2.1 认识有理数 同步练习 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

第一节 认识有理数 一、思维导图 二、知识梳理 1.正数和负数的概念 大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数 2.正负数表示具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 3.有理数的相关概念 （1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 （2）分数：正分数、负分数统称为分数。 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 （3）有理数：整数和分数统称为有理数。 （4）有理数的两种分类： 4.数轴 （1）数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 （2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 （3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向（原点左边或右边）。 5.相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简） 6.绝对值 （1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 （3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或 4绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即： 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 三、夯实基础 （一）选择题 1.在有理数，，，，，，中，负分数有(     ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.下列各组数中，相等的一组是(     ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和  3.如图，若点，，所对应的数为，，，则下列大小关系正确的是(     ) A. B. C. D. 4.下列关系一定成立的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5.下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数； B．分数包括正分数、负分数和零； C．有理数分为正有理数、负有理数和零； D．整数包括正整数和负整数． 6.我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谛语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升记作，那么傍晚温度下降记作（   ） A． B． C． D． 7.下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 8.一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为下列选项中错误的是(     ) A. 表示数在数轴上的对应点与原点的距离 B.若满足时，则的值是或 C. 表示、在数轴上对应的两点之间的距离 D. 、分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为，则、两点之间的距离为 （二）填空题 9.化简的结果是 ． 10. 的绝对值是 ，的相反数是 ． 11.比较大小 （填“>”“<”或“=”） 12.如图，在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是5，点P在数轴上，若，则点P表示的数是 ．    13. 若和互为相反数，则           ． 14. 如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字           的点与数轴上表示的点重合． 15. 已知，，且，则的值为           ． （三）解答题 16.将下列各数填入相应的大括号内． ，，，，，，，，， 正数集合： ； 负数集合： ； 整数集合： ； 分数集合： ． 17.河北某交警每天都开车在南北走向的鼓楼大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下（单位：）： ，，，，，，． (1)这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？ (2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？ 18.已知一组数：，，，，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 四、拓展提升 （一）选择题 1.如果，那么的值为(     ) A. B. C. D. 2.如图，直径为个单位长度的圆从点点在数轴上表示的数是沿数轴向右滚动一周后到达点，则点表示的数是(     ) A. B. C. D. 3.一只跳蚤在一数轴上从原点开始，第次向右跳个单位长度，紧接着第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，所在位置表示的数是    A. B. C. D. 4.一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且，则点表示的数是(    ) A. B. C. D. 5.如果，，且，则的值等于(     ) A. B. C. 或 D. 或 6.已知，则的取值不可能是(     ) A. B. C. D. （二）填空题 7.已知为有理数，则的最小值为 ． 8.若，则 ， ． 9.在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 10. 数轴上点和点表示的数分别是和，点到，两点的距离之和为，则点表示的数是          ． 11.的最小值为          ． 12. 在一条可以折叠的数轴上，，表示的数分别是，，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是_________． （三）解答题 13.如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．  (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 14.根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点在数轴位置如图所示，则到点的距离为4的点表示的数是______． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是______．若此数轴上两点之间的距离为2023（在的左侧）．且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是______，点表示的数是______． (3)在数轴上，到三点距离之和为12，求点对应数轴上的有理数． 15.综合与探究，数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 16.对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（a≠b且），点是的中点，在数轴上表示的数是． (1)①若是的“正比数”，，则__________； ②若是的“反比数”，，则__________； (2)若，e是的“反比数”，求； (3)若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一节 认识有理数 参考答案： 三、夯实基础 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B D C B B C 9. ; 10. 3 , ; 11. ； 12. 1； 13.   ； 14.   ； 15. 或  ； 16.正数集合：，，，， ； 负数集合： ，，， ； 整数集合：，，，， ； 分数集合：，，， ． 17.（1）解：由题意得 ，，，，，，， ， 最后一个路段行车里程最远为． （2）解：由题意得 （）； 答：这天下午汽车共耗油升. 18.（1）解：，， 这些数在数轴上的表示如下图所示： （2）解：由（1）中数轴得：． 四、拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B D C B 7. 4; 8. , ; 9. ，或; 10. 或  ； 11.   ；12.  ； 13.（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， 又∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 点P运动t秒的长度为， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：． （2）设点运动秒时追上点， 根据题意，得，         解得：，                        答：当点运动秒时，点与点相遇． 14.（1）解：观察数轴可知：点A、B、C表示的数分别是2，， 与点A的距离为4的点表示的数是或． 故答案为：6或； （2）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴与自身对称的点表示的数为：， ∴与点B重合的点表示的数是：； ∴M表示的数是：， N表示的数是：． 故答案为：1，，； （3）解：当在之间，， 不可能等于12， 当在点右侧时，， 解得， ∴点对应的有理数是3， 当在点左侧时，， 解得， ∴点对应的有理数是， ∴点对应的有理数是3或． 15.（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3； …， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时， ， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， 可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知， ， 则折点所表示的数为1． 因为， 所以表示5的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同， 所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013． 故答案为：，1013． ③由折叠可知， ， 因为点M、N表示的数分别是、8， 所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3， 所以． 因为，， 所以点P表示的数为． 故答案为：． 16.（1）解：①∵是的“正比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵是的“反比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，e是的“反比数”， ∴， 解得：， ∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， 解得：或． （3）解：∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， ∵， ∴当e是a的“正比数”时，， 即， 解得：， ∴， 解得：或； 当e是b的“正比数”时，， 即， ∴， 解得：或； 综上分析可知，b的值为6或或或． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $