拓展专题07 玩转解析几何中切线与切点弦的十大问题10大考点37题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

拓展专题07 玩转解析几何中的切线、切点弦的十大问题 考点01 圆的切线与切点弦问题（共3小题） 2 考点02 椭圆的切线与切点弦问题（共4小题） 3 考点03 双曲线的切线与切点弦问题（共4小题） 3 考点04 抛物线的切线与切点弦问题（共4小题） 4 考点05 两曲线的公切线问题(共3小题) 5 考点06切线、切点弦与离心率的综合（共3小题） 5 考点07 切线、切点弦过定点问题（共3小题） 5 考点 08 与切线、切点弦有关的面积问题（共3小题） 6 考点09 与切线、切点弦有关的定值问题（共4小题） 7 考点10 与切线、切点弦有关的最值、范围问题（共5小题） 8 【重要方法与结论】 1．二次曲线（圆、圆锥曲线）的切线和切点弦 (1)切线方程： 过二次曲线（圆、圆锥曲线）Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为 . (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： (1)过圆 . ⑵椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为. ⑶更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原二次曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论 切线方程： (1)过圆上任意一点的切线方程为. (2)过椭圆的切线方程为：； (3) 过双曲线的切线方程为：； (4)过. 切点弦方程 (1) 过圆外一点的切点弦方程为 . (2)过椭圆+=1外一点的切点弦方程为； (3) 过双曲线的切点弦方程为：； (4)过. 说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，，，，). 考点01 圆的切线与切点弦问题（共3小题） 1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为 . 4．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 考点02 椭圆的切线与切点弦问题（共4小题） 5．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是 (　　) A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 8．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知椭圆C：的离心率，短轴长为2，是椭圆外一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程； (3)若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程. 考点03 双曲线的切线与切点弦问题（共4小题） 9．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 10．（2025高二·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 11．（24-25高二上·山西·期中）已知左、右焦点分别为的双曲线，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线在点处的切线平分． 12．（2024·广东汕头·一模）已知点为双曲线上的动点. (1)判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由； (2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明； （ii）将双曲线的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点. 考点04 抛物线的切线与切点弦问题（共4小题） 13．（2025·甘肃临夏·一模）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 14．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 15．（24-25高二上·吉林·期末）已知抛物线：的准线与轴相交于点， (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 16．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 考点05 两曲线的公切线问题(共3小题) 17．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，圆，则椭圆与圆的公切线段长的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 18．（24-25高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是 19.（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 考点06切线、切点弦与离心率的综合（共3小题） 20. （2025高三·全国·专题练习）简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图，如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，由外层椭圆顶点向内层椭圆引切线．设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程可设为．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21. (2024高三·全国·专题练习）过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线OP与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为 ． 22．（24-25高三上·浙江杭州·期末）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为 . 考点07 切线、切点弦过定点问题（共3小题） 23．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 24．（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 25. （2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线内部一点作抛物线的中点弦（为中点），两条切线、交于点，过点作直线，且，点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线、，求证：直线过定点． 考点 08 与切线、切点弦有关的面积问题（共3小题） 26．（2025高三·全国·专题练习）过点作抛物线的两条切线，与y轴分别交于点C，D，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（    ） A． B． C．2 D． 28．（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积. 考点09 与切线、切点弦有关的定值问题（共4小题） 29．（24-25高三上·广东揭阳·期末）如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则 . 30．（23-24高三上·浙江·期中）已知双曲线：（，）过点，且离心率为2，，为双曲线的上、下焦点，双曲线在点处的切线与圆：（）交于A，B两点. (1)求的面积； (2)点为圆上一动点，过能作双曲线的两条切线，设切点分别为，，记直线和的斜率分别为，，求证：为定值. 31．（24-25高三上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，过拋物线焦点的直线l，交于两点，且. (1)求的方程： (2)若在M，N处的切线交于点，设切线GM，GN的斜率分别为. （i）证明：为定值： （ii）求面积的最小值. 32.(2025·江西萍乡·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，点在圆上，直线为和的公切线，求线段的长度； (3)直线交椭圆于两点，交轴于点．为直线上一点，满足，其中为坐标原点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 考点10 与切线、切点弦有关的最值、范围问题（共5小题） 33．（2025高三·全国·专题练习）点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 35．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点. (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点， ①证明：平分； ②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 36．（2025·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，. (1)求E的方程； (2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 37．（2025·四川绵阳·模拟预测）中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率，椭圆上的动点（不与顶点重合），满足当时，到左焦点的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的最大值小于5时，过点作椭圆的切线，与轴交于，与轴交于，求的最小值. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题07 玩转解析几何中的切线、切点弦的十大问题 考点01 圆的切线与切点弦问题（共3小题） 2 考点02 椭圆的切线与切点弦问题（共4小题） 4 考点03 双曲线的切线与切点弦问题（共4小题） 7 考点04 抛物线的切线与切点弦问题（共4小题） 10 考点05 两曲线的公切线问题(共3小题) 13 考点06切线、切点弦与离心率的综合（共3小题） 15 考点07 切线、切点弦过定点问题（共3小题） 18 考点 08 与切线、切点弦有关的面积问题（共3小题） 22 考点09 与切线、切点弦有关的定值问题（共4小题） 25 考点10 与切线、切点弦有关的最值、范围问题（共5小题） 32 【重要方法与结论】 1．二次曲线（圆、圆锥曲线）的切线和切点弦 (1)切线方程： 过二次曲线（圆、圆锥曲线）Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为 . (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： (1)过圆 . ⑵椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为. ⑶更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原二次曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论 切线方程： (1)过圆上任意一点的切线方程为. (2)过椭圆的切线方程为：； (3) 过双曲线的切线方程为：； (4)过. 切点弦方程 (1) 过圆外一点的切点弦方程为 . (2)过椭圆+=1外一点的切点弦方程为； (3) 过双曲线的切点弦方程为：； (4)过. 说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，，，，). 考点01 圆的切线与切点弦问题（共3小题） 1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 3．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为 . 【答案】或. 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即， 解得，此时切线方程为. 4．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 考点02 椭圆的切线与切点弦问题（共4小题） 5．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点斜式，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，让此方程根的判断式为零，求出斜率，即可求出切线方程，要考虑斜率不存在的情况． 【详解】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意； 当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得， ，得到， 直线与椭圆相切，故，即， 解得， 所以切线方程为， 故选A． 6．（24-25高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给的结论，求出过的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过点且与直线垂直的直线的斜率，最后求出直线方程. 【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为. 与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：B. 7．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程； （2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设与平行的：， 由，得， 由，得，则：. 8．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知椭圆C：的离心率，短轴长为2，是椭圆外一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程； (3)若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由题意得，因为，，所以， 故椭圆C的标准方程为； （2）当直线l的斜率不存在时，直线l：，易得与椭圆C相切； 当直线l的斜率存在时，设直线l：，即， 联立，可得， 由可得，， 即，解得. 此时直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. （3）设切点分别为A，B， 当直线PA斜率不存在时，此时直线的斜率为； 当直线PA斜率为0时，此时直线的斜率不存在，易得； 当直线PA斜率存在且不为0时，此时，， 设直线PA方程为， 联立，可得， 由于直线PA与椭圆C相切，所以， 化简得，即， 由于直线PB斜率为， 所以方程的两个根分别为k和， 所以， 化简得， 此时点P的轨迹方程为， 将代入中成立， 综上所述，点P的轨迹方程为. 考点03 双曲线的切线与切点弦问题（共4小题） 9．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的方程与双曲线的方程联立判断过点作双曲线的切线情况即可. 【详解】对于A：设过点切线为：代入化简整理有：，，因为渐近线为：，故A错误； 对于B:设斜率为，则过点的直线方程为,联立得， 则由， 所以过点有两条切线，故B正确； 对于C:因为双曲线得两条渐近线为：，又因为在直线上，所以过点的切线有且只有一条，故C错误； 对于D:因为在双曲线上，所以过点的切线有且只有一条，故D错误. 故选：B.    10．（2025高二·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 11．（24-25高二上·山西·期中）已知左、右焦点分别为的双曲线，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线在点处的切线平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知， 因为一条渐近线的斜率为，所以，即， 所以双曲线的标准方程为． （2）设点，显然切线的斜率存在． 设的方程为， 由，消得， 由， 整理得， 又，得到， 所以，得到，解得． 设切线与轴交于点，则， 所以，即． 因为， 所以， 又， 所以， 则是的内角平分线，故切线平分． 12．（2024·广东汕头·一模）已知点为双曲线上的动点. (1)判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由； (2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明； （ii）将双曲线的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点. 【答案】(1)1个，理由见解析； (2)（i）过双曲线上一点的切线方程为；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由点在双曲线上，得，即 由消去y得：， 则，显然， 所以该直线与双曲线有且只有1个公共点. （2）（i）由（1）知，直线与双曲线相切于点， 所以过双曲线上一点的切线方程为.证明如下： 显然，即， 由消去y得：， 于是， 因此直线与双曲线相切于点， 所以过双曲线上一点的切线方程为. （ii）当时，直线的斜率不存在，由对称性知，点为线段的中点； 当时，设，线段的中点， 由消去y得：， 由，得，则， 又，于是，即点与点重合， 所以点为线段的中点. 考点04 抛物线的切线与切点弦问题（共4小题） 13．（2025·甘肃临夏·一模）过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用直线与抛物线相切设直线方程求切点，利用两点距离公式计算即可. 【详解】由题意直线斜率存在， 可设过点的切线方程为， 与抛物线方程联立可得： ， 所以，解之得，    如图所示，设，则， 当时，，即， 当时，，即， 所以. 故选：A. 14．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 【答案】A 【详解】设，由求导得， 则直线方程为，即， 同理可得直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得， 由点在直线上，得，即 故选：A． 15．（24-25高二上·吉林·期末）已知抛物线：的准线与轴相交于点， (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）抛物线：的准线与轴相交于点， 所以，则，抛物线方程为； （2）当直线的斜率不存在时，也抛物线无交点，不合要求， 当直线的斜率存在时，设为，与抛物线联立， 得，因为直线与抛物线相切， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 16．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为（），则其到圆心距离减去半径为2，故. （2）由（1）可知，抛物线的标准方程为：. 如图：    因为过点的切线一定有斜率，故设切线方程为：，即， 代入得：，整理得：. 因为直线与抛物线相切，所以或. 当时，由，所以切点； 当时，由，所以切点. 所以 考点05 两曲线的公切线问题(共3小题) 17．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，圆，则椭圆与圆的公切线段长的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用数形结合的思想，判断圆与椭圆的位置关系，再联立方程组进行运算. 【详解】由题意可得椭圆与圆不可能相离或内含； 当椭圆与圆相切即有如图所示的交点，由图显然可知公切线段长为0； 当椭圆与圆相交有下图所示的公切线，故而存在公切线段长； 设点所在公共切线的方程为，， 联立， ，, 联立， ，， 所以, ，又，， ． 因为，当时，取最大值为1． 综上所述，当时，． 故选：A 18．（24-25高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是 【答案】（或，，，只需写出一个答案即可） 【详解】显然直线存在斜率，设直线：， 联立方程组 , 得 因为直线与曲线相切，所以， 即. 因为直线与单位圆相切，所以 联立方程组 解得， 故直线的方程可能是，，， 19.（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 【答案】或 【详解】由已知，公切线斜率不为0， 设公切线方程为. 联立， 其判别式， 即，① 联立. . 其判别式，② 联立①②，解得， 所以椭圆和抛物线的公切线方程为或. 故答案为：或. 考点06切线、切点弦与离心率的综合（共3小题） 20. （2025高三·全国·专题练习）简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图，如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，由外层椭圆顶点向内层椭圆引切线．设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程可设为．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先证明：椭圆上一点，的切线方程为． 由椭圆，可得，， 当时，，求导可得：， 当时，， 切线方程为， 整理为：， 两边同时除以得：． 同理可证：时，切线方程也为． 当时，切线方程为满足． 综上，过椭圆上一点,的切线方程为． 设，则切线与的方程分别为， 则， 将分别代入与的方程中得，解得， 将代入椭圆中，得， 结合图形可得，故，， 由于椭圆在运动变化过程中，直线与的斜率之积为常数， ， 故，即，故可得． 故选：A． 21. (2024高三·全国·专题练习）过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线OP与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】设，由于双曲线在点处的切线方程为， 故切线的斜率， 因为，则，则， 即双曲线的离心率． 故答案为：. 故答案为：. 22．（24-25高三上·浙江杭州·期末）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由可得，故直线与双曲线相交，不合乎题意； 当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 联立可得， 因为过点能作双曲线的两条切线， 则，可得， 由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实数根， 所以，，可得， 又因为，即，因此，关于的方程没有的实根， 所以，且，解得，即， 当时，， 当时，， 综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是. 考点07 切线、切点弦过定点问题（共3小题） 23．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆心到直线距离与弦长，利用勾股定理直接计算即可得半径； （2）（i）结合（1）中结论可知，由点与圆的位置关系，利用对称性可求得点的坐标； （ii）由题意知在以为直径的圆上，其方程为，求出直线方程为，即可得直线过定点. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为． 点到的距离为， 所以． （2）（i）因为分别是过点的两条切线与圆的切点，所以点关于直线对称． 由（1）知点的坐标为， 则， 由得； 则，所以直线的方程为． 设，则； 解得， 即． （ii）设点． 由题意知，所以在以为直径的圆上，如下图所示： 以为直径的圆的方程为， 与作差，可得直线的方程为， 整理得， 由，解得 即直线过定点． 24．（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以曲线是以为焦点，以2为实轴长的双曲线， 所以实半轴长，半焦距，虚半轴长， 所以曲线的方程为. （2）由题知切线斜率均存在，所以设过点所作的切线分别为， 由题意知且，由得， 因为与相切， 所以，且，整理得. 此时可得，即. 同理. 由得. 直线的斜率为， 所以的方程为， 令，得， 即经过定点. 25. （2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线内部一点作抛物线的中点弦（为中点），两条切线、交于点，过点作直线，且，点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线、，求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【详解】设、、， 因为点为线段的中点，所以， 因为①，②，由①②可得． 所以，直线的斜率为， 又因为直线过点，所以直线的方程为，即， 联立，解得或，不妨取点、， 由图可知，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，即， ，解得， 所以抛物线在点处的切线方程为，即，即， 故直线的方程为，同理可知直线的方程为， 联立，可得，即点， 所以，直线的方程为，即， 设点，则，设点、， 由上可知，直线的方程为，直线的方程为， 因为点为直线、的公共点，所以， 所以点、的坐标满足方程， 所以直线的方程为， 即． 当时，，所以过定点，即点． 考点 08 与切线、切点弦有关的面积问题（共3小题） 26．（2025高三·全国·专题练习）过点作抛物线的两条切线，与y轴分别交于点C，D，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用过点的切线方程与抛物线方程联立，利用直线与抛物线的位置关系求切线方程，再判断的形状，即可求外接圆的半径，并求外接圆的面积. 【详解】不妨取点C位于x轴上方，如图． 易知两切线斜率均不为零，设过点P的切线方程为， 代入抛物线方程，化简得， 令，得，解得． 所以直线：，直线：， 所以直线与直线的斜率之积， 所以，故的外接圆是以为直径的圆． 在直线：中，令，得，故． 在直线：中，令，得，故． 故，所以外接圆的面积为． 故选： B 27．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆上一点的切线方程求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理将表示出来，然后列出三角形面积表达式，最后根据不等式的性质求出三角形面积的最大值. 【详解】因为椭圆方程为，设切点， 则切线的方程为，. 因为切线过点，所以，切线的方程变为： ，因为点都在直线上， 所以直线的方程为.该直线必过点刚好是椭圆的右焦点. 联立直线方程和椭圆方程为： ，化简得. 根据韦达定理.而 所以. 因为， 要使得面积取得最大值，则应取最小值，根据不等式， 所以当时，三角形的面积最大，最大值为. 故选：A. 28．（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， , 因为，所以， 故双曲线的方程为 （2）当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线 ， 故由， 从而，化简得 又因为双曲线的渐近线方程为，故由， 从而点.同理可得，， 故MN中点横坐标为， 所以为的中点， 故四边形MONQ为矩形 设四边形MONQ面积为，则 考点09 与切线、切点弦有关的定值问题（共4小题） 29．（24-25高三上·广东揭阳·期末）如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则 . 【答案】1 【详解】如下图所示，设双曲线渐近线上的点，点， 当时，过点的切线方程为， 当时，设过点的切线方程为，即， 代入双曲线方程化简为， 则且， 因为，所以，所以， 在点处的切线方程为，当也符合； 且点A，B又在切线l上 ， ， 30．（23-24高三上·浙江·期中）已知双曲线：（，）过点，且离心率为2，，为双曲线的上、下焦点，双曲线在点处的切线与圆：（）交于A，B两点. (1)求的面积； (2)点为圆上一动点，过能作双曲线的两条切线，设切点分别为，，记直线和的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）    ∵，∴，∴ 设过曲线上一点的切线的方程为：， 由可得， 则，即. 又因为切点为Q，所以，所以解得， 则过点的切线的方程为：. 设，， ∴交轴于点，联立直线与圆的方程 消得，∴，. ∴， ∴. （2）    设，，，则 设过点的双曲线的切线方程为：， 由（1）可知， 又因为，则，即（*） 而，所以，， 则（*）式可化为，即 可得，，则切线方程为， 整理可得过点M的双曲线的切线方程为. 同理可得过点的双曲线的切线方程为. 又两切线均过点，则， 因此，直线的方程为 联立直线与双曲线的方程， 消可得，故 所以 因为，则，则 所以. 31．（24-25高三上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，过拋物线焦点的直线l，交于两点，且. (1)求的方程： (2)若在M，N处的切线交于点，设切线GM，GN的斜率分别为. （i）证明：为定值： （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见详解；（ii）4 【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点为， 且直线l的斜率可能不存在，但不为0，此时直线l与抛物线必相交， 设， 联立方程，消去x可得， 则， 可得，且，可得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）由（1）可知：， 设抛物线在处的切线斜率不为0，设为， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 所以； （ii）由（i）可知：抛物线在处的切线方程为， 则切线， 联立方程，解得，即， 则点到直线的距离， 且， 所以面积， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为4. 32.(2025·江西萍乡·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，点在圆上，直线为和的公切线，求线段的长度； (3)直线交椭圆于两点，交轴于点．为直线上一点，满足，其中为坐标原点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，定值 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，，根据对称性，不妨设直线， 则，整理得， 所以，则，此时， 同理由点在圆和直线上且与圆相切可得，， 所以，，则，所以， 所以， 所以线段的长度为；    （3）显然，设，，由， 可得为线段的中点， 由，整理得， 所以，而，， 所以，则直线， 在直线中，令得，所以， 因为，所以直线， 所以，即，即， 所以存在点，使得的长度为定值.    考点10 与切线、切点弦有关的最值、范围问题（共5小题） 33．（2025高三·全国·专题练习）点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用几何条件转化，得，求出的范围，结合基本不等式可得答案. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得，由，在中由正弦定理可知， 所以，所以， 设的倾斜角为，则， 当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切， 设直线的方程为，则联立可得 即，所以， 所以，即，则. 可得，即，所以，当时取等. 当时，；当时，； 由对勾函数的性质可得则. 故选：B. 34．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 35．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点. (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点， ①证明：平分； ②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）因为实轴长是虚轴长的2倍，则，即. 又过点，所以，解得，. 所以的标准方程为. （2）①设，则，切线， 联立化简得. 由，解得， 所以直线：，令，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故平分. ②由①可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 36．（2025·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，. (1)求E的方程； (2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见详解；定点坐标为 【详解】（1） 由已知，，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点， 设的方程为，, 联立，得，则， 则， 所以， 解得， 故抛物线E的方程为：. （2）设直线的方程为，，， 联立，得， ，即， 所以，， 令，当时， 可化为，则， 则在处的切线的方程为：， 即， 同理可得切线的方程为：， 联立与的方程，解得， 所以，则，满足， 则直线的方程为， 所以直线过定点，该定点坐标为. 37．（2025·四川绵阳·模拟预测）中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率，椭圆上的动点（不与顶点重合），满足当时，到左焦点的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的最大值小于5时，过点作椭圆的切线，与轴交于，与轴交于，求的最小值. 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）因为动点在椭圆上，所以，又，所以， 又，所以，即， 又，联立可得，解得或，又，解得或， 所以椭圆的标准方程为或. （2）根据椭圆的几何性质：，又，所以椭圆的标准方程为， 设切点， ①当且时，椭圆的方程可化为， 求导得，所以切线斜率为， 切线方程为，整理得， 又，化简可得过点P作椭圆的切线方程为； ②当且时，椭圆的方程可化为， 求导得，所以切线斜率为， 切线方程为，整理得， 又，化简可得过点P作椭圆的切线方程为； ③当且时，过点P作椭圆的切线方程为， 综上所述，过椭圆上一点P作椭圆的切线方程为， 令，可得，即，同理可得， 所以， 又，所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $