第18讲 等比数列及其前n项和（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第18讲 等比数列及其前n项和 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 等比数列有关的概念 2 知识点2 等比数列的通项公式及前n项和公式 3 知识点3 等比数列的常用性质 3 知识点4 等比数列前n项和的常用性质 3 题型破译 3 题型1 等比中项的应用 3 题型2 等比数列通项公式及基本量的运算 4 题型3 等比数列前n项和及基本量计算 4 题型4 等比数列中的最值 5 题型5 等比数列与函数关系 5 题型6 等比数列综合题 6 04真题溯源·考向感知 10 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1） 等比数列的通项公式 （2） 等比数列前n 项和 单选题 填空题 解答题 / 等比数列的通项公式及基本量计算 求等比数列前n项和 考情分析：等比数列的考点主要集中在等比数列的通项公式、前n项和公式、性质的应用以及等比数列的证明等方面。未来上海高考对等比数列的考查仍将保持相对稳定，可能会给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和，也可能会与等差数列、函数、不等式等知识进行综合考查。 复习目标： 1.理解等比数列的概念，能够准确判断一个数列是否为等比数列。 2.熟练掌握等比数列的通项公式，并能灵活运用这些公式解决相关问题。 3.了解等比数列与指数函数的关系，能利用等比数列的性质简化计算。 知识点1 等比数列有关的概念 1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. 2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 自主检测（24-25高三上·上海·期中）等比数列中，，则 . 知识点2 等比数列的通项公式及前n项和公式 1.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1. 2.等比数列通项公式的推广：an=amqn-m. 3.等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn==. 自主检测1（24-25高三上·上海·阶段练习）设是等比数列，且，，则 . 自主检测2若为等比数列的前项和，，则 ． 知识点3 等比数列的常用性质 1.若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. 2.ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). 3.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). 4.若或则等比数列{an}递增.若或则等比数列{an}递减. 知识点4 等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn. 题型1 等比中项的应用 例1-1（24-25高三上·上海·期中）已知是1与9的等比中项，则正实数 ． 例1-2（25-26高三上·上海·开学考试）若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 例1-4已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式 ． 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）设、、，已知、均为非零向量，则“”是“、、成等比数列”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式训练1-2】在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则 . 题型2 等比数列通项公式及基本量的运算 例2-1 （24-25高三下·上海·阶段练习）已知等比数列的首项与公比相等，若，则 ． 例2-2已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=　　　　.  【变式训练2-1】（25-26高三上·上海·开学考试）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则 ． 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海·期中）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的中国古老民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为1的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，，不断重复上述裁剪操作，则被裁剪部分的面积之和的极限为 . 题型3 等比数列前n项和及基本量计算 例3-1（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，则公比等于（    ） A．2 B．2或 C． D．或 例3-2（24-25高三上·上海·阶段练习）在等比数列中，，，则的前5项和为 . 例3-3（24-25高三上·上海·期中）设等比数列的前项和为，若，，则 ． 例3-4（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知数列的通项公式为，则= 【变式训练3-1】（24-25高三上·上海杨浦·期中）设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知等比数列的首项，公比，则该数列的前6项和为 . 【变式训练3-3】（24-25高三上·上海·阶段练习）设数列前项和为.若，则 . 【变式训练3-4】（24-25高三上·上海·期中）2020年12月17日，嫦娥五号返回器在内蒙古安全着陆，激动人心！“切线数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则数列为函数的“切线数列”.若函数的“切线数列”为，其中，数列满足，上，数列的前n项和为，则 . 题型4 等比数列中的最值 例4-1正项等比数列中，存在两项使得，且，则最小值 . 例4-2（24-25高三上·上海闵行·期中）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是1为首项，公比为2的等比数列，设，，则当时，的最大值是 ． 【变式训练4-1】各项均为正数且公差不为0的等差数列的第1项、第2项、第4项恰好是等比数列的连续三项（顺序不变），设，若对于任意正整数，恒成立，则的最小值为 . 【变式训练4-2】（22-23高三上·上海虹口·开学考试）已知数列的前n项和，则的最大值与最小值分别为 ． 【变式训练4-3】已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值为 ． 【变式训练4-4】（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，则的最大值为 ． 题型5 等比数列与函数关系 例5-1设是公比为的等比数列，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 例5-2已知无穷等比数列的首项是，公比是，若对任意正整数n恒成立，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 例5-3（24-25高三上·上海闵行·期中）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式训练5-1】已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【变式训练5-2】（24-25高三上·上海·期中）已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式训练5-3】）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（    ） A． B． C． D． 题型6 等比数列综合题 例6-1已知数列满足： 且，. (1)证明: 数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求的值 ． 例6-2已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 例6-3（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 例6-4（24-25高三上·上海·期中）设等比数列的前项和为，且，，，成公差不为零的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列中最大项与最小项. 【变式训练6-1】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)写出的具体展开式，并求其值. 【变式训练6-2】已知数列的前n项和为，且为正整数. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式及其前n项和. 【变式训练6-3】若数列的前项和满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有. 【变式训练6-4】（24-25高三上·上海·期中）已知数列和满足，（为常数且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)已知为数列的前项和，且，记，为数列的前项和，求使得取到最大值时的值． 【变式训练6-5】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且 (1)求； (2)求数列的前项和； (3)记，求的最值. 一、填空题 1．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求 ； 2．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 二、解答题 3．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 4．（2020·上海·高考真题）有限数列，若满足，是项数，则称满足性质. （1）判断数列和是否具有性质，请说明理由. （2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围. （3）若是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的. 5．（2018·上海·高考真题）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与 “接近”. (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由； (2)设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数； (3)已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 等比数列及其前n项和 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 等比数列有关的概念 2 知识点2 等比数列的通项公式及前n项和公式 3 知识点3 等比数列的常用性质 3 知识点4 等比数列前n项和的常用性质 3 题型破译 4 题型1 等比中项的应用 4 题型2 等比数列通项公式及基本量的运算 5 题型3 等比数列前n项和及基本量计算 7 题型4 等比数列中的最值 10 题型5 等比数列与函数关系 13 题型6 等比数列综合题 17 04真题溯源·考向感知 23 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1） 等比数列的通项公式 （2） 等比数列前n 项和 单选题 填空题 解答题 / 等比数列的通项公式及基本量计算 求等比数列前n项和 考情分析：等比数列的考点主要集中在等比数列的通项公式、前n项和公式、性质的应用以及等比数列的证明等方面。未来上海高考对等比数列的考查仍将保持相对稳定，可能会给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和，也可能会与等差数列、函数、不等式等知识进行综合考查。 复习目标： 1.理解等比数列的概念，能够准确判断一个数列是否为等比数列。 2.熟练掌握等比数列的通项公式，并能灵活运用这些公式解决相关问题。 3.了解等比数列与指数函数的关系，能利用等比数列的性质简化计算。 知识点1 等比数列有关的概念 1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. 2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 自主检测（24-25高三上·上海·期中）等比数列中，，则 . 【答案】9 【详解】等比数列中，，则,即，解得. 故答案为：9. 知识点2 等比数列的通项公式及前n项和公式 1.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1. 2.等比数列通项公式的推广：an=amqn-m. 3.等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn==. 自主检测1（24-25高三上·上海·阶段练习）设是等比数列，且，，则 . 【答案】或 【详解】因为是等比数列，且，， 解得，或，则或. 故答案为：或 自主检测2若为等比数列的前项和，，则 ． 【答案】-31 【详解】设等比数列的公比为，由得：，解得， 所以. 故答案为：-31 知识点3 等比数列的常用性质 1.若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. 2.ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). 3.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). 4.若或则等比数列{an}递增.若或则等比数列{an}递减. 知识点4 等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn. 题型1 等比中项的应用 例1-1（24-25高三上·上海·期中）已知是1与9的等比中项，则正实数 ． 【答案】3 【详解】由题意得，且，解得. 故答案为：3. 例1-2（25-26高三上·上海·开学考试）若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【详解】由题意为等差数列的前项和，， 则由等差数列前n项和的性质得，解得， 则与的等比中项. 故答案为： 例1-4已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】设数列的公差为，则，即，解得或0（舍去）， 所以. 故答案为：. 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）设、、，已知、均为非零向量，则“”是“、、成等比数列”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】由、均为非零向量，且 可知：存在唯一一个非实数，使， 即， 验证，，都不符合式，即的坐标中不含， 再验证和也不符合式，即的坐标中不含， 所以、、都不为，则有， 此时，、、成公比为的等比数列，充分性成立； 当、、成等比数列时， 由等比数列性质知，、、都不为， 且，此时，，即，必要性成立， 即“”是“、、成等比数列”的充要条件， 故选：C. 【变式训练1-2】在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则 . 【答案】 【详解】函数，则 ，分别是函数的两个驻点，所以，是方程的两根， 所以，所以 在等比数列中，且等比数列奇数项同号，则，所以. 故答案为：. 题型2 等比数列通项公式及基本量的运算 例2-1 （24-25高三下·上海·阶段练习）已知等比数列的首项与公比相等，若，则 ． 【答案】 【详解】因为等比数列的首项与公比相等， 所以， 所以， 故答案为：. 例2-2已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=　　　　.  答案　-2 解析　方法一　{an}为等比数列， ∴a4a5=a3a6，∴a2=1， 又a2a9a10=a7a7a7，∴1×(-8)=(a7)3， ∴a7=-2. 方法二　设{an}的公比为q(q≠0)， 则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q，显然an≠0， 则a4=q2，即a1q3=q2，则a1q=1， ∵a9a10=-8，则a1q8·a1q9=-8， 则q15=(q5)3=-8=(-2)3， 则q5=-2，则a7=a1q·q5=q5=-2. 【变式训练2-1】（25-26高三上·上海·开学考试）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则 ． 【答案】2 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得，可得． 方法二：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则；故. 故答案为：2 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海·期中）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的中国古老民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为1的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，，不断重复上述裁剪操作，则被裁剪部分的面积之和的极限为 . 【答案】 【详解】设的半径为， 则，的半径为，即， 故， 所以的面积为， 又第次裁剪操作的正方形边长为， 故第次裁剪操作裁剪掉的面积为：， 所以被裁剪掉的总面积为， 所以被裁剪掉的总面积的极限为. 故答案为： 题型3 等比数列前n项和及基本量计算 例3-1（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，则公比等于（    ） A．2 B．2或 C． D．或 【答案】B 【详解】设公比为q，由，则， 则，解得或. 故选：B. 例3-2（24-25高三上·上海·阶段练习）在等比数列中，，，则的前5项和为 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，则，所以， 则的前5项和为. 故答案为：. 例3-3（24-25高三上·上海·期中）设等比数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】 【详解】等比数列的前项和为，，， ，， ， ． 故答案为：． 例3-4（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知数列的通项公式为，则= 【答案】 【详解】数列的通项公式为， 则. 故答案为：. 【变式训练3-1】（24-25高三上·上海杨浦·期中）设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，由题意得解得或； 当时，，不满足，不符合题意； 所以符合条件的数列的个数是， 故选：C. 【变式训练3-2】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知等比数列的首项，公比，则该数列的前6项和为 . 【答案】 【详解】由等比数列前n项和公式知. 故答案为： 【变式训练3-3】（24-25高三上·上海·阶段练习）设数列前项和为.若，则 . 【答案】 【详解】当时，由，得， 当时，由可得，两式相减得，即， 所以数列为等比数列，且首项为1，公比为， 故. 故答案为：. 【变式训练3-4】（24-25高三上·上海·期中）2020年12月17日，嫦娥五号返回器在内蒙古安全着陆，激动人心！“切线数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则数列为函数的“切线数列”.若函数的“切线数列”为，其中，数列满足，上，数列的前n项和为，则 . 【答案】 【详解】由，求导得， 依题意，，， 所以， 由，得， 又，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 故答案为： 题型4 等比数列中的最值 例4-1正项等比数列中，存在两项使得，且，则最小值 . 【答案】 【详解】在正项等比数列中有，由等比数列的性质知，即，解得或（舍）， 则，可得，其中. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为：. 例4-2（24-25高三上·上海闵行·期中）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是1为首项，公比为2的等比数列，设，，则当时，的最大值是 ． 【答案】9 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 因为， 所以数列为递增数列， 因为，， 所以的最大值是9. 故答案为：9. 【变式训练4-1】各项均为正数且公差不为0的等差数列的第1项、第2项、第4项恰好是等比数列的连续三项（顺序不变），设，若对于任意正整数，恒成立，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】设等差数列的公差为，依题意，，即， 整理得，而，则，， ，则， 由得：，则，依题意，，， 又，恒成立，因此， 所以的最小值为1. 故答案为：1 【变式训练4-2】（22-23高三上·上海虹口·开学考试）已知数列的前n项和，则的最大值与最小值分别为 ． 【答案】， 【详解】已知， 令，则，解得， 当时，， 两式相减，得， 即，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，， ， 当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 所以的最小值为，最大值为． 故答案为：，. 【变式训练4-3】已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，将代入得， 所以，又， 所以， 所以 又因为，所以， 又由，，得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，， 所以当时，最大，且最大为 故答案为：. 【变式训练4-4】（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】设长度为的“等比伴随数列”的公比为， 则对任意正整数，当时，都有成立， 即对恒成立， 当时，有；当时，，即； 当时，有恒成立，即当时，， 令，求导得， 则函数在上单调递减，即当4时，.， 令，求导得， 则函数在上单调递减，即当4时，， 则，即， 令，求导得， 于是函数在上单调递减，又， 因此存在，使得，所以的最大值为6. 故答案为：6 题型5 等比数列与函数关系 例5-1设是公比为的等比数列，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】若且，则，所以，，则， 所以，“”“”； 另一方面，取，则，但， 即“”“”. 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 例5-2已知无穷等比数列的首项是，公比是，若对任意正整数n恒成立，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意正整数n恒成立， 所以无穷等比数列为递减数列，且， A选项，，，则，不满足要求，A错误； B选项，，满足要求， C选项，，不满足要求，C错误； D选项，，不满足要求，D错误. 故选：B 例5-3（24-25高三上·上海闵行·期中）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】对于①，若与均为等差数列，不妨设各自公差分别为， 则，所以， 因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以： （i）若，则，则； （ii）若，则，则不存在； （iii）若，，则；综上①正确； 对于②，若与均为等比数列，不妨设各自公比分别为， 显然，显然该数列的奇数项都相同，故②错误； 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得 ：关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故选：C 【变式训练5-1】已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【答案】D 【详解】对于A中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以A不正确； 对于B中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以B不正确； 对于C中，如果数列，公比为，可得，数列是递增数列，但是，所以C不正确； 对于D中，数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以D正确； 故选：D． 【变式训练5-2】（24-25高三上·上海·期中）已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】若是严格递减数列，显然能推出， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”必要条件； 若对任意的正整数都成立， 则中不可能同时含正项和负项，故， 所以，，即，， 或，，即，. 当，时，有，即，是严格递减数列； 当，时，有，即，是严格递减数列， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”充分条件， 综上所述，“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的充要条件. 故选：C. 【变式训练5-3】）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，则有： ①当，则为非零常数列，故符合题意，A可能成立； ②当，则为单调数列，故恒不成立，即且不合题意； 当时，可得，则有： ①当，若为偶数时，则； 若为奇数时，则； 故符合题意，B可能成立； ②当，若为偶数时，则， 且，即； 若为奇数时，则，且， 即；故符合题意，D可能成立； ③当，若，可得， ，则，可得，则，这与等比数列相矛盾， 故和均不合题意，C不可能成立. 故选：C. 题型6 等比数列综合题 例6-1已知数列满足： 且，. (1)证明: 数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求的值 ． 【详解】（1）因为，， 所以， 又，所以，所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即，所以； （2） ， 又，故， 即，所以， 解得. 例6-2已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 【详解】（1）由题意得，且， 则数列是以1为首项，公比为2的等比数列， 则，则. （2）， 则 . 例6-3（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）解：因为数列满足，， 则当时，，且， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，，故. （2）解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则， 假设数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列， 则，即，即， 由已知可得，所以，， 事实上， ， 即，矛盾，假设不成立， 故不存在这样的三项、、成等比数列. 例6-4（24-25高三上·上海·期中）设等比数列的前项和为，且，，，成公差不为零的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列中最大项与最小项. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，，成公差不为零的等差数列， 可知，即， 解得或（舍去）， 所以. （2）， 所以，当为奇数时，单调递减， 故当时，有最大值，且； 当为偶数时，单调递增， 故当时有最小值，且； 综上，可知有最大值，最小值. 【变式训练6-1】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)写出的具体展开式，并求其值. 【详解】（1），， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得：，. （3）因. . 【变式训练6-2】已知数列的前n项和为，且为正整数. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式及其前n项和. 【详解】（1）因为， 所以当时，，解得，则， 当时，， 两式相减可得：， 即可得，显然，即， 所以是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）得，知， 所以. 【变式训练6-3】若数列的前项和满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有. 【详解】（1）证明：由，当时，可得； 当时，，所以， ∴时，， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列； ∴，∴. （2）证明：由（1）知，，∴， ∴， ∴, 因为，所以，所以即成立． 所以对任意的正整数，都有得证. 【变式训练6-4】（24-25高三上·上海·期中）已知数列和满足，（为常数且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)已知为数列的前项和，且，记，为数列的前项和，求使得取到最大值时的值． 【详解】（1）证明：因为，（为常数，且）， 上述两个等式相加可得，则，所以，， 因为，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，所以，， 则，即数列是公比为的等比数列. （2）解：因为为数列的前项和，且，则， 由（1）可知，，所以，， 所以，，则， 由（1）可得， 所以，， 所以，， 因为数列单调递减，且当且时，，且， 所以，当且时，， 当且时，， 所以，数列从第项开始单调递减， 所以当或使得取到最大值，. 【变式训练6-5】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且 (1)求； (2)求数列的前项和； (3)记，求的最值. 【详解】（1）因为方程的两个根为：， 又为方程的两个根且， 当时，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以． （2）由（1）知数列中的相邻两项必为： 中的一个表达式， 所以数列的前项和中有项满足通项公式， 有项满足通项公式， 所以 . （3）因为， 所以由有： ， 所以， 当时， ， 同时， ， 综上所述， ， 所以的最大值为，最小值为. 一、填空题 1．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求 ； 【答案】189 【详解】由题意得， 故答案为：189. 2．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 二、解答题 3．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 【详解】（1）由题意，或， ∴，此时，满足 ，此时，， 所以 （2）∵，∴，或，经检验，； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； 综上，、、成等比数列，公比为； （3）由或，可知或， 由第（2）问可知，， ∴，， ∴， 同理，，，∴， 同理，，∴的最大值为 4．（2020·上海·高考真题）有限数列，若满足，是项数，则称满足性质. （1）判断数列和是否具有性质，请说明理由. （2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围. （3）若是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的. 【详解】（1）对于第一个数列有，满足题意，该数列满足性质 对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质. （2）由题意可得， 两边平方得： 整理得： 当时，得， 此时关于恒成立， 所以等价于时，所以， 所以或者，所以取. 当时，得， 此时关于恒成立， 所以等价于时，所以， 所以，所以取. 当时，得. 当为奇数的时候，得， 很明显成立， 当为偶数的时候，得， 很明显不成立， 故当时，矛盾，舍去. 当时，得. 当为奇数的时候，得， 很明显成立， 当为偶数的时候，要使恒成立， 所以等价于时，所以， 所以或者，所以取. 综上可得，. （3）设，， 因为， 故， 所以可以取或者， 若，，则， 故或（舍，因为）， 所以（舍，因为）. 若，，则， 故（舍，因为），或 所以（舍，因为）. 所以均不能同时使，都具有性质. 当时，即有， 故，故， 故有数列：满足题意. 当时，则且，故， 故有数列：满足题意. 当时，， 故，故， 故有数列：满足题意. 当时，则且， 故， 故有数列：满足题意. 故满足题意的数列只有上面四种. 5．（2018·上海·高考真题）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与 “接近”. (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由； (2)设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数； (3)已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围. 【详解】（1）数列与接近，理由如下： 由题意，，， ∴， ∵时，，∴， 满足对任意，，∴数列与接近； （2）∵，，，，又与接近，∴， ∴，则，，，， ∴当时，中有、、三个元素； 或时，中有、、三个元素； 当，时，中有、、、四个元素； ∴中元素的个数为3或4； （3）∵，∴，， ∴，即，， ①若，则恒成立，不满足“至少有100个为正数”，不符； ②若，令，，∴， 满足，数列与接近，此时， 当为奇数时，， ∴在、、、这200个数中， 至少存在、、、这100个数为正， 故时，存在数列满足题意， ∴的取值范围为. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $