1.4.1 一元二次函数 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

一元二次函数练习 一、选择题 1. 函数在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大( ) A. B. C. D. 1. 抛物线可以看作是由抛物线经过以下哪种变换得到的( ) A. 向左平移2个单位，再向上平移4个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移4个单位 C. 向左平移2个单位，再向下平移4个单位 D. 向右平移2个单位，再向下平移4个单位 1. 一元二次函数，a，b，c为常数且中的x与y的部分对应值如表，该函数图象的对称轴是直线( ) x -2 0 2 4 y 5 3 3 5 A. x = 0 B. x = 1 C. x = 2 D. x = 3 4、 已知一元二次函数，当时，y的最小值为，最大值为4，则m的取值范围为( ) A. B. C. D. 5、 校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高\与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是( ) A. B. C. D. 6、 已知m > 3，点，，都在二次函数的图象上，则( ) A. B. C. D. 二、填空题 7、一元二次函数的图象上有两点，，则____（填“>” “<”或“=”）。 8、若顶点坐标为(3, - 3)的一元二次函数的图象与的图象开口大小相同，方向相反，则一元二次函数的解析式为____。 9、函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数解析式是____。 10、函数的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是____。 11 、抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，顶点为C，则的面积为____。 12、 如图，在平面直角坐标系xOy内，点A，B的坐标分别为(2,2)和(4,0)，记位于直线x = t(t > 0)左侧的图形的面积为f(t)。 (1) 求(f(1)的值； (2) 求f(t)的解析式。 三、答案 1、 本题可先将函数化为顶点式，再根据二次函数的性质确定函数值y随x增大而增大的区间。 将函数化为顶点式： 对于二次函数，当时，抛物线开口向下，在对称轴x = h左侧，y随x的增大而增大。 在函数中，，对称轴为，所以在上，函数值增大而增大。 答案：D。 2、 本题可根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”来判断抛物线的变换。 对于抛物线，将其向左平移2个单位，根据“左加右减”原则，得到；再向下平移4个单位，根据“上加下减”原则，得到。 答案：C。 3、 本题可根据二次函数图象的对称性，即抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，来求对称轴。 由表格可知，当和时，，这两个点的纵坐标相等，所以这两个点关于对称轴对称。 那么对称轴是直线。 答案：B。 4、 对于二次函数，将其化为顶点式：。 所以抛物线开口向上，顶点坐标为，这是函数的最小值点，最小值为。 令y = 4，即，化简得，因式分解得，解得。 要使在这个区间内，能取到最小值，则；同时要使最大值为4，则。 所以m的取值范围是，答案选C。 5、 运动员的成绩是指铅球落地时水平的距离，也就是当y = 0时x的正值（因为距离不能为负）。令y = 0，即。 方程两边同时乘以10去分母得：， 因式分解得((x - 7)(x + 1)=0，解得x = 7或x =-1。 因为距离不能为负，所以舍去x = - 1，所以该运动员的成绩是7m，答案选B。 6、 对于二次函数，将其化为顶点式：。 所以抛物线开口向上，对称轴为直线。 已知m > 3，则m - 1>2，m>3，m + 1>4，这三个点都在对称轴的右侧。 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大。 又因为m - 1<m<m + 1，所以，答案选A。 7、 对于二次函数，其图象开口向上，在对称轴，即x = 0右侧，y随x的增大而增大。 已知两点，，因为3<6，所以。 8、 抛物线的顶点坐标为(h,k)，且决定抛物线的开口方向和大小，相等时开口大小相同，的符号决定开口方向。已知所求二次函数顶点坐标为(3, - 3)，所以设其解析式为。 因为它与的图象开口大小相同，方向相反，所以a = 2。 则该二次函数解析式为，展开得。 9、 函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的原则。原函数先向左平移2个单位长度，得到，再向下平移3个单位长度，得到，化简： 10、 当m - 2 = 0，即m = 2时，函数，是一次函数，与x轴有一个交点。 当时，函数是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以判别式。 展开：，即，。 因式分解得(9m - 2)(m + 7)=0，解得或。 综上，实数m的取值集合是。 11、 求抛物线与x轴的交点，令y = 0，即，变形为。 因式分解得，解得x = - 4或x = 1，所以A(-4,0)，B(1,0)，则AB的长度为。将抛物线化为顶点式：， 所以顶点C的坐标为。那么中，(AB边上的高就是顶点C的纵坐标的绝对值，即。根据三角形面积公式，可得。 12、 (1) 求f(1)的值，首先分析直线OA的解析式，已知A(2,2)，设直线OA的解析式为y = kx，把A(2,2)代入可得直线OA的解析式为y = x。 当t = 1时，直线x = 1与OA的交点纵坐标为y = 1。此时左侧图形是一个直角三角形，底和高均为1。 根据三角形面积公式，可得。 (2) 求f(t)的解析式，先求直线AB的解析式，已知A(2,2)，B(4,0)，设直线AB的解析式为y = mx + n。 将A(2,2)，B(4,0)代入可得，用第一个方程减去第二个方程消得m = - 1，代入，解得n = 4，所以直线AB的解析式为y=-x + 4。 接下来分情况讨论： 当时： 直线x = t与OA（相交，交点纵坐标为y = t。此时左侧图形是直角三角形，底和高均为t，根据三角形面积公式可得。： 左侧图形的面积等于的面积减去直线x = t右侧图形的面积。 先求的面积，OB = 4，A到x轴的距离为2，根据三角形面积公式可得。 直线x = t与ABy=-x + 4的交点纵坐标为y=-t + 4，则直线x = t右侧图形是一个直角三角形，底为4 - t，高为-t + 4，其面积为。 所以，展开可得： 当t > 4时： 此时直线x = t左侧的图形就是，所以f(t)=4。 综上，。 学科网（北京）股份有限公司 $