精品解析：陕西西安市高新第一学校2026-2027学年上学期九年级学情自测数学试题

数学练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有增根，则的值应为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为64，则的周长为（    ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 6. 如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（ ） A. 14 B. C. D. 10 9. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似． A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 12. 若不等式组有解，则实数的取值范围是______． 13. 已知，则__________． 14. 如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 15. 如图，在中，，点D，E分别为上的点，且，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（共10题,共75分） 16. 解不等式，并将解集表示在数轴上． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，，，，，分别为、、上的点，四边形为菱形．请尺规作图画出，，点（不写作法，保留作图痕迹）： 20. 如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 21. 如图，，点和点，点和点是对应顶点． （1）求证：； （2）连接，．求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 23. 某无人机配件公司销售A，B两种配件，其进价和售价如下表． A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 若该公司某次购进A配件和B配件共300件，并全部售出，本次销售获得的利润为y元，设购进A配件x件． （1）请直接写出y与x之间的函数解析式（不必写出自变量取值范围）； （2）根据市场分析，A配件的销售量不超过B配件的，问怎样购进配件可使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 25. 如图，在梯形中，，且，点是边的中点，连接交对角线于点．当时，求的长． 26. 解决下列问题 （1）如图①，在中，，，P为上一点，连接，若．则的最小值是_____． （2）如图②，在中，，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，求的度数． （3）如图③．在矩形中，连接，，，点为线段上一动点，连接．将线段绕点B顺时针旋转得线段，连接，取的中点记为F，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误． 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．取，，满足，但，故A不一定成立； B．当时，不成立，故B不一定成立． C．∵，∴，∴，故C一定成立． D．∵，∴，∴，故D不成立． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A． 是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意． B． 的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意． C． 属于因式分解，符合题意． D． 的左边是单项式，不是多项式，单项式不能进行因式分解，不符合题意． 4. 若关于的方程有增根，则的值应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程，再得出分式方程的增根，则可得一个关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 5. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为64，则的周长为（    ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】先用平行四边形周长公式算出，靠勾股定理求，借助平行四边形对角线平分、三角形中位线定理拆分三条边长，相加得到周长． 【详解】解：∵，的周长为64， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵的对角线，相交于点， ∴， ∵点、点分别是、的中点， ∴，， ∴的周长为：． 6. 如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，由等边对等角得，， 结合平行线的性质可推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 7. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入，得，解得． 8. 已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（ ） A. 14 B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 9. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 10. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似． A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解，保证分解彻底． 【详解】解：． 12. 若不等式组有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围； 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解， ∴． 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 14. 如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【答案】25 【解析】 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 15. 如图，在中，，点D，E分别为上的点，且，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点F，设，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，根据勾股定理得到，根据配方法可知，根据平方的非负性得到，根据为正数作答即可． 【详解】解：如图，作交于点F， ∵， ∴ 设， ∴，， ∴，， ∴ ， ， ∵， ∴， 即， ∵为正数， ∴， 即的最小值为． 三、解答题（共10题,共75分） 16. 解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】， 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 图略． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 当时， 原式 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：方程左右两边同乘， 得：， 解得：， 经检验是分式方程的根． 【小问2详解】 解：这里，，． ∴， ∴， 即， 19. 如图，在中，，，，，，分别为、、上的点，四边形为菱形．请尺规作图画出，，点（不写作法，保留作图痕迹）： 【答案】所求图形如图所示． 【解析】 【分析】作平分线交于点E；作垂直平分线交于点D，交于点F，即可． 【详解】理由：由作法得：是的平分线，垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 20. 如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明：∵，，∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【详解】略 21. 如图，，点和点，点和点是对应顶点． （1）求证：； （2）连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：， ， ， ． （2）证明：， ，， ∴， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，从而得到，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【解析】 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 23. 某无人机配件公司销售A，B两种配件，其进价和售价如下表． A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 若该公司某次购进A配件和B配件共300件，并全部售出，本次销售获得的利润为y元，设购进A配件x件． （1）请直接写出y与x之间的函数解析式（不必写出自变量取值范围）； （2）根据市场分析，A配件的销售量不超过B配件的，问怎样购进配件可使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）购进A配件100件，B配件200件时本次销售利润最大，最大利润为8000元 【解析】 【分析】（1）设购进A配件x件，则购进B配件件，再根据销售获得的利润售出全部A配件的利润售出全部B配件的利润，即可求解； （2）根据题意列出关于x的不等式，再利用一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，得：； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得， 由（1）得，， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为（元）， 此时（件）， 答：购进A配件100件，B配件200件时本次销售利润最大，最大利润为8000元． 24. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每台电暖器应降价15元或20元 （2）不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【小问1详解】 解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． 【小问2详解】 略 25. 如图，在梯形中，，且，点是边的中点，连接交对角线于点．当时，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 先由点是边的中点推出，再证并由相似三角形的性质推得，代入的长即可得解． 【详解】解：， 又点是边的中点， ， ， 即， ， ， ， ， ， ． 26. 解决下列问题 （1）如图①，在中，，，P为上一点，连接，若．则的最小值是_____． （2）如图②，在中，，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，求的度数． （3）如图③．在矩形中，连接，，，点为线段上一动点，连接．将线段绕点B顺时针旋转得线段，连接，取的中点记为F，连接，求的最小值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂线段最短及含30度直角三角形的性质，即可求解； （2）利用等腰三角形的性质及旋转的性质证明，即可求解； （3）在线段上取点G，且，连接，取的中点H，连接，先证明，得，，则，由三角形中位线定理得，则可确定点F的运动路径，根据垂线段最短可求得的最小值． 【小问1详解】 解：当时，最短， 此时在中，，，， ∴， 即的最小值是3； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得线段， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在线段上取点G，且，连接，取的中点H，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点H，F是线段的中点， ∴，， ∴， ∴点F的运动路径是以H为其中一个端点的线段，该线段在下方，与所夹的钝角为， 当时，取得最小值， 如图，当点M在的延长线上时，连接，过点B作于点P， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵当取得最小值时，， ∴点F在线段上， ∵点H为的中点，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $