1.2数轴讲义2025-2026学年华东师大版（2024）数学七年级上册

1.2数轴 学习目标 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。 2. 能够正确地在数轴上表示有理数，理解数轴上的点与有理数的对应关系。 3. 掌握利用数轴比较有理数大小的方法，会比较两个或多个有理数的大小。 4. 通过数轴的学习，初步体会数形结合的数学思想。 知识点讲解 一、数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素： 1. 原点：在直线上取一个点表示数0，这个点叫做原点。 2. 正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。 3. 单位长度：选取适当的长度作为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…。 二、数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，0用原点表示。 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 三、利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 根据这个规定，可以得出以下结论： 1. 正数都大于0。 2. 负数都小于0。 3. 正数大于一切负数。 例题解析 例题1：在数轴上有A、B、C三点，分别表示数a、b、c。已知点A在原点左侧，且到原点的距离为3个单位长度；点B在原点右侧，且到原点的距离为个单位长度；点C在原点处。试写出a、b、c的值。 解答： 因为点A在原点左侧，到原点距离为3个单位长度， 所以a = -3。 因为点B在原点右侧，到原点距离为个单位长度， 所以b = 。 因为点C在原点处， 所以c = 0。 解析：数轴上的点到原点的距离就是这个点所表示的数的绝对值。原点左侧的点表示负数，右侧的点表示正数，原点表示0。根据点在数轴上的位置（左、右、原点）和到原点的距离，即可确定其所表示的数。 例题2：已知数轴上点M表示的数是m，点N表示的数是n。若点M在点N的左侧，试比较m与n的大小。 解答： 因为点M在点N的左侧， 所以m < n。 解析：数轴上的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此，若点M在点N的左侧，则点M表示的数m小于点N表示的数n。 例题3：比较下列各组数的大小，并说明理由。 （1）-5和3 （2）0和-2.1 （3）-和-0.6 解答： （1）-5 < 3 理由：负数小于正数。 （2）0 > -2.1 理由：0大于负数。 （3） 为比较-和-0.6的大小，先比较它们绝对值的大小。 |-| = = 0.75 |-0.6| = 0.6 因为0.75 > 0.6 所以- < -0.6 理由：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 解析：比较数的大小时，先根据正数、负数、0的大小关系（正数 > 0 > 负数）进行初步判断。对于两个负数，需比较它们绝对值的大小，绝对值大的负数反而小。在比较-和-0.6时，先将化为小数0.75，再比较绝对值0.75和0.6的大小，从而得出原负数的大小关系。 例题4：若数轴上有四个点，分别表示数2、-1、-4、1.5。将这些数按从小到大的顺序排列。 解答： 首先，明确这些数为：2，-1，-4，1.5。 根据正数、负数和0的大小关系：负数 < 0 < 正数。 题中的负数有：-1，-4。 比较这两个负数的大小： |-1| = 1 |-4| = 4 因为4 > 1，所以-4 < -1。 题中的正数有：2，1.5。 因为1.5 < 2，所以1.5 < 2。 综合以上，将所有数按从小到大的顺序排列为： -4 < -1 < 1.5 < 2 解析：多个数比较大小时，一般先将负数、0、正数分开，负数小于0，0小于正数。对于负数，绝对值大的反而小；对于正数，数值大的就大。然后将各类数按大小顺序连接起来。本题中没有0，但方法类似，先处理负数，再处理正数，最后合并。 巩固练习 选择题 1. 数轴的三要素是指 A. 原点、正方向、长度单位 B. 起点、方向、单位长度 C. 原点、正方向、单位长度 D. 原点、反方向、单位长度 2. 在数轴上，原点及原点右侧的点所表示的数是 A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 3. 下列说法中，正确的是 A. 数轴上的点只能表示整数 B. 数轴上的一个点可以表示两个不同的数 C. 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 D. 数轴上离原点越远的点表示的数越大 4. 已知数a在数轴上所对应的点在原点的左侧，且到原点的距离为5，则a的值是 A.5 B.-5 C. D.- 5. 下列各数中，比-3小的数是 A.-4 B.-2 C.0 D.2 填空题 1. 在数轴上，表示数-2的点在原点的 ______ 侧，与原点的距离是 ______ 个单位长度。 2. 若数轴上点P表示的数是-1.5，点Q表示的数是3，则点P在点Q的 ______ 侧（填“左”或“右”），P、Q两点所表示的数的大小关系是-1.5______3（填“>”、“<”或“=”）。 3. 在数-5，2.3，0，-1，，-3.7中，最大的数是 ______，最小的数是 ______。 4. 数轴上有A、B两点，点A表示的数是-3，点B表示的数是b。如果点B在点A的右侧，且与点A的距离是4个单位长度，那么点B表示的数b是 ______。 5. 写出一个比-1大且比2小的整数：______。 解答题 1. 已知数轴上有三个点A、B、C，分别表示数-4、1、5。 （1）将A、B、C三点所表示的数按从小到大的顺序排列； （2）指出表示-4的点与表示5的点之间的距离是多少个单位长度（直接写出结果）。 2. 比较下列各组数的大小，并写出比较过程。 （1）-8和-6 （2）0.3和- （3）-和-0.83 3. 已知a是一个正数，b是一个负数，且|a| = 2，|b| = 3。 （1）写出a、b的值； （2）在数轴上，表示数a的点和表示数b的点哪个在右边？并比较a和b的大小。 4. 有五个数：-3，0，-0.5，4，-1。 （1）将这五个数按从小到大的顺序排列； （2）在这五个数中，找出所有比-1大的数。 巩固练习答案 选择题 1. 答案：C 解析：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，这三个要素缺一不可。选项A中的“长度单位”表述不准确，应为“单位长度”；选项B中的“起点”应为“原点”；选项D中的“反方向”不是数轴的要素，正方向是规定的。 2. 答案：D 解析：原点表示0，原点右侧的点表示正数。所以原点及原点右侧的点所表示的数是0和正数，即非负数。 3. 答案：C 解析：数轴上的点与实数一一对应，不仅可以表示整数（A错误），一个点只能表示一个数（B错误）。数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大（C正确）。离原点远的负数反而小（D错误）。 4. 答案：B 解析：数轴上原点左侧的点表示负数，到原点的距离为5，所以这个数是-5。 5. 答案：A 解析：负数小于正数和0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。|-4| = 4，|-3| = 3，因为4 > 3，所以-4 < -3。其他选项-2 > -3，0 > -3，2 > -3。 填空题 1. 答案：左，2 解析：负数在原点左侧，-2的绝对值是2，所以到原点距离是2个单位长度。 2. 答案：左，< 解析：数轴上，负数在原点左侧，正数在原点右侧，所以-1.5在3的左侧，且-1.5 < 3。 3. 答案：2.3，-5 解析：将这些数排序：-5 < -3.7 < -1 < 0 < 1.5)< 2.3，所以最大的是2.3，最小的是-5。 4. 答案：1 解析：点B在点A（-3）右侧，距离4个单位长度，所以b = -3 + 4 = 1。 5. 答案：0（或1） 解析：比-1大且比2小的整数有0和1，写出其中一个即可。 解答题 1. 答案： （1）-4 < 1 < 5 解析：数轴上左边的数小于右边的数，-4在最左边，5在最右边。 （2）9 解析：数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，|5 - (-4)| = |5 + 4| = 9。 2. 答案： （1）-8 < -6 比较过程： 因为|-8| = 8，|-6| = 6。 且8 > 6。 所以-8 < -6。 （2）0.3 > - 比较过程： 因为0.3是正数，- 是负数。 正数大于负数。 所以0.3 > - 。 （3）- < -0.83 比较过程：|-| = ，|-0.83| = 0.83。 因为0.833... > 0.83。 所以- < -0.83。 3. 答案： （1）a = 2，b = -3 解析：因为a是正数且|a| = 2，所以a = 2；b是负数且|b| = 3，所以b = -3。 （2）表示数a的点在右边。a > b 解析：a = 2是正数，在数轴原点右侧；b = -3是负数，在数轴原点左侧。所以表示a的点在右边。正数大于负数，所以2 > -3即a > b。 4. 答案： （1）-3 < -1 < -0.5 < 0 < 4 解析：负数比较大小，绝对值大的反而小：|-3| = 3，|-1| = 1，|-0.5| = 0.5。因为3 > 1 > 0.5，所以-3 < -1 < -0.5。再按负数、0、正数的顺序排列。 （2）0，-0.5，4 解析：将各数与-1比较：-3 < -1，-1 = -1，-0.5 > -1，0 > -1，4 > -1。所以比-1大的数是0，-0.5，4。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2数轴 学习目标 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。 2. 能够正确地在数轴上表示有理数，理解数轴上的点与有理数的对应关系。 3. 掌握利用数轴比较有理数大小的方法，会比较两个或多个有理数的大小。 4. 通过数轴的学习，初步体会数形结合的数学思想。 知识点讲解 一、数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素： 1. 原点：在直线上取一个点表示数0，这个点叫做原点。 2. 正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。 3. 单位长度：选取适当的长度作为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…。 二、数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，0用原点表示。 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 三、利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 根据这个规定，可以得出以下结论： 1. 正数都大于0。 2. 负数都小于0。 3. 正数大于一切负数。 例题解析 例题1：在数轴上有A、B、C三点，分别表示数a、b、c。已知点A在原点左侧，且到原点的距离为3个单位长度；点B在原点右侧，且到原点的距离为个单位长度；点C在原点处。试写出a、b、c的值。 例题2：已知数轴上点M表示的数是m，点N表示的数是n。若点M在点N的左侧，试比较m与n的大小。 例题3：比较下列各组数的大小，并说明理由。 （1）-5和3 （2）0和-2.1 （3）-和-0.6 例题4：若数轴上有四个点，分别表示数2、-1、-4、1.5。将这些数按从小到大的顺序排列。 巩固练习 选择题 1. 数轴的三要素是指 A. 原点、正方向、长度单位 B. 起点、方向、单位长度 C. 原点、正方向、单位长度 D. 原点、反方向、单位长度 2. 在数轴上，原点及原点右侧的点所表示的数是 A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 3. 下列说法中，正确的是 A. 数轴上的点只能表示整数 B. 数轴上的一个点可以表示两个不同的数 C. 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 D. 数轴上离原点越远的点表示的数越大 4. 已知数a在数轴上所对应的点在原点的左侧，且到原点的距离为5，则a的值是 A.5 B.-5 C. D.- 5. 下列各数中，比-3小的数是 A.-4 B.-2 C.0 D.2 填空题 1. 在数轴上，表示数-2的点在原点的 ______ 侧，与原点的距离是 ______ 个单位长度。 2. 若数轴上点P表示的数是-1.5，点Q表示的数是3，则点P在点Q的 ______ 侧（填“左”或“右”），P、Q两点所表示的数的大小关系是-1.5______3（填“>”、“<”或“=”）。 3. 在数-5，2.3，0，-1，，-3.7中，最大的数是 ______，最小的数是 ______。 4. 数轴上有A、B两点，点A表示的数是-3，点B表示的数是b。如果点B在点A的右侧，且与点A的距离是4个单位长度，那么点B表示的数b是 ______。 5. 写出一个比-1大且比2小的整数：______。 解答题 1. 已知数轴上有三个点A、B、C，分别表示数-4、1、5。 （1）将A、B、C三点所表示的数按从小到大的顺序排列； （2）指出表示-4的点与表示5的点之间的距离是多少个单位长度（直接写出结果）。 2. 比较下列各组数的大小，并写出比较过程。 （1）-8和-6 （2）0.3和- （3）-和-0.83 3. 已知a是一个正数，b是一个负数，且|a| = 2，|b| = 3。 （1）写出a、b的值； （2）在数轴上，表示数a的点和表示数b的点哪个在右边？并比较a和b的大小。 4. 有五个数：-3，0，-0.5，4，-1。 （1）将这五个数按从小到大的顺序排列； （2）在这五个数中，找出所有比-1大的数。 学科网（北京）股份有限公司 $