第04讲 指数与指数函数（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 指数与指数函数 目录 01 常考题型过关练 题型01 指数与指数幂的运算 题型02 指数函数的图象及其应用 题型03 指数（型）函数的单调性 题型04 指数（型）函数的值域与最值 题型05 指数值的大小比较 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 指数与指数幂的运算 1．根式的指数幂形式为 . 【答案】 【详解】， ． 故答案为：． 2．计算: . 【答案】 【详解】易知原式； 故答案为： 3．已知，，则 ． 【答案】3 【详解】由题可知 故答案为：3 4．已知，将化为有理数指数幂形式，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为： 5．若，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为， 故实数的值为. 故答案为： 6．若，则= ；= ． 【答案】 7 【详解】由题意，所以. 由题意， 所以. 故答案为：7；. 7． ． 【答案】110 【详解】易知原式 . 故答案为：110 8．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由，两边同时平方，得，所以， 对两边同时平方，得，即， 则． 故答案为：. 9．化简： . 【答案】 【详解】   . 故答案为：. 10．化简下列各式： （1） =                     （2）（= （3 设，则的值为 【答案】 0 / 7 【详解】（1） . （2）； （3）因为， . 故答案为：（1）0；（2）；（3）7 02 指数函数的图象及其应用 11．已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】     ，恒过定点， ，，，其图象如图所示， 因此不经过第四象限， 故选：D． 12．函数的图象恒过的定点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，所以函数的图象恒过点. 故选：D 13．如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，故排除A和D； 对于，当时，，所以的图象过点， 因为，故B错误，C正确. 故选：C. 14．已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 15．函数（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，函数单调递增， 且图象由的图象向下平移个单位长度，故AB错误； 当时，，函数单调递减， 且图象由的图象向下平移个单位长度，故D正确C错误． 故选：D． 16．设，，那么是（   ） A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数 C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数 【答案】D 【详解】因为， 所以该函数是偶函数， 当时，，此时函数单调递增， 故选：D 17．已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 18．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【详解】设，，显然， 故与的图象关于直线对称. 故选：B. 03 指数（型）函数的单调性 19．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是偶函数，且在上单调递减 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】B 【详解】因为定义域为，且， 所以为奇函数； 又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增. 故选：B. 20．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 21．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减， 故，解得. 故选：D. 22．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减， 所以函数在上为增函数，所以，解得. 故选：A. 23．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，令， 则“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，的对称轴为，若在上单调递增， 则，解得，若在上单调递减， 则，解得，综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 24．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式等价于，可得， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：B. 25．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为减函数，由，可得， 即，即，解得. 因此，不等式的解集为. 故选：D. 26．已知函数，则（    ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数 B．图象关于原点对称，且在上是减函数 C．图象关于轴对称，且在上是增函数 D．图象关于轴对称，且在上是减函数 【答案】B 【详解】由且定义域为R， 所以为奇函数，即关于原点对称， 又在R上递减，故在上是减函数. 故选：B 27．已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为且，则内层函数在上单调递减， 且，可得， 因为函数且在区间上单调递增， 则外层函数为减函数，所以，， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 04 指数（型）函数的值域与最值 28．若函数有最大值3，则 . 【答案】1 【详解】令，则， 因为有最大值3，所以应有最小值； 由此可得解得. 故答案为：1 29．若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值； 当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得. 故选：A 30．已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由解析式易知：单调递增， 当时，恒成立，则，得． 故选：B． 31．已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为是奇函数，所以，所以． 即，则，解得， 经检验符合题意，所以， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， ，整理得， 解得或(舍去)，所以； 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，，整理得， 解得或(舍去)，所以， 综上，或3． 故选：A． 32．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 05 指数值的大小比较 33．下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：由函数在上单调递增，所以，A选项错误； B选项：由函数在上单调递减，则，B选项错误； C选项：，， 又函数在上单调递增，所以，即，C选项正确； D选项：，函数在上单调递增， 则，即，D选项错误； 故选：C. 34．已知，，，则、、的大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是增函数，且，所以. 故选：D. 35．已知，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，且，为增函数， 又，,∴， 又为增函数，且， ，∴， 故选：B． 36．设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数在上是单调递减函数，则，即   由函数在上是单调递增函数，则，即 所以 故选：A 37．设，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 因为函数为增函数，， 所以， 故. 故选：A. 38．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵为减函数，又， ，即， 又为增函数，且， ， ∴， 故选：D 39．已知，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即， 由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即， 所以. 故选: B. 40．已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由三角函数线可得：不等式， 则， 又函数为增函数，为减函数， 则， 所以， 综上所述：， 故选D． 【点睛】关键点点睛：本题考查比较函数值的大小.解题关键在于利用三角函数线得到不等式，进而比较和的大小；再利用幂函数和指数函数的单调性及中间量，比较，和的大小. 1．若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 【答案】A 【详解】对于A：因为，当为奇数，为偶数时，，此时无意义，不合题意，故A错误； 对于B：因为，当为偶数，为奇数时，，此时，符合题意，故B正确； 对于C：因为，当为奇数，为奇数时，，此时，符合题意，故C正确； 对于D：因为，当为偶数，为偶数时，，此时，符合题意，故D正确； 故选：A 2．若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】原式，又， 则原式． 故选：B 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 根据实数的大小关系可得，即． 故选：C 4． 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，且， 由函数在上为减函数，， 则， 又函数在上为减函数，则， 又函数在上为增函数，则， 因此可得. 故选：C. 5．已知一次函数和指数函数，若一次函数图象过一、三、四象限，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一次函数图象过一、三、四象限，则，即.指数函数在定义域R内单调递增， 由于，故. 故选：C. 6．若为正数，则下列各式中一定成立的个数是 ． ①；    ②； ③；    ④． 【答案】2 【详解】，①正确； ，②错误； ，③正确； ，④错误． 故正确的有①③共个. 故答案为： 7．在中，最大的是 ． 【答案】 【详解】由于， 由的单调性可得， 则最大的是． 故答案为： 8．若，则 ． 【答案】 【详解】原式． 故答案为： 9．数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数（且）的图象必过定点 . 【答案】 【详解】由，故函数图象必过定点. 故答案为： 10．设，若实数，满足，且函数的图像可以无限接近直线但又永远不相交，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【详解】解：因为趋近时，趋近于0， 所以趋近时，趋近于，所以，所以， 所以，所以不等式可化为， 又因为是减函数，所以，解得或. 故答案为：或． 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 5．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 指数与指数函数 目录 01 常考题型过关练 题型01 指数与指数幂的运算 题型02 指数函数的图象及其应用 题型03 指数（型）函数的单调性 题型04 指数（型）函数的值域与最值 题型05 指数值的大小比较 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 指数与指数幂的运算 1．根式的指数幂形式为 . 2．计算: . 3．已知，，则 ． 4．已知，将化为有理数指数幂形式，则 . 5．若，则实数的值为 ． 6．若，则= ；= ． 7． ． 8．已知，则 ． 9．化简： . 10．化简下列各式： （1） =                     （2）（= （3 设，则的值为 02 指数函数的图象及其应用 11．已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．函数的图象恒过的定点是（   ） A． B． C． D． 13．如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 14．已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 15．函数（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 16．设，，那么是（   ） A．奇函数且在上是增函数 B．偶函数且在上是减函数 C．奇函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数 17．已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 03 指数（型）函数的单调性 19．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是偶函数，且在上单调递减 D．是奇函数，且在上单调递减 20．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 21．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 25．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．已知函数，则（    ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数 B．图象关于原点对称，且在上是减函数 C．图象关于轴对称，且在上是增函数 D．图象关于轴对称，且在上是减函数 27．已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 04 指数（型）函数的值域与最值 28．若函数有最大值3，则 . 29．若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 32．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 05 指数值的大小比较 33．下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 34．已知，，，则、、的大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 35．已知，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 36．设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 37．设，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 38．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 39．已知，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 40．已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 1．若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 2．若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4． 若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知一次函数和指数函数，若一次函数图象过一、三、四象限，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若为正数，则下列各式中一定成立的个数是 ． ①；    ②； ③；    ④． 7．在中，最大的是 ． 8．若，则 ． 9．数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数（且）的图象必过定点 . 10．设，若实数，满足，且函数的图像可以无限接近直线但又永远不相交，则不等式的解集为 ． 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$