第18讲 等比数列及其前n项和（七大题型）（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第18讲 等比数列及其前n项和 目录 01 常考题型过关练 题型01 等比中项的应用 题型02 由定义判定等比数列 题型03 等比数列通项公式的基本量计算 题型04等比数列的性质 题型05 等比数列前n项和及基本量的计算 题型06 等比数列的简单应用 题型07 等比数列综合题 02 核心突破提升练 01 等比中项的应用 1．记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（    ）． A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 2．（2025·上海浦东新·三模）已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则 3．已知是和的等差中项，是和的等比中项，则 . 4．在公差不为零的等差数列中，是与的等比中项，则＝ ． 5．设函数的零点为､､，若､､成等比数列，则实数的值为 . 6．若、分别是正数、的算术平均数和几何平均数，且、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值形成的集合是 . 7.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则的最小值为 . 02由定义判定等比数列 8．若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（    ） A． B． C． D． 9.已知数列是等比数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中: （1）成等差数列，也可能成等比数列； （2）成等差数列，但不可能成等比数列； （3）可能成等比数列，但不可能成等差数列； （4）不可能成等比数列，也不可能成等差数列. 正确的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4） 11.数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（    ）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 03 等比数列通项公式的基本量计算 12．设公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 13．各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为 . 14．已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为 ． 15．已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是 ． 16．已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为 ； 04等比数列的性质 17．已知等比数列（）满足，则 ． 18．已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则 ． 19．已知数列是公比q不等于1的正项等比数列，，则 . 20．若首项为正数的等比数列，公比，且，则实数的取值范围是 21．设是等比数列的前项和，若，，则 . 05 等比数列前n项和及基本量的计算 22．若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记其前n项和为，则 ． 23．（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为 ． 24．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为 . 25．（2024·上海浦东新·三模）已知数列为等比数列，，，则 . 26．（2025·上海·模拟预测）已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比 . 27．（2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 28．已知正项等比数列的公比为，其前项和为，若对一切，都有，则的取值范围是 . 29.已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等比数列，为等差数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等比数列，为等差数列 06 等比数列的简单应用 30．我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为，则 31．已知直线，斜率为的直线与x轴交于点A，与y轴交于点，过作x 轴的平行线，交于点，过作y轴的平行线，交于点，再过作x轴的平行线交于点，…，这样依次得线段、、、、…、、，记为点的横坐标，则 ． 32．某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利. (1)试求的表达式； (2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由. 33.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． (1)判断是否为等比数列？并说明理由； (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 34．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）. (1)已知，求､； (2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值. 35．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元. (1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； (2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 36．若数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.已知数列为无穷数列. （1）若为等比数列，且，判断数列是否具有“性质”，并说明理由； （2）若为等差数列，且公差，求证：数列不具有“性质”； （3）若等差数列具有“性质”，且，求数列的通项公式. 07 等比数列综合题 37．（2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且 (1)证明:; (2)若集合，求集合中所有元素的和. 38．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 39．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 40．（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 41．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 一、单选题 1．已知，有限数列，，…，的前k项和为，且对一切都成立，给出下列两个命题：①，，…，不可能是等差数列；②，，…，有可能是等比数列．则（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 2．数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排、；第三行3项，，依此类推，设数列的前n项和为，则满足的最小正整数n的值为（    ） A．20 B．21 C．25 D．27 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知正项等比数列的前项的积为，，，是互不相等的正整数，给出下列命题：①若，则；②若，则.则而列判断正确的是 （    ） A．①②均为真命题. B．①是真命题，②是假命题： C．①是假命题，②是真命题. D．①②均为假命题. 4．定义在上的函数满足：当时，；当时，．将函数的极大值点从小到大依次记为，，…，并记相应的极大值为，，…，，则的值为（    ） A．9922 B．29624 C．88694 D．265864 5．对于命题：①存在、、的某个排列，使得对任意，这三个数均不能成等比数列；②对、、的任意排列，均存在相应的，使得这三个数成等差数列.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 6．数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（    ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 二、填空题 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）在无穷等比数列中，首项，公比，记，则 ． 8．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知是首项为、公差为的等差数列，是首项为、公比为的等比数列.若数列 的前三项和为，记数列的前项的和为 ，则 9．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 ． ①存在正整数，使得成等差数列； ②存在正整数，使得成等比数列； ③存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列； ④存在正整数，且，使得． 三、解答题 10．已知等差数列与等比数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)若数列的各项均为正数，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，比较与的大小． 11．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式； (2)若数列为等比数列，，求的值，并求满足时，正整数的最小值. 12．（24-25高三上·上海·期中）在等差数列中，，且构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 13．（24-25高三上·上海·阶段练习）对于一个各项非零的等差数列，若能从中选出第（）项，能构成一个等比数列，则称为的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”. (1)若数列，，直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”. (2)对于数列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如果不存在，请说明理由. (3)证明：各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）. 14．已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 等比数列及其前n项和 目录 01 常考题型过关练 题型01 等比中项的应用 题型02 由定义判定等比数列 题型03 等比数列通项公式的基本量计算 题型04等比数列的性质 题型05 等比数列前n项和及基本量的计算 题型06 等比数列的简单应用 题型07 等比数列综合题 02 核心突破提升练 01 等比中项的应用 1．记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（    ）． A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 【答案】C 【详解】解：若方程③有不相等的两实根，则，即， 故“方程③有不相等的两实根”的充要条件为：， 又因为，，成等比数列，所以，即， A项：因为方程①有实根，且②有实根，所以，， 即，，，无法证得，故A不正确； B项：因为方程①有实根，且②无实根，所以，， 即，，，故B不正确； C项：因为方程①无实根，且②有实根，所以，， 即，，，故C正确； D项：因为方程①无实根，且②无实根，所以，， 即，，，无法证得，故D不正确， 故选：C. 2．（2025·上海浦东新·三模）已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则 【答案】 【详解】设等比数列公比为，则，所以，所以. 故答案为：. 3．已知是和的等差中项，是和的等比中项，则 . 【答案】 【详解】由是和的等差中项，得，解得： 由是和的等比中项，得，解得： 故答案为：5 4．在公差不为零的等差数列中，是与的等比中项，则＝ ． 【答案】 【详解】设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由是与的等比中项，得 即，化简得， 所以，， 所以 故答案为： 5．设函数的零点为､､，若､､成等比数列，则实数的值为 . 【答案】 【详解】解：原问题等价于与有三个不同的交点，且交点的横坐标 分别为､､，结合余弦函数图象，由对称性得，，， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 6．若、分别是正数、的算术平均数和几何平均数，且、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值形成的集合是 . 【答案】 【详解】由已知条件可得，，由基本不等式可得， 所以，， 由于、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 则有，解得，所以，，， 因此，. 故答案为：. 7.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则的最小值为 . 【答案】45 【详解】根据题意，数列{an}为等差数列，设an＝pn+q， 若存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列， 则有，即 联立两式，变形可得p2rt＝p2s2， 又由等差数列{an}的公差不为0，即p≠0，则有rt＝s2， 可得pq（r+t）＝2pqs， 又由r，s，t互不相等且rt＝s2，则r+t≠2s，必有q＝0，则an＝pn， 所以S1＝a1＝p，Sn＝＝， 故＝＝++， 设f（n）＝++， 则f（n）＝++≥2+＝2+， 当且仅当n2＝1980时等号成立，此时n不是正整数，不符合题意， 而44＜＜45， 所以f（44）＝++＝45，f（45）＝＝45， 则有f（45）＝f（44），即的最小值为45 故答案为：45. 02由定义判定等比数列 8．若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，，为，则不为等比数列，①不符合； 由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合； 若，，，为，则不为等比数列，③不符合； 故选：B 9.已知数列是等比数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：当是首项为1，公比的等比数列，不是等比数列，不符合； B：当公比时，不是等比数列，不符合； C：令，当时是等比数列，符合. D：当时，不是等比数列，不符合； 故选：C 10．已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中: （1）成等差数列，也可能成等比数列； （2）成等差数列，但不可能成等比数列； （3）可能成等比数列，但不可能成等差数列； （4）不可能成等比数列，也不可能成等差数列. 正确的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4） 【答案】D 【详解】试题分析：根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，， ，故(3)错误，(4)正确．即填 (2)(4)． 11.数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（    ）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对数列{}，，若，则可得， 此时{}不是公比为2的等比数列； 若{}是公比为2的等比数列，则，即， 故”是“{}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件， 故选：B 03 等比数列通项公式的基本量计算 12．设公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：4 13．各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为 . 【答案】 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，得， 则，解得， 所以. 故答案为： 14．已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为 ． 【答案】6 【详解】可知， 则； 故答案为：6. 15．已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 ∵，即，则 又∵，即，则 ∵，则，∴，则 ∴ 故答案为：． 16．已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为 ； 【答案】13 【详解】由题意得：此等比数列的公比， 由得：， 则，即， 所以能整除，且 因为， 所以， 解得：， 经检验，均满足要求， 故满足条件的不同数列的个数为13个. 故答案为：13 04等比数列的性质 17．已知等比数列（）满足，则 ． 【答案】2 【详解】，. 故答案为：2. 18．已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得：， 则、是函数的零点，则， 且为等比数列，设公比为， 可得，解得， 注意到，可得. 故答案为：. 19．已知数列是公比q不等于1的正项等比数列，，则 . 【答案】 【详解】依题意可知，正项等比数列的公比，且. 由等比数列性质可得，又，所以. 所以，， 从而，. 故答案为：. 20．若首项为正数的等比数列，公比，且，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】转化条件得，即可得解. 【详解】，， 由题意可得 ，，即，. 故答案为：. 21．设是等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】5 【详解】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： 05 等比数列前n项和及基本量的计算 22．若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记其前n项和为，则 ． 【答案】 【详解】因为为等比数列，故， 故答案为：. 23．（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意，，即， 所以. 故答案为： 24．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为 . 【答案】 【详解】为单调递增的数列， 当时，当时， 所以. 故答案为：. 25．（2024·上海浦东新·三模）已知数列为等比数列，，，则 . 【答案】255 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 所以. 故答案为：255. 26．（2025·上海·模拟预测）已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比 . 【答案】 【详解】由， 当时，显然不成立； 当时，可得， 即， 所以， 故答案为： 27．（2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 28．已知正项等比数列的公比为，其前项和为，若对一切，都有，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题知，对一切，都有，即 即对于，时，，即恒成立， 当时，显然不成立，不满足题意； 当时，有，即， 由题知，， 当，即时，得， 所以， 因为当越大，越接近0， 所以此时不恒成立，不满足题意； 当，即时，得， 所以， 因为，且恒成立， 所以， 所以的取值范围是． 故答案为： 29.已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等比数列，为等差数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等比数列，为等差数列 【答案】C 【详解】解：令,由题意当时，单调递减， 对于首项为，公差为的等差数列， 则前n项和(不含常数项)， 此时， 由二次函数的性质知：当足够大时，不可能为单调递减函数， 所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意； 对于C，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比时，满足，故符合题意； 对于D，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当足够大时，不满足，即不可能为单调递减函数，故不合题意 故选：C. 06 等比数列的简单应用 30．我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为，则 【答案】 【详解】依题意，第1天“日取其半”后； 第2天“日取其半”后； 第3天“日取其半”后； 第天“日取其半”后， 故答案为：． 31．已知直线，斜率为的直线与x轴交于点A，与y轴交于点，过作x 轴的平行线，交于点，过作y轴的平行线，交于点，再过作x轴的平行线交于点，…，这样依次得线段、、、、…、、，记为点的横坐标，则 ． 【答案】 【详解】解：∵斜率为的直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线， ∴A1（a，a）. ∵A1B0∥x轴，∴B1（a，aq+a），A2（aq+a，aq+a）. ∵B1A2∥x轴，∴B2（aq+a，aq2+aq+a）. 同理可得：A3（aq2+aq+a，aq2+aq+a）， B3（aq2+aq+a，aq3+aq2+aq+a），…， Bn（aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a，aqn+aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a）， ∵xn为点Bn的横坐标， ∴xn＝aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a. 故xn是首项为a，公比为q（0＜q＜1）的等比数列的前n项的和， 由数列极限的运算性质得：. 故答案为：. 32．某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利. (1)试求的表达式； (2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由. 【详解】（1）由题意知，第1年至此后第年的累计投入为（千万元）. 设第年的收入为，前年的累计收入为， 由题意得，， 所以数列是以为首项、以为公比的一个等比数列，则有（千万元）， （千万元）， 所以，即（千万元）. 所以的表达式为. （2）因为， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，， 所以该新产品将从第9年开始并持续赢利. 所以该新产品将从2029年开始并持续赢利. 33.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． (1)判断是否为等比数列？并说明理由； (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 【详解】（1）依题意，，， ，即， 而当，即时，不是等比数列； 当且时，数列是一个以为公比，为首项的等比数列. （2）当时，由（1）知数列是一个以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 设第年转型升级，则，则， 数列是递增数列，，而，则， 所以该工厂在第9年转型升级. 34．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）. (1)已知，求､； (2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值. 【详解】（1），； （2）依题意，， 所以，， 所以是等比数列，公比为， 所以，， ，， 数列是递增数列，且，所以， 即， 所以m的最大值是毫克． 35．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元. (1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； (2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 【详解】（1）解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元， 所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为， 所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为， 所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是， 因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元， 所以. （2）解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加， 所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为， 所以从第七年起，第年的养护保险费用为， 所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为， 所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为. 经计算器计算得时，最小. 36．若数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.已知数列为无穷数列. （1）若为等比数列，且，判断数列是否具有“性质”，并说明理由； （2）若为等差数列，且公差，求证：数列不具有“性质”； （3）若等差数列具有“性质”，且，求数列的通项公式. 【详解】（1）解：数列具有“性质”. 由题可知，为等比数列，且， 设数列的公比为，则，， 对任意正整数，，， 因为，所以，则， 即对任意正整数，，存在，使得， 所以数列具有“性质”. （2）证明：由于为等差数列，且公差， 则， ①若，则，， 所以不存在正整数，使得. ②若，则当时， ，， 所以不存在正整数，使得； 综上，当时，数列不具有“性质”. （3） 解：已知等差数列具有“性质”，且， 设数列的公差为，则， 由已知，对任意，都存在正整数，使得， 即， 所以，且 ① 对任意，设， ，， 所以，得， 因此 ② 由（2）知， 又由①、②可得或， 当时，，，不满足要求， 所以，， 可以验证满足要求. 07 等比数列综合题 37．（2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且 (1)证明:; (2)若集合，求集合中所有元素的和. 【详解】（1）设数列的公差为，则， 即， 所以原命题得证. （2）由（1）得， 所以， 因为，所以， 对应的， 所以集合中所有元素的和为. 38．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【详解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 39．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【详解】（1），，. （2），，故， 构造函数，，则， 函数在上单调递增，， 故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. （3），则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 40．（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【详解】（1），因为， 所以是以为公比的等比数列； （2），所以 且 令 则得：在严格增，在严格减 ①当时，，所以与矛盾； ②当时，，所以] 令 则，所以在上严格减，所以， 而当时，,从而矛盾，综上，不存在正数，使得. （3）必要性：若为偶函数，则 ， 当，因为，故； 同理可证，故. 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为中最小元素为， 又，则对任意成立， 则， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， 最小元素是，且最小元素是， 则 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 41．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 【详解】（1）因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. （2）变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. （3）由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 一、单选题 1．已知，有限数列，，…，的前k项和为，且对一切都成立，给出下列两个命题：①，，…，不可能是等差数列；②，，…，有可能是等比数列．则（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】D 【详解】对于①：例如，则， 满足，，是等差数列，且对一切都成立，故①错误； 对于②：若是等比数列，设公比为，显然， 1.当时，，不合题意； 2.当时，，不合题意； 3.当时，因为，则，即， （1）当时，则，，即，解得，不合题意； （2）当时，若为偶数，则，，即， 解得，不合题意； （3）当时，若为偶数，则，，即， 整理得，无解，不合题意， 综上所述：不存在满足题意，即，，…，不可能是等比数列，故②错误 故选：D. 2．数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排、；第三行3项，，依此类推，设数列的前n项和为，则满足的最小正整数n的值为（    ） A．20 B．21 C．25 D．27 【答案】B 【详解】第一行，为4，其和为4，可变形为， 第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为， 第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为， ， 依次类推：第n行的和为， 则前6行共个数， 前6项和为： ，满足， 而第6行的第6个数为，则， 故满足的最小正整数n的值为21. 故选：B. 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知正项等比数列的前项的积为，，，是互不相等的正整数，给出下列命题：①若，则；②若，则.则而列判断正确的是 （    ） A．①②均为真命题. B．①是真命题，②是假命题： C．①是假命题，②是真命题. D．①②均为假命题. 【答案】C 【详解】设已知正项等比数列的公比为， 对于①：当时，等比数列各项均相等，恒成立，但是不一定成立，故①错误； 对于②：由题意得，，不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 所以①是假命题，②是真命题. 故选：C 4．定义在上的函数满足：当时，；当时，．将函数的极大值点从小到大依次记为，，…，并记相应的极大值为，，…，，则的值为（    ） A．9922 B．29624 C．88694 D．265864 【答案】B 【详解】在上，易知：上，上， 所以在上递增，上递减，故极大值为； 又时，，而有， 令，则，故， 令，则，故， …… 令且，则且，故， 由上及极值的定义知：是首项为1，公差为2的等差数列；是首项为1，公比为3的等比数列； 所以. 故选：B 5．对于命题：①存在、、的某个排列，使得对任意，这三个数均不能成等比数列；②对、、的任意排列，均存在相应的，使得这三个数成等差数列.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】C 【详解】对①，若、、成等比数列，则有， 由，即有， 可得或，又，故，不符合要求， 故存在、、，使得对任意，这三个数均不能成等比数列， 故①正确； 对②，若、、成等差数列，则有， 即，即， 当时，该等式不成立，故， 则， 由，故， 则，又， 故该等式不成立，故②错误. 故选：C. 6．数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（    ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【详解】对于①，数列单调递增，令函数，显然，由， 得，整理得，此方程有正整数解， 如方程中取，则，即， 对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，①错误； 对于②，数列单调递增，，令，由， 得，取，显然对每一个正整数都有唯一的正数， 并且不同的值，值不同，因此与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，②正确， 所以①是假命题，②是真命题. 故选：C 二、填空题 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）在无穷等比数列中，首项，公比，记，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，则， ， 故有， 故答案为：． 8．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知是首项为、公差为的等差数列，是首项为、公比为的等比数列.若数列 的前三项和为，记数列的前项的和为 ，则 【答案】 【详解】因为是首项为、公差为的等差数列，所以； 又是首项为、公比为的等比数列，所以， 依题意，解得（舍去）或， 所以，则， 所以. 故答案为： 9．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 ． ①存在正整数，使得成等差数列； ②存在正整数，使得成等比数列； ③存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列； ④存在正整数，且，使得． 【详解】由题意可知，显然成等差数列，即①正确； 由题可知在上依次为（奇数，奇数，偶数）或（奇数，偶数，奇数）， 所以不可能满足，故不存在正整数，使得成等比数列.因此②错误； 易知， 故满足，因此有成等差数列， 即存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列.所以③正确； 由递推公式计算可得数列前16项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987, 其中， 所以存在正整数，且，使得，即④正确. 故答案为：①③④ 三、解答题 10．已知等差数列与等比数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)若数列的各项均为正数，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，比较与的大小． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，， 得， 解得或， 所以， 或； （2）因为数列的各项均为正数， 所以， 记， 则， 所以数列是递增数列， 所以，当且仅当时，， 即，当且仅当时，， 所以当时，， 当时，. 11．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式； (2)若数列为等比数列，，求的值，并求满足时，正整数的最小值. 【详解】（1）设的公差为，由， 又，则，解得， 所以. （2）设的公比为，由，，得，则， 所以， 而， 所以，化简得， 由于为正整数，所以的最小值为7. 12．（24-25高三上·上海·期中）在等差数列中，，且构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由构成等比数列，得， 而，则，而，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， ， 数列都是递增数列，则数列为递增数列， 而， 所以时，正整数的最小值为6. 13．（24-25高三上·上海·阶段练习）对于一个各项非零的等差数列，若能从中选出第（）项，能构成一个等比数列，则称为的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”. (1)若数列，，直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”. (2)对于数列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如果不存在，请说明理由. (3)证明：各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）. 【详解】（1）取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”. 取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”. 取，则，为，这是一个“完美等比子列”. （2）猜想：数列存在“完美等比子列”. 证明：设数列的通项公式，该数列为等比数列， 令，则， 因为整数的各位数字上的和为3， 所以一定为正整数，且m随着n的增大而增大， 易得此时有无穷项，所以即数列的一个“完美等比子列”. （3）充分性：若存在“等比子列”， ， ， 必要性：则若，则设，， 则. 希望为等比等比， 令等比， 发现等比， 取， 令，， 即时，成等比， 综上，得证. 事实上，， 因为时，， 时，. 14．已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由，得， 因为，则， 所以曲线在点的切线方程为， 令，则， 所以； （2）由，得， 于是曲线在点处的切线方程为， 令，则， 由题意得到， 所以， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （3）由，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则， 设特征函数为，则， 情况1：当时，则， 此时，所以函数在定义域内为增函数， 令，解得，又因，故此时方程无解， 当时，，所以不能成周期数列； 当时，，所以不能成周期数列； 故当时，不存在，使得函数关于的“数列”为周期数列； 情况2：当时，， 令，得或， 令，得或或， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以函数为奇函数， ，， 令，方程无解， 令，解得 当时，，， 所以数列是周期为的周期数列； 当时，，且与符号正负交替， 假设存在周期数列，则等价于存在，使得， 若为偶数，中每一个括号内的式子都是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 若为奇数，中， 每一个括号内的式子都与是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 当时，， 可得得到起初是正负交替，但是以后会一直为正或负，所以不能成周期数列， 故当时，有满足条件，使得数列成周期为的周期数列， 此时， 综上所述，存在满足题意. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $