关系可得，，，，，由， 在平面xOy中，D在以E、F为焦点的椭圆上，故① 设面PBC的法向量，，，由， 有，令，得 设面PBD的法向量，，，由， ，取，则， 故得②代入①得（舍）或． 而，故. 27 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题11 斜棱柱、不规则几何体建系的十大技巧 考点01 斜棱柱垂面型建系(共2小题) 3 考点02 斜棱柱垂线法建系（共2小题） 3 考点03 棱锥垂面型建系（共2小题） 4 考点04 斜面棱锥建系（共2小题） 5 考点05 平行六面体型建系（共3小题） 6 考点06 等角射影角平分线型建系（共2小题） 7 考点07 台体建系（共2小题） 8 考点08 不规则几何体型建系（共2小题） 8 考点09 翻折型建系（共2小题） 9 考点10 无垂面垂线型（共3小题） 10 【重要方法归纳】 类型 策略 斜棱柱垂面型 从以下几方面思考： 1. 垂面如果是菱形，多是60°角菱形，则可以通过菱形分割成两个等边三角形，再借助“等边三角形的中线就是高”，寻找建系的z轴 2. 垂面如果是一般梯形，可以借助梯形的中线（等腰梯形）或者直角梯形的直角腰建系. 斜棱柱垂线型建系 如果存在垂线（投影型）斜棱柱，则可以直接借助垂线作为z轴建系，下底面，可以寻找或者做出一对垂线作为xy轴.这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标.空中点坐标可以有以下思维： 1. 让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度 2. 借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标 棱锥垂面型建系 棱锥型垂面相对而言较简单，棱锥型垂面，一般垂面多是等腰三角形较多，可以直接用中线来作为z轴. 如果是任意三角形，则借助三角形正余弦定理求出高度.z轴可以选择合适的底面垂线组处 斜面型棱锥建系 斜面型棱锥建系 斜面型棱锥， 不容易找到垂面和垂线，多采用投影法来建系：从棱锥顶点向下底面做垂线，通过题中条件，寻找并计算出三棱锥的高.再在垂足处，构造或者寻找一对互相垂直的线作为x、y轴来建立坐标系. 平行六面体型建系 平行六面体建型，一般情况下，平行六面体具有特殊性：平行六面体的测棱和底面两边所成的角度相等，此时，侧棱在底面射影是底面相邻边所成角度的角平分线（可证明），可以选侧棱上合适的点做底面投影以作为z轴建系. 等角射影平分线型建系 如果一条线和一个角的两边所成角度相等，则该线在角度所在平面射影是角平分线.此时，这个模型也满足“三面角余弦定理”： 大题解答时，需要简单的证明才能使用 台体建系型 1. 正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z轴. 2.非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系思维. 不规则几何体型建系 不规则几何体建系型思维： 1、 多是有垂面，可以垂面建系，难点在于需要寻找“空中点坐标”. 2、 如有垂线，则可以垂线型建系. 无有垂线和垂面，则可以通过选择合适几个点，“切割出”三棱锥，转化为斜面型三棱锥来建系设点. 翻折型建系 翻折型几何体，寻找翻折前和翻折后的“变与不变”的点线面关系. 1. 翻折前翻折后在同一平面内的点线，数量关系不变. 2. 翻折后，一般情况下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系计算 3. 翻折后，可以构造三棱锥，利用三棱锥斜面建系法来建系计算 考点01 斜棱柱垂面型建系(共2小题) 1.（24-25高三下·浙江金华·阶段练习）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧面是矩形，． (1)求证：三棱锥是正三棱锥； (2)若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 2．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． (1)若是线段的中点，求证：平面； (2)若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值． 考点02 斜棱柱垂线法建系（共2小题） 3．如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，.    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 4.如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，． (1)证明：． (2)若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 考点03 棱锥垂面型建系（共2小题） 5.（25-26高三上·云南·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面．点是线段的中点，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的所成角的余弦值． 6.（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，平面平面，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，点是的中点. (1)证明：； (2)设点，，，均在球的球面上. ①证明：点O在平面内； ②求直线与平面所成角的正弦值. 考点04 斜面棱锥建系（共2小题） 7.如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．    8.（25-26高三上·广西·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，，. (1)证明：平面； (2)若，，求二面角的正弦值. 考点05 平行六面体型建系（共3小题） 9．（2025·浙江·二模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，， (1)求平行六面体的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 10．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 11.如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 考点06 等角射影角平分线型建系（共2小题） 12.如图，在四棱柱中， (1)求证：平面平面； (2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求平面与平面的夹角的余弦值. 13.如图，在三棱柱中，，，． (1)求证：； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 考点07 台体建系（共2小题） 14．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，，E是的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 15．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 考点08 不规则几何体型建系（共2小题） 16.如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点． (1)若点N为的中点，求证：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 17.如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．      (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面； (2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值． 考点09 翻折型建系（共2小题） 18.（2025·辽宁·二模）如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 19.（25-26高二上·宁夏·阶段练习）立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 考点10 无垂面垂线型（共2小题） 20.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的正弦值． 21.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在四棱锥中，．平面．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 22．（2025·四川绵阳·模拟预测）三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面上的射影E是线段靠近点A的四等分点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求三棱锥外接球体积； (3)设靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面?若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $