1.1.1正数和负数讲义2025-2026学年华东师大版（2024）数学七年级上册

1.1.1正数和负数 学习目标 1. 理解正数和负数的意义，能正确判断一个数是正数还是负数。 2. 会用正数和负数表示日常生活中具有相反意义的量。 3. 知道0既不是正数也不是负数，了解0在实际问题中的意义。 4. 初步掌握正负数在实际生活中的一些简单应用。 知识点讲解 一、正数和负数的定义 我们在小学阶段已经学习了自然数（如0, 1, 2, 3, ...）和分数（如, , 0.5, 1.2等）。这些数在表示一些特定的量时是足够的，例如物体的个数、长度、重量等。 但是，在实际生活中，我们还会遇到一些具有相反意义的量。例如，温度有零上和零下之分，海拔高度有高于海平面和低于海平面之分，方向有向东和向西之分，经营情况有盈利和亏损之分。为了区分这些具有相反意义的量，我们引入了正数和负数的概念。 1. 正数：像+1, +2, +3, +, +0.5这样大于0的数叫做正数。“+”号读作“正”，通常情况下，正数前面的“+”号可以省略不写。例如，+5可以写作5，+可以写作。 2. 负数：像-1, -2, -3, -, -0.5这样在正数前面加上“-”号的数叫做负数。“-”号读作“负”，负数前面的“-”号不能省略。 3. 0的意义：0既不是正数，也不是负数。0是正数和负数的分界点。它可以表示“没有”，也可以表示某个具体的基准量，例如0℃不是没有温度，而是一个特定的温度。 二、相反意义的量 1. 定义：在日常生活中，我们常常会遇到一些意义相反的量，例如： · 向东走5米和向西走3米； · 收入100元和支出50元； · 水位上升2米和水位下降1米； · 零上5℃和零下3℃。 这些例子中的两个量，都具有相反的意义，我们把这样的量叫做具有相反意义的量。 2. 表示方法：为了清晰地表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用正数来表示，那么与它意义相反的另一个量就规定为负的，用负数来表示。 例如： · 规定向东为正，那么向东走5米记作+5米（或5米），向西走3米记作-3米。 · 规定收入为正，那么收入100元记作+100元（或100元），支出50元记作-50元。 注意： · 具有相反意义的量，必须是同类量，并且它们的单位相同。 · 对于两个具有相反意义的量，哪一个规定为正，哪一个规定为负，并不是固定不变的，通常是根据实际情况和习惯来确定的。但一旦规定，就必须遵循这个规定。 三、正负数的实际应用 正数和负数在我们的日常生活和生产实践中有着广泛的应用。 1. 天气预报：天气预报中，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示。例如，北京某天的气温是-3℃~5℃，表示这天的最低气温是零下3摄氏度，最高气温是零上5摄氏度。 2. 海拔高度：通常把海平面的海拔高度规定为0米，高于海平面的高度用正数表示，低于海平面的高度用负数表示。例如，珠穆朗玛峰的海拔高度约为+8848.86米（或8848.86米），吐鲁番盆地的海拔高度约为-155米。 3. 误差范围：产品的尺寸、重量等在生产过程中会有一定的误差。例如，一袋大米上标有“5kg±0.1kg”，表示这袋大米的标准重量是5kg，实际重量在5kg - 0.1kg = 4.9kg到5kg + 0.1kg = 5.1kg之间。这里的“+0.1kg”表示比标准重量多0.1kg，“-0.1kg”表示比标准重量少0.1kg。 4. 增长率（降低率）：在经济领域，增长率可以用正数表示，负的增长率表示降低。例如，某公司今年的利润比去年增长了5%，可以表示为+5%；如果利润比去年减少了2%，可以表示为-2%。 例题解析 例题1：判断下列各数哪些是正数，哪些是负数。 +6， -8， 75， 0， -0.4， ， -， 9.15 解析：大于0的数是正数，在正数前面加上“-”号的数是负数，0既不是正数也不是负数。 答案： 正数：+6， 75， ， 9.15 负数：-8， -0.4， - 例题2：用正数或负数表示下列具有相反意义的量。 （1）某人向东走30米，记作+30米，那么向西走40米记作什么？ （2）某仓库昨天运进货物5吨，记作+5吨，那么昨天运出货物8吨记作什么？ （3）如果水位上升2米记作+2米，那么水位下降1.5米记作什么？ （4）如果产量减少3%记作-3%，那么产量增加5%记作什么？ 解析：题目中已经规定了其中一个量为正，那么与其意义相反的量就用负数表示。 答案： （1）向西走40米记作-40米。 （2）运出货物8吨记作-8吨。 （3）水位下降1.5米记作-1.5米。 （4）产量增加5%记作+5%（或5%）。 例题3：说明下列语句中“+”、“-”号的意义： （1）在某次知识竞赛中，A队加10分，B队扣10分。 （2）小明家这个月的收入是+5000元，支出是-2000元。 解析：这里的“+”、“-”号用来表示具有相反意义的量，“+”通常表示“增加”、“收入”等，“-”通常表示“减少”、“支出”、“扣除”等。 答案： （1）“+10分”表示A队得分增加10分；“-10分”表示B队得分减少10分（或扣除10分）。 （2）“+5000元”表示小明家这个月收入5000元；“-2000元”表示小明家这个月支出2000元。 例题4：某地区12月份某天的气温为-2℃~6℃，求这天的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ 解析：最高气温是6℃，最低气温是-2℃。求两者相差多少，用最高气温减去最低气温。 答案： 6 - (-2) = 6 + 2 = 8 (℃) 答：这天的最高气温与最低气温相差8摄氏度。 巩固练习 一、选择题 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. -(-3) B. -|-3| C. D. |-3| 2. 下列说法正确的是（ ） A. 零是正数 B. 零是负数 C. 零既不是正数也不是负数 D. 零既是正数也是负数 3. 如果规定收入为正，那么支出-50元表示（ ） A. 收入50元 B. 支出50元 C. 收入-50元 D. 支出-50元 4. 下列各组量中，不是具有相反意义的量的是（ ） A. 向东走5米和向西走3米 B. 上升2米和下降1米 C. 超过0.5mm和不足0.3mm D. 长大1岁和减少1公斤 5. 在-2， +， 0， -0.7， 3.14中，正数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 1. 若把顺时针旋转90°记作-90°，那么逆时针旋转60°记作______。 2. 高于海平面120米记作+120米，那么低于海平面80米记作______米。 3. 在数-3， 0， 5， -， +3.2， -1中，正数有______，负数有______。 4. 最小的正整数是______，最大的负整数是______。 5. 某商店本月盈利5000元记作+5000元，那么上月亏损2000元应记作______元。 三、解答题 1. 某水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度。（规定初始水位为0，上涨为正） 时间/小时 0 1 2 3 4 5 水位高度/米 0 +0.3 +0.6 +0.9 +1.2 +1.5 （1）在这5小时内，水位每小时平均上涨多少米？ （2）如果水位按照这个速度继续上涨，那么再过2小时，水位高度将达到多少米？ 2. 某检修小组乘一辆汽车沿一条东西方向的公路检修线路，约定向东为正。从出发点出发到收工时，行走记录如下（单位：千米）： +15， -2， +5， -1， +10， -3， -2， +12， +4， -5， +6 （1）收工时，检修小组在出发点的什么方向？距离出发点多远？ （2）若汽车每千米耗油0.1升，求从出发到收工共耗油多少升？ 3. 请你举出三个生活中应用正数和负数的例子，并说明其中正负数表示的意义。 巩固练习答案 一、选择题 1. B 解析：A选项，-(-3) = 3，是正数；B选项，-|-3| = -3，是负数；C选项，(-3)^2 = 9，是正数；D选项，|-3| = 3，是正数。故选B。 2. C 解析：零既不是正数也不是负数，这是规定。故选C。 3. A 解析：规定收入为正，则支出为负。支出-50元表示与“支出”相反的意义，即收入50元。故选A。 4. D 解析：A、B、C选项中的两个量都具有相反的意义。D选项中“长大1岁”和“减少1公斤”所描述的不是同一类量，不具有相反意义。故选D。 5. B 解析：正数是大于0的数，在给出的数中，+和3.14是正数，共2个。故选B。 二、填空题 1. +60°（或60°） 解析：顺时针为负，则逆时针为正，所以逆时针旋转60°记作+60°。 2. -80 解析：高于海平面为正，低于海平面则为负，所以低于海平面80米记作-80米。 3. 5， +3.2； -3， -， -1 解析：正数是大于0的数，负数是在正数前面加“-”号的数，0既不是正数也不是负数。所以正数有5， +3.2；负数有-3， -， -1。 4. 1； -1 解析：正整数是1，2，3，...，所以最小的正整数是1；负整数是-1，-2，-3，...，所以最大的负整数是-1。 5. -2000 解析：盈利为正，则亏损为负，上月亏损2000元应记作-2000元。 三、解答题 1. 解： （1）5小时内水位共上涨了1.5米。 每小时平均上涨高度 = 总上涨高度 ÷ 时间 1.5 ÷ 5 = 0.3 (米) 答：水位每小时平均上涨0.3米。 （2）再过2小时上涨的高度 = 每小时上涨高度 × 2 0.3 × 2 = 0.6 (米) 此时的水位高度 = 当前水位高度 + 再上涨高度 1.5 + 0.6 = 2.1 (米) 答：再过2小时，水位高度将达到2.1米。 2. 解： （1）将所有行走记录相加，得到： 15 + (-2) = 13 13 + 5 = 18 18 + (-1) = 17 17 + 10 = 27 27 + (-3) = 24 24 + (-2) = 22 22 + 12 = 34 34 + 4 = 38 38 + (-5) = 33 33 + 6 = 39 (千米) 结果为正，表示在出发点的东方。 答：收工时，检修小组在出发点的东方，距离出发点39千米。 （2）汽车行驶的总路程为所有行走记录的绝对值之和： |+15| + |-2| = 15 + 2 = 17 17 + |+5| = 17 + 5 = 22 22 + |-1| = 22 + 1 = 23 23 + |+10| = 23 + 10 = 33 33 + |-3| = 33 + 3 = 36 36 + |-2| = 36 + 2 = 38 38 + |+12| = 38 + 12 = 50 50 + |+4| = 50 + 4 = 54 54 + |-5| = 54 + 5 = 59 59 + |+6| = 59 + 6 = 65 (千米) 总耗油量 = 总路程 × 每千米耗油量 65 × 0.1 = 6.5 (升) 答：从出发到收工共耗油6.5升。 3. 解：（以下为三个例子，学生答案合理即可） 例子1：温度计量。零上5℃记作+5℃，零下5℃记作-5℃。这里正数表示零上温度，负数表示零下温度。 例子2：银行存折。存入1000元记作+1000元，支出500元记作-500元。这里正数表示存入，负数表示支出。 例子3：电梯楼层。地上3层记作+3层，地下2层记作-2层。这里正数表示地上楼层，负数表示地下楼层。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1正数和负数 学习目标 1. 理解正数和负数的意义，能正确判断一个数是正数还是负数。 2. 会用正数和负数表示日常生活中具有相反意义的量。 3. 知道0既不是正数也不是负数，了解0在实际问题中的意义。 4. 初步掌握正负数在实际生活中的一些简单应用。 知识点讲解 一、正数和负数的定义 我们在小学阶段已经学习了自然数（如0, 1, 2, 3, ...）和分数（如, , 0.5, 1.2等）。这些数在表示一些特定的量时是足够的，例如物体的个数、长度、重量等。 但是，在实际生活中，我们还会遇到一些具有相反意义的量。例如，温度有零上和零下之分，海拔高度有高于海平面和低于海平面之分，方向有向东和向西之分，经营情况有盈利和亏损之分。为了区分这些具有相反意义的量，我们引入了正数和负数的概念。 1. 正数：像+1, +2, +3, +, +0.5这样大于0的数叫做正数。“+”号读作“正”，通常情况下，正数前面的“+”号可以省略不写。例如，+5可以写作5，+可以写作。 2. 负数：像-1, -2, -3, -, -0.5这样在正数前面加上“-”号的数叫做负数。“-”号读作“负”，负数前面的“-”号不能省略。 3. 0的意义：0既不是正数，也不是负数。0是正数和负数的分界点。它可以表示“没有”，也可以表示某个具体的基准量，例如0℃不是没有温度，而是一个特定的温度。 二、相反意义的量 1. 定义：在日常生活中，我们常常会遇到一些意义相反的量，例如： · 向东走5米和向西走3米； · 收入100元和支出50元； · 水位上升2米和水位下降1米； · 零上5℃和零下3℃。 这些例子中的两个量，都具有相反的意义，我们把这样的量叫做具有相反意义的量。 2. 表示方法：为了清晰地表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用正数来表示，那么与它意义相反的另一个量就规定为负的，用负数来表示。 例如： · 规定向东为正，那么向东走5米记作+5米（或5米），向西走3米记作-3米。 · 规定收入为正，那么收入100元记作+100元（或100元），支出50元记作-50元。 注意： · 具有相反意义的量，必须是同类量，并且它们的单位相同。 · 对于两个具有相反意义的量，哪一个规定为正，哪一个规定为负，并不是固定不变的，通常是根据实际情况和习惯来确定的。但一旦规定，就必须遵循这个规定。 三、正负数的实际应用 正数和负数在我们的日常生活和生产实践中有着广泛的应用。 1. 天气预报：天气预报中，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示。例如，北京某天的气温是-3℃~5℃，表示这天的最低气温是零下3摄氏度，最高气温是零上5摄氏度。 2. 海拔高度：通常把海平面的海拔高度规定为0米，高于海平面的高度用正数表示，低于海平面的高度用负数表示。例如，珠穆朗玛峰的海拔高度约为+8848.86米（或8848.86米），吐鲁番盆地的海拔高度约为-155米。 3. 误差范围：产品的尺寸、重量等在生产过程中会有一定的误差。例如，一袋大米上标有“5kg±0.1kg”，表示这袋大米的标准重量是5kg，实际重量在5kg - 0.1kg = 4.9kg到5kg + 0.1kg = 5.1kg之间。这里的“+0.1kg”表示比标准重量多0.1kg，“-0.1kg”表示比标准重量少0.1kg。 4. 增长率（降低率）：在经济领域，增长率可以用正数表示，负的增长率表示降低。例如，某公司今年的利润比去年增长了5%，可以表示为+5%；如果利润比去年减少了2%，可以表示为-2%。 例题解析 例题1：判断下列各数哪些是正数，哪些是负数。 +6， -8， 75， 0， -0.4， ， -， 9.15 例题2：用正数或负数表示下列具有相反意义的量。 （1）某人向东走30米，记作+30米，那么向西走40米记作什么？ （2）某仓库昨天运进货物5吨，记作+5吨，那么昨天运出货物8吨记作什么？ （3）如果水位上升2米记作+2米，那么水位下降1.5米记作什么？ （4）如果产量减少3%记作-3%，那么产量增加5%记作什么？ 例题3：说明下列语句中“+”、“-”号的意义： （1）在某次知识竞赛中，A队加10分，B队扣10分。 （2）小明家这个月的收入是+5000元，支出是-2000元。 例题4：某地区12月份某天的气温为-2℃~6℃，求这天的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ 巩固练习 一、选择题 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. -(-3) B. -|-3| C. D. |-3| 2. 下列说法正确的是（ ） A. 零是正数 B. 零是负数 C. 零既不是正数也不是负数 D. 零既是正数也是负数 3. 如果规定收入为正，那么支出-50元表示（ ） A. 收入50元 B. 支出50元 C. 收入-50元 D. 支出-50元 4. 下列各组量中，不是具有相反意义的量的是（ ） A. 向东走5米和向西走3米 B. 上升2米和下降1米 C. 超过0.5mm和不足0.3mm D. 长大1岁和减少1公斤 5. 在-2， +， 0， -0.7， 3.14中，正数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 1. 若把顺时针旋转90°记作-90°，那么逆时针旋转60°记作______。 2. 高于海平面120米记作+120米，那么低于海平面80米记作______米。 3. 在数-3， 0， 5， -， +3.2， -1中，正数有______，负数有______。 4. 最小的正整数是______，最大的负整数是______。 5. 某商店本月盈利5000元记作+5000元，那么上月亏损2000元应记作______元。 三、解答题 1. 某水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度。（规定初始水位为0，上涨为正） 时间/小时 0 1 2 3 4 5 水位高度/米 0 +0.3 +0.6 +0.9 +1.2 +1.5 （1）在这5小时内，水位每小时平均上涨多少米？ （2）如果水位按照这个速度继续上涨，那么再过2小时，水位高度将达到多少米？ 2. 某检修小组乘一辆汽车沿一条东西方向的公路检修线路，约定向东为正。从出发点出发到收工时，行走记录如下（单位：千米）： +15， -2， +5， -1， +10， -3， -2， +12， +4， -5， +6 （1）收工时，检修小组在出发点的什么方向？距离出发点多远？ （2）若汽车每千米耗油0.1升，求从出发到收工共耗油多少升？ 3. 请你举出三个生活中应用正数和负数的例子，并说明其中正负数表示的意义。 学科网（北京）股份有限公司 $