1.1有理数的引入讲义2025-2026学年华东师大版（2024）数学七年级上册

有理数的引入 学习目标 1. 理解正数和负数的概念，能正确判断一个数是正数还是负数。 2. 会用正负数表示现实生活中具有相反意义的量。 3. 理解有理数的意义，能将有理数按要求进行分类。 4. 掌握有理数的两种基本分类方法，并能准确判断一个数属于哪一类。 知识点讲解 一、正数和负数 1. 相反意义的量：在现实生活中，存在着大量具有相反意义的量，如上升与下降、盈利与亏损、向东与向西、收入与支出等。这些量不仅有大小，还有方向（或性质）上的区别。 2. 正数的定义：像 +3、+1.5、+ 这样大于 0 的数叫做正数。“+”号读作“正”，通常情况下，正数前面的“+”号可以省略不写。例如，+3 可以写作 3，+1.5 可以写作 1.5。 3. 负数的定义：像 -3、-1.5、- 这样在正数前面加上“-”号的数叫做负数。“-”号读作“负”，负数前面的“-”号不能省略。 4. 0 的意义：0 既不是正数，也不是负数。0 是正数和负数的分界点，它表示一个具体的数量（如“0℃”表示一个特定的温度，“0 元”表示没有钱）。 5. 正负数的应用：在用正负数表示具有相反意义的量时，通常我们把其中一种意义的量规定为正，那么与它相反意义的量就规定为负。例如： · 若规定向东为正，则向西为负。 · 若规定收入为正，则支出为负。 · 若规定海平面以上为正，则海平面以下为负。 二、有理数 1. 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。 2. 有理数的分类： · 按定义分类： · 按性质分类： 3. 注意： · 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都是有理数。例如，0.5 = ，0.。 · 无限不循环小数不能化为分数，因此不是有理数（将在后续学习中介绍，如圆周率 π）。 · 所有整数都可以看作是分母为 1 的分数，例如 5 = ，-3 = 。 例题解析 例 1：用正数和负数表示下列具有相反意义的量。 （1）收入 5000 元记作 +5000 元，那么支出 2000 元记作什么？ （2）高于海平面 300 米记作 +300 米，那么低于海平面 120 米记作什么？ （3）向东走 50 米记作 +50 米，那么向西走 80 米记作什么？ 例 2：下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？ -3， 0， +5， -3.14， ， 10%， -0.， π 例 3：将下列有理数填入相应的集合内： -7， 0.32， ， 0， ， -， 1.010010001…， -5. 正有理数集合：{ ... } 负有理数集合：{ ... } 整数集合：{ ... } 分数集合：{ ... } 例 4：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）一个数不是正数就是负数。 （2）0 是最小的整数。 （3）分数都是有理数。 （4）正有理数和负有理数组成全体有理数。 巩固练习 一、选择题 1. 在 -2， 0， 1， 3 这四个数中，正数是 A. -2 B. 0 C. 1 D. 3 2. 如果向东走 10 米记作 +10 米，那么向西走 15 米应记作 A. +15 米 B. -15 米 C. +5 米 D. -5 米 3. 下列各数中，不是有理数的是 A. -3.14 B. 0 C. D. π 4. 下列说法正确的是 A. 正数和负数统称有理数 B. 0 是最小的有理数 C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数 D. 0 不是有理数 5. 下列分数中，属于负分数的是 A. B. - C. 5 D. 0 6. 下列说法中，正确的是 A. 一个数前面加上“-”号，这个数就是负数 B. 零既不是正数也不是负数 C. 有理数是由正数和负数组成的 D. 若 a 是正数，则 -a 不一定是负数 二、填空题 1. 若气温零上 5℃ 记作 +5℃，则零下 3℃ 记作________℃。 2. 小明家这个月的水电费支出为 280 元，记作 -280 元，那么他家这个月的工资收入 8000 元应记作________元。 3. 在数 -5， 2.3， 0， ， -3.14， 100， - 中， 整数有：________ 负数有：________ 4. 有理数中，最小的正整数是________，最大的负整数是________。 5. 把下列各数分别填入相应的大括号里： -4， ， 0， -0.5， 10， -， 3.14。 正整数集合：{ ________________________ ... } 负分数集合：{ ________________________ ... } 6. 如果规定前进为正，那么后退 5 米记作________米，原地不动记作________米。 三、解答题 1. 指出下列各数哪些是正数，哪些是负数，哪些是整数，哪些是分数，并将其中的有理数填入相应的集合中。 -1， 0.618， -3.14， 260， -2023， ， 0， -0.01001。 2. 用正负数表示下列各题中的数量： （1）某超市本月盈利 50000 元，上月亏损 3000 元。 （2）小明的妈妈在银行存入 10000 元，一个月后取出 2000 元。 （3）某地白天的最高气温是 18℃，夜间的最低气温是零下 5℃。 3. 下列说法是否正确？若不正确，请说明理由或举出反例。 （1）所有的整数都是正数。 （2）分数一定是有理数。 （3）没有最大的正数，但有最小的负数。 （4）0 是有理数，也是整数。 4. 某水库的正常水位为 0 米，记录表上有 5 次记录，分别是：+1.5， -3， 0， +5， -2.3。这 5 次记录表示的实际水位分别是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 有理数的引入 学习目标 1. 理解正数和负数的概念，能正确判断一个数是正数还是负数。 2. 会用正负数表示现实生活中具有相反意义的量。 3. 理解有理数的意义，能将有理数按要求进行分类。 4. 掌握有理数的两种基本分类方法，并能准确判断一个数属于哪一类。 知识点讲解 一、正数和负数 1. 相反意义的量：在现实生活中，存在着大量具有相反意义的量，如上升与下降、盈利与亏损、向东与向西、收入与支出等。这些量不仅有大小，还有方向（或性质）上的区别。 2. 正数的定义：像 +3、+1.5、+ 这样大于 0 的数叫做正数。“+”号读作“正”，通常情况下，正数前面的“+”号可以省略不写。例如，+3 可以写作 3，+1.5 可以写作 1.5。 3. 负数的定义：像 -3、-1.5、- 这样在正数前面加上“-”号的数叫做负数。“-”号读作“负”，负数前面的“-”号不能省略。 4. 0 的意义：0 既不是正数，也不是负数。0 是正数和负数的分界点，它表示一个具体的数量（如“0℃”表示一个特定的温度，“0 元”表示没有钱）。 5. 正负数的应用：在用正负数表示具有相反意义的量时，通常我们把其中一种意义的量规定为正，那么与它相反意义的量就规定为负。例如： · 若规定向东为正，则向西为负。 · 若规定收入为正，则支出为负。 · 若规定海平面以上为正，则海平面以下为负。 二、有理数 1. 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。 2. 有理数的分类： · 按定义分类： · 按性质分类： 3. 注意： · 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都是有理数。例如，0.5 = ，0.。 · 无限不循环小数不能化为分数，因此不是有理数（将在后续学习中介绍，如圆周率 π）。 · 所有整数都可以看作是分母为 1 的分数，例如 5 = ，-3 = 。 例题解析 例 1：用正数和负数表示下列具有相反意义的量。 （1）收入 5000 元记作 +5000 元，那么支出 2000 元记作什么？ （2）高于海平面 300 米记作 +300 米，那么低于海平面 120 米记作什么？ （3）向东走 50 米记作 +50 米，那么向西走 80 米记作什么？ 解析： （1）收入和支出是相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示。 支出 2000 元记作 -2000 元。 （2）高于海平面和低于海平面是相反意义的量，高于用正数表示，则低于用负数表示。 低于海平面 120 米记作 -120 米。 （3）向东和向西是相反意义的量，向东用正数表示，则向西用负数表示。 向西走 80 米记作 -80 米。 例 2：下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？ -3， 0， +5， -3.14， ， 10%， -0.， π 解析： 正数是大于 0 的数。 正数：+5， ， 10% 负数是在正数前面加“-”号的数（0 除外）。 负数：-3， -3.14， -0. 整数包括正整数、0 和负整数。 整数：-3， 0， +5 分数包括正分数和负分数，有限小数和无限循环小数也属于分数。 分数：-3.14， ， 10%， -0. 有理数是整数和分数的统称。π 是无限不循环小数，不是有理数。 有理数：-3， 0， +5， -3.14， ， 10%， -0. 例 3：将下列有理数填入相应的集合内： -7， 0.32， ， 0， ， -， 1.010010001…， -5. 正有理数集合：{ ... } 负有理数集合：{ ... } 整数集合：{ ... } 分数集合：{ ... } 解析： 首先，明确各集合的定义。正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。 = 2，是正整数。1.010010001… 是无限不循环小数，不是有理数。 正有理数集合：{ 0.32， ， ， ... } 负有理数集合：{ -7， -， -5， ... } 整数集合：{ -7， 0， ， -5， ... } 分数集合：{ 0.32， ， -， ... } 例 4：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）一个数不是正数就是负数。 （2）0 是最小的整数。 （3）分数都是有理数。 （4）正有理数和负有理数组成全体有理数。 解析： （1）错误。 理由：0 既不是正数也不是负数，所以一个数除了正数和负数，还可能是 0。 （2）错误。 理由：整数包括正整数、0 和负整数，负整数比 0 小，例如 -1 比 0 小，所以没有最小的整数。 （3）正确。 理由：有理数的定义就是整数和分数的统称，所以分数都是有理数。 （4）错误。 理由：全体有理数包括正有理数、0 和负有理数。0 也是有理数，但它既不是正有理数也不是负有理数。 巩固练习 一、选择题 1. 在 -2， 0， 1， 3 这四个数中，正数是 A. -2 B. 0 C. 1 D. 3 2. 如果向东走 10 米记作 +10 米，那么向西走 15 米应记作 A. +15 米 B. -15 米 C. +5 米 D. -5 米 3. 下列各数中，不是有理数的是 A. -3.14 B. 0 C. D. π 4. 下列说法正确的是 A. 正数和负数统称有理数 B. 0 是最小的有理数 C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数 D. 0 不是有理数 5. 下列分数中，属于负分数的是 A. B. - C. 5 D. 0 6. 下列说法中，正确的是 A. 一个数前面加上“-”号，这个数就是负数 B. 零既不是正数也不是负数 C. 有理数是由正数和负数组成的 D. 若 a 是正数，则 -a 不一定是负数 二、填空题 1. 若气温零上 5℃ 记作 +5℃，则零下 3℃ 记作________℃。 2. 小明家这个月的水电费支出为 280 元，记作 -280 元，那么他家这个月的工资收入 8000 元应记作________元。 3. 在数 -5， 2.3， 0， ， -3.14， 100， - 中， 整数有：________ 负数有：________ 4. 有理数中，最小的正整数是________，最大的负整数是________。 5. 把下列各数分别填入相应的大括号里： -4， ， 0， -0.5， 10， -， 3.14。 正整数集合：{ ________________________ ... } 负分数集合：{ ________________________ ... } 6. 如果规定前进为正，那么后退 5 米记作________米，原地不动记作________米。 三、解答题 1. 指出下列各数哪些是正数，哪些是负数，哪些是整数，哪些是分数，并将其中的有理数填入相应的集合中。 -1， 0.618， -3.14， 260， -2023， ， 0， -0.01001。 2. 用正负数表示下列各题中的数量： （1）某超市本月盈利 50000 元，上月亏损 3000 元。 （2）小明的妈妈在银行存入 10000 元，一个月后取出 2000 元。 （3）某地白天的最高气温是 18℃，夜间的最低气温是零下 5℃。 3. 下列说法是否正确？若不正确，请说明理由或举出反例。 （1）所有的整数都是正数。 （2）分数一定是有理数。 （3）没有最大的正数，但有最小的负数。 （4）0 是有理数，也是整数。 4. 某水库的正常水位为 0 米，记录表上有 5 次记录，分别是：+1.5， -3， 0， +5， -2.3。这 5 次记录表示的实际水位分别是多少？ 巩固练习答案 一、选择题 1. 答案：C，D 解析：大于 0 的数是正数。在 -2，0，1，3 中，1 和 3 是正数。 2. 答案：B 解析：向东为正，则向西为负，向西走 15 米记作 -15 米。 3. 答案：D 解析：π 是无限不循环小数，不是有理数；A、B、C 都是有理数。 4. 答案：C 解析：A 选项，有理数包括正数、0 和负数，故 A 错误；B 选项，没有最小的有理数，故 B 错误；C 选项，正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数，故 C 正确；D 选项，0 是有理数，故 D 错误。 5. 答案：B 解析：负分数是指小于 0 的分数。A 是正分数，C 是整数，D 是整数，B 是负分数。 6. 答案：B 解析：A 选项，-0 还是 0，不是负数，故 A 错误；B 选项，零既不是正数也不是负数，故 B 正确；C 选项，有理数包括正数、0 和负数，故 C 错误；D 选项，若 a 是正数，则 -a 一定是负数，故 D 错误。 二、填空题 1. 答案：-3 解析：零上为正，零下为负，所以零下 3℃ 记作 -3℃。 2. 答案：+8000（或 8000） 解析：支出为负，则收入为正，工资收入 8000 元记作 +8000 元（“+”可省略）。 3. 答案：整数有：-5， 0， 100；负数有：-5， -3.14， - 解析：整数包括正整数、0、负整数；负数是小于 0 的数。 4. 答案：1； -1 解析：有理数中，最小的正整数是 1，最大的负整数是 -1。 5. 答案：正整数集合：{ 10 ... }；负分数集合：{ -0.5， - ... } 解析：正整数是大于 0 的整数；负分数是小于 0 的分数。 6. 答案：-5； 0 解析：前进为正，后退为负，后退 5 米记作 -5 米；原地不动记作 0 米。 三、解答题 1. 答案： 正数：0.618， 260， ； 负数：-1， -3.14， -2023， -0.01001； 整数：-1， 260， -2023， 0； 分数：0.618， -3.14， ， -0.01001； 有理数集合：{ -1， 0.618， -3.14， 260， -2023， ， 0， -0.01001 ... } 解析： 正数是大于 0 的数；负数是小于 0 的数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数，有限小数和无限循环小数也属于分数；有理数是整数和分数的统称。所给各数均为有理数。 2. 答案： （1）本月盈利 50000 元记作 +50000 元（或 50000 元），上月亏损 3000 元记作 -3000 元。 （2）存入 10000 元记作 +10000 元（或 10000 元），取出 2000 元记作 -2000 元。 （3）最高气温 18℃ 记作 +18℃（或 18℃），最低气温零下 5℃ 记作 -5℃。 解析：根据题目中设定的正负意义进行表示，盈利、存入、零上为正；亏损、取出、零下为负。 3. 答案： （1）不正确。 理由：整数包括正整数、0 和负整数，例如 -1 是整数但不是正数。 （2）正确。 理由：有理数是整数和分数的统称，所以分数一定是有理数。 （3）不正确。 理由：没有最大的正数；也没有最小的负数，例如 -0.1 比 -1 大。 （4）正确。 理由：0 是整数，整数是有理数的一部分，所以 0 是有理数也是整数。 解析：根据整数、有理数、正数、负数的定义和性质进行判断。 4. 答案： 这5次记录表示的实际水位分别是： +1.5 米表示高于正常水位 1.5 米，即实际水位为 1.5 米； -3 米表示低于正常水位 3 米，即实际水位为 -3 米； 0 米表示等于正常水位，即实际水位为 0 米； +5 米表示高于正常水位 5 米，即实际水位为 5 米； -2.3 米表示低于正常水位 2.3 米，即实际水位为 -2.3 米。 解析：正常水位为 0 米，“+”表示高于正常水位，“-”表示低于正常水位，“0”表示等于正常水位。 学科网（北京）股份有限公司 $