1.1.2 有理数 讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

1.1.2有理数 学习目标 1. 理解有理数的意义，能识别有理数。 2. 掌握有理数的两种常见分类方法，并能对给定的有理数进行正确分类。 3. 深刻理解0在有理数中的特殊地位和意义。 4. 理解并掌握“非正数”、“非负数”、“非正整数”、“非负整数”等带有“非”字的有理数的含义，并能进行准确判断。 5. 培养分类讨论思想和数感，提高对数学概念的理解能力。 知识点讲解 一、有理数的定义 整数和分数统称为有理数。 · 整数：像 ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 这样的数称为整数。整数包括正整数、0和负整数。 · 分数：形如 (其中p、q是整数，且q ≠ 0) 的数称为分数。分数可以化为有限小数或无限循环小数。例如： (有限小数)， (无限循环小数)。 · 因此，有限小数和无限循环小数也属于有理数。 二、有理数的分类 有理数有两种常见的分类方法： · 按定义分类： · 按性质分类： 注意： · 0 是一个特殊的数，它既不是正数，也不是负数。 · 在进行分类时，要注意不重不漏。 三、0的意义 0 是有理数中一个非常重要且特殊的数，它具有以下意义： 1. 表示“没有”：例如，教室里有0个学生，表示教室里没有学生。 2. 表示“起点”：例如，在数轴上，0是正方向和负方向的起点；温度计上的0°C是零上温度和零下温度的分界点（但0°C不表示没有温度）。 3. 表示“分界”：0是正数和负数的分界点，它既不是正数也不是负数。 4. 在运算中的意义： · 0 与任何数相加，和仍为这个数。 · 任何数与 0 相乘，积都为 0。 · 0 不能作为除数。 四、带“非”字的有理数 在有理数的学习中，经常会遇到带有“非”字的描述，理解其含义至关重要： · 非正数：不是正数的数。即 0 和 负数。表示为： · 非负数：不是负数的数。即 0 和 正数。表示为： · 非正整数：不是正整数的整数。即 0 和 负整数。 · 非负整数：不是负整数的整数。即 0 和 正整数。（注意：非负整数也称为自然数） 理解技巧：“非”字表示“不”，“非A”就是“不是A”的所有数。例如“非正数”就是“不是正数的数”，那么就包括0和所有负数。 例题解析 例1：判断下列各数哪些是有理数，哪些不是有理数，并说明理由。 ， ， 0.1234， (圆周率)， (无限循环小数)， 例2：将下列各数分别填入相应的集合内： ， 0， ， ， 5， ， 3.14 正有理数集合：{　　　　　　　　　　　　…} 负有理数集合：{　　　　　　　　　　　　…} 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…} 分数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…} 例3：下列说法中，正确的是（　　） A. 0 是最小的有理数 B. 0 是最小的整数 C. 0 是最小的非负数 D. 0 是正数 例4：指出下列各数中，哪些是整数，哪些是分数，哪些是正数，哪些是负数，哪些是非正数，哪些是非负整数。 ， 0， ， ， 2023， ， 0.01 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确答案) 1. 下列各数中，不是有理数的是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 下列关于 0 的说法，错误的是（　　） A. 0 是有理数 B. 0 是非负数 C. 0 是最小的整数 D. 0 既不是正数也不是负数 3. 在有理数 ， 0， ， ， 2 中，非负有理数的个数是（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. “非负整数”是指（　　） A. 正整数和正分数 B. 正整数和 0 C. 负整数和 0 D. 0 和一切正数 5. 下列说法正确的是（　　） A. 有理数就是有限小数 B. 无限小数都是无理数 C. 分数不是有理数 D. 整数和分数统称为有理数 二、填空题 1. 把下列各数填入相应的横线上： ， 0.275， ， 0， ， ， ， 正整数：_________________________________ 负分数：_________________________________ 有理数：_________________________________ 2. 有理数可以分为 ____________ 和 ____________ 两大类；也可以分为 ____________、 ____________ 和 ____________ 三大类。 3. 最小的正整数是 ______，最大的负整数是 ______，最小的非负整数是 ______。 4. “不大于 3 的非负整数”是指 _________________________________。 5. 在数 ， 0， 0.2， ， 3 中，非负数有 _________________，非正整数有 _________________。 三、解答题 1. 把下列各数分别填入相应的集合中： ， ， ， ， 1， ， 0， ， 0.63， 正整数集合　　　　　负整数集合　　　　　正分数集合　　　　　负分数集合 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 所有的整数都是有理数。 (2) 所有的分数都是有理数。 (3) 0 是非负整数，也是非正整数。 (4) 一个有理数不是正数就是负数。 (5) 非负有理数是指正有理数和 0。 3. 写出所有符合下列条件的数： (1) 大于 的负整数； (2) 小于 4 的非负整数； (3) 在 和 3 之间的整数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2有理数 学习目标 1. 理解有理数的意义，能识别有理数。 2. 掌握有理数的两种常见分类方法，并能对给定的有理数进行正确分类。 3. 深刻理解0在有理数中的特殊地位和意义。 4. 理解并掌握“非正数”、“非负数”、“非正整数”、“非负整数”等带有“非”字的有理数的含义，并能进行准确判断。 5. 培养分类讨论思想和数感，提高对数学概念的理解能力。 知识点讲解 一、有理数的定义 整数和分数统称为有理数。 · 整数：像 ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 这样的数称为整数。整数包括正整数、0和负整数。 · 分数：形如 (其中p、q是整数，且q ≠ 0) 的数称为分数。分数可以化为有限小数或无限循环小数。例如： (有限小数)， (无限循环小数)。 · 因此，有限小数和无限循环小数也属于有理数。 二、有理数的分类 有理数有两种常见的分类方法： · 按定义分类： · 按性质分类： 注意： · 0 是一个特殊的数，它既不是正数，也不是负数。 · 在进行分类时，要注意不重不漏。 三、0的意义 0 是有理数中一个非常重要且特殊的数，它具有以下意义： 1. 表示“没有”：例如，教室里有0个学生，表示教室里没有学生。 2. 表示“起点”：例如，在数轴上，0是正方向和负方向的起点；温度计上的0°C是零上温度和零下温度的分界点（但0°C不表示没有温度）。 3. 表示“分界”：0是正数和负数的分界点，它既不是正数也不是负数。 4. 在运算中的意义： · 0 与任何数相加，和仍为这个数。 · 任何数与 0 相乘，积都为 0。 · 0 不能作为除数。 四、带“非”字的有理数 在有理数的学习中，经常会遇到带有“非”字的描述，理解其含义至关重要： · 非正数：不是正数的数。即 0 和 负数。表示为： · 非负数：不是负数的数。即 0 和 正数。表示为： · 非正整数：不是正整数的整数。即 0 和 负整数。 · 非负整数：不是负整数的整数。即 0 和 正整数。（注意：非负整数也称为自然数） 理解技巧：“非”字表示“不”，“非A”就是“不是A”的所有数。例如“非正数”就是“不是正数的数”，那么就包括0和所有负数。 例题解析 例1：判断下列各数哪些是有理数，哪些不是有理数，并说明理由。 ， ， 0.1234， (圆周率)， (无限循环小数)， 解析： 有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数也是有理数。 是整数，所以是有理数。 是分数，所以是有理数。 0.1234 是有限小数，可化为分数，所以是有理数。 是无限不循环小数，不能化为分数，所以不是有理数。 是无限循环小数，可化为分数，所以是有理数。 是无限不循环小数，不能化为分数，所以不是有理数。 答案：有理数有：， ， 0.1234， ；不是有理数的有：， 。 例2：将下列各数分别填入相应的集合内： ， 0， ， ， 5， ， 3.14 正有理数集合：{　　　　　　　　　　　　…} 负有理数集合：{　　　　　　　　　　　　…} 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…} 分数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…} 解析： 正有理数包括正整数和正分数。 负有理数包括负整数和负分数。 整数包括正整数、0、负整数。 分数包括正分数和负分数（有限小数和无限循环小数都可以化为分数）。 正有理数集合：{， 5， 3.14， …} 负有理数集合：{， ， ， …} 整数集合：{， 0， 5， …} 分数集合：{， ， ， 3.14， …} 答案： 正有理数集合：{， 5， 3.14} 负有理数集合：{， ， } 整数集合：{， 0， 5} 分数集合：{， ， ， 3.14} 例3：下列说法中，正确的是（　　） A. 0 是最小的有理数 B. 0 是最小的整数 C. 0 是最小的非负数 D. 0 是正数 解析： A. 有理数包括负有理数，例如 -1 比 0 小，所以 0 不是最小的有理数。A 错误。 B. 整数包括负整数，例如 -1 比 0 小，所以 0 不是最小的整数。B 错误。 C. 非负数是指 0 和正数，0 是最小的非负数。C 正确。 D. 0 既不是正数也不是负数。D 错误。 答案：C 例4：指出下列各数中，哪些是整数，哪些是分数，哪些是正数，哪些是负数，哪些是非正数，哪些是非负整数。 ， 0， ， ， 2023， ， 0.01 解析： 整数：， 0， 2023 (整数包括正整数、0、负整数) 分数：， ， ， 0.01 (分数包括正分数和负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数) 正数：， 2023， 0.01 (大于 0 的数) 负数：， ， (小于 0 的数) 非正数：， 0， ， (不是正数的数，即 0 和负数) 非负整数：0， 2023 (不是负整数的整数，即 0 和正整数) 答案： 整数：， 0， 2023 分数：， ， ， 0.01 正数：， 2023， 0.01 负数：， ， 非正数：， 0， ， 非负整数：0， 2023 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确答案) 1. 下列各数中，不是有理数的是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 下列关于 0 的说法，错误的是（　　） A. 0 是有理数 B. 0 是非负数 C. 0 是最小的整数 D. 0 既不是正数也不是负数 3. 在有理数 ， 0， ， ， 2 中，非负有理数的个数是（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. “非负整数”是指（　　） A. 正整数和正分数 B. 正整数和 0 C. 负整数和 0 D. 0 和一切正数 5. 下列说法正确的是（　　） A. 有理数就是有限小数 B. 无限小数都是无理数 C. 分数不是有理数 D. 整数和分数统称为有理数 二、填空题 1. 把下列各数填入相应的横线上： ， 0.275， ， 0， ， ， ， 正整数：_________________________________ 负分数：_________________________________ 有理数：_________________________________ 2. 有理数可以分为 ____________ 和 ____________ 两大类；也可以分为 ____________、 ____________ 和 ____________ 三大类。 3. 最小的正整数是 ______，最大的负整数是 ______，最小的非负整数是 ______。 4. “不大于 3 的非负整数”是指 _________________________________。 5. 在数 ， 0， 0.2， ， 3 中，非负数有 _________________，非正整数有 _________________。 三、解答题 1. 把下列各数分别填入相应的集合中： ， ， ， ， 1， ， 0， ， 0.63， 正整数集合　　　　　负整数集合　　　　　正分数集合　　　　　负分数集合 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 所有的整数都是有理数。 (2) 所有的分数都是有理数。 (3) 0 是非负整数，也是非正整数。 (4) 一个有理数不是正数就是负数。 (5) 非负有理数是指正有理数和 0。 3. 写出所有符合下列条件的数： (1) 大于 的负整数； (2) 小于 4 的非负整数； (3) 在 和 3 之间的整数。 巩固练习答案 一、选择题 1. D 解析：有理数包括整数和分数，有限小数和无限循环小数也属于有理数。是有限小数，0是整数，是分数，它们都是有理数。是无限不循环小数，不是有理数。故选 D。 2. C 解析：0 是有理数，A 正确；0 是非负数（非负数包括 0 和正数），B 正确；整数包括负整数，没有最小的整数，C 错误；0 既不是正数也不是负数，D 正确。故选 C。 3. C 解析：非负有理数是指 0 和正有理数。在给出的数中，0，，2 是非负有理数，共 3 个。故选 C。 4. B 解析：“非负整数”就是“不是负整数的整数”，即 0 和正整数。故选 B。 5. D 解析：有理数包括整数和分数，整数不是小数，A 错误；无限循环小数是有理数，无限不循环小数才是无理数，B 错误；分数是有理数，C 错误；整数和分数统称为有理数，D 正确。故选 D。 二、填空题 1. 正整数： 负分数：， 有理数：， 0.275， ， 0， ， ， ， 解析：正整数是指大于 0 的整数；负分数是指小于 0 的分数；所给数均为有理数。 2. 整数，分数；正有理数，0，负有理数 解析：这是有理数的两种基本分类方法。 3. 1， ， 0 解析：最小的正整数是 1；最大的负整数是 -1；最小的非负整数是 0。 4. 0，1，2，3 解析：“不大于 3”即 ，“非负整数”即 0 和正整数，所以是 0，1，2，3。 5. 0， 0.2， ， 3； ， 0 解析：非负数包括 0 和正数，所以是 0，0.2，，3；非正整数包括 0 和负整数，所以是 -1，0。 三、解答题 1. 正整数集合：{， 1} 负整数集合：{， ， } (注：题目所给数中负整数为 ， ) 正分数集合：{， ， 0.63} 负分数集合：{， } 解析：按各自定义进行分类。正整数是大于 0 的整数；负整数是小于 0 的整数；正分数是大于 0 的分数；负分数是小于 0 的分数。 2. (1)正确。理由：整数和分数统称为有理数，所以所有整数都是有理数。 (2)正确。理由：整数和分数统称为有理数，所以所有分数都是有理数。 (3)正确。理由：0 是整数，0 既不是正数也不是负数，所以 0 是非负整数（0 和正整数），也是非正整数（0 和负整数）。 (4)错误。理由：0 是有理数，但 0 既不是正数也不是负数。所以一个有理数可能是正数、负数或 0。 (5)正确。理由：非负有理数是指不是负有理数的有理数，即正有理数和 0。 3. (1) 大于 的负整数是：， ， ， 。 解析：负整数是小于 0 的整数，大于 -5 的负整数有 -4，-3，-2，-1。 (2) 小于 4 的非负整数是：0， 1， 2， 3。 解析：非负整数是 0 和正整数，小于 4 的有 0，1，2，3。 (3) 在 和 3 之间的整数是：， 0， 1， 2。 解析：直接找出位于 -2 和 3 这两个数之间的所有整数。 学科网（北京）股份有限公司 $