函数y=Asin (ωx+φ)的图象与性质 专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质 基础性 1.为了得到y＝cos (2x－)的图象，需要把函数y＝cos 2x的图象向右平移的单位数是(　　) A． B． C． D． 解析：A　要得到y＝cos (2x－)的图象，需要把函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．故选A. 2.若函数f(x)＝cos (2x－)，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：A　函数f(x)＝cos (2x－)＝sin (＋2x－)＝sin (2x＋)，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可，故选A. 3.将曲线y＝2sin (4x＋)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的对称中心为(　　) A．(－，0)(k∈Z) B．(＋，0)(k∈Z) C．(kπ＋，0)(k∈Z) D．(kπ－，0)(k∈Z) 解析：A　将曲线y＝2sin (4x＋)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线y＝2sin (2x＋)，令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z).故选A. 4.设函数f(x)＝cos (ωx＋)在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　) A． B． C． D． 解析：C　由图象可得f(－)＝cos (－ω＋)＝0， 所以－ω＋＝2kπ－，k∈Z， 则ω＝－k＋，k∈Z. 设函数f(x)的最小正周期为T， 则T<2π<2T，即<2π<， 所以1<|ω|<2.所以k＝0，ω＝， 经验证可知，当ω＝时与题图相符． 所以f(x)的最小正周期T＝＝，故选C. 5.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：C　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin (3x－)的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin (3x－)有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点．故选C. 6.(多选)将函数f(x)＝sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．函数g(x)的最小正周期是π B．g(x)的图象关于直线x＝对称 C．函数g(x)在区间[－，]上单调递减 D．g(x)的图象关于点(，0)对称 解析：ABD　由题意，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度， 可得g(x)＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－). 对于A，函数的最小正周期为＝π，A正确； 对于B，令x＝， 则g()＝sin (2×－)＝sin ＝1，为最大值， 所以函数g(x)的图象关于直线x＝对称，B正确； 对于C，x∈[－，]，则2x－∈[－π，0]， 则函数g(x)在区间[－，]上先减后增，C不正确； 对于D，令x＝， 则g()＝sin (2×－)＝sin 0＝0， 所以g(x)的图象关于点(，0)对称，D正确．故选ABD. 7.(2024·吉林长春模拟预测)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，如图A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，|AB|＝，f()＝－1，则f()＝(　　) A．0 B． C． D．－ 解析：C　设A(x1，)，B(x2，)， 由|AB|＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 由图可知， 当ω>0时，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝， 即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4， 则f(x)＝sin (4x＋φ). 因为f()＝sin(＋φ)＝－1， 则＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 解得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以f(x)＝sin (4x－＋2kπ)＝sin(4x－)， 所以f()＝sin (－)＝sin (2π＋)＝sin ＝.故选C. 8.电流I(A)随时间t(s)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则t＝ s时的电流为　　　　　． 解析：0(A)　由函数的图象可得A＝100，且×＝＝，故ω＝100π， 而I()＝100，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 故I(t)＝100sin (100πt＋)， 故I()＝100sin (100π×＋)＝0(A). 综合性 9.已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋.将函数f(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)的图象，则函数y＝g(x)＋在区间[－，]内的所有零点之和为　　　　　． 解析：　f(x)＝sinx cos x－sin2x＋＝sin2x＋cos 2x＝sin (2x＋). 因为将函数f(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)的图象， 所以g(x)＝sin (4x＋). 因为g(x)＋＝0，所以sin (4x＋)＝－， 因为y＝g(x)＋在[－，]上有4个零点x1，x2，x3，x4，4x＋∈[－，]， 根据对称性有＝－， ＝，所以x1＋x2＋x3＋x4＝. 10.将函数f(x)＝tan (2x－)的图象向右平移s(s>0)个单位长度，所得图象经过点(，)，则s可能的取值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　(写出满足条件的一个值即可). 解析：(答案不唯一，满足s＝－，k∈Z即可) 函数f(x)＝tan (2x－)的图象向右平移s(s>0)个单位长度， 得到的函数解析式g(x)＝tan (2x－2s－)， 又因为平移后的图象经过点(，)， 所以tan(π－2s－)＝， 所以－2s＝＋kπ，k∈Z， 解得s＝－，k∈Z， 不妨令k＝0，则s＝. 11.已知函数f(x)＝|A sin (ωx＋φ)＋B|(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝|2sin (2x＋)＋1| B．f(x)＝|2sin (2x－)＋1| C．f(x)＝|3sin (2x＋)＋1| D．f(x)＝|3sin (2x－)＋1| 解析：B　令g(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B， 由图易得＝－(－)＝， 所以ω＝＝2， A＋B＋(－A＋B)＝±2，得B＝±1， 当B＝－1时， 由五点法作图可得 k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z，不满足|φ|<，故舍去， 所以B＝1，结合A>0得A＝2， 此时应满足k∈Z，结合|φ|<，解得φ＝－， 故f(x)的解析式为f(x)＝|2sin (2x－)＋1|，故选B. 12.如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝A sin (ωt＋)确定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞).在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，且最高点与最低点间的距离为10 cm. 则小球相对平衡位置的高度h(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系为　　　　　　　　　　　　　；若小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，则t0的取值范围是　　　　　　　　　　． 解析：h＝5sin (πt＋)，t≥0　[98，100) 因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm，所以A＝＝5. 因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，所以周期为2， 即T＝2＝，所以ω＝π. 所以h＝5sin (πt＋)，t≥0. 由题意，当t＝时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次， 所以＋49T≤t0<＋50T. 因为T＝2，所以98≤t0<100， 所以t0的取值范围为[98，100). 创新性 13.(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P(x0，y0)且|OP|＝r(r>0)，定义：sin cos θ＝，称“sincos θ”为“正余弦函数”．对于正余弦函数y＝sincos x，以下性质中正确的是(　　) A．函数的值域为[－，] B．函数图象关于x＝对称 C．函数图象关于(，0)对称 D．函数在[0，]上单调递增 解析：AD　由题可知y＝sincos x＝sin x－cos x＝sin (x－)， 所以函数的值域为[－，]，A正确； 当x＝时，y＝sin (－)＝1，并没有取到最值，故不关于x＝对称，B错误； 当x＝时，y＝1≠0，故不关于点(，0)对称，C错误； 当x∈[0，]时，则x－∈[－，]，所以函数在[0，]上单调递增，D正确．故选AD. 14.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在矩形A′B′C′D′的四条边上，且矩形ABCD的周长为l.如果AB与A′B′的夹角为α，那么当α为　　　　时，矩形A′B′C′D′的周长最大． 解析：　依题意，在Rt△AB′B中，AB′＝AB cos α， 而∠A′DA＝α，在Rt△AA′D中，AA′＝AD sin α，A′D＝AD cos α， 又∠DCD′＝∠A′DA＝α，AB＝CD，则有DD′＝CD sin α＝AB sin α， 因此，A′B′＝AB′＋AA′＝AB cos α＋AD sin α，A′D′＝A′D＋DD′＝AD cos α＋AB sin α， 于是得矩形A′B′C′D′的周长L＝2(A′B′＋A′D′)＝2(AB＋AD)(sin α＋cos α)＝l sin (α＋). 因为α是AB与A′B′的夹角，则当α＝时，sin (α＋)取得最大值1，Lmax＝l， 所以当α＝时，矩形A′B′C′D′的周长最大． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质 基础性 1.为了得到y＝cos (2x－)的图象，需要把函数y＝cos 2x的图象向右平移的单位数是(　　) A． B． C． D． 2.若函数f(x)＝cos (2x－)，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 3.将曲线y＝2sin (4x＋)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的对称中心为(　　) A．(－，0)(k∈Z) B．(＋，0)(k∈Z) C．(kπ＋，0)(k∈Z) D．(kπ－，0)(k∈Z) 4.设函数f(x)＝cos (ωx＋)在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　) A． B． C． D． 5.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 6.(多选)将函数f(x)＝sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．函数g(x)的最小正周期是π B．g(x)的图象关于直线x＝对称 C．函数g(x)在区间[－，]上单调递减 D．g(x)的图象关于点(，0)对称 7.(2024·吉林长春模拟预测)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，如图A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，|AB|＝，f()＝－1，则f()＝(　　) A．0 B． C． D．－ 8.电流I(A)随时间t(s)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则t＝ s时的电流为　　　　　． 综合性 9.已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋.将函数f(x)的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)的图象，则函数y＝g(x)＋在区间[－，]内的所有零点之和为　　　　　． 10.将函数f(x)＝tan (2x－)的图象向右平移s(s>0)个单位长度，所得图象经过点(，)，则s可能的取值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　(写出满足条件的一个值即可). 11.已知函数f(x)＝|A sin (ωx＋φ)＋B|(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝|2sin (2x＋)＋1| B．f(x)＝|2sin (2x－)＋1| C．f(x)＝|3sin (2x＋)＋1| D．f(x)＝|3sin (2x－)＋1| 解析：B　令g(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B， 12.如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝A sin (ωt＋)确定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞).在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，且最高点与最低点间的距离为10 cm. 则小球相对平衡位置的高度h(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系为　　　　　　　　　　　　　；若小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，则t0的取值范围是　　　　　　　　　　． 创新性 13.(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P(x0，y0)且|OP|＝r(r>0)，定义：sin cos θ＝，称“sincos θ”为“正余弦函数”．对于正余弦函数y＝sincos x，以下性质中正确的是(　　) A．函数的值域为[－，] B．函数图象关于x＝对称 C．函数图象关于(，0)对称 D．函数在[0，]上单调递增 14.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在矩形A′B′C′D′的四条边上，且矩形ABCD的周长为l.如果AB与A′B′的夹角为α，那么当α为　　　　时，矩形A′B′C′D′的周长最大． 学科网（北京）股份有限公司 $