精品解析：河北省张家口市沙城中学2024-2025学年上学期九年级数学上册期末学业质量监测卷

2024-2025学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 求解即可； 【详解】解：二次函数的顶点式 的顶点坐标为 所以抛物线 的顶点坐标为 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的特点；熟知二次函数顶点式的顶点坐标是解题的关键． 3. 已知的半径长为2，若，则可以得到的正确图形可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可． 【详解】解：的半径长为2，若， ， 点在圆外， 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到直线的距离和圆的半径的大小关系，难度不大． 4. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选B． 5. 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，若矩形的面积为6，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数在其他学科中的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．由矩形的面积可得反比例函数的系数，即可得到答案． 【详解】解：矩形的面积为6， ， ， 故选：C 6. 如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形ABCD与四边形的面积比为（ ） A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】位似图形面积比为相似比的平方，故四边形ABCD与四边形的面积比为4：9． 【详解】已知四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形 ∵ ∴四边形ABCD与四边形的面积比为4：9． 故答案选：A． 【点睛】本题考查了位似图形，位似图形属于相似多边形，相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于多边形的相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方． 7. 如图，已知点O是的外心，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决问题的关键． 根据O是的外心，得到，由等腰三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可得到结果． 【详解】解：点为的外心， ， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 9. 已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据题意可得函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 11. 黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，枫叶的叶脉长为，B为线段上一点，且满足，则称点B为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的性质可得：， ∴， ∴， 故选：A． 12. 如图，抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时，一定有y随x的增大而增大 C. D. 若点C的坐标为，则点D的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，有两个不相等的实数根，根据，可判断A的正误；取抛物线顶点横坐标为，由二次函数的性质可知，时，y随x的增大而减小，可判断B的正误；由题意知，，抛物线的顶点坐标为，则，，求的取值范围，可判断C的正误；令，设点D的坐标为，则， 由根与系数的关系可得，，，则，求，可判断D的正误． 【详解】解：由图可知，有两个不相等的实数根， ∴，A错误，故不符合要求； 取抛物线顶点横坐标为，由二次函数的性质可知，时，y随x的增大而减小，B错误，故不符合要求； 由题意知，，抛物线的顶点坐标为， ∴，， 即，， ∴，C错误，故不符合要求； 令，设点D的坐标为，则， 由根与系数的关系可得，，， ∴， 解得，即， ∴点D的坐标为，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，根与系数的关系，不等式的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键． 将代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴， 解得：； 故答案为：． 14. 如图，在反比例函数的图象上有四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，若，则k的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意可得，再根据长方形面积公式分别表示出，根据建立方程求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，，当时，，当时，， ∴， ∵分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为， ∴，，，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：4． 15. 把圆n等分（n是大于2的自然数），经过各分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形，如图分别是圆的外切正三角形，外切正方形和外切正六边形，若图3中圆的半径为R，则它的外切正六边形的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆外切正多边形．熟练掌握圆外切正六边形的性质，正三角形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 设的外切正六边形为，与圆相切于点M，连接，则，可得为正三角形，设，，在直角中，根据勾股定理求出，即得． 【详解】解：设的外切正六边形为，与圆相切于点M，连接， 则， ∵，， ∴为正三角形， 设， 则， 在直角中，根据勾股定理， ， ∴， ∴边长． 故答案为：． 16. 如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_______． 【答案】2 【解析】 【详解】根据题意，得 C1：y=-x(x-3)（0≤x≤3）； C2：y=(x-3)(x-6)（3≤x≤6）； C3：y=-(x-6)(x-9)（6≤x≤9）； C4：y=(x-9)(x-12)（9≤x≤12）； …… C13：y=-(x-36)(x-39)（36≤x≤39）． 对于C13有：当x＝37时，y＝2，所以，m＝2， 故答案为2． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为 （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意原方程有两个实数根，则，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得，则可推出，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意， ∴． 18. 如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． （1）若，则 ； （2）求这栋楼的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，光的反射定律，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由光的反射定律即可得到答案； （2）证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【小问1详解】 解：由光的反射定律可知； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：这栋楼的高度为． 19. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． （1）求证：∽； （2）若，且，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． （1）将向下平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是 ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，交点即为旋转中心点M， 由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． 21. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； 【小问2详解】 解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，已知点的纵坐标为2，点的纵坐标为． （1）求一次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）已知直线与轴交于点，若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 【答案】（1）， 画出一次函数的图象如图： （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由反比例函数的解析式求得、的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据图象即可求解； （3）由一次函数解析式求得点的坐标，进而求得点的坐标，根据即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为2，点的纵坐标为， ，， ∴， 解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：在中，令，则， ． 点是点关于轴的对称点， ， ， ． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，函数与方程的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 23. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， 是切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查圆的综合应用，考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题关键是找到等角证明等边，使用勾股定理求边长，然后找出相似三角形，利用相似比求出边长． （1）利用切线性质得到，然后等量代换求出等角推出等边即可． （2）先利用勾股定理求出边长，然后利用相似三角形的相似比代换出边长求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ∵D是的中点， ∴， ∴， ， ，， ， ， ． 24. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点，运动员（可视为一质点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点，正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由； （3）在该运动员入水点的正前方，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面4米．若该运动员的出水点在之间（含，两点），求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 由题意，当距点水平距离为5时，对应的横坐标为． 将代入解析式， ， ， 该运动员此次跳水失误了； （3）点在之间得的取值范围为． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）依据题意，当距点水平距离为5时，对应的横坐标为，将代入解析式求出后即可判断得解； （3）根据题意得到，点，， ，， ，当抛物线过点时，，分情况求出值，进而根据点在之间即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的顶点， 可设抛物线的解析式为， 把代入解析式得， ． 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，，点的坐标为， 点，的坐标分别为，． 令，则． 解得：（舍去），， 入水处点的坐标为． 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为， 当抛物线过点时，， 把代入，得， 同理，当抛物线过点时，， 由点在之间得的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径长为2，若，则可以得到的正确图形可能是（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，若矩形的面积为6，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形ABCD与四边形的面积比为（ ） A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. 7. 如图，已知点O是的外心，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （ ） A. B. C. D. 11. 黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，枫叶的叶脉长为，B为线段上一点，且满足，则称点B为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（    ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时，一定有y随x的增大而增大 C. D. 若点C的坐标为，则点D的坐标为 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则____________． 14. 如图，在反比例函数的图象上有四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，若，则k的值为_______． 15. 把圆n等分（n是大于2的自然数），经过各分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形，如图分别是圆的外切正三角形，外切正方形和外切正六边形，若图3中圆的半径为R，则它的外切正六边形的边长为_____． 16. 如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为 （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 18. 如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． （1）若，则 ； （2）求这栋楼的高度． 19. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． （1）求证：∽； （2）若，且，求线段的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． （1）将向下平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是 ． 21. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，已知点的纵坐标为2，点的纵坐标为． （1）求一次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）已知直线与轴交于点，若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 23. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 24. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点，运动员（可视为一质点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点，正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由； （3）在该运动员入水点的正前方，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面4米．若该运动员的出水点在之间（含，两点），求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $