第16讲 数列的概念及其表示（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第16讲 数列的概念及其表示 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 数列的有关概念 3 知识点2 数列的分类 4 知识点3 数列与函数的关系 6 题型破译 6 题型1 由an与Sn的关系求通项公式 6 题型2 累加法求数列通项 8 题型3 累乘法求数列通项 11 题型4 构造法求数列通项 12 题型5 观察法求数列通项 14 题型6 定义法求数列通项 15 题型7 由递推关系式求通项公式 17 题型8 数列的单调性 18 题型9 数列的周期性 21 题型10 数列的最值 24 04真题溯源·考向感知 27 考点要求 考察形式 2024年 2022年 2021年 （1）数列的单调性 （1）数列的通项公式 （2）数列的最值 单选题 填空题 解答题 春季高考第12题数列的单调性 秋季高考第21题数列的通项公式 秋季高考第21题数列的最值 考情分析：考查数列的定义、通项公式、递推公式、数列的单调性、周期性、最值等。常将数列与一次函数、指数函数、三角函数等函数结合起来考查。 复习目标： 1. 熟练掌握数列的项、项数、通项公式等关键概念，能准确指出数列中某一项对应的项数，以及根据通项公式求出指定项的值。 2. 能熟练根据数列的前几项特征，归纳总结出数列的通项公式，同时也能根据通项公式分析数列的性质。 3. 学会运用累加法、累乘法、构造法等方法求解较复杂数列的通项公式。 4. 能根据数列的通项公式或递推关系，分析数列的单调性、周期性、有界性等性质。 知识点1 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 自主检测记为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和 . 【答案】； 【详解】对于区间，，，，可知： （1）当，2时，区间内不含项，故，共2项； （2）当，4，5，时，区间内含有一项，故，共6项； （3）当，10，11，时，区间内含有，两项，故，共18项； （4）当，28，29，，80时，区间内含有，，三项，故，共54项； （5）当，82，83，，100时，区间内含有3，，，四项，故，共20项． 故． 故答案为：284． 知识点2 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 自主检测1.已知数列为有穷数列，共95项，且满足，则数列中的整数项的个数为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】解：由得， 要使为整数，必有均为整数， 所以， 当时均为非负整数， 所以为整数，共有14个， 当时，， 在中因数2的个数为 ， 同理计算可得因数2的个数为82，因数2的个数为110， 故中因数2的个数为， 从而是整数， 当时，， 同理中因数2的个数小于10， 从而不是整数， 因此，整数项的个数为， 故选：C. 自主检测2.已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】解：令，， 由，可得，所以，即， 所以数列为等差数列，首项为，公差为1， 所以， 设，则数列是单调递增的等差数列， 若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列； 若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列. （1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有， 取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列； （2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有， 此时数列为，，，，，， 由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负， 由，则，，，，全为正，而， 这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调， 所以当数列单调时，数列一定有无穷多项． 故选：B. 知识点3 数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 自主检测1.已知数列，满足，若，则的前2025项的积为 . 【答案】2 【详解】由，得，， 因此数列是以4为周期的周期数列，且， 则，于是，而， 所以的前2025项的积为. 故答案为：2 自主检测2.已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】在上是递增数列，所以，，且， 即， 所以，即， 又， 所以. 故答案为：. 题型1 由an与Sn的关系求通项公式 例1-1（24-25高三上·上海长宁·期中）记为数列的前项和，若，则 . 【答案】 【详解】因为为数列的前项和，且， 则. 故答案为：. 例1-2（24-25高三上·上海·期中）已知数列的前项和，则数列的各项中（   ） A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项 C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项 【答案】A 【详解】由题意知数列的前项和, 当时，； 当时，， 也适合，故； 则， 由于，时，，时，， 结合二次函数性质，对称轴为， 则当，，递增， 再结合数的特点知， 故数列的各项中所有项均是数列中的项， 故选：A 【变式训练1-1】已知数列的前项和，则的值为（    ） A．125 B．135 C．145 D．155 【答案】D 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：D. 【变式训练1-2】（24-25高三上·上海青浦·期中）记为数列的前项和，已知，则数列的通项公式 【答案】 【详解】当时，，解得． 当时，，所以，即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以， 故答案为：. 题型2 累加法求数列通项 例2-1在数列中，，且，则 . 【答案】4 【详解】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：4 例2-1若，令，则关于结论：①M可以等于0；②M可以等于2.下面正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【详解】由，，得，同理或，或， 或或，…，或或…或， 即，由，得， 因此， ，由为自然数，， 不妨令，则， 显然，，当时，，因此①不成立，②成立，C正确. 故选：C 【变式训练2-1】在数列中，，且，则 . 【答案】5 【详解】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 【变式训练2-2】已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭函数”.给出以下两个命题：①若是“封闭函数”，则对任意，，是“封闭函数”；②存在，，，，使得是“封闭函数”，但不是“封闭函数”.则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②均错误 【答案】B 【详解】对于①，因为是“封闭函数”， 所以，总有， 故，则， 故， 累加有即， 故对任意，，是“封闭函数”， 故①正确； 对于②，因为是“封闭函数”， 故，则有， 故当时，则有，其中， 故，， ， 累加得， 而，， ， 累加得， 故，即是“封闭函数， 故②错误， 故选：B. 【变式训练2-3】（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的函数，满足恒成立.数列满足:，. (1)若函数，求实数的取值范围; (2)若函数是上的减函数，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有； (3)求证："函数是上的增函数"是"存在，使得"的充分非必要条件. 【详解】（1）由，即对一切恒成立，所以， 当时，在上单调递增，所以对任意，均有， 综上，实数的取值范围为：. （2）证明：由函数在上单调递减，即对一切，均有， 所以对一切，均有，可得:， 所以:，对一切， 对任意正实数，取，为表示为取整， 当时. （3）非必要性:取，在上不是增函数， 但，，，，， 充分性:假设对一切，均有， 所以， 由递推式， 因为为增函数，所以， 由可知:对一切均成立， 记可知，当时，上述不等式不成立， 所以假设错误，即存在，使得. 题型3 累乘法求数列通项 例3已知数列（）满足，且，则通项公式 . 【答案】 【解析】由，得，再由累乘法求，注意验证时是否成立. 【详解】由，得当时，. , 以上各式两端分别相乘，得 , 即， ， . 又，适合上式. . 故答案为：. 【变式训练3-1】若数列的首项，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】解： 数列中，，， ， ． 故答案为：． 【变式训练3-2】已知数列的递推公式为则通项公式 . 【答案】 【详解】当时，        ;,满足上式, 题型4 构造法求数列通项 例4-1已知数列满足，且，则 . 【答案】 【详解】因为数列满足，且， 则，所以， 所以数列为常数列，故， 因此，. 故答案为：. 例4-2设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 【变式训练4-1】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ．（精确到0.001） 【答案】 【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”， 则，，，， 由全概率公式得 ，， ，， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，所以. 故答案为： 【变式训练4-2】数列的前项和为，已知. (1)时，写出与之间的递推关系； (2)求的通项公式. 【详解】（1）因为①， 所以当时，②， 得：，即， 在①中：令得，也符合上式， 所以. （2）因为，则，且 所以数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 题型5 观察法求数列通项 例5-1数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为= 【答案】， 【详解】各项都加1后为2，4，8，16，…，因此一个可能的通项公式为=. 故答案为: 例5-2已知集合，将A中的正整数从小到大排列为、、、，若，则正整数 . 【答案】1516 【详解】， 当时，表示奇数； 当时，表示4的倍数； 所以中的整数从小到大排列为，即数列满足，又因为，所以， 故答案为：1516. 【变式训练5-1】已知数列的前4项为1，，，，则数列的一个通项公式为 ． 【答案】 【详解】把1写成,数列的特征是正负交替出现,分母是正整数的平方序列,所以 . 【变式训练5-2】数列，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，数列呈现负正交替的形式，每一项的分母组成首项为3，公差为2的等差数列，每一项分子可以写成以下形式：，因此数列的通项公式为：. 故选：D 【变式训练5-3】古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为 .    【答案】55 【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列， ，，，，，…， 由此得，即， 则， ∴堆垛第10层球的个数为55. 故答案为：55. 题型6 定义法求数列通项 例6-1已知、…是直线上的一列点，且，则这个数列的通项公式是 . 【答案】 【详解】设所在直线方程为：， ， ，解得， 直线方程为：， ， 故答案为：. 【变式训练6-1】正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，且所有棱长都相等.已知棱长为1的正四面体，，，…，在线段上，且. 现过点作平行于直线和的平面，记该平面截正四面体的截面的周长为，则 ． 【答案】4048 【详解】设为靠近的第个等分点， 过作平行于的平面分别交，，于，，，如图， 因为平面，且平面平面，所以， 同理，，， 则，故四边形为平行四边形． 又为靠近的第个等分点，且， 故． 故四边形的周长． 所以为常数列，即， 则 故答案为： 【变式训练6-2】已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)设函数，若函数和都是奇函数，将满足条件的按从小到大的顺序组成一个数列，求的通项公式． 【详解】（1）函数 ，为非奇非偶函数． 理由：定义域为，， 且，即有为非奇非偶函数； （2）函数和都是奇函数， 即有和均为奇函数， 则，， 解得，由于，，，则． 故数列的通项公式为 题型7 由递推关系式求通项公式 例7-1在数列中，，且，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，又，即为常数数列， 所以，则，则. 故答案为： 例7-2在数列中，，，则 ． 【答案】 【详解】数列满足，． 整理得，即（常数） 则数列是等比数列，其中首项为2，公比为1． 所以，即． 故答案为：． 【变式训练7-1】已知数列的首项，且满足，则（    ） A．63 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【详解】由可得，且， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，则. 故选：C 【变式训练7-2】已知数列满足，且为正整数，则 ． 【答案】 【详解】， 则是以为首项，公比为3的等比数列， 则. 故答案为： 【变式训练7-3】数列对任意正整数，满足，数列通项公式 . 【答案】 【详解】当时，； 当时，由可得 两式作商可得，又不符合上式，所以. 故答案为： 题型8 数列的单调性 例8-1对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 因为为严格递增数列，所以，恒成立， 即，恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，且当为偶数时，恒成立， 当为奇数时，恒成立， 因为随的增大而减小，所以，故， 当为偶数时，恒成立， 因为随的增大而增大，所以，故， 所以，故， 所以满足条件的数列的个数为个. 故选：B. 例8-2已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】根据题意，可得，即， ，对， 又数列是单调递减数列，则， . 故答案为：. 【变式训练8-1】已知，若数列为严格增数列，则实数q的取值范围是 . 【答案】 【详解】若，则，所以， 由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，为常数数列； 若，则，所以， 由指数函数的性质可知，数列为严格增数列： 若，则，所以， 此时， 所以数列一定不是严格增数列； 若，则，，所以， 由， 该式在时恒成立； 由. 当时，， 又，所以，此时：， 因为，，所以. 即在时成立. 综上可知，的取值范围为：. 【变式训练8-2】若函数使得数列（，）为严格递增数列，则称函数为“数列的保增函数”．已知函数为“数列的保增函数”，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，, ， 即， 即对恒成立， 由于函数在上单调递增，所以， 所以 所以， 故答案为: . 【变式训练8-3】已知定义在上的函数，数列满足，且. (1)若，，求的值； (2)若，且数列为严格增数列，求的取值范围； (3)若，且数列满足，其中，求和的值. 【详解】（1）因为，则， 因为，则，由可得， 由，解得. （2）因为，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为数列为严格增数列，则，可得，解得， 所以， 且当时，，且， 当时，，且，， 以此类推可知，对任意的，，，合乎题意， 因此，的取值范围是. （3）由题意可知，，即对任意的恒成立， 若，则，即对任意的恒成立， 令可得， 因为，当时，，与题意矛盾. 所以，必有，从而可得，进而有， 故，. 题型9 数列的周期性 例9-1意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 例9-2（24-25高三上·上海·期中）一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断： ①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（    ） A．②③④ B．②④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】对于①，若为:，，满足题意，但是数列不是周期数列，故①错误; 对于②，由可知，，...， 即数列的偶数项都相等，奇数项都相等， 所以当时，能使得当取每一个正整数时，都有， 故数列为周期数列，故②正确; 对于③，若为周期数列，则一个周期内必存在最大值，它是有界的， 故存在正整数，使得恒成立，故③正确; 对于④，首项为1，公比为2的等比数列:，， 可任取一个符合题意的数，不妨取，满足题意， 但很明显数列：不是周期数列，故④错误. 故选：C. 【变式训练9-1】在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】由，得， ， 所以是以为周期的数列，所以. 故选：. 【变式训练9-2】已知函数的对应关系如图所示，若数列满足，且对任意正整数均有，则的值为 （    ） 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意可得，，， ，， 故数列是以为一个循环的周期数列， 故. 故选：D 【变式训练9-3】数列满足：，则 . 【答案】 【详解】法一：依次代入的值，看看它们符合什么规律： .至此可以发现周期为3. （余数为2），. 故答案为：. 法二：该数列的周期为3，推理过程如下展示： 将换成，得，再将代入，得 ， 再将换成，得，继续将代入，得， ，以下同解法一. 故答案为：. 题型10 数列的最值 例10-1已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】由，可得或，即， 又函数的图象开口向下，对称轴为， 所以数列的前项为负数，，当时，数列中的项均为负数， 所以前项或前项和最大，且， 又，的最大值是， 又，所以， 故答案为：. 例10-2若不等式对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】当为奇数时， ，所以 ，对任意正整数n恒成立 显然数列单调递增，令，故 ，得 当为偶数时，，所以，对任意正整数n恒成立 显然数列单调递增，令，故 ，得 综上所述： 故答案为： 【变式训练10-1】数列满足，当 时，最小． 【答案】或8 【详解】令，得，又，故当或8时，最小． 故答案为：或8 【变式训练10-2】数列满足，，且，则的最大值是 . 【答案】 【详解】由条件，， 可得， 设， 令，则， 所以， 则， 因为，所以， ，当时， 得，得， 所以的最大值是. 故答案为： 【变式训练10-3】已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的前项和； （2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，；若不存在，说明理由； （3）设，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，① ，②，联立①②得， 所以数列的通项公式为，，即 （2），，，， 当，，成等比数列时，有， 即， ，，， ， 、均为正整数，为整数，为整数， 则， 一定为偶数，整理得，则一定为偶数， 设，，、均为正整数，， 则转化为， ，令，则且为整数， 则，，则， （放缩可得），与上式矛盾， 所以不存在正整数、使，，成等比数列． （3）由（1）得， 当为偶数时，设， 则， ， 则不等式等价于对一切正整数恒成立， 即，设，，则，单调递增，， 当为奇数时，设，， 代入不等式，得，即， 又，的最大值为-4， 综上所述，的取值范围为 一、填空题 1．（2024·上海·春季高考），任意，满足，求有序数列有 对. 【答案】48 【知识点】数列的概念及辨析、根据数列的单调性求参数 【分析】先确定，再结合，设，可得到，进而求出这四个数，从而求得答案. 【详解】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 二、解答题 2．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 【详解】（1）因为，所以或，所以可能值为7或9； （2）因为成等差数列，所以，, 所以， 逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题， （3）因为，所以 ，所以， 因此， 以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立： 当时，明显成立； 假设当时命题成立，即， 则，即，即命题得证； 回到原题，分类讨论求数列的通项公式： 1.若，则矛盾； 2.若，则，所以，所以， 此时， 所以， 3.若，则，所以，所以， 所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾， 综上. 3．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 【详解】（1）由题意，或， ∴，此时，满足 ，此时，， 所以 （2）∵，∴，或，经检验，； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； 综上，、、成等比数列，公比为； （3）由或，可知或， 由第（2）问可知，， ∴，， ∴， 同理，，，∴， 同理，，∴的最大值为 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 数列的概念及其表示 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 数列的有关概念 3 知识点2 数列的分类 3 知识点3 数列与函数的关系 4 题型破译 4 题型1 由an与Sn的关系求通项公式 4 题型2 累加法求数列通项 5 题型3 累乘法求数列通项 6 题型4 构造法求数列通项 6 题型5 观察法求数列通项 7 题型6 定义法求数列通项 7 题型7 由递推关系式求通项公式 8 题型8 数列的单调性 8 题型9 数列的周期性 9 题型10 数列的最值 10 04真题溯源·考向感知 11 考点要求 考察形式 2024年 2022年 2021年 （1）数列的单调性 （1）数列的通项公式 （2）数列的最值 单选题 填空题 解答题 春季高考第12题数列的单调性 秋季高考第21题数列的通项公式 秋季高考第21题数列的最值 考情分析：考查数列的定义、通项公式、递推公式、数列的单调性、周期性、最值等。常将数列与一次函数、指数函数、三角函数等函数结合起来考查。 复习目标： 1. 熟练掌握数列的项、项数、通项公式等关键概念，能准确指出数列中某一项对应的项数，以及根据通项公式求出指定项的值。 2. 能熟练根据数列的前几项特征，归纳总结出数列的通项公式，同时也能根据通项公式分析数列的性质。 3. 学会运用累加法、累乘法、构造法等方法求解较复杂数列的通项公式。 4. 能根据数列的通项公式或递推关系，分析数列的单调性、周期性、有界性等性质。 知识点1 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 自主检测记为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和 . 知识点2 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 自主检测1.已知数列为有穷数列，共95项，且满足，则数列中的整数项的个数为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 自主检测2.已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3 数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 自主检测1.已知数列，满足，若，则的前2025项的积为 . 自主检测2.已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是 ． 题型1 由an与Sn的关系求通项公式 例1-1（24-25高三上·上海长宁·期中）记为数列的前项和，若，则 . 例1-2（24-25高三上·上海·期中）已知数列的前项和，则数列的各项中（   ） A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项 C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项 【变式训练1-1】已知数列的前项和，则的值为（    ） A．125 B．135 C．145 D．155 【变式训练1-2】（24-25高三上·上海青浦·期中）记为数列的前项和，已知，则数列的通项公式 题型2 累加法求数列通项 例2-1在数列中，，且，则 . 例2-1若，令，则关于结论：①M可以等于0；②M可以等于2.下面正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【变式训练2-1】在数列中，，且，则 . 【变式训练2-2】已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭函数”.给出以下两个命题：①若是“封闭函数”，则对任意，，是“封闭函数”；②存在，，，，使得是“封闭函数”，但不是“封闭函数”.则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②均错误 【变式训练2-3】（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的函数，满足恒成立.数列满足:，. (1)若函数，求实数的取值范围; (2)若函数是上的减函数，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有； (3)求证："函数是上的增函数"是"存在，使得"的充分非必要条件. 题型3 累乘法求数列通项 例3已知数列（）满足，且，则通项公式 . 【变式训练3-1】若数列的首项，且，则数列的通项公式为 . 【变式训练3-2】已知数列的递推公式为则通项公式 . 题型4 构造法求数列通项 例4-1已知数列满足，且，则 . 例4-2设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【变式训练4-1】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ．（精确到0.001） 【变式训练4-2】数列的前项和为，已知. (1)时，写出与之间的递推关系； (2)求的通项公式. 题型5 观察法求数列通项 例5-1数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为= 例5-2已知集合，将A中的正整数从小到大排列为、、、，若，则正整数 . 【变式训练5-1】已知数列的前4项为1，，，，则数列的一个通项公式为 ． 【变式训练5-2】数列，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为 .    题型6 定义法求数列通项 例6-1已知、…是直线上的一列点，且，则这个数列的通项公式是 . 【变式训练6-1】正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，且所有棱长都相等.已知棱长为1的正四面体，，，…，在线段上，且. 现过点作平行于直线和的平面，记该平面截正四面体的截面的周长为，则 ． 【变式训练6-2】已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)设函数，若函数和都是奇函数，将满足条件的按从小到大的顺序组成一个数列，求的通项公式． 题型7 由递推关系式求通项公式 例7-1在数列中，，且，则 ． 例7-2在数列中，，，则 ． 【变式训练7-1】已知数列的首项，且满足，则（    ） A．63 B．128 C．255 D．256 【变式训练7-2】已知数列满足，且为正整数，则 ． 【变式训练7-3】数列对任意正整数，满足，数列通项公式 . 题型8 数列的单调性 例8-1对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 例8-2已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为 【变式训练8-1】已知，若数列为严格增数列，则实数q的取值范围是 . 【变式训练8-2】若函数使得数列（，）为严格递增数列，则称函数为“数列的保增函数”．已知函数为“数列的保增函数”，则实数的取值范围为 ． 【变式训练8-3】已知定义在上的函数，数列满足，且. (1)若，，求的值； (2)若，且数列为严格增数列，求的取值范围； (3)若，且数列满足，其中，求和的值. 题型9 数列的周期性 例9-1意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 例9-2（24-25高三上·上海·期中）一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断： ①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（    ） A．②③④ B．②④ C．②③ D．①②③④ 【变式训练9-1】在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 【变式训练9-2】已知函数的对应关系如图所示，若数列满足，且对任意正整数均有，则的值为 （    ） 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 A．1 B．2 C．4 D．5 【变式训练9-3】数列满足：，则 . 题型10 数列的最值 例10-1已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是 ． 例10-2若不等式对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 【变式训练10-1】数列满足，当 时，最小． 【变式训练10-2】数列满足，，且，则的最大值是 . 【变式训练10-3】已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的前项和； （2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，；若不存在，说明理由； （3）设，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 一、填空题 1．（2024·上海·春季高考），任意，满足，求有序数列有 对. 二、解答题 2．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 3．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $